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上海市闵行区2013届高三数学一模试卷(文理卷 含答案)


闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(文理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部分必 须使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使 用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留.

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 4 i ( i 为虚数单位),则 z ? _________________. 2.函数 y ? log 2 (1 ? x ) 的定义域为
2

.

3.已知集合 A ? {a , b , c , d , e}, B ? {c , d , e , f } ,全集 U ? A ? B ,则集合 ?U ( A ? B ) 中元素 的个数为__________________. 4.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与圆 x 2 ? y 2 ? m x ? 4 ? 0 的圆心重合,则 m 的值是 . 5.已知函数 y ? g ( x ) 的图像与函数 y ? 3 x ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (10) 的值 为 .
3? ? 6.若二项式 ? x 2 ? ? 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系数中最大 x? ? 的是 . (用数字作答) 开始
n

(文) 若二项式 ? x ? 1 ? 展开式的各项系数的和为 64 , 则其展开式的
2 n

i ? 1, ? 0 S

所有二项式系数中最大的是

. (用数字作答)
4 3

i ? i ?1
S ? S?2i 是

7.无穷等比数列 { a n } 的各项和为 3 ,第 2 项为 ? 比q ? .

,则该数列的公 i≤n
n

(文)已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? ( ? 3) ? r ( r 是常数), 则数列 { a n } 是等比数列的充要条件是 .

否 输出 S 结束

8.某算法的程 序框图如右图,若输出的 S 的值为 62 ,则正整数 n 的 值为 . 9.从集合 ?1, 2, 3, 4, 5? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为 ____________.

1/6

(文)某高校随机抽查 720 名的在校大学生,询问他们在 网购商品时是否了解商品的最新信息,得到的结果如右 表, 已知这 720 名大学生中随机抽取一名, 了解商品最新 信息的概率是
11 18

男生 合计

了解 160

不了解 合计
p

,则 p ?

女生 480 ? p

80 720

.

? 8 10.已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2(sin x ? 1) 与 y ?
2 3

的图像的交点为 P ,过 P 作 PP1 ? x 轴于 P1 ,直线 PP1 与 y ? tan x 的图像交于点 P2 ,则线 段 P1 P2 的长为 . . .

11.已知不等式 2 x ? a ? x ? 1 对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (文)已知不等式 x ? a ? x ? 1 对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是

12 . 已 知 △ ABC 的 面 积 为 1 , 在 △ ABC 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P、 Q , 满 足
??? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? P A ? P C ? 0, Q A ? Q B ? Q C ? B C ,则四边形 BCPQ 的面积为 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? P A ? P C ? 0, Q A ? Q B ? Q C ? B C ,则△APQ 的面积为



( 文 ) 已 知 △ ABC 的 面 积 为 1 , 在 △ ABC 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P、 Q , 满 足 .

13.如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中 m、 ? N * ): n 例如 7 2 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m 3 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 . m ?
1
2
2

1

3

2

3 1 5 3

2

3

3

5
3

2

4

7

7

3

9 11

3

4

9 25 27 29

7

2

3 5 7 9 11 13

?x ? , ?1 ? x ? 1 ? cos 2 (文) 已知函数 f ( x ) ? ? , 则关于 x 的方程 f ( x ) ? 3 f ( x ) ? 2 ? 0 的 2 ? x 2 ? 1, | x |? 1 ?
实根的个数是___ _.

14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? | x ?

1 x

|?|x?

1 x

| , 关 于 x 的 方 程 f ( x ) ? a f ( x) ?
2

b 0 ?

( a , b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

.

(文) 如下图, 对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的 “分裂” (其中 m、 ? N ): n
*

例如 7 2 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m 3 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 m ? .
2/6

1
2
2

1

3

2

3 1 5 3

2

3

3

5
3

2

4

7

7

3

9 11

3

4

9 25 27 29

7

2

3 5 7 9 11 13

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知 A , B , C , D 是空间四点, 命题甲: A , B , C , D 四点不共面, 命题乙: 直线 AC 和 B D 不相交,则甲是乙成立的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 件
?? ?

[答](

)

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条
?? ?

16.若向量 m , n 满足 m ? n ? 1 , m 与 n 的夹角为 60 0 ,则 m ? m ? n ? [答]( (A)
1

??

?

??

?

??

?

?



(B)

3

(C) 2

(D) 1 ?

3

2 2 2 ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ? 0 (文)若向量 m , n 满足 m ? n ? 1 , m 与 n 的夹角为 60 ,则 m ? m ? m ? n ? [答](



(A)

1 2

(B)

3 2

(C) 2

(D) 1 ?

3 2

17. 已知函数 f ( x ) ? | arctan( x ? 1) | , 若存在 x1 , x 2 ? [ a , b ] , x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成 且 使 立,则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) b ? 1 [答]( (D) b ? 1 )

(文)已知函数 f ( x ) ? | arctan x | ,若存在 x1 , x 2 ? [ a , b ] ,且 x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) b ? 0 18. 数列 ? a n ? 满足 a1 ? a 2 ? 1 ,a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? cos 和为 S n ,则 S 2012 的值为 (A) ? 6 7 2 (B) ? 6 7 1 (C) 2 0 1 2
2 n? 3 2 n? 3

[答]( (D) b ? 0
?



若数列 ? a n ? 的前 n 项 (n ? N ) , [答] ( (D) 672 若数列 ? a n ? 的前 n (n ? N ) ,
?

)

(文) 数列 ? a n ? 满足 a1 ? a 2 ? 1 ,a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? cos 项和为 S n ,则 S 2013 的值为 (A) 2 0 1 3 (B) 671 (C) ? 6 7 1

[答] ( (D) ?
671 2

)

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.

3/6

已知函数 f ( x ) ?

2 sin x sin x ? cos x

3 (sin x ? cos x ) ; cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 y ? f ( x ? 解:

?

) , x ? [0, ] 的值域. 2 2

?

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间 变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验 分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:
0? x?8 ? 2 x ? 68, ? y ? f (x) ? ? 1 2 ? ? ( x ? 32 x ? 480), 8 ? x ? 40 ? 8

(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“ 理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学 生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意 力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题? (精确到 1 分钟) (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分 ,第(2)小题满分 7 分. 已知椭圆 E 的方程为
?
4
x
2

?

y

2

? 1 ,右焦点为

y

4
F ,直线 l 的倾斜角为

3

, 直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相切

O F Q A B

l

x

于点 Q , Q 在 y 轴的右侧, 且 设直线 l 交椭圆 E 于两个 不同点 A , B . (1)求直线 l 的方程; (2)求 ? A B F 的面积. 解:

4/6

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满 分 7 分,第(2)小题满分 7 分. . 已知椭圆 E 的方程为
x
2

?

y

2

? 1 ,右焦点为 F ,直

y

4

3

线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的右侧, 设直线 l 交椭圆 E 于不同两点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) . (1)若直线 l 的倾斜角为

O F Q A B

l

x

?
4

,求直线 l 的方程;

(2)求证: | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | . (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. . 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间变 化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验分 析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:
0? x?8 ? 2 x ? 68, ? y ? f (x) ? ? 1 2 ? ? ( x ? 32 x ? 480), 8 ? x ? 40 ? 8

(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学 生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意 力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题? (精确到 1 分钟) 解:

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ? log a
1? x 1? x (0 ? a ? 1) .

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)如果当 x ? ( t , a ) 时, f ( x ) 的值域是 ? ?? ,1 ? ,求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1 , x 2 ? D ,是否存在 x 3 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ,若存在,求出
x 3 ;若不存在,请说明理由.
5/6

(文) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第 (3)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ? log a
1? x 1? x (0 ? a ? 1) .

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)用定义证明函数 f ( x ) 在 D 上是增函数; (3)如果当 x ? ( t , a ) 时,函数 f ( x ) 的值域是 ? ?? ,1 ? ,求 a 与 t 的值. 解: 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 设数列 { a n } 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,已知 4 S n ? a n ? 2 a n ? 1( n ? N ) .
2 *

(1)证明数列 { a n } 是等差数列,并求其通项公式; (2)证明:对任意 m、 、 ? N , ? p ? 2 k ,都有 k p m
*

1 Sm

?

1 Sp

?

2 Sk



(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的 结论,如果不成立,请说明理由. (文) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 设数列 { a n } 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,已知 4 S n ? a n ? 2 a n ? 1( n ? N )
2 *

(1)证明数列 { a n } 是等差数列,并求其通项公式; (2)是否存在 k ? N * ,使得 S k ? a k ? 2048 ,若存在,求出 k 的值;若不存在请说明理由;
2
2

(3)证明:对任意 m、 、 ? N , ? p ? 2 k ,都有 k p m
*

1 Sm

?

1 Sp

?

2 Sk



解:

6/6

闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解 答中的评分标准进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、 第 1 题至第 14 题) 1. ? 2i ; ( 2. ? 1,1) ; 3. ; 4. 2 ; 5. ; ? 2 ( 2 3 6.20 ; 7.理 ?
1 3

,文 r ? ? 1 ;

8.5 ; 12. 理
2 3

9.理 , 文
1 3

2 5

,文 200 ;

10.

2 4



11. a ? 2 或 a ? 5 , a ? 1 或 a ? 3 ; 理 文
( ? 4, ? 2) ,文 15 .



13. 15 , 5 ; 理 文

14. 理

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解] (1) f ( x ) ?
2 sin x sin x ? cos x

15.A;

16.B;

17.A;

18.D.

3 (sin x ? cos x ) ? sin 2 x ? cos x

3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
3

) ?3 分
[来源:Zxxk.Com]

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? (2) y ? f ( x ?

???????3 分

?
2

) ? 2 sin[2( x ?

?
2

)?

?
3

] ? 2 sin(2 x ?

2? 3

) ?????????2 分
3 2

2? ? 2? 2? ? )? ∵ x ? [0, ] ,∴ ? ? 2x ? ? , ? 1 ? sin(2 x ?

????? 2 分

2

3

3

3

3

∴ y ? [ ? 2, 3 ] . 另解: y ? f ( x ?

???????2 分

?
2

) ? 2 sin[2( x ?

?
2

)?

?
3

] ? 2 sin(2 x ?
3 2

?
3

? ? ) ? ? 2 sin(2 x ?

?
3

) ?2 分

? ? ? 4? ∵ x ? [0, ] ,∴ ? 2 x ? ? ,?
2 3 3 )? 3

? sin(2 x ?

?
3

) ? 1 ????????2 分

∴ ? 2 ? ? 2 sin(2 x ?

?
3

3 ,即 y ? [ ? 2, 3 ] .

??????????2 分

20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ; 当 8 ? x ? 40 时,由 ?
?

????2 分

1 8

( x ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分
2

所以 x ? ? 6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20
?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.
7/6

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24 所以 t ? ? 0, 6 ? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f ( t ) ? f ( t ? 24)
1 即 2 t ? 68 ? ? [( t ? 24) 2 ? 32( t ? 24) ? 480] ???????????2 分 8

解得 t ? 8 6 ? 16 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

(文) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,
|m| 2 ? 3 ,得 m ? ? 6

则有

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? (2)设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
? y ? x? 6 ? 2 由? x2 y2 得 7 x ? 8 6 x ? 12 ? 0 ? ?1 ? 3 ? 4
x1 ? x 2 ? 8 6 7 , x1 x 2 ? 12 7 4 6 7
6

?????????????2 分

??????????2 分

| A B |?

1 ? 1 | x1 ? x 2 | ?

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

?????2 分

又 F (1, 0) ,所以 F 到直线 l 的距离 d ? 所以 ? A B F 的面积为
1 2 | AB | d ? 2 7

|1 ? 2

6|

?

1 2

(2 3 ?

2)

??2 分

(3 2 ? 2 3 )

?????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,
|m| 2 ? 3 ,得 m ? ? 6

则有

??????????????3 分

8/6

又切点 Q 在 y 轴的右 侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ?
6

?????????????2 分
OA ? OQ
2 2

(2)因为 ? AO Q 为直角三角形,所以 | A Q |?
x1
2

?

x1 ? y 1 ? 3
2 2

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]



?

y1 3

2

? 1 得 | A Q |?

1 2

4
| A F |?

x1

?????????????????2 分

( x1 ? 1) ? y
2

2 1



x1

2

?

y1 3

2

? 1 得 | A F |? 2 ?

1 2

4

x1 ?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2

?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | ?????????????????1 分 (文) (答案与评分标准同理科第 20 题) 22. [解](理) (1)令
1? x 1? x ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 , D ? ? ? 1,1 ? ?????2 分
1? x
?1

?1? x ? 对任意 x ? D , f ( ? x ) ? log a ? log a ? ? 1? x ?1? x ?

?1? x ? ? ? log a ? ? ? ? f ( x) ?1? x ?

所以函数 f ( x ) 是奇函数. ?????????????????????2 分
1? x ?1? x ? ? lo g a ? ? ? lo g a 1 ? 0 1? x ?1? x ?

另证:对任意 x ? D , f ( ? x ) ? f ( x ) ? lo g a 所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)由
1? x 1? x ? ?1 ? 2 x ?1

?????????????2 分
1? x 1? x

知,函数 g ( x ) ?

在 ? ? 1,1 ? 上单调递减,

因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? ( t , a ) 时, f ( x ) 的值域是 ? ?? ,1 ? ,所以 ( t , a ) ? ( ? 1,1) 且 g ( x) ?
1? x 1? x

在 ( t , a ) 的值域是 ( a , ?? ) ,
1? a 1? a ? a 且 t ? ? 1 (结合 g ( x ) 图像易得 t ? ? 1 )?????2 分
2 ? 1 ( ? 2 ? 1 舍去) .

故 g (a ) ?
2

a ? a ? 1 ? a 解得 a ?

所以 a ?

2 ? 1 , t ? ?1

?????????????2 分

9/6

(3)假设存在 x 3 ? ( ? 1,1) 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) 即 lo g a
1 ? x1 1 ? x1 ? lo g a 1 ? x2 1 ? x2 ? lo g a 1 ? x3 1 ? x3

log a (

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x 3 ? ) ? log a ? ? ? , 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x 3 x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

解得 x 3 ?



????? ????????3 分

? x ? x2 ? 下证: x 3 ? ? ( ? 1,1), 即 证 : 1 ? ? ?1. 1 ? x1 x 2 ? 1 ? x1 x 2 ? x1 ? x 2
2 2 2 2 2 2 2 2 ? x ? x2 ? ( x ? x 2 ) ? (1 ? x1 x 2 ) x ? x 2 ? 1 ? x1 x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) 证明: ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ?? ? 2 2 2 (1 ? x1 x 2 ) (1 ? x1 x 2 ) (1 ? x1 x 2 ) ? 1 ? x1 x 2 ? 2

2

1 ? x1, x 2 ? ( ? 1,1) ,∴ 1 ? x1 ? 0, ? x 2 ? 0 , (1 ? x1 x 2 ) ? 0
2 2

2



(1 ? x1 )(1 ? x 2 )
2 2

(1 ? x1 x 2 )

2

? x ? x2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 0 ,即 ? 1 ? ? 1 ? 0 ,∴ ? ? ?1 1 ? x1 x 2 ? 1 ? x1 x 2 ? ? ?
? ( ? 1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )
2

2

2

所以存在 x 3 ?

x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x1 ? x 2 ) ? (1 ? x1 x 2 ) ,也即 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 . ? 1 ? x1 x 2 ?

? x1 , x 2 ? ( ? 1,1) ,∴ 1 ? x1 ? 0,1 ? x 2 ? 0, ∴ (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,
2 2 2 2

? x ? x2 ? ∴? 1 ? ?1. ? 1 ? x1 x 2 ?

2

所以存在 x 3 ? (文) (1)令

x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

? ( ? 1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )

?????3 分

1? x 1? x

? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 , D ? ? ? 1,1 ?
1? x ?1? x ? ? log a ? ? 1? x ?1? x ?
?1

?????2 分

[来源:学科网 ZXXK]

对任意 x ? D , f ( ? x ) ? log a 所以函数 f ( x ) 是奇函数.

?1? x ? ? ? log a ? ? ? ? f ( x) ?1? x ?

?????2 分

10 / 6

另证:对任意 x ? D , f ( ? x ) ? f ( x ) ? lo g a 所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)设 x1 , x 2 ? ( ? 1,1), 且 x1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? log a 1 ? x1 1 ? x1 ? log a 1 ? x2 1 ? x2

1? x

?1? x ? ? lo g a ? ? ? lo g a 1 ? 0 1? x ?1? x ?

??????????2 分

? log a (

1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x 1 ) ? ) ? log a 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x 1 )

????2 分 ∴ 1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 )] ? 2( x 2 ? x1 ) ? 0 ∴ 1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 )] ? 0 ∴
1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x 1 ) 1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 ) ?1

∵0 ? a ? 1

∴ log a

1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2 ? ( x 2 ? x 1 )

? 0 ???2 分

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 所以函数 f ( x ) 在 D 上是增函数. ??????????????????2 分

(3)由(2)知,函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数, 又因为 x ? ( t , a ) 时, f ( x ) 的值域是 ? ?? ,1 ? , 所以 ( t , a ) ? ( ? 1,1) 且 g ( x ) ? 故 g (a ) ?
2

1? x 1? x

在 ( t , a ) 的值域是 ( a , ?? ) ,

?????2 分

1? a 1? a

? a 且 t ? ? 1 (结合 g ( x ) 图像易得 t ? ? 1 )
2 ? 1 ( ? 2 ? 1 舍去)

???????2 分

a ? a ? 1 ? a 解得 a ?

所以 a ?

2 ? 1 , t ? ?1
2 n 2 2

???????????????2 分
2

23. [解](理) (1)∵ 4 S n ? a ? 2 a n ? 1 ,∴当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1 . 两式相减得 4 a n ? a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 a n ?1 , ∴ ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ∵ a n ? 0 ,∴ a n ? a n ?1 ? 2 , 又 4 S 1 ? a1 ? 2 a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1
2

??????????2 分

∴ { a n } 是以 a1 ? 1 为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴ an ? 2 n ? 1 (2)由(1)知 S n ?
(1 ? 2 n ? 1) n 2 ?n ,
2

???????????????1 分

11 / 6

∴ Sm ? m , k ? k , p ? p S S
2 2

2

??????????2 分
?
2

于是

1 Sm

?
2

1 Sp

?
2

2 Sk

?
2

1 m
2

?

1 p
2
2

2 k
2

?

k ( p ? m ) ? 2m p
2 2 2 2

2

m p k

2

2

2

( ?
?

m? p 2

) ( p ? m ) ? 2m p m p k
2 2 2 2

2

2

2
2


?0

??????????2 分

m p ? 2 pm ? 2 m p m p k 1 Sm 1 Sp 2 Sk



?

?

??????????2 分 ??????????1 分
n ( n ? 1) 2 d? n ( a1 ? a n ) 2
[来源:学科网 ZXXK]

(3 )结论成立,证明如下:

设等差 数列 { a n } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 S n ? na1 ? 于是 S m ? S p ? 2 S k ? m a1 ?
2 2

m ( m ? 1) 2

d ? pa1 ?
2

p ( p ? 1) 2

d ? [2 ka1 ? k ( k ? 1) d ]

? ( m ? p ) a1 ?

m ? p ?m? p 2

d ? (2 ka1 ? k d ? kd ) (m ? p ) 4
2

?????????2 分

将 m ? p ? 2 k 代入得, S m ? S p ? 2 S k ? ∴ Sm ? S p ? 2Sk 又 SmS p ?
( ?
2

d ?0,

??????????2 分
? m p [ a1 ? ( a m ? a p ) a1 ? a m a p ]
2

m p ( a1 ? a m )( a1 ? a p ) 4
2 2

4

m? p 2
2

) [ a1 ? 2 a1 a k ? ( 4

am ? a p 2
2

) ]

2

?

k ( a1 ? 2 a1 a k ? a k )
2

?

k ( a1 ? a k ) 4
2Sk S
2 k

2

4

? Sk

2

??????????2 分 ??????????1 分
2



1 Sm

?

1 Sp

?

Sm ? S p SmS p
2

?

?

2 Sk



(文)(1)∵ 4 S n ? a n ? 2 a n ? 1 ,∴当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1 . 两式相减得 4 a n ? a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 a n ?1 ,
2 2

∴ ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0
2

??????????2 分

∵ a n ? 0 ,∴ a n ? a n ?1 ? 2 ,又 4 S 1 ? a1 ? 2 a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 ∴ { a n } 是以 a1 ? 1 为首项, d ? 2 为公差的等差数列.????????2 分 ∴ an ? 2 n ? 1 ??????????1 分

12 / 6

(2) 由(1)知 S n ?

(1 ? 2 n ? 1) n 2

?n ,
2

??????????2 分

假设正整数 k 满足条件, 则 ( k 2 ) 2 ? [2( k ? 2048) ? 1] 2 ∴ k 2 ? 2( k ? 2048) ? 1 , 解得 k ? 65 ; (3) S m ? m , k ? k , p ? p S S
2 2 2
2 2

??????????3 分 ??????????2 分
?
2

于是

1 Sm

?
2

1 Sp

?
2

2 Sk

?
2

1 m
2

?

1 p
2
2

2 k
2

?

k ( p ? m ) ? 2m p
2 2

2

m p k

2

2

2

( ?
?

m? p 2

) ( p ? m ) ? 2m p m p k
2 2 2 2

2

2

2
2

??????????2 分
?0

m p ? 2 pm ? 2 m p m p k

??????????3 分 ??????????1 分



1 Sm

?

1 Sp

?

2 Sk

13 / 6


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