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《基本不等式》典型例题


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新课标人教 A 版高中数学必修五典题精讲(3.4 基本不等式) 典题精讲 例 1(1)已知 0<x< (2)求函数 y=x+

1 ,求函数 y=x(1-3x)的最大值; 3

1 的值域. x

思路分析: (1)由极值定理,可

知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反 数; (2)中,未指出 x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分 x>0 与 x<0 讨论.

1 ,∴1-3x>0. 3 1 1 3x ? (1 ? 3x) 2 1 1 ∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x)≤ [ ]= ,当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成 3 3 2 12 6 1 1 立.∴x= 时,函数取得最大值 . 6 12 1 1 解法二:∵0<x< ,∴ -x>0. 3 3 1 x? ?x 1 1 1 1 3 ∴y=x(1-3x)=3x( -x)≤3[ ]2= ,当且仅当 x= -x,即 x= 时,等号成立. 3 12 3 6 2 1 1 ∴x= 时,函数取得最大值 . 6 12
(1)解法一:∵0<x< (2)解:当 x>0 时,由基本不等式,得 y=x+

1 1 ≥2 x ? =2,当且仅当 x=1 时,等号成立. x x

当 x<0 时,y=x+

1 1 =-[(-x)+ ]. x (? x)

∵-x>0,∴(-x)+

1 1 ≥2,当且仅当-x= ,即 x=-1 时,等号成立. ?x (? x)

∴y=x+

1 ≤-2. x 1 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). x

综上,可知函数 y=x+

绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件, 同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练 1 当 x>-1 时,求 f(x)=x+

1 的最小值. x ?1 1 的积为常数. x ?1
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思路分析:x>-1 ? x+1>0,变 x=x+1-1 时 x+1 与

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解:∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+

1 1 1 =x+1+ -1≥2 ( x ? 1) ? -1=1. x ?1 x ?1 ( x ? 1) 1 ,即 x=0 时,取得等号. x ?1

当且仅当 x+1= ∴f(x)min=1.

变式训练 2 求函数 y=

x 4 ? 3x 2 ? 3 的最小值. x2 ?1

思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方 法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开. 解:令 t=x2+1,则 t≥1 且 x2=t-1. ∴y=

x 4 ? 3x 2 ? 3 (t ? 1) 2 ? 3(t ? 1) ? 3 t 2 ? t ? 1 1 ? ? t ? ? 1. = 2 t t t x ?1
1 t 1 1 =2,当且仅当 t= ,即 t=1 时,等号成立. t t

∵t≥1,∴t+ ≥2 t ?

∴当 x=0 时,函数取得最小值 3. 例 2 已知 x>0,y>0,且

1 9 + =1,求 x+y 的最小值. x y

思路分析:要求 x+y 的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的 变形,下面给出三种解法,请仔细体会. 解法一:利用“1 的代换”, ∵

1 9 + =1, x y 1 x

∴x+y=(x+y)· + (

9 y 9x )=10+ ? . y x y

∵x>0,y>0,∴

y 9x ? ≥2 x y

y 9x =6. ? x y

当且仅当

y 9x ? ,即 y=3x 时,取等号. x y

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1 9 + =1,∴x=4,y=12. x y

∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16. 解法二:由

1 9 y + =1,得 x= . x y y ?9

∵x>0,y>0,∴y>9. x+y=

y y ?9?9 9 9 +y=y+ =y+ +1=(y-9)+ +10. y ?9 y ?9 y ?9 y ?9

∵y>9,∴y-9>0. ∴

y ?9?9 9 ≥2 ( y ? 9) ? =6. y ?9 y ?9

当且仅当 y-9=

9 ,即 y=12 时,取得等号,此时 x=4.∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.解 y ?9

法三:由

1 9 + =1,得 y+9x=xy, x y

∴(x-1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2 ( x ? 1)( y ? 9) =16, 当且仅当 x-1=y-9 时取得等号.又

1 9 + =1, x y

∴x=4,y=12. ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16. 绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不 等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二 元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:

1 9 6 9 + ≥2 ①,即 ≤1,∴ xy ≥6. x y xy xy
∴x+y≥2 xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是 12.

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产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是

1 9 = ,不等式②等号成立的条件是 x=y.在同 x y

一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结 论. 变式训练已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10, 思路分析:本题属于“1”的代换问题. 解:x+y=(x+y)(

a b ? =1,x+y 的最小值为 18,求 a,b 的值. x y

a b bx ay bx ay ? )=a+ ? ? +b=10+ . x y y x y x

∵x,y>0,a,b>0, ∴x+y≥10+2 ab =18,即 ab =4. 又 a+b=10, ∴?

?a ? 2, ?a ? 8, 或? b ? 8 ?b ? 2. ?
4 的最小值(0<x<1). lg x

例 3 求 f(x)=3+lgx+

思路分析:∵0<x<1, ∴lgx<0,

4 <0 不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法 lg x

是加上负号变正数. 解:∵0<x<1,∴lgx<0,

4 4 <0.∴>0. lg x lg x

∴(-lgx)+(-

4 4 )≥2 (? lg x)(? ) =4. lg x lg x

∴lgx+

4 4 ≤-4.∴f(x)=3+lgx+ ≤3-4=-1. lg x lg x
1 4 ,即 x= 时取得等号. 100 lg x

当且仅当 lgx=

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则有 f(x)=3+lgx+

4 (0<x<1)的最小值为-1. lg x

黑色陷阱:本题容易忽略 0<x<1 这一个条件.

5 1 ,求函数 y=4x-2+ 的最大值. 4 4x ? 5 5 思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件 x< ,则 4x-5<0. 4 5 解:∵x< ,∴4x-5<0. 4 1 1 y=4x-5+ +3=-[(5-4x)+ ]+3 4x ? 5 5 ? 4x
变式训练 1 已知 x< ≤-2 (5 ? 4 x) ? 当且仅当 5-4x=

1 +3=-2+3=1. 5 ? 4x
1 ,即 x=1 时等号成立. 5 ? 4x

所以当 x=1 时,函数的最大值是 1.

3 8 时,求函数 y=x+ 的最大值. 2 2x ? 3 8 思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是 x· 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须 2x ? 3 1 8 3 3 ? 2x 8 3 ? 使用一些技巧对原式变形.可以变为 y= (2x-3)+ + =-( )+ ,再求最 2 2x ? 3 2 2 3 ? 2x 2
变式训练 2 当 x< 值.

1 8 3 3 ? 2x 8 3 ? (2x-3)+ + =-( )+ , 2 2x ? 3 2 2 3 ? 2x 2 3 ∵当 x< 时,3-2x>0, 2
解:y= ∴

3 ? 2x 8 3 ? 2x 8 1 3 ? 2x 8 ? ? ≥2 =4,当且仅当 ,即 x=- 时取等号. ? 2 3 ? 2x 2 3 ? 2x 2 2 3 ? 2x
3 5 5 = ? ,故函数有最大值 ? . 2 2 2

于是 y≤-4+

例 4 如图 3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网 围成.

图 3-4-1
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(1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢 筋总长度最小? 思路分析:设每间虎笼长为 x m,宽为 y m,则(1)是在 4x+6y=36 的前提下求 xy 的最大值;而 (2)则是在 xy=24 的前提下来求 4x+6y 的最小值. 解: (1)设每间虎笼长为 x m,宽为 y m,则由条件,知 4x+6y=36,即 2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为 S,则 S=xy. 方法一:由于 2x+3y≥2 2x ? 3 y =2 6xy , ∴2 6xy ≤18,得 xy≤

27 27 ,即 S≤ . 2 2

当且仅当 2x=3y 时等号成立. 由?

?2 x ? 2 y, ? x ? 4.5, 解得 ? ?2 x ? 3 y ? 18, ? y ? 3.
3 y. 2

故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大. 方法二:由 2x+3y=18,得 x=9∵x>0,∴0<y<6. S=xy=(9-

3 3 y)y= (6-y)y. 2 2

∵0<y<6,∴6-y>0. ∴S≤

3 (6 ? y ) ? y 2 27 [ ]= . 2 2 2

当且仅当 6-y=y,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5.故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时,可使面积最大. (2)由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2 2x ? 3 y =2 6xy =24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立. 由?

? x ? 6, ?2 x ? 3 y, 解得 ? ? y ? 4. ? xy ? 24,

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小. 方法二:由 xy=24,得 x=

24 . y

∴l=4x+6y=

96 16 16 16 +6y=6( +y)≥6×2 ? y =48,当且仅当 =y,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. y y y y
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故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋总长最小. 绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意: (1)x,y 都是正数; (2)积 xy(或 x+y)为定值; (3)x 与 y 必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论. 变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池(平面图如图 3-4-2 所示),由于地形限制,长、 宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两道隔墙建 造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长 和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

图 3-4-2 思路分析: 在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的 单调性进行求解.

200 200 米(0<x≤16,0< ≤16),∴12.5≤x≤16. x x 200 200 于是总造价 Q(x)=400(2x+2× )+248× 2× +80× 200. x x
解:设污水处理池的长为 x 米,则宽为 =800(x+

324 324 )+16 000≥800×2 x ? +16 000=44 800, x x
324 (x>0),即 x=18 时等号成立,而 18 ? [12.5,16],∴Q(x)>44 800. x

当且仅当 x=

下面研究 Q(x)在[12.5,16]上的单调性. 对任意 12.5≤x1<x2≤16,则 x2-x1>0,x1x2<162<324. Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324(

1 1 ? )] x 2 x1

=800×

( x2 ? x1 )(x1 x2 ? 324) <0, x1 x2

∴Q(x2)>Q(x1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元. 问题探究 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第 n 层楼时, 上下楼造成的不满意度为 n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境
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不满意度降低.设住第 n 层楼时,环境不满意程度为

8 .则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. n

导思: 本问题实际是求 n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式, 再根据基本不等式求解即可. 探究:设此人应选第 n 层楼,此时的不满意程度为 y. 由题意知 y=n+

8 . n

∵n+

8 8 ≥2 n ? ? 4 2 , n n
8 ,即 n= 2 2 时取等号. n

当且仅当 n=

但考虑到 n∈N*, ∴n≈2×1.414=2.828≈3, 即此人应选 3 楼,不满意度最低.

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