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湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 平面向量1学案


湖北省监利县第一中学 2015 届高三数学一轮复习 平面向量 1 学案 【学习目标】
1.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 2. 理解向量的几何表示. 3.掌握向 量加法、减法的运算并理解其几何意义. 4.掌握向量 数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何 意义. 预 习 案 【课本导读】 1.向量的有关概念:(1)向量的定义:既有 → (2)向量的长度:表示 AB 的 的模, 的向量,叫做单位向量. (3)平行向量:方向 或 . 的

又有

的量叫做向量.

→ → → 的长度,即 AB 的大小叫做 AB 的长度或称为 AB 的向量叫做零向量,记作0,

向量叫做平行向量.规定:0与任何向量平行,平行向量也叫做 (4)相等向量: 的向量叫做相等向量,向量a与b相等,记作a=b. (5)相反向量: 2.向量运算(1)加减法法则: (2)运算律:a+b= ,(a+b)+c= → → ,AB-AC= . , . .

→ → → → → (3)①AB+BC=AC,AB+BA= → → → ②A1A2+A2A3+?+An-1An+AnA1= (4)实数与向量的积(数乘)

③||a|-|b||≤|a±b|≤

.

①定义:实数λ 与向量a的积是一个向量,记作λ a,λ a与a平行.规定:|λ a|= ,当λ 0时,λ a的方向与a的方向 ②运算律:λ (μ a)= (λ +μ )a= 0时,λ a的方向与a的方向 ;当λ =0时,λ a=0. , ,λ (a+b)= . ;当λ

3.向量共线的充要条件 向量b与非零向量a共线的充要条件是 . 【教材回归】

1.(课本习题改编)给出下列命题 ①零向量没有方向; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上; ⑤向量就是有向线段. 其中真命题为________. → → → → 2.(课本习题改编)化简OP-QP+MS+QM的结果为( → A.OM → B.SM → C.PS ( ) → D.OS ) → → → D.PA+PB+PC=0

→ → → 3.设P是△ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 → → A.PA+PB=0 → → B.PC+PA=0 ) C.e1-3e2 → → C.PB+PC=0

4. 如图所示,向量a-b等于( A.-4e1-2e

B.-2e1-4e2

D.3e1-e2 )

5.(2013?陕西)设a,b为向量,则“|a?b|=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分不必要条 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

探 究 案

例1 判断下列各命题是否正确: (1)单位向量都相等; (2)若|a|=|b|,则a=b; → → (3)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; (4)若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线; (5)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b.

思考题1 给出下列命题:①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则a=b; → → ④在?ABCD中,一定有AB=DC; → → ③若AB=DC,则ABCD为平行四边形; ⑤若m=n,n=p,则m=p.

其中不正确的个数是(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

例2 如图所示,下列结论不正 确的是________(

).

→ 3 → → 3 1 → 3 3 3 3 ①PQ= a+ b; ②PT=- a- b; ③PS= a- b; ④PR= a+b. 2 2 2 2 2 2 2 → 思考题2 (1)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为( A.( 3 4 ,- ) 5 5 B.( 4 3 ,- ) 5 5 C.(- 3 4 , ) 5 5 )

4 3 D.(- , ) 5 5 (2)(2014?东莞期末)如图所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°, → → → → 点C在AB上,OC⊥AB,用OA和OB来表示向量OC,则OC等于________. → → → → AB AC 例3 若OP=OA+λ ( + )(λ >0),则点P的轨迹经过△ABC的( → → |AB| |AC| A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

)

→ → → 思考题3 D,E,F分别是△ABC边BC,AC,AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.

例4

→ → → → → 设 OA 、 OB 不共线,求证点P,A,B共线的充要条件是: OP =λ OA +μ OB

且λ +μ =1,λ ,μ ∈R.

思考题4

→ 1→ → → (1)如图所示,在△ABC中, AN = AC ,P是BN上的一点,若 AP =m AB 3 ) C. 3 11 2 D. 11

2→ + AC,则实数m的值为( 11 9 A. 11 5 B. 11

→ → → 1→ → (2)在△ABC中,AD=2DB,CD= CA+λ CB,则λ =________. 3 (3)已知向量a,b,且

AB

→ )

=a+2b,

BC



=-5a+6b,



CD

=7a-2b,则一定共线的三点是( A.A,B,D B.A, B,C

C.B,C,D

D.A,C,D

训 练 案 1.若a+b+c=0,则a、b、c( ) B.一定不可能构成三角形 D.一定可构成三角形 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

3.设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式中正确的是( A.e= |a|

a

B.a=|a|e

C.a=-|a|e →

D.a=±|a|e →

4.已知向量i与j不共线,且

AB

=i+mj, ) D.mn=-1

AD

=ni+j,若A,B,D三点共线,则实数m,n应该满足的条件是( A.m+ n=1 5. B.m+n=-1 C.mn=1

如图所示,在△ABC中,E是线段AC的中点,2BD=DC,BE与AD相交于点F,求证:F是线段BE 的中点.


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