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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学7-3


基础巩固强化 一、选择题 1.若 2x+4y<4,则点(x,y)必在( A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 [答案] D [解析] ∵2x+4y≥2 2x+2y,由条件 2x+4y<4 知, 2 2x+2y<4,∴x+2y<2,即 x+2y-2&

lt;0,故选 D. 2.在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 的三边所在直线的方程分 别为 x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为 整数的点)的总数为( A.95 [答案] B [解析] 由 2x+3y=30 知,y=0 时,0≤x≤15,有 16 个; ) B.91 C.88 D.75 )

y=1 时,0≤x≤13;y=2 时,0≤x≤12;

y=3 时,0≤x≤10;y=4 时,0≤x≤9; y=5 时,0≤x≤7;y=6 时,0≤x≤6; y=7 时,0≤x≤4;y=8 时,0≤x≤3; y=9 时,0≤x≤1,y=10 时,x=0. ∴共有 16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91 个. 3.(文)(2013· 陕西)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封 闭区域内,则 2x-y 的最小值是( A.-6 B.-2 C.0 D.2 [答案] A
?x?x≥0? ? [解析] 作出函数 y=|x|=? 和 y=2 围成的等腰直角三 ? ?-x?x<0?

)

角形的可行域如图阴影部分所示,则可得过交点 A(-2,2)时,2x-y 取得最小值-6,选 A.

x+y≤8, ? ?2y-x≤4, (理)(2013· 四川)若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是( A.48 B.30 C.24 D.16 )

且 z=

[答案] C x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 约束条件? x≥0, ? ?y≥0

[解析]

表示以(0,0)、 (0,2)、 (4,4)、 (8,0)

为顶点的四边形区域,检验四个顶点的坐标可知,当 x=4,y=4 时, a=zmax=5×4-4=16;当 x=8,y=0 时,b=zmin=5×0-8=-8, ∴a-b=24,选 C.
? ?x-y-4≤0, 4. (文)(2013· 衡水模拟)已知点 P(2, t)在不等式组? ?x+y-3≤0, ?

表示的平面区域内,则点 P(2,t)到直线 3x+4y+10=0 距离的最大 值为( )

A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B [解析]

画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示).结合图形可
? ?x=2 知,点 A 到直线 3x+4y+10=0 的距离最大.由? 得 A ? ?x+y-3=0

点坐标为(2,1),故所求最大距离为 dmax= |3×2+4×1+10| =4. 32+42

( 理 )(2013· 长春三校调研 ) 在平面直角坐标系中,若不等式组 x+y-2≤0 ? ? ?x-y≥0 ? ?y≥0 r2(r>0)上,则(

所表示的平面区域内恰有两个点在圆 x2 + (y - b)2 =

) B.b=1,r=1 D.b=-1,r= 5

A.b=0,r= 2 C.b=-1,r= 3 [答案] D x+y-2≤0 ? ? 不等式组?x-y≥0 ? ?y≥0

[解析]

所表示的区域如图中阴影部分

所示,容易求得当 b=-1,r= 5时满足题意.

x+y≤2, ? ? 5.(文)已知 x,y 满足不等式组?y-x≥0, ? ?x≥0. 只在点(1,1)处取最小值,则有( A.a>1 C.a<1 [答案] D [解析] 作出可行域如图阴影部分所示. ) B.a>-1 D.a<-1

目标函数 z=ax+y

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. 只在点(1,1)处 z 取得最小值,则斜率-a>1, 故 a<-1,故选 D. x-3y+4≥0, ? ? (理)已知约束条件?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0,

若目标函数 z=x+ay(a≥0)

恰好在点(2,2)处取得最大值,则 a 的取值范围为( 1 A.0<a<3 1 C.a>3 [答案] C [解析] 作出可行域如图, 1 B.a≥3 1 D.0<a<2

)

1 ∵目标函数 z=x+ay 恰好在点 A(2,2)处取得最大值, 故-a>-3, 1 ∴a>3. 0≤x≤2, ? ? 6.(文)设不等式组?0≤y≤3, ? ?x+2y-2≥0,

所表示的平面区域为 S,若

A、B 为区域 S 内的两个动点,则|AB|的最大值为( A.2 5 B. 13 C.3 D. 5 [答案] B [ 解析 ]

)

在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区

域,结合图形观察不难得知,

位于该平面区域内的两个动点中,其间的距离最远的两个点是 (0,3)与(2,0),因此|AB|的最大值是 13,选 B. (理)设 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)满足不 x-4y+3≤0, ? ? 等式组?2x+y-12≤0, ?x≥1, ? ( ) →· → 取得最大值的点 N 的个数是 则使OM ON

A.1 B.2 C.3 D.无数个 [答案] D →· →为 [分析] 点 N(x,y)在不等式表示的平面区域之内,U=OM ON x,y 的一次表达式,则问题即是当点 N 在平面区域内变化时,求 U 取到最大值时,点 N 的个数. →· → =2x+y, [解析] 如图所示,可行域为图中阴影部分,而OM ON 所以目标函数为 z=2x+y,作出直线 l:2x+y=0,显然它与直线 2x +y-12=0 平行,平移直线 l 到直线 2x+y-12=0 的位置时目标函 数取得最大值,故 2x+y-12=0 上每一点都能使目标函数取得最大 值,故选 D.

二、填空题 x≥1, ? ? 满足?y≥1, ? ?x+y≤3.

7.(2013· 淮南第二次联考)已知 x,y 数 z=2x-y 的最大值为________. [答案] 3

则目标函

[解析] 画出可行域如图,易知 y=2x-z 过点 C(2,1)时,zmax=3.

x≤my+n, ? ? 8. 若由不等式组?x- 3y≥0, ? ?y≥0,

(n>0)确定的平面区域的边界为

三角形,且它的外接圆的圆心在 x 轴上,则实数 m=________. 3 [答案] - 3 [解析]

根据题意,三角形的外接圆圆心在 x 轴上(如图), ∴OA 为外接圆的直径, ∴直线 x=my+n 与 x- 3y=0 垂直, 1 1 3 ∴m× =-1,即 m=- 3 . 3

x-y≥-1, ? ? 9.设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?3x-y≤3, +y 的最大值为________. [答案] 11 [解析]

则目标函数 z=4x

如图,满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分),故 z= 4x+y 在 P(2,3)处取得最大值,最大值为 11. 三、解答题 10.(文)某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资每份由 金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元组成;进取型组合投资每份由 金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合投 资每年可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若 可作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,那么这两种组合投资各应注入多少份,才能使一年获利总 额最多? [解析] 设稳健型投资 x 份,进取型投资 y 份,利润总额为 z(单 位:10 万元,则目标函数为 z=x+1.5y(单位:10 万元),线性约束条

20x+40y≤160, ? ? 件为:?30x+30y≤180, ? ?x≥0,y≥0?x∈N,y∈N?,

x+2y≤8, ? ? 即?x+y≤6, ? ?x≥0,y≥0?x∈N,y∈N?, 作出可行域如图,解方程组
? ?x+2y=8, ? 得交点 M(4,2),作直线 l0:x+1.5y=0,平移 l0, ?x+y=6, ?

当平移后的直线过点 M 时,z 取最大值:zmax=(4+3)×10=70 万元. 答:稳健型投资 4 份,进取型投资 2 份,才能使一年获利总额最 多. (理)(2013· 山东诸城一中月考)为保增长、促发展,某地计划投资 甲、乙两个项目,根据市场调研,知甲项目每投资 100 万元需要配套 电能 2 万千瓦时,可提供就业岗位 24 个,GDP 增长 260 万元;乙项 目每投资 100 万元需要配套电能 4 万千瓦时, 可提供就业岗位 36 个, GDP 增长 200 万元.已知该地为甲、乙两个项目最多可投资 3000 万 元,配套电能 100 万千瓦时,若要求两个项目能提供的就业岗位不少 于 840 个,问如何安排甲、乙两个项目的投资额,才能使 GDP 增长 的最多.

[解析] 设甲项目投资 x 万元,乙项目投资 y 万元,增长的 GDP 为 z 万元,则投资甲、乙两个项目可增长 GDP 为 z=2.6x+2y. +y≤3000, ?x ?0.02x+0.04y≤100, 依题意,知 x、y 满足?0.24x+0.36y≥840, ?x≥0, ?y≥0, 表示的平面区域如图中阴影部分所示.

则此不等式组所

把 z=2.6x+2y 变形为 y=-1.3x+0.5z, 其在 y 轴上的截距为 0.5z. 由图可知当直线 y=-1.3x+0.5z 经过可行域上的点 B 时,其纵截距 取得最大值,也即 z 取得最大值.
?x+y=3000, ? 由? 得 x=2000,y=1000,即点 B 的坐标 ? ?0.24x+0.36y=840,

为(2000,1000), 故当甲项目投资 2000 万元, 乙项目投资 1000 万元时, GDP 增长得最多. 能力拓展提升 一、选择题 11. (2013· 东北师大附中二模)O 为坐标原点, 点 M 的坐标为(1,1),

x +y ≤4, ? ? 若点 N(x,y)的坐标满足?2x-y>0, ? ?y>0, A. 2 B.2 2 C. 3 D.2 3 [答案] B [解析]

2

2

→· → 的最大值为( 则OM ON

)

→| 如图,点 N 在图中阴影部分区域内,当 O,M,N 共线,且|ON →· → 最大,此时 N( 2, 2),OM →· → =(1,1)· =2 时,OM ON ON ( 2, 2)= 2 2,故选 B. 12.(文)(2012· 福建文,10)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束 x+y-3≤0, ? ? 条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m,

则实数 m 的最大值为(

)

3 A.-1 B.1 C.2 D.2 [答案] B [ 解析 ] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思

想解决问题的能力. 由约束条件作出其可行域,如图 由图可知当直线 x=m 过点 P 时,m 取得最大值,

? ? ?y=2x, ?x=1, ? 由 得,? ∴P(1,2),此时 x=m=1. ?x+y-3=0, ? ? ?y=2,

[点评] 对于可行域中含有参数的情形,不妨先取特殊值来帮助 分析思路. 4x-y-10≤0, ? ? (理)设实数 x,y 满足条件?x-2y+8≥0, ? ?x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax

2 3 +by(a>0,b>0)的最大值为 12,则a+b的最小值为( 25 A. 6 11 C. 3 [答案] A 8 B.3 D.4

)

[解析] 由可行域可得,当 x=4,y=6 时,目标函数 z=ax+by a b 取得最大值,∴4a+6b=12,即3+2=1,

2 3 2 3 a b 13 b a 13 25 ∴a+b=(a+b)· (3+2)= 6 +a+b≥ 6 +2= 6 ,故选 A. 13.(2013· 湖北)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名 客人旅行,A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别 为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31200 元 C.36800 元 [答案] C [解析] 设租 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,租金为 z 元,则 36x+60y≥900 ? ?y-x≤7 ?y+x≤21 ? ?x,y∈N )

B.36000 元 D.38400 元

,画出可行域(图中阴影区域中的整数点),

则目标函数 z=1600x+2400y 在点 N(5,12)处取得最小值 36800,故选 C.

二、填空题 14 . (2013· 濮阳模拟 ) 已知点 A(2,0) ,点 P 的坐标 (x , y) 满足 x-4y+3≤0, ? ? ?4x+5y≤25, ? ?x-1≥0, ________. [答案] 5 → |· → 在OA → 上的投影,即求不等式组所 [解析] |OP cos∠AOP 即为OP 表示的可行域中点的横坐标的最大值.
?x-4y+3=0, ? → |· 由? 可得交点的坐标为(5,2),此时|OP cos∠AOP ?3x+5y=25, ?

→ |· 则 | OP cos ∠ AOP(O 为 坐 标 原 点 ) 的 最 大 值 是

取值最大, → |· ∴|OP cos∠AOP 的最大值为 5. 三、解答题 15.(文)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种 玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5min,生产一个骑兵需 7min,生产 一个伞兵需 4min,已知总生产时间不超过 10h.若生产一个卫兵可获 利润 5 元, 生产一个骑兵可获利润 6 元, 生产一个伞兵可获利润 3 元.

(1) 用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2) 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多 少? [解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? (2)约束条件为:?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z. x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z. 目标函数为 W=2x+3y+300, 如图所示,作出可行域.

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大
? ? ?x+3y=200, ?x=50, 值,由? 得? ?x+y=100, ? ? ?y=50.

最优解为 A(50,50),所以 Wmax=550(元). 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元.

(理)(2013· 广东茂名一模)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品 都有一部分是一等品,其余是二等品,已知甲产品为一等品的概率比 乙产品为一等品的概率多 0.25, 甲产品为二等品的概率比乙产品为一 等品的概率少 0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲,P 乙; (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该 厂有工人 32 名,可用资金 55 万元.设 x,y 分别表示生产甲、乙产 品的数量,在(1)的条件下,求 x,y 为何值时,z=xP 甲+yP 乙最大, 最大值是多少?

?P甲-P乙=0.25 ? [解析] (1)依题意得? , ? ?1-P甲=P乙-0.05 ? ?P甲=0.65, 解得? ?P乙=0.4, ?

故甲产品为一等品的概率 P 甲=0.65, 乙产品为一等品的概率 P 乙 =0.4. (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为

4x+8y≤32, ? ?20x+5y≤55, ?x≥0, ? ?y≥0,

且 z=0.65x+0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域 (如图阴影部分 ),即可行 域. 作直线 l: 0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0, 把直线 l 向上方平移到 l1 的位置时,直线经过可行域内的点 M,且 l1 与原点的距离最大,此 时 z 取最大值.
?x+2y=8, ? 解方程组? 得 x=2,y=3. ? ?4x+y=11,

故 M 的坐标为(2,3), 所以 z 的最大值为 zmax=0.65×2+0.4×3= 2.5.

考纲要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一 次不等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能 加以解决. 补充说明 1.二元一次不等式表示的平面区域 B 值判断法

主要看不等号与 B 的符号是否同向, 若同向则在直线上方, 若异 向则在直线下方, 简记为“同上异下”, 这种判断方法称为 B 值判断 法.即判定点 P(x0,y0)在直线 l:Ax+By+C=0(B≠0)哪一侧时,令 d=B(Ax0+By0+C),则 d>0?P 在直线 l 上方;d=0?P 在 l 上;d<0 ?P 在 l 下方. 2.目标函数 z=Ax+By+C,当 B>0 时,z 的值随直线在 y 轴上 截距的增大而增大;当 B<0 时,z 的值随直线在 y 轴上截距的增大而 减小. 备选习题 1. (2012· 石家庄二检)已知动点 P(x, y)在正六边形的阴影部分(含 边界)内运动,如图,正六边形边长为 2,若使目标函数 z=kx+y(k>0) 取得最大值的最优解有无穷多个,则 k 值为

( A. 3 C. 2

) 3 B.2 D.4

[答案] A [解析] 由题可知,当 x=0 时,z=kx+y=y,因此要使目标函 数 z=kx+y(k>0)取得最大值, 则相应直线经过题中的平面区域内的点 时, 相应直线在 y 轴上的截距最大. 由目标函数 z=kx+y(k>0)取得最 大值的最优解有无穷多个,结合图形分析可知,直线 kx+y=0 的倾 斜角为 120° ,于是有-k=tan120° =- 3,k= 3,选 A. x-y+2≤0, ? ? 2. 设不等式组?x≥0, ? ?y≤4.

表示的平面区域为 D, 若指数函

数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( A.(0,1) C.[2,4] [答案] D B.(1,2) D.[2,+∞)

)

[解析] 作出可行区域,如图,由题可知点(2,a2)应在点(2,4)的 上方或与其重合,故 a2≥4,

∴a≥2 或 a≤-2,又 a>0 且 a≠1,∴a≥2. x-y-1≥0, ? ? 3.设实数 x,y 满足不等式组?2x-y-6≤0, ? ?x+y-k-2≥0, 小值为 m,当 9≤m≤25 时,实数 k 的取值范围是( A.( 17-2,5) C.( 17-2,5] [答案] B [解析] B.[ 17-2,5] D.(0,5]

且 x2+y2 的最

)

不等式组表示的可行域如图中的阴影部分, x2+y2 的最小值 m 即 为|OA|2,
? ?x-y-1=0 k+3 k+1 联立? ,得 A( 2 , 2 ). ?x+y-k-2=0 ?

k+3 k+1 由题知 9≤( 2 )2+( 2 )2≤25,解得 17-2≤k≤5.

x+y≤a ? ? 4.(2013· 辽宁六校联考)设变量 x、y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6 且不等式 x+2y≤14 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[8,10] B.[8,9] C.[6,9] D.[6,10] [答案] A [ 解析 ] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然 )

a≥8,否则可行域无意义.由图可知 x+2y 在点(6,a-6)处取得最大 值 2a-6,由 2a-6≤14 得,a≤10,故选 A.

x≥0, ? ? 5.设变量 x,y 满足约束条件?y≥3x, ? ?x+ay≤7,

其中 a>1,若目标

函数 z=x+y 的最大值为 4,则 a 的值为________. [答案] 2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵ y=-x+z,∴欲使 z 最大,只需使直线 y=-x+z 的纵截距最大,∵ a>1,∴直线 x+ay=7 的斜率大于-1,故当直线 y=-x+z 经过直

7 21 线 y=3x 与直线 x+ay=7 的交点( , )时,目标函数 z 取得 1+3a 1+3a 28 28 最大值,最大值为 .由题意得 =4,解得 a=2. 1+3a 1+3a


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