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汇贤公学高三数学复习(突破高考系列—分段函数、抽象函数、反函数)


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突破高考系列——分段函数、反函数、抽象函数
【知识衔接】
分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数 . 它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含 着分类讨论、数形结合等思想方法.分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每 一段函数中 x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域. 值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) 的问题感到困难,学好这部分 识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力, 优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下: ① 合理赋值,化抽象为具体; ② 作恒等变形,找出该函数规律性、特征性特点;(奇偶,周期) ③ 利用函数的性质;(值域,单调性,对称性,奇偶) ④ 分类讨论,归纳出抽象函数的实质问题;⑤ 构造与联想

【重点讲解】
一、分段函数: (1)分段函数的求值 (2)分段函数的单调性 (3)分段函数的图象 (4)分段函数的反函数 (5)分段函数的奇偶性 (6)与分段函数有关的不等式问题 二、抽象函数常考题型: (1) 、求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域, 某些性质及运算式而求特殊值。 其解法常用“特殊值法”, 即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 (2) 、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中, 关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的 增减性,去掉“ f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 (3) 、求解集 (4) 、解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值, 再通过函数的单调性去掉函
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来汇贤,高效学习更领先! 数符号“ f ”,转化为代数不等式求解。 (5) 、证明某些问题

三、反函数 1、函数存在反函数的充要条件:对于原来函数值域中的任一个 y 值,都有唯一 x 值与之对 应 2、求反函数的步骤: ① 求函数值域; ② 由函数解析式求 x ; ③ 互换 x, y ; ④ 写出反函数解析式,注明定义域 3、反函数的性质有: ① 反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域; ② 反函数的图像和原函数的图像关于直线 y ? x 对称; ③ 若原函数是奇函数,则反函数也为奇函数; ④ 反函数与原函数的单调性一致

【难点演练】 例题一:
?(2 ? a ) x ? 1 , x ? 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 f ( x) ? ? x x1 ? x2 , x ? 1 满足对任意 x1 ? x 2 都有 1、 已知 成立, 则a ?a
的取值范围是____________. 2、已知定义域为 R 的函数 y ? f ?x ? 1? 是奇函数, y ? g ?x ? 是 y ? f ?x ? 的反函数,若

x1 ? x2 ? 0 ,则 g ?x1 ? ? g ?x2 ? =

.

x ( x ? 0) ? ?2 3、设函数 f ( x) ? ? ,函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数为 ? ?log 2 x ( x ? 0)

个.

小试牛刀:

? x ? 2 x ,  x ? 0, 2 f ( x ) ? 1、设函数 则方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解的个数为 ? ?? 2 sin 2 x, x ? 0.



2、 已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , 若 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是

1 x



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? ? 2ax ? 1 x ? ? 0,1? f ( x) ? ? 3、如果函数 ? ?3ax ? 1 x ? ?1, ?? ? , g ( x) ? log 2 x ,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 对于
任意 x ? (0, ? ?) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

例题二:
1、如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片(∠ ACB=90° ,AC=2)沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y) 的轨迹方程是 y=f(x),当 x ?[0, 4 ? 2 2 ]时 y=f(x)= _____________

图(14)
2、某商场在节日期间举行促销活动,规定: (1)若所购商品标价不超过 200 元,则不给予优惠; (2)若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元,则超过 200 元的部分给予 9 折优惠; (3)若所购商品标价超过 500 元,其 500 元内(含 500 元)的部分按第(2)条给予优惠, 超过 500 元的部分给予 8 折优惠. 某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元,则该件家电在商场标价为 .

3、 作 出 函 数 y ?

1? | x | 的图象,并求其分段解析式 |1? x |

小试牛刀:
1、某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药

? ax , (0 ? x ? 1) ? ? x2 ? 1 后每毫升血液中的含药量 y (微克)与时间 x (小时)之间满足 y ? ? , x ?1 ? a?2 , ( x ? 1) ? 4 x ?1 ? 1 ? 16 其对应曲线(如图所示)过点 (2, ) . 5

(1)试求药量峰值( y 的最大值)与达峰时间( y 取最大值时对应的 x 值) ;
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来汇贤,高效学习更领先! (2)如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该 药一次后能维 持多长的有效时间?(精确到 0.01 小时) y

x

2、某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示:
月份 一 二 三 用气量(立方米) 4 20 26 支付费用(元) 8 38 50

该市的家用天然气收费方法是:天然气费=基本费 ? 超额费 ? 保险费. 现已知,在每月用气量不超过 A 立方米时,只交基本费 6 元;每户的保险费是每月 C 元

(C ? 5) ;用气量超过 A 立方米时,超过部分每立方米付 B 元.
设当该家庭每月用气量 x 立方米时,所支付费用为 y 元.求 y 关于 x 的函数解析式.

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例题三:
1、已知函数 y ? 是 .

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围

2 、设 f ( x) ?| x ? 1 | ?2 | x ? 2 | ?3 | x ? 3 | ?......? 2013| x ? 2013| ,则 f ( x ) 取最小值时, x=_______。

3、我们把形如 y ?

b ?a ? 0, b ? 0? 的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动地称为 x ?a

“囧函数”,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心凡是与“囧 函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当 a ? 1 , b ? 1 时,所有的“囧圆”中,面积的最 小值为.

? ?2 | x ? ? | ( x ? ), ? ?? 2 f ( x) ? ? 4、已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,有 关于 x ?sin x(0 ? x ? ? ); ? ? 2
的方程 f ( x) ? m( m? R) 有且仅有四个不同的实数根,若 ? 是四个根中的最大根,则

sin( ? ? )= 3

?



小试牛刀: 1、若 2 x ? 1 ? x ? a ? 2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 2、已知函数 f ( x) ?| x ? .

1 1 | ? | x ? | ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? a | f ( x) | ?b ? 0 (a, b ? R) 恰 x x

有 6 个实数解,则 a 的取值范围是。

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? A, B? 为 3、 在直角坐标系中,如果两点 A(a, b), B(?a, ?b) 在函数 y ? f ( x) 的图象上, 那么称 ? A, B? 与 ? B, A? 看作一组)那么函数 函数 f ( x ) 的一组关于原点的中心对称点(
? ? ?cos x, x ? 0, g ( x) ? ? 2 ? ?log4 ( x ? 1), x ? 0
A.1 B.2

关于原点的中心对称点的组数为( C.3 D.4



? ?2 ? ? | x ? ? | ( x ? 2 ), ? ? ? f ( x) ? ?sin x(0 ? x ? ), 4、 已知函数 关于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 有 m 是非零常数, 2 ? ? x 2 ? x( x ? 0); ? ?
且 仅 有 三 个 不 同 的 实 数 根 , 若 ? 、? 分 别 是 三 个 根 中 的 最 小 根 和 最 大 根 , 则

? ? ? sin( ? ? ) =
3



例题四:
1、对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ① 若 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0)对称 ② 若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x) 为偶函数 ③ 若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x),则 2 是 f ( x) 的一个周期为 ④ 函数 y ? f ( x ? 1)与y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称. 其中正确的命题是___.(写出所有正确命题的序号)

2、已知函数 f ( x) ?| x2 ? 2ax ? a | ( x ? R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a ? 0 时, f ( x) 是偶函数; ② 函数 f ( x) 一定存在零点;
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最适合中国学生的教学模式 ③ 函数在区间 (??, a ] 上单调递减; ④ 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 .

小试牛刀: 1、方程

x | x | ? y | y | ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下结 16 9

论: ① f ( x) 在 R 上单调递减; ② 函数 F(x) ? 4 f (x) ? 3x 不存在零点; ③ y ? f (| x |) 的最大值为 3 ; ④ 若函数 g(x) 和 f ( x) 的图像关于原点对称,则 y ? g(x) 由方程 其中所有正确的命题序号是 ( )

y| y| x| x| ? ? 1 确定. 16 9

A . ③④;

B . ②③;

C .① ④ ;

D .①②.
f ?1? ? 1, f ? 2 ? ? 2m ? 3 m ?1 ,

2、设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f ? x ? 3? ? f ? x ? , 则实数 m 的取值范围是 ???????????? .

3、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x) ,如果存在 t ? D ,使得 f (t ? 1) ? f (t ) ? f (1) 成立,称 函数 f ( x) 在 D 上是“ T ”函数。 已知下列函数:① f ( x) ?
1 ; x

② f ( x) ? log2 ( x2 ? 2) ;③ f ( x) ? 2 x ( x ? ? 0, ?? ? );

④ f ( x) ? cos ? x( x ? ?0,1?) , 其中属于“ T ”函数的序号是 (写出所有满足要求的函数的序号) .

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例题五:

? 1 ? 1? ? x ? 2 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 1、函数 f ? x ? ? ? , ?2?1 ? x ?, x ? ? 1 ,1? ? ? ?2 ? ? ?
k , x ? ?k , k ? 1? ,其中 k ? N * , 2 f ?x ? 的各阶梯函数图像的最高点 Pk ?ak , bk ? ,最低点 Qk ?ck , d k ?
定义 f ?x ? 的第 k 阶阶梯函数 f k ? x ? ? f ? x ? k ? ?

(1)直接写出不等式 f ?x ? ? x 的解;

(2)求证:所有的点 Pk 在某条直线 L 上. (3)求证:点 Qk 到(2)中的直线 L 的距离是一个定值.

小试牛刀: 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 上放置一个边长为 1 的正方形 PABC ,此正方形 PABC 沿 x 轴滚动(向左或向右均可),滚动开始时,点 P 位于原点处,设顶点 P? x, y ? 的纵坐标与横 坐标的函数关系是 y ? f ( x ) y ? f ( x), x ? R ,该函数相邻两个零点之间的距离为 m . (1)写出 m 的值并求出当 0 ? x ? m 时,点 P 运动路径的长度 l ; (2)写出函数 y ? f ( x), x ?? 4k ? 2, 4k ? 2? , k ? Z 的表达式;研究 该函数的性质并填写下面表格: 函数性质 奇偶性 单调性 零点 (3) (选讲)试讨论方程 f ( x) ? a x 在区间 ? ?8, 8? 上根的个数及相应实数 a 的取值范围. 递增区间 递减区间 结 论

y

C
P
O

B A
x

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例题六:
1 、定义:对函数 y ? f ( x) ,对给定的正整数 k ,若在其定义域内存在实数 x0 ,使得

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? f (k ) ,则称函数 f ( x) 为“ k 性质函数”。
1 是否为“ k 性质函数”?说明理由; x a (2) 若函数 f ( x ) ? lg 2 为“2 性质函数”,求实数 a 的取值范围; x ?1
(1) 判断函数 f ( x) ? (3) 已知函数 y ? 2 x 与 y ? ?x 的图像有公共点, 求证:f ( x) ? 2 x ? x 2 为“1 性质函数”。

小试牛刀: 记 函 数 f ( x) 在 区 间 D 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 max{f ( x), x ? D} 与

min ? f ( x) | x ? D? .
设函数 f ( x) ? ?

?? x ? 2b, x ? ?1, b ? ? (1 ? b ? 3 ) , gx () ? fx () a x? x, 3 ] , 1 [? x ? (b,3] ? ?b,



令 h(a) ? max ?g ( x) | x ?[1,3]? ? min ?g( x) | x ?[1,3]? ,记 d (b) ? min ?h(a) | a ? R? . (1)若函数 g ( x) 在 [1,3] 上单调递减,求 a 的取值范围; (2)当 a ?

b ?1 时,求 h(a) 关于 a 的表达式; 2

(3)试写出 h(a) 的表达式,并求 max d (b) | b ? ?1,3? .

?

?

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例题七:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,
当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 且 f (3) ? ?4
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(1)求证: y ? f ( x) 为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求 y ? f ( x) 的最值
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【归纳总结】

【考点连接】
1、已知函数 f ( x ) ? ?

?

x 2 , x ? [0,?? ), 在区间 (??,??) 是递增函数,则常数 a 3 2 ? x ? a ? 3a ? 2, x ? (?? ,0)

的取值范围是 __________ _ 。

2 2 、 设 f1 ( x) ?| x ? 1 |, f 2 ( x) ? ? x ? 6 x ? 5 , 函 数 g ( x) ? ?

? f1 ( x), f 1 ( x) ? f 2 ( x) ,若方程 ? f 2 ( x), f 1 ( x) ? f 2 ( x)

g ( x) ? a 有四个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是 __________ 。
3、函数 f ( x) ? ?
2 ? ?x ? 4x 2 ? ?4 x ? x

x?0 x?0

,则不等式 f (2 ? x ) ? f ( x) 的解集是
2



2 4、若函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x), 且x ? ?-1,1? 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数

?lg( x ? 1),x ? 1 ? 1 ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ?- 5,6?内的零点的个数 g ( x) ? ?? ,x ? 0 ? x 0 ? x ?1 ? ?0,
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最适合中国学生的教学模式 为 .

5、已知 5 是方程 f ( x) ? x ? k ( k 是实常数)的一个根, f ?1 ( x ) 是 f ( x ) 的反函数,则方 程 f ?1 ( x) ? x ? k 必有一根是 .

6、设 0 ? a ? b ,则函数 y ?| x ? a | ( x ? b) 的图像大致形状是( y y y

) y

O a

b x

O a

b x

O a

b x

O a

b x

A.

B.

C.

D.

1 ? 2 x, 0 ? x ? ? ? 2 7、 已知函数 f ( x) ? ? , 且 f1 x () ? fx () 1 ? 2 ? 2 x, ? x ? 1 ? ? 2
则满足方程 fn ( x) ? x 的根的个数为( )

,f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , n ? 1, 2,3,

.

A . 2n 个;

B . 2 n 2 个; C . 2n 个; D . 2(2n ? 1) 个

8、已知点 A(?1, ?1) .若曲线 G 上存在两点 B, C ,使 △ ABC 为正三角形,则称 G 为 ? 型 曲线.给定下列三条曲线: ① y ? ? x ? 3 (0 ? x ? 3) ; ② y?

2 ? x 2 (? 2 ? x ? 0) ; ③ y ? ?
C.

1 ( x ? 0) . x

) 其中, ? 型曲线的个数是( A. 0 B. 1

2

D.

3

9、某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平等因素的限制,会产生较多次 品,根据经验知道,次品数 p (万件)与日产量 x (万件)之间满足关系:
? x2 , (1 ≤ x ? 4) ? ? 6 p?? . ? x ? 3 ? 25 , ( x ≥ 4) ? x 12 ?

已知每生产 l 万件合格的元件可以盈利 20 万元,但每产生 l 万件次品将亏损 10 万元. (实际利润 ? 合格产品的盈利 ? 生产次品的亏损) (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润 T (万元) 表示为日产量 x (万件) 的函 数;

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来汇贤,高效学习更领先! (2)当工厂将这种仪器的元件的日产量 x (万件) 定为多少时获得的利润最大,最大利润为 多少?

| x ?2| 10、设 a ? 1 ,函数 f ( x) 的图像与函数 y ? 4 ? a ? 2 ? a x?2 的图像关于点 A(1 , 2) 对称.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? f (? x) , x ? [?2 , ? ?) , g ( x) 满足如下性质:若存在最大(小) 值,则最大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

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