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47东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--椭圆A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 047A

椭圆(教案)A
一、知识梳理: 1. 椭圆的定义 定义的理解:当 2a=2c 时, ; 当 2a<2c 时,
x2 y2 a2 b2

2.椭圆的标准方程:焦点在 x 轴上的标准方程: 准方程:
y2 x2 a2 b2

+

=1(a>b>0).焦点在 y 轴上的标

+

=1(a>b>0) 轴

两种方程可用统一形式表示:Ax 2 + By 2 =1 (A>0,B>0 且 A≠B) ,当 A<B 时,焦点在 上,当 A>B 时,焦点在

轴上; 对椭圆的两种标准方程,都有 ?a ? b ? 0?,焦点都
2 2 2

在长轴上,且 a、b、c 始终满足 c ? a ? b

3.椭圆焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看分母大小,如果x 2 大于y 2 的分 母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 上. 4.椭圆的几何性质 对于椭圆
x2 y2 a2 b2

+

=1(a>b>0)
x2 y2 a b2

(1) 范围:由标准方程 2 +

=1(a>b>0)可知,|x|≤a , |y|≤b,说明椭圆位于直线

x=±a,y=±b,所围成的矩形内; (2) 对称性: 椭圆
x2 y2 a2 b2

+

=1(a>b>0) 关于直线 x 轴,y 轴,及原点对称;

(3) 顶点:A1 (?a, 0), A2 (a, 0) 是椭圆与 x 轴的两个交点, B1 (0, ?b), B2 (0, b)是椭圆与 y 轴的两个交点.线段A1 A2 、 B1 B2 分别叫椭圆的长轴与短轴, 它们的长分别是 2a, 2b;a,b 分别叫椭圆的半长轴长与半短轴长。 (4) 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比值 e= a 叫椭圆的离心率,范围: (0,1) ,越接 近于 0 越圆,越拉近于 1 越扁,常用计算:e2 =1x=
a2 c c2 a2 c

;椭圆上点到焦点和直线

的距离之比等于离心率,由此可以求出椭圆 上的点到相应的焦点的距离 |pF2 |=a-ex0
x2 y2 a2 b2

(焦半径)|pF1 |=a+ex0 (5) 椭圆的参数方程:椭圆 参数

+

=1(a>b>0)的参数方程为:

x = acosθ (θ)为 y = bsinθ

1

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(6) 二次曲线的弦长公式: 整理得到 x 的方程: 整理得到 y 的方程: 二、题型探究 探究一:椭圆的标准方程(求椭圆方程常用方法:待定系数法) 例 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) 、两个焦点坐标分别为(-4,0) 、 (4,0) ,椭圆上的点 P 到两个焦点的距离之和 为 10;

(2) 、椭圆经过两点 A(-1.5,-2.5) ,B( 3 , 5)

(3) 、已知椭圆

x2 y2 5

+ m =1 的离必率为

10 5

,求 m 的值

探究二:椭圆的几何性质 例 2: 已知F1 , F2 为椭圆 a 2 +b 2
x2 y2

=1(a>b>0)的左、 右焦点, 过F2 作椭圆的弦 AB, 若?AF1 B

的周长为 16,|AF1 |、|F1 F2 |、| AF2 |成等差数列,求椭圆的方程。

探究三:直线与椭圆 例 3:已知F1 , F2 分别为椭圆 a 2 +b 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过F1 斜率为 1 的直线 a 与椭圆交于 A,B 两点,且|AF2 |、|AB|、| BF2 |成等差数列, (1) 、求椭圆的离心率; (2) 、设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆的方程。 三、方法提升 (1) 、熟练掌握椭圆的标准方程,特别是 a,b,c,e 四个数值的换算关系; (2) 、掌握椭圆的定义、几何性质,通过运算得到的椭圆特殊结论要留下深刻印象;
x2 y2

2

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(3) 、为简化运算,处理交点问题时,常采用“设而不求”的办法,一般是设出交点 后,再用韦达定理处理,这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中极为重要。 四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题 1、与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 4 5 的椭圆方程是 ( )

x 2 y2 (A) ? ?1 25 20

x 2 y2 ( B) ? ?1 20 25

x 2 y2 (C) ? ?1 20 45

x 2 y2 ( D) ? ?1 80 85

2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含 60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的 离心率为 ( ) (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

3 3

(D)

1 3 或 2 2

3、 椭圆

x2 y2 F2 为左、 右焦点,A 为短轴一端点,弦 AB 过左焦点 F1,则 ? ABF2 ? ? 1 中,F1、 6 3
) (B)

的面积为 ( (A)3

3 3 2

(C) 4 3

(D)4

4、方程

x2 y2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 ( ? 25 - m 16 ? m
(B)-16<m<

)

(A)-16<m<25

9 2

(C)

9 <m<25 2

(D)m>

9 2
)

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e= 5、已知椭圆 ,则 m 的值为 5 m 5
(A)3 (B)3 或

(

25 3

(C) 15

(D) 15 或

5 15 3

6 、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,则椭圆的长轴长是短轴长的 ( )

3

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(A) 3 倍

(B)2 倍

(C) 2 倍 )

(D)

3 倍 2

7、椭圆 ax2+by2+ab=0(a<b<0)的焦点坐标为( (A)(0,± a ? b ) (C)(0,± b ? a ) 8、椭圆 x2+4y2=1 的离心率为 (A) ( )

(B)(± a ? b ,0) (D)( ± b ? a ,0)

3 2

( B)

2 2

(C)

5 2

( D) 2
( )

9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是 1200,则这个椭圆的离心率 e= (A)

3 2

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

1 3
)

10、曲线

x 2 y2 x2 y2 ? ? 1(m<9)一定有 ( ? ? 1 与曲线 25 ? m 9 ? m 25 9
(B)相等的焦距 (C)相等的离心率

(A)相等的长轴长 二、填空题

(D)相同的准线

11.(1)中心在原点,长半轴长与短半轴长的和为 9 2 ,离心率为 0.6 的椭圆的方程 为________; (2)对称轴是坐标轴,离心率等于

3 ,且过点(2,0)的椭圆的方程是_______ 2

王新敞
奎屯

新疆

12.(1)短轴长为 6,且过点(1,4)的椭圆标准方程是__________; (2)顶点(-6,0),(6,0)过点(3,3)的椭圆方程是__________

王新敞
奎屯

新疆

x2 y2 13.已知椭圆 =1 的焦距为 4,则这个椭圆的焦点在_____轴上,坐标是____ ? 2a a 2
14.已知椭圆

王新敞
奎屯

新疆

1 x2 y2 ? ? 1的离率为 ,则 m= 2 m 4

王新敞
奎屯

新疆

4

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三、解答题 15、求椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内接矩形面积的最大值. a2 b2

16.已知圆 x 2 ? y 2 =1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段PP′, 求线段PP′的中点 M 的轨迹.

17.△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、AC 的 4 斜率的乘积是- ,求顶点 A 的轨迹方程.? 9

18 .已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) , P 为椭圆上一点,且 | F1 F2 | 是

| PF1 | 和 | PF2 | 的等差中项.
(1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限, 且∠ PF1 F2 =120°, 求 tan F1 PF2 .

5

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参考答案
1.B 11. 2.D (1) 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9.A 10.B

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1 ;(2) x 2 ? 4 y 2 ? 4 或 4 x 2 ? y 2 ? 16 50 32 32 50 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ;(2) ? ?1 9 18 36 12
13. y,(0,-2).(0,2)

12.

(1)

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

14. 3 或

16 3

王新敞
奎屯

新疆

15 S ? 4a cos? ? b sin ? ? 2absin 2? ? S max ? 2ab.

16 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则点 P 的坐标为 (2 x, y ) . ∵P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,∴ (2 x) 2 ? y 2 ? 1,即
x2 ? y 2 ? 1. 1 4

∴点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 17.解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) . 依题意得
y?6 y?6 4 ? ?? , x x 9
x2 y2 ? ? 1( y ? ?6) . 81 36

∴顶点 A 的轨迹方程为 说明:方程

x2 y2 ? ? 1 对应的椭圆与 y 81 36

轴有两个交点,而此两交点为(0,
y

-6)与(0,6)应舍去. 18 解:(1)由题设| PF 2 |=2| 1 |+| PF
P

F1 F2 |=4
∴ 2a ? 4 , 2c=2, ∴b= 3

F1

O

F2

x

6

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x2 y2 ∴椭圆的方程为 ? ? 1. 4 3

(2)设∠ F1 PF2 ? ? ,则∠ PF2 F1 =60°-θ 由正弦定理得:

F1 F2 sin ? F1 F2 sin ?
4

?

PF2 sin 120?

?

PF1 sin(60? ? ? )

由等比定理得:
2 ? sin ?

?

PF1 ? PF2 sin 120? ? sin(60? ? ? )

?

3 ? sin(60? ? ? ) 2

整理得: 5 sin? ? 3(1 ? cos? )
3 5 3 5 . tan F1 PF2 ? tan? ? ? 3 11 1? 25 2?

?

sin ? 3 ? 3 故 tan ? ? 2 2 1 ? cos? 5

7


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