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函数与方程 正月初四


函数与方程、函数的应用
1.函数 f(x)=2 -x- 2的一个零点所在区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.函数 f(x)=lnx+x-2 的零点所在区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) πx 1 3.函数 f(x)=3cos -log x 的零点的个数是( ) 2 2 A.2 B.3 C.4 D.5 4.里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大 振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000, 此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍. 1 x 1.a 是 f(x)=2 -log x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足( ) 2 A.f(x0)=0 B.f(x0)<0 C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定 x 3 2.若函数 f(x)=e -x ,x∈R,则函数的极值点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 4.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月车 存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站 10 公里处建仓库, 这两项费用 y1,y2 分别是 2 万和 8 万,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ( ) A.5 公里处 B.4 公里处 C.3 公里处 D.2 公里处 3 5.在用二分法求方程 x -2x-1=0 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内, 则下一步可断定该根所在的区间为________. 6. f(x)是定义在 R 上的偶函数, 设 对任意 x∈R, 都有 f(x-2)=f(x+2), 且当 x∈[- ?1?x 2,0]时, (x)=? ? -1.若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 f ?2? 个不同的实数根,则 a 的取值范围是________.
x

7.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本为 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据市场 x 调查,销售量 q 与 e 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 公斤. (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t=5, 当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时, 该工厂的利润 y 最大, 并求最大值.

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8.广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产,按国际惯例以美元为结 算货币,依据以往加工生产的数据统计分析,若加工产品订单的金额为 x 万美元,可获得的 1 加工费近似为 ln(2x+1)万美元,受美联储货币政策的影响,美元贬值,由于生产加工签约 2 和成品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失 mx 万美元,其中 m 为该时段美元的 1 贬值指数,m∈(0,1),从而实际所得的加工费为 f(x)= ln(2x+1)-mx(万美元). 2 1 (1)若某时期美元贬值指数 m= ,为确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增加,该 200 企业加工产品订单的金额 x 应在什么范围内? 1 (2)若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为 x 万美元,已知 20 该企业加工生产能力为 x∈[10,20](其中 x 为产品订单的金额),试问美元的贬值指数 m 在 何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损.

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专题限时集训 【基础演练】 1. 【解析】 根据函数的零点存在定理进行判断. (0)=1- 2<0, (1)=1- 2<0, B f f f(2)=2- 2>0,f(3)=5- 2>0,f(4)=12- 2>0.根据函数的零点存在定理,函数 f(x) 的一个零点所在的区间是(1,2). 2.B 【解析】 根据函数的零点存在定理进行判断.f(0)无意义,但在 x 接近零时, 函数值趋向负无穷大,f(1)=-1<0,f(2)=ln2>0,f(3)=ln3+1>0,f(4)=ln4+2>0.根 据函数的零点存在定理可得,函数 f(x)零点所在的区间是(1,2). π 1 3. 【解析】 把函数的零点个数转化为函数 y=3cos x、 =log x 图象的交点个数, D y 2 2 在同一个坐标系中画出这两个函数的图象,根据函数图象并结合数据分析.两函数图象,如 π 1 图.函数 y=3cos x 的最小正周期是 4,在 x=8 时,y=log 8=-3,结合函数图象可知 2 2 πx 1 两个函数的图象只能有 5 个交点,即函数 f(x)=3cos -log x 有 5 个零点. 2 2

4.6

10000 【解析】 由 M=lgA-lgA0 知,M=lg1000-lg0.001=6,所以此次地震

的级数为 6 级.设 9 级地震的最大振幅为 A1,5 级地震的最大振幅为 A2,则 lg =lgA1-lgA2 =(lgA1-lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.所以 =10 =10000.所以 9 级地震的最大振幅是
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A1 A2

A1 A2

5 级地震的最大振幅的 10000 倍. 【提升训练】 1 x 1.B 【解析】 函数 f(x)=2 -log x 在(0,+∞)上是单调递增的,这个函数有零点, 2 这个零点是唯一的, 根据函数的单调递增性, 在(0,)上这个函数的函数值小于零, f(x0)<0. a 即 在定义域上单调的函数如果有零点, 则只能有唯一的零点, 并且以这个零点为分界点把定义 域分成两个区间,在其中一个区间内函数值都大于零,在另一个区间内函数值都小于零. x 2 x 2 x 2.D 【解析】 f′(x)=e -3x ,令 g(x)=e -3x ,g′(x)=e -6x,结合图象不难 知道 g′(x)=0 有两个异号零点 x1,x2,当 x1<x2 时,x1 是函数 g(x)的极大值点,x2 是函数 g(x)的极小值点,故函数 g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+ 1 ∞)上单调递增,函数 g(x)最多存在三个零点,而 g(-1)= -3<0,g(0)=1>0,g(1)=e e -3<0,g(8)=e -3×64>2 -192=256-192>0,故函数 g(x)在区间(-1,0),(0,1),(1,8) 内各有一个零点,即函数 g(x)至少有三个零点,但函数 g(x)至多有三个零点,故函数 g(x) 有且只有三个零点,即函数 f(x)有三个极值点. 3.B 【解析】 在同一个坐标系中作出 y= x与 y=cosx 的图象如图,
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由图象可得函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)上只有一个零点. 4.A 【解析】 设仓库建在离车站 x 公里处,则 y1= ,y2=k2x,根据给出的初始数 20 据可得 k1=20,k2=0.8,两项费用之和 y= +0.8x≥8,等号当且仅当 x=5 时成立.

k1 x

x

?3 ? ?3? 27 ?3? 5.? ,2? 【解析】 因为 f(1)<0,f(2)>0,f? ?= -3-1<0,所以 f? ?f(2)<0,所 ?2 ? ?2? 8 ?2? ?3 ? 以由已知可得出下一步断定该根在区间? ,2?内. ?2 ?
3 6.( 4,2) 【解析】 根据 f(x-2)=f(x+2),可得 f(x)=f(x+4),即函数 f(x) 是周期为 4 的函数,在同一个坐标系中分别画出函数 f(x)和函数 y=loga(x+2)的图象,如 图.

若方程 f(x)-loga(x+2)=0 在区间(-2,6]内只有 3 个不同的实数根,则就是函数 y =f(x)的图象与函数 y=loga(x+2)的图象只有三个不同的交点,由函数图象可得在 x=6 时,函数 y=loga(x+2)的图象在函数 y=f(x)的图象上方,而在 x=2 处,函数 y=loga(x +2)的图象在函数 y=f(x)的图象下方,由此得到实数 a 需满足不等式 loga8>3 且 loga4<3, 1 3 即 log2a<1 且 log4a> ,即 4<a<2. 3 7. 【解答】 (1)设日销量 q= x,则 30=100,∴k=100e , e e 100e ∴日销量 q= x , e 100e ? x-20-t? ∴y= (25≤x≤40). x e 100e ? x-25? (2)当 t=5 时,y= , x e
30 30 30

k

k

30

y′=

100e ? 26-x? , x e

30

由 y′>0,得 x<26,由 y′<0,得 x>26, ∴y 在[25,26)上单调递增,在(26,40]上单调递减,
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4

∴当 x=26 时,ymax=100e . 4 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 100e 元. 8. 【解答】 (1)由已知 m= ∴f′(x)= 1 1 x 得,f(x)= ln(2x+1)- ,其中 x>0. 200 2 200

4

1 1 199-2x - = . 2x+1 200 200? 2x+1?

由 f′(x)>0,即 199-2x>0,解得 0<x<99.5, 即加工产品订单金额 x∈(0,99.5)(单位: 万美元), 该企业的加工费随 x 的增加而增加. (2)依题设企业加工生产不出现亏损,则当 x∈[10,20]时, 1 1 都有 ln(2x+1)-mx≥ x, 2 20 1 1 1 ln? 由 ln(2x+1)-mx≥ x 得 +m≤ 2 20 20 ln? 令 g(x)= 2x+1? ,x∈[10,20], 2x 2x+1? = 2x-? 2x+1? ln? 2x+1? . 2 2x ? 2x+1? 2 ? 2x+1? ? 2x+1? . 2x

2 ·x-ln? 2x+1 则 g′(x)= 2 2x

令 h(x)=2x-(2x+1)ln(2x+1), 则 h′(x)=2-?2ln?

? ?

2x+1?

+?

2x+1?

=-2ln(2x+1)<0, 可知 h(x)在[10,20]上单调递减, 从而 h(20)≤h(x)≤h(10). 又 h(10)=20-21ln21<21(1-ln21)<0, 即 x∈[10,20]时,可知 g(x)在[10,20]上单调递减, ln41 ln41 1 因此 gmin(x)= ,即 m≤ - . 40 40 20

? ln41-2?时,该企业加工生产不会亏损. 故当美元的贬值指数 m∈?0, 40 ? ? ?

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