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山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试(数学理)


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淄博市 2012-2013 学年度高三年级模拟考试 理 科 数 学

第 I 卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)在复平面内,复数 (A)第一象限
5i 2?i

的对应点位于 (C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限

(2) (文)已知集合 A ? { x ? R | 0 ? x ? 1} , B ? { x ? R | ( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) ( 0 , )
2 1

(B) ( ? ? , ? 1) ? (0, ? ? )
1

(C) ( ? ? , ? 1) ? ( , ? ? )
2

(D) ( ? 1,1)

2 (2) (理)已知集合 M ? ? x x ? 5 x ? 0 ? , N ? ? x p ? x ? 6 ? ,且 M ? N ? ? x 2 ? x ? q ? ,则 p ? q ?

(A)

6

(B) 7

(C)
?
2

8

(D) 9

(3)设命题 p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 命题 q :函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? (A) (C)
p 为真 p ? q 为假
2 2

; 对称.则下列的判断正确的是

?
2

(B) ? q 为假 (D) p ? q 为真
? 1 上的动点,则 P 点到直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离的最小值为

(4)已知 P 是圆 x ? y (A) 1
2 x ? 2 y

(B) 2

(C) 2

(D) 2 2

(5)(文科)已知 (A) 1

? 1( x ? 0 , y ? 0 ) ,则 x ? y 的最小值为

(B) 2

(C) 4

(D) 8

(5)(理科)某校有 4 0 0 0 名学生,各年级男、女生人数如表,已知在全校学 生中随机抽取一名“献爱心”志愿者,抽到高一男生的概率是 0 .2 ,现 用分层抽样的方法在全校抽取 1 0 0 名奥运志愿者,则在高二抽取的学生 人数为. (A) 4 0 (B) 6 0 (C) 2 0 (D)30 女生 男生 高一
600

高二
y
z

高三
650 750

x

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(6)某程序框图如图所示,该程序运行后, 输出的 x 值为 31,则 a 等于 (A) 0 (C)2 (B) 1 (D)3
(第 6 题图)

(7)(文)已知△ABC 的面积为 2 ,在△ABC 所在的平面内
??? ??? ? ? ? ??? ? ???? 有两点 P、 Q ,满足 P A ? P C ? 0, Q A ? 2 B Q ,则 ? A P Q 的面积为

(A)

1 2

(B)

2 3

(C)1

(D)2

(7)(理)已知△ABC 的面积为 2 ,在△ABC 所在的平面内有两点 P、 Q , 满足 P A ? P C ? 0, Q A ? Q B ? Q C ? B C ,则 ? A P Q 的面积为 (A)
1 2
??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ?

(B)

2 3
x

(C)1

(D)2

(8)在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin a x 的部分图象,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则下列所给图象中可 能正确的是 D

2

2

(9)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为 (A) 9 (B) 1 0 (C) 1 1 (D)
23 2
1 1 (第 9 题图) 正视图 侧视图 3

( 10 ) 设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f ( x ) , 满 足 对 任 意 t ? R 都 有
f ( t)? f (? 1
1 3 2 t,且 x ? [0, ] 时, f ( x ) ? ? x ,则 f (3) ? f ( ? ) 的值等于. ) 2 2

俯视图

(A) ?

1 2

(B) ?

1 3

(C) ?
1 5

1 4

(D) ?

1 5

(11)数列 { a n } 前 n 项和为 S n ,已知 a 1 ?
第 2 页(共 19 页)

,且对任意正整数 m , n ,都有 a m ? n ? a m ? a n ,若 S n ? a 恒成
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立,则实数 a 的最小值为 (A)
1 4

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(B)

3 4

(C)

4 3

(D)4
x a
2 2

(12) 在区间 ?1,5? 和 ? 2 , 6 ? 内分别取一个数, 记为 a 和 b , 则方程 ? ? 的双曲线的概率为 (A)
1 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ) 表示离心率小于

5

(B)

15 32

(C)

17 32

(D)

31 32

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) 已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是__ ? 4 ___.
2

(14) (文科) 已知 0 ? ? ?

?
3

,则 sin ? ?

3 cos ? 的取值范围是 ? 3, ? 2 ? ?

? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? a 6 (14) (理科)若函数 f ( x ) ? ? 则 π 的图象与 x 轴 所围成的封闭图形的面积为 a , ( x ? 2 ) 的 x ? cos x, 0 ? x ? ? 2

展开式中各项系数和是
1 2

1 64

(用数字作答)
1 2 1 6
1 2 1 6 1 12

(15)观察下列不等式:①

? 1 ;②

?

?

2 ;③

?

?

?

3 ;…

请写出第 n 个不等式为

1 2

?

1 6

?

1 12

?? ?

1 n ( n ? 1)

?

n .

(16)现有下列结论: ①直线 a , b 为异面直线的充要条件是直线 a , b 不相交; ②(文)函数 f ( x ) ? lg x ? ②(理)函数 f ( x ) ? lg x ?
1 x 1 x ( 的零点所在的区间是 1 10 ,1);

的零点所在的区间是(1,10) ;
1 n

③(文科)从总体中抽取的样本 ( x 1 , y 2 ), ( x 2 , y 2 ), ? , ( x n , y n ), 若 记 x ?
?

?
i ?1

n

xi , y ?

1 n

?
i ?1

n

yi,

则回归直线 y ? b x ? a 必过点( x , y ) ; ③(理科)已知随机变量 X 服从正态分布 N ? 0 ,1 ? ,且
P ? ? 1 ? X ? 1 ? ? m ,则 P ? X ? ? 1 ? ? 1 ? m ;

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④ 已知函数 f ( x ) ? 2 ? 2
x ?x

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,则 y ? f ? x ? 2 ? 的图象关于直线 x ? 2 对称. (注:把你认为正确结论的序号都填上).

其中正确的结论序号是

② ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin ? A ? B ? , sin (
?
2 ? A )), n ? (1, sin B ) ,且 m ? n ? ? sin 2 C ,其中 A、B、C 分别为 2

? A B C 的三边 a 、 b 、 c 所对的角.

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A ? sin B ? 2 sin C ,且 S ? A B C ? 解: (Ⅰ)m ? n ? sin ? A ? B ? ? 2 c os A sin B
? sin A c os B ? c os A sin B ? sin ( A ? B ) ……………………2 分
3 ,求边 c 的长.

在 ? A B C 中, A ? B ? ? ? C , 0 ? C ? ? 所以 sin ( A ? B ) ? sin C 又 m ? n ? ? sin 2 C 所以 sin C ? ? sin 2 C = ? 2 sin C c os C 所以 c o s C ? ?
1 2

, 即C ?

2? 3

.

……………………6 分

(Ⅱ)因为 sin A ? sin B ? 2 sin C 由正弦定理得 2 c ? a ? b .
S ?ABC ? 1 2 a b s in C ? 3 4 ab ?

…………………8 分
3 ,得 ab ? 4 .

………………10 分

由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 a b c os C
? a ? b ? ab ? (a ? b) ? ab ? 4c ? 4
2 2 2

2

解得 c ?

2 3 3

.

……………………12 分

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(18) (文科) (本小题满分 12 分)

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在如图所示的几何体中, 四边形 A B C D 是菱形,A D N M 是矩 形,平面 A D N M ⊥平面 A B C D , P 为 D N 的中点. (Ⅰ)求证: B D ⊥ M C ; (Ⅱ)线段 A B 上是否存在点 E ,使得, A P / / 平面 N E C , 若存在,说明在什么位置,并加以证明;若不存在,说明理由. (Ⅰ)证明:连结 A C ,因为四边形 A B C D 是菱形 所以 A C ? B D .………………2 分 又 A D N M 是矩形,平面 A D N M ⊥平面 A B C D 所以 A M ⊥平面 A B C D 因为 B D ? 平面 A B C D 所以 A M ? B D 因为 A C ? A M ? A 所以 B D ? 平面 M A C .……………………4 分 又 M C ? 平面 M A C 所以 B D ? M C . ……………………6 分 A E B D M P S N N A A E E E E M M

N N

P D C C B B

C

(Ⅱ)当 E 为 A B 的中点时,有 A P / / 平面 N E C .……7 分 取 N C 的中点 S ,连结 P S , S E .……………8 分 因为 P S / / D C / / A E , P S ? A E = 所以四边形 A P S E 是平行四边形, 所以 A P / / S E . 又 S E ? 平面 N E C ,
A P ? 平面 N E C ,
1 2 DC ,

……………………10 分

所以 A P / / 平面 N E C .……………………12 分 (18)(理科)(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,
A D N M 是 矩 形 , 平 面 A D N M ⊥ 平 面 A B C D,

N M

D
? D A B ? 6 0 ,A D ? 2 ,A M ? 1 , E 是 A B 的中点.
?

C B

(Ⅰ)求证: A N //平面 M E C
第 5 页(共 19 页)

A

E

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?
6

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(Ⅱ)在线段 A M 上是否存在点 P ,使二面角 P ? E C ? D 的大小为 若不存在,请说明理由. 解:Ⅰ) ( 连接 B N , C M 与 B N 交于 F , 设 连结 E F . 由已知, M N / / A D / / B C ,
M N ? A D ? B C ,所以四边形 B C N M 是平行

?若存在,求出 A P 的长 h ; N

M F P A Q H E B D C

四边形, F 是 B N 的中点. 又因为 E 是 A B 的中点, 所以 A N // E F .…………………3 分 因为 E F ? 平面 M E C ,
A N ? 平面 M E C ,

所以 A N // 平面 M E C .?????4 分 (Ⅱ)假设在线段 A M 上存在点 P ,使二面角 P ? E C ? D 的大小为 (解法一) 延长 D A 、 C E 交于点 Q ,过 A 做 A H ? E Q 于 H ,连接 P H . 因为 A D N M 是矩形,平面 A D N M ⊥平面 A B C D , 所以 M A ⊥平面 A B C D ,又 E Q ? 平面 A B C D , 所以 M A ⊥ E Q , E Q ? 平面 P A H 所以 E Q ? P H , ? P H A 为二面角 P ? E C ? D 的平面角.
?
6

?
6

.

由题意 ? P H A ?

.?????7 分

在 ? Q A E 中, A E ? 1 , A Q ? 2 , ? Q A E ? 1 2 0 , 则 EQ ?
1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 co s 1 2 0 ?
2 2 ?

?

7

所以 A H ?

A E ?A Q s in 1 2 0 EQ

?

?

3 7

……………10 分

又在 R t ? P A H 中, ? P H A ?

?
6



所以 A P ? A H ?ta n 3 0 ?
第 6 页(共 19 页)

?

3 7

?

3 3

?

1 7

?

7 7

?1
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?
6

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所以在线段 A M 上存在点 P ,使二面角 P ? E C ? D 的大小为
7 7

,此时 A P 的长为

.

……………………………………………………………12 分

(解法二) 由于四边形 A B C D 是菱形, E 是 A B 的中点, ? D A B ? 6 0
D E ? A B.
?

所以 ? A B C 为等边三角形,可得

又 A D N M 是矩形, 平面 A D N M ⊥平面 A B C D , 所以 D N ⊥平面 A B C D . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz .????5 分 M

z N

F 则 D (0, 0, 0 ) , E ( 3 , 0 , 0 ) ,
C (0 , 2 , 0 ) , P ( 3 , ? 1, h ) .

P

D E x

C

y

??? ? ??? ? C E ? ( 3 , ? 2 .0 ) , E P ? (0 , ? 1, h ) .…??7 分

A

B

设平面 P E C 的法向量为 n1 ? ( x , y , z ) .
??? ? ? C E ? n1 ? 0 , ? 则 ? ??? ? ? E P ? n1 ? 0 . ?

所以 ?

? 3 x ? 2 y ? 0, ? ?? y ? hz ? 0. ?

令y ?

3h .

所以 n1 ? ( 2 h , 3 h , 3 ) .……………………………………………………………9 分 又平面 A D E 的法向量 n 2 ? ( 0, 0,1) 所以 c o s ? n1 , n 2 ? ?
n1 ? n 2 n1 ? n 2 ? 3 2
7 7

…………………………10 分

.

…………………………11 分



3 7h ? 3
2

?

3 2

,解得 h ?

?1

?

所以在线段 A M 上存在点 P ,使二面角 P ? E C ? D 的大小为 6 ,此时 A P 的长为
7 7

……………………………………………………………12 分.

(19) (文科) (本小题满分 12 分)
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3 2 x ? 1 上.

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设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( a n , S n ) 在直线 y ? (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

(Ⅱ)在 a n 与 a n ? 1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列 ? 项和 T n . (19)解: (Ⅰ)由题设知, S n ? 得 S n ?1 ?
3 2
*

? 1 ? ? ? 的前 n ?dn ? ?

3 2

an ? 1

a n ? 1 ? 1( n ? N , n ? 2 ) )………?????????2 分 3 2
*

两式相减得: a n ?

( a n ? a n ?1 )

……??????????4 分
3 2 a1 ? 1

即 a n ? 3 a n ? 1 ( n ? N , n ? 2 ) ,又 S 1 ?

得 a1 ? 2

所以数列 ? a n ? 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 所以 a n ? 2 ? 3
n ?1

. ………………………?6 分
n n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ? 1 ? 2 ? 3 , a n ? 2 ? 3 因为 a n ? 1 ? a n ? ( n ? 1) d n
1 dn 1 d1
2 4?3 2 4?3 2 3
1 0

所以 d n ?

4?3

n ?1

n ?1

所以

?

n ?1 4?3 1 d2
? ?
n ?1

.????????8 分

令 Tn ?

?

?

1 d3
3

? …?

1 dn


n ?1 4?3
n ?1

则 Tn ?
1 3 Tn ?

4?3 3 4?3 2 4?3

1

?

4 4?3
2

? …? n

① ②……………??????10 分
1 4?3
n ?1

2

?…? ? 1

4?3
1

n ?1

?

n ?1 4?3
n

①…②得 T n ?
1 ? 1 2 ? 1 4
15 16

0

4?3

?

1 4?3
2

? …?

?

n ?1 4?3
n

(1 ? 1?

1 3 1
n ?1

) ?

? 3

n ?1 4?3
n

?

5 8

?

2n ? 5 8?3
n

…………………………????11 分

3
? Tn ? ? 2n ? 5 16 ? 3
n ?1

??????????????12 分

(19)(理科)(本小题满分 12 分)
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3 2 x ? 1 上.

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设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( a n , S n ) 在直线 y ? (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

(Ⅱ)在 a n 与 a n ? 1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列, 求数列 ?
? 1 ? 8 n 40 ? n ? 成立的正整数 n 的最小值. ? 的前 项和 T n ,并求使 T n ? n -1 5 5?3 27 ?dn ? ?

(19)解: (Ⅰ)由题设知, S n ? 得 S n ?1 ?
3 2

3 2
*

an ? 1

a n ? 1 ? 1( n ? N , n ? 2 ) ) ,…………………?????2 分 3 2
*

两式相减得: a n ?

( a n ? a n ?1 ) ,

……………………????4 分
3 2 a1 ? 1 得 a 1 ? 2 ,

即 a n ? 3 a n ? 1 ( n ? N , n ? 2 ) ,又 S 1 ?

所以数列 ? a n ? 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴ an ? 2 ? 3
n ?1

.
n n ?1

………………????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ? 1 ? 2 ? 3 , a n ? 2 ? 3

因为 a n ? 1 ? a n ? ( n ? 1) d n , 所以 d n ?
1 dn 1 d1
2 4?3
1 0

4?3

n ?1

n ?1

所以

?

n ?1 4?3 1 d2
? 3 4?3 2 4?3
0 2

n ?1

………?????8 分

令 Tn ?

?

?

1 d3
3

? …?

1 dn


n ?1 4?3
n n ?1

则 Tn ?
1 3 Tn ? 2 4?3 2 3

4?3

1

?

4 4?3 n 4?3
1 n ?1 2

? …? ?



?

? …? ? 1

n ?1 4?3

②………………………………10 分
1 4?3
n ?1

①?②得 T n ?
1 ? 1 2 ? 1 4
15 16

4?3

?

1 4?3
2

? …?

?

n ?1 4?3
n

(1 ? 1?

1 3 1
n ?1

) ?

? 3

n ?1 4?3
n

?

5 8

?

2n ? 5 8?3
n

……………………………??11 分

3
? Tn ? ? 2n ? 5 16 ? 3
n ?1

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所以 T n ?
5 8 n 5?3
n -1

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? 40 27

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?

40 27

,即

3 2

?

1 2?3
n -1

,3 ? 81
n

得n ? 4 所以,使 T n ?
5 8 n 5?3
n -1

?

40 27

成立的正整数 n 的最小值为 4 ……………???12 分

(20)(文科)(本小题满分 12 分) 某校举行环保知识竞赛,为了了解本次竞赛成 组号 绩情况, 从得分不低于 50 分的试卷中随机抽取
1 0 0 名学生的成绩(得分均为整数,满分 1 0 0

分组

频数
5

频率
0 .0 5

第1组 第2组 第3组

?50, 60 ? ?60, 70 ?
?70, 80 ?

分) ,进行统计,请根据频率分布表中所提供的 数据,解答下列问题: (Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)若从成绩较好的第 3 、 4 、 5 组

a

0 .3 5
b
0 .2 0

30
20

第4组 第5组 合计

?8 0, 9 0 ?

中按分层抽样的方法抽取 6 人参加社区志 愿者活动, 并从中选出 2 人做负责人, 2 求 人中至少有 1 人是第四组的概率.

?90 ,100 ?

10
100

0 .1 0
1 .0 0

解: (I) a ? 3 5, b ? 0 .3 0 ……………………………………………………………12 分 (Ⅱ)因为第 3 、 4 、 5 组共有 6 0 名学生,所以利用分层抽样在 6 0 名学生中抽取 6 名学生,每组分 别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组:
6 60 6 60 6 60 ? 1 0 ? 1 人, ? 2 0 ? 2 人, ? 3 0 ? 3 人,

所以第 3 、 4 、 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人.

????6 分

设第 3 组的 3 位同学为 A1 、 A 2 、 A 3 ,第 4 组的 2 位同学为 B 1 、 B 2 ,第 5 组的 1 位同学为 C 1 ,则从六 位同学中抽两位同学有 1 5 种可能如下:

? A1 , A 2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B 2 ? , ? A1 , C 1 ? , ? A 2 , A3 ? , ? A 2 , B1 ? , ? A 2 , B 2 ? , ? A 2 , C 1 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B 2 ? , ? A3 , C 1 ? , ? B1 , B 2 ? , ? B1 , C 1 ? , ? B 2 , C 1 ? , …???10 分
所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 (20) (理科) (本小题满分 12 分)
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9 15

?

3 5

…???12 分

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在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记 1 分,白球 记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为 x 、 y ,设 O 为 坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? O P . (I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数 学期望. 解: (I)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,
? ? ? ( x ? 2 ) ? ( x ? y ) ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 .
2 2

??? ?

2

因此,随机变量 ? 的最大值为 5 ………………………?4 分
?

有放回摸两球的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种
2 9

? P (? ? 5 ) ?

……?6 分

(Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 .
? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况.

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,

? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0 ) ? 1 9

, P ( ? ? 1) ?

4 9

, P (? ? 2 ) ?

2 9

…………………………8 分

则随机变量 ? 的分布列为:
?
P

0
1 9

1
4 9

2
2 9

5
2 9

……………?10 分

因此,数学期望 E ? ? 0 ?

1 9

? 1?

4 9

? 2?

2 9

? 5?

2 9

? 2 ……………??12 分

(21)(文科)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
第 11 页(共 19 页)
2 2

?

y

2

? 1( a ?

10 ) 的 右 焦 点 F 在 圆 D : ( x ? 2 ) ? y ? 1 上 , 直 线
2 2

3
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l : x ? m y ? 3( m ? 0 ) 交椭圆于 M 、 N 两点.

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(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的值; (Ⅲ) 若点 P 的坐标是 ( 4 , 0 ) ,试问 ? PMN 的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值;若不存 在,请说明理由. (21)解:(Ⅰ) 由题设知,圆 D : ( x ? 2 ) ? y ? 1 的圆心坐标是 ( 2 , 0 ) ,半径是 1 ,
2 2

故圆 D 与 x 轴交与两点 ( 3 , 0 ) , (1, 0 ) . 所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b 2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,∵ a ?
x
2

…………………………1分

10 )

………3分

于是,椭圆 C 的方程为

?

y

2

? 1.

………………………4 分

12

3

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ;
? x ? my ? 3 ? 2 直线 l 与椭圆 C 方程联立 ? x 2 y ? ?1 ? 3 ? 12

化简并整理得 ( m ? 4 ) y ? 6 my ? 3 ? 0
2 2

………………………5 分

∴ y1 ? y 2 ?

? 6m m ? 4
2

, y1 ? y 2 ?

?3 m ? 4
2

∴ x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 6 ?

24 m ? 4
2

x1 ? x 2 ? m y 1 y 2 ? 3 m ( y 1 ? y 2 ) ? 9 ?
2

? 3m
2

2

m ? 4

?

? 18 m
2

2

m ? 4

?9 ?

36 ? 12 m m ? 4
2

2

………7 分

∵ OM ? ON ,∴ OM ? ON ? 0 即 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 得
11 4

36 ? 12 m ? 3
2

m ? 4
2

? 0

∴m ?
2

,m ? ?

11 2
1 2

.
FP ? y 1 ? y 2 ? 1 2

?????????9 分
?1 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2
2

(Ⅲ) 解法一: S ? PMN ?

第 12 页(共 19 页)

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? 1 2 ? 36m (m
2 2 2

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m
2

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? 4)

? (m

12
2

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? 2

3

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2

(m

2

=2 3 ( m ? 1) ?
2

1 9 m ?1
2

? 2 3 ?6

1 12

?1

当且仅当 m 2 ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立 故 ? PMN 的面积存在最大值 1 . (或: S ? P M N ? 2 3 ?
m +1
2

……………????13 分
=2 3? ? 1 ? 1 m ? 4
2

?m

2

? 4?

2

?m

2

? 4?

2

令t ?

? 1? , ? ? 0, m ? 4 ? 4? ? 1
2

则 S ? P M N ? 2 3 ? ? 3 t 2 ? t ? 2 3 ? ? 3( t ? 当且仅当 t ?
1

1 6

) ?
2

1 12

?1

…………??12 分

? 1? 时等号成立,此时 m 2 ? 2 ? ? 0, ? 6 ? 4?

故 ? PMN 的面积存在最大值 1 . 解法二: MN ?
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2 2

……………????13 分
( m ? 1) ( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2
2

?

?

?

2 ? 36 m 2 12 ? m ?1 2 ( m ? 1) ? ? 2 ? 4 3 2 ? 2 2 m ? 4? m ? 4 ? (m ? 4)

……???????10 分

点 P 到直线 l 的距离是

4?3 m ?1
2

?

1 m ?1
2

.
2

所以, S ? PMN ?

4 3 2
1

1 m
2

?1
1

?

m m

2 2

?1 ? 4

? 2 3

m (m
2

?1 ? 4)
2

? 2

3

? 3( m

2

? 4

) ?
2

m

2

? 4

…………?????11 分

令t ?

? 1? , ? ? 0, m ? 4 ? 4? ? 1
2

S ? PMN ? 2

3

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2

3

? 3(t ?

1 6

) ?
2

1 12

?

2

3 12

? 1,

………???12 分

当且仅当 t ?

1

? 1? 时,此时 m 2 ? 2 ? ? 0, ? 6 ? 4?

故 ? PMN 的面积存在最大值,其最大值为 1 . (21) (理科) (本小题满分 13 分)
第 13 页(共 19 页)

?????????13 分

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已知椭圆 C :
l : x?
x a
2 2

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2 2

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?

y

2

? 1( a ?

10 ) 的 右 焦 点 F 在 圆 D : ( x ? 2 ) ? y ? 1 上 , 直 线

3

m ? 3 ( m 交椭圆于 M 、 N 两点. y ? 0 )

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的值; (Ⅲ) 设点 N 关于 x 轴的对称点为 N 1 N 1 与 M 不重合) 且直线 N 1 M 与 x 轴交于点 P , ( , 试问 ? PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. (21)解:(Ⅰ) 由题设知,圆 D : ( x ? 2 ) ? y ? 1 的圆心坐标是 ( 2 , 0 ) ,半径是 1 ,
2 2

故圆 D 与 x 轴交与两点 ( 3 , 0 ) , (1, 0 ) . 所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b 2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,∵ a ?
x
2

????????????1分

10 )

???3分

于是,椭圆 C 的方程为

?

y

2

? 1.

?????????4 分

12

3

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ;
? x ? my ? 3 ? 2 直线 l 与椭圆 C 方程联立 ? x 2 y ? ?1 ? 3 ? 12

化简并整理得 ( m ? 4 ) y ? 6 my ? 3 ? 0
2 2

?????????5 分

∴ y1 ? y 2 ?

? 6m m ? 4
2

, y1 ? y 2 ?

?3 m ? 4
2

∴ x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 6 ?

24 m ? 4
2


? 3m
2 2

x1 ? x 2 ? m y 1 y 2 ? 3 m ( y 1 ? y 2 ) ? 9 ?
2

m ? 4

?

? 18 m
2

2

m ? 4

?9 ?

36 ? 12 m m ? 4
2

2

………7 分

∵ OM ? ON ,∴ OM ? ON ? 0 即 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 得
36 ? 12 m ? 3
2

m ? 4
2

? 0

∴m ?
2

11 4

,m ? ?

11 2

,即 m 为定值.

?????????9 分
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第 14 页(共 19 页)

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(Ⅲ) ∵ M ( x1 , y 1 ) , N 1 ( x 2 , ? y 2 ) ∴直线 N 1 M 的方程为
y ? y1 ? y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

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… …………????10 分

令 y ? 0 ,则 x ?

y 1 ( x 2 ? x1 ) y1 ? y 2

? x1 ?

y 1 x 2 ? y 2 x1 y1 ? y 2
18 m
2

? 6m ? 2 my 1 y 2 ? 3 ( y 1 ? y 2 ) y1 ? y 2 ? m
2

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2

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? 4

∴ P ( 4 ,0 ) . 解法一: S ? PMN ?
1 2 36m (m
2 2 2

………………………11 分
1 2 FP ? y 1 ? y 2 ? 1 2 ?1 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2
2
2

?

?

? 4)

? (m

12
2

? 4)

? 2

3

m (m
2

?1 ? 4)
2

=2 3 ( m ? 1) ?
2

1 9 m ?1
2

? 2 3 ?6

1 12

?1

当且仅当 m 2 ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立 故 ? PMN 的面积存在最大值 1 . (或: S ? P M N ? 2 3 ?
m +1
2

……………????13 分
=2 3? ? 1 ? 1 m ? 4
2

?m

2

? 4?

2

?m

2

? 4?

2

令t ?

? 1? , ? ? 0, m ? 4 ? 4? ? 1
2

则 S ? P M N ? 2 3 ? ? 3 t 2 ? t ? 2 3 ? ? 3( t ? 当且仅当 t ?
1

1 6

) ?
2

1 12

?1

…………??12 分

? 1? 时等号成立,此时 m 2 ? 2 ? ? 0, ? 6 ? 4?

故 ? PMN 的面积存在最大值 1 . 解法二: MN ?
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2 2

……………????13 分
( m ? 1) ( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2
2

?

?

?

2 ? 36 m 2 12 ? m ?1 2 ( m ? 1) ? ? 2 ? 4 3 2 ? 2 2 m ? 4? m ? 4 ? (m ? 4)

……???????10 分

点 P 到直线 l 的距离是
第 15 页(共 19 页)

4?3 m ?1
2

?

1 m ?1
2

.
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所以, S ? PMN ?
4 3 2
1 m
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m (m
2 2

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1 m
2

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2 2

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2

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2

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2

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…………?????11 分

令t ?

? 1? , ? ? 0, m ? 4 ? 4? ? 1
2

S ? PMN ? 2

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2

3

? 3(t ?

1 6

) ?
2

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2

3 12

? 1,

………???12 分

当且仅当 t ?

1

? 1? 时,此时 m 2 ? 2 ? ? 0, ? 6 ? 4?

故 ? PMN 的面积存在最大值,其最大值为 1 . (22)(文科)(本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) ln x , h ? x ? = ln x ? a x (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ? 3 ? a ? ? 2 时,若对 ? ? 1, ? 2 ? ?1, 3 ? ,
2

?????????13 分

( a ? R ) .令 f

?x?

? g ? x ? ? h?? x ? .

使得 f ? ?1 ? ? f ? ? 2 ? ? ? m ? ln 3 ? a ? 2 ln 3 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(Ⅰ)依题意, h ? ? x ? =
1 x 1 x
1 x

? 2ax ? 2 a x 其定义域为 (0, ? ? ) .

所以 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

……………1 分 . ……………2 分

当 a ? 0 时, f ( x ) ? 2 ln x ? 令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? 当0 ? x ?
1 2 1 2

, f ?( x ) ?

2 x

?

1 x
2

?

2x ?1 x
2

时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ?
? ? 1? 2?

1 2

时, f ? ( x ) ? 0 .
?1 ? ,? ? ; + ?2 ?

所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ?

所以 x ?

1 2

时, f ? x ? 有极小值为 f ?

?1? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ?2?

……………4 分
1 a

(Ⅱ) f ? ( x ) ?

2?a x

?

1 x
2

? 2a ?

2ax ? (2 ? a ) x ? 1
2

a ( 2 x ? 1)( x ? ? x
2

)

x

2

?x

? 0 ? ……5 分

第 16 页(共 19 页)

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当 a ? ? 2 时, ?
1 a ? 1 a 1 2 ? x ? 1 2

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1 a

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, 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? ;
? ?

或x ?

1 2



令 f ? ( x ) ? 0 ,得 ?

? 所以,当 a ? ? 2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0,

1? ?1 ? + ? ,? ,? ? , a ? ?2 ?

单调递增区间是 ? ?
?

?

1 1? , ? ……………7 分 a 2?

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 ? 3 ? a ? ? 2 时, f ( x ) 在 ?1, 3 ? 单调递减. 所以 f ( x ) m ax ? f (1) ? 2 a ? 1 ; f ( x ) m in ? f (3) ? ( 2 ? a ) ln 3 ?
? ?
1 3 ? 6 a . …………8 分

所以 f ? ? 1 ? ? f ? ? 2 ? m a x ? f ? 1 ? ? f ? 3 ? ? (1 ? 2 a ) ? ? ( 2 ? a ) ln 3 ?
? 2 3 ? 4 a ? ( a ? 2 ) ln 3 . ………………9 分

1 3

? 6a

? ? ?

因为对 ? ? 1, ? 2 ? ?1, 3 ? ,有 f ? ?1 ? ? f ? ? 2 ? ? ? m ? ln 3 ? a ? 2 ln 3 成立, 所以 ? m ? ln 3 ? a ? 2 ln 3 ? 整理得 m a ?
2 3 ? 4a . 2 3a ?4,
38 9

2 3

? 4 a ? ( a ? 2 ) ln 3 . ,

……………11 分 又因为 ? 3 ? a ? ? 2 ,得 ?
13 3
1 3 ? 2 3a ? ? 2 9

又 a ? 0 所以 m ? 所以 ?
13 3 ? 2 3a



?4? ?

,所以 m ? ?

.

……………13 分

(22)(理科)(本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) ln x , h ? x ? = ln x ? a x (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ? 3 ? a ? ? 2 时,若存在 ? 1, ? 2 ? ?1, 3 ? , 使得 f ? ?1 ? ? f ? ? 2 ? ? ? m ? ln 3 ? a ? 2 ln 3 成立,求 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)依题意, h ? ? x ? =
1 x 1 x
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2

(a ? R ) 令 f

?x?

? g ? x ? ? h?? x ?

.

? 2ax ? 2 a x 其定义域为 (0, ? ? ) .

所以 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

……………1 分

第 17 页(共 19 页)

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当 a ? 0 时, f ( x ) ? 2 ln x ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 当0 ? x ?
1 2 1 x

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2 x ? 1 x
2

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2

, f ?( x ) ?

?

2x ?1 x

.

1 2
1 2

时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ?
? ? 1? 2?

时, f ? ( x ) ? 0 .
?1 ?2 ? ,? ? ; + ?

所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ?

所以 x ?

1 2

时, f ? x ? 有极小值为 f ?

?1? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ?2?

……………3 分
1 a

(Ⅱ) f ? ( x ) ?

2?a x

?

1 x
2

? 2a ?

2ax ? (2 ? a ) x ? 1
2

a ( 2 x ? 1)( x ? ? x
1 2
2

)

x
1 a ? 1 2

2

?x


? 0 ? ………4 分

当 ? 2 ? a ? 0 时, ?

,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 令 f ? ( x ) ? 0 ,得
1 2

或x ? ?
1 a

1 a

? x ? ?



当 a ? ? 2 时, f ? ( x ) ? ? 当 a ? ? 2 时, ?
1 a 1 2

( 2 x ? 1) x
2

2

? 0.
1 a 1 2 1 2

?

, 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 ?
1 a

或x ?



? x ?



综上所述: 当 ? 2 ? a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? , ? ?
? 2? ? ?1 1? ?; a? ? 1? ? ? ,? ? , + a ? 1

? 单调递增区间是 ? , ?2

+ 当 a ? ? 2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ? ;

? 当 a ? ? 2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ?

?

1? ?1 ? ? 1 1? + ? , ? , ? ? ,单调递增区间是 ? ? , ? a ? ?2 ? ? a 2?

……………………7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 ? 3 ? a ? ? 2 时, f ( x ) 在 ?1, 3 ? 单调递减. 所以 f ( x ) m ax ? f (1) ? 2 a ? 1 ; f ( x ) m in ? f (3) ? ( 2 ? a ) ln 3 ?
1 3 ? 6 a . …………8 分.

第 18 页(共 19 页)

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? ? 1 3 ? 6a ? ? ?

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所以 f ? ? 1 ? ? f ? ? 2 ? m a x ? f ? 1 ? ? f ? 3 ? ? (1 ? 2 a ) ? ? ( 2 ? a ) ln 3 ?
? 2 3 ? 4 a ? ( a ? 2 ) ln 3 .

………………………………9 分

因为存在 ? 1, ? 2 ? ?1, 3 ? ,使得 f ? ?1 ? ? f ? ? 2 ? ? ? m ? ln 3 ? a ? 2 ln 3 成立, 所以 ? m ? ln 3 ? a ? 2 ln 3 ? 整理得 m a ?
2 3 ? 4a . 2 3a ?4,
38 9

2 3

? 4 a ? ( a ? 2 ) ln 3 ,

……………………11 分 又因为 ? 3 ? a ? ? 2 ,得 ?
38 9
1 3 ? 2 3a ? ? 2 9

又 a ? 0 所以 m ? 所以 ?
13 3 ? 2 3a



?4? ?

,所以 m ? ?

.

………………13 分

第 19 页(共 19 页)

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