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二轮专题2-1三角函数的图象与性质


二轮专题 2-1 三角函数的图象与性质
命题人——王峰

2014.04.01
学号

班级

姓名

基本素能训练
一、选择题 π 1.(2013· 北京海淀期中)下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间( ,π)上为减函数 2 的 是 ( ) x C.y=cos

D.y=tan(-x) 2 2.(2013· 浙江理,4)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数” A.y=sin2x B.y=2|cosx| π 是“φ= ”的 ( ) 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5π 5π 3. (2013· 昆明一检)已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin , cos ), 则角 α 的最小正值为( 6 6 5π 2π 5π 11π A. B. C. D. [ 6 3 3 6 4.(文)(2013· 乌鲁木齐模拟)为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象,只需把函数 y=sin2x-cos2x 的图象 ( π A.向左平移 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 2 ) π B.向右平移 个单位长度 4 π D.向 右平移 个单位长度 2

π (理)(2012· 天津文,7)将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图 4 3π 象经过点( ,0),则 ω 的最小值是 ( ) 4 1 5 A. B.1 C. D.2 3 3 4 π 2 5.(文)(2012· 洛阳检测)如果 sinα= ,那么 sin(α+ )- cosα 等于 ( ) 5 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 A. B.- C. D.- 5 5 5 5 2 π (理)(2013· 新课标Ⅱ文,6)已知 sin2α= ,则 cos2(α+ )= ( ) 3 4 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 π π 6.(文)(2013· 天津文,6)函数 f(x)=sin(2x- )在区间[0, ]上的最小值为 ( ) 4 2 2 2 A.-1 B.- C. D.0 2 2 (理)用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从 小到大 3π 依次为 x1、x2、x3、x4、x5 且 x1+x5= ,则 x2+x4= ( 2 )

π A. 2 二、填空题

B.π

3π C. 2

D.2π

sin?2π-α?-cos?π+α? 4 7.已知 α 为锐角,tan2α=- ,则 =________. 3 3π π sin? -α?+cos? +α? 2 2 10 8.(2013· 浙江理,6)已知 α∈R,sinα+2cosα= ,则 tan2α=________. 2 π 9.(2013· 宝鸡二模)函数 f(x)=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示, 2 则 f(x)=__________________. 10.如果两个函数的图象平移后能够重合, 那么称这两个函数为“互为生成”函数. 给出下列四个函数: ①f(x)=sinx+cosx; ④f(x)= 2sinx+ 2. 其中为“互为生成”函数的是______________(填序号). 三、解答题 1 11.(2013· 北京文,15)已知函数 f(x)=(2cos2 x-1)sin2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 ? ? ( ②f(x)= 2(sinx+cosx); ③f(x)=sinx;

? 2 , ? ) ,且 f(α)= 2 ,求 a 的值. 2

π 12.(2013· 天津理,15)已知函数 f(x)=- 2sin(2x+ )+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R. 4 π (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2

能力提高训练
一、选择题 π π 1.(2012· 吉林模拟)若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f( +t)=f( -t),且 8 8 π f( )=-3,则实数 m 的值等于( ) 8 A.-1 B.± 5 C.-5 或-1 D.5 或 1 2.(2013· 浙江文,6)函数 f(x)=sinxcosx+ A.π,1 B.π,2 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 C.2π,1 D.2π,2 )

1 cos2α 3.(2012· 莱芜检测)若 tan(π-α)=- ,则 的值为( ) 3 2sinαcosα+cos2α 8 8 8 8 A.- B. C. D.- 3 5 15 7 π 4.(文)(2013· 东城区模拟)函数 f(x)=sin(ωx+φ),(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到 2 g(x)=sinωx 的图象,则只要将 f(x)的图象( ) π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6 π B.向右平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 12

(理)(2013· 广东佛山二模)如图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象, 其中 A,B 两点之间的距 离为 5,那么 f(-1)等于( A.2 B. 3 C.- 3 ) D.-2

π π 5.(2012· 佛山模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象关于直线 x= 对称, 2 3 它的最小正周期为 π,则函数 f(x)图象的一个对称中心是( ) π π 5π π A.( ,1) B.( ,0) C.( ,0) D.(- ,0) 3 12 12 12 6.(2012· 河北石家庄调研)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象 如图所示,则 f(0)=( A. 2 二、填空题 π 7.(2013· 新课标Ⅱ文,16)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数 2 π y=sin(2x+ )的图象重合,则 φ=________. 3 8.(2013· 合肥第一次质检)定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数 f(x)= B. 2 2 ) C.0 D.- 2

( 3,2sinx)?(cosx,cos2x)的图象向左平移 n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为 偶函数,则 n 的最小值为________. π 9.(2012· 山西省高考联合模拟)设 f(x)=asin(π-2x)+bsin( +2x),其中 a、b∈R,ab≠0, 2 π 若 f(x)≤|f( )|对一切 x∈R 恒成立,则 6 5π ①f( )=0; ②f(x)的周期为 2π; ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; 12 ④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是____________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题 π 10.(2013· 安徽文,16)设函数 f(x)=sinx+sin(x+ ).不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 3 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到.

π 11.(2013· 安徽理,16)已知函数 f(x)=4cosωx· sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π 4 π (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. 2

科网 ZXXK] 1+cos2x 1 3 12.(2012· 沈阳市二模)已知向量 m=(sin2x+ ,sinx),n=( cos2x- sin2x,2sinx), 2 2 2 设函数 f(x)=m· n,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 x∈[0, ],求函数 f(x)的值域. 2

基本素能训练 一、选择题

π 1.(2013· 北京海淀期中)下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间( ,π)上为减 2 函数的是( ) B.y=2|cosx| D.y=tan(-x)

A.y=sin2x x C.y=cos 2 [答案] D

x [解析] 逐个判断,用排除法.y=cos 的最小正周期为 4π,故 C 排除;函数 y=sin2x 2 π π 在区间( ,π)上不具有单调性,故 A 排除;函数 y=2|cosx|在区间( ,π)上是增函数,故 B 2 2 排除;D 正确. 2. (2013· 浙江理, 4)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈R), 则“f(x)是奇函数” π 是“φ= ”的( 2 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 若 f(x)是奇函数,则 f(x)+f(-x)=0,即 Acos(ωx+φ)+Acos(-ωx+φ)=0,整 π π 理得 cosωxcosφ=0 恒成立,故 cosφ=0,φ=kπ+ ,k∈Z,故“f(x)是奇函数”是“φ= ” 2 2 的必要不充分条件. 5π 5π 3.(文)(2013· 昆明一检)已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),则角 α 的最小 6 6 正值为( 5π A. 6 5π C. 3 ) 2π B. 3 11π D. [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 6

[答案] C 5π 5π 1 3 [解析] (sin ,cos )可化为( ,- ), 6 6 2 2 ∴sinα=- 3 1 π ,cosα= ,∴α=- +2kπ,k∈Z, 2 2 3

5π 故角 α 的最小正值为 . 3

(理)(2013· 浙江理,6)已知 α∈R,sinα+2cosα= 4 A. 3 3 C.- 4 [答案] C [解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系. 将 sinα+2cosα= 10 两边平方可得, 2 3 B. 4 4 D.- 3

10 ,则 tan2α=( 2

)

5 sin2α+4sinαcosα+4cos2α= , 2 3 ∴4sinαcosα+3cos2α= . 2 将左边分子分母同除以 cos2α 得, 3+4tanα 3 1 2 = ,解得 tanα=3 或 tanα=- , 2 3 1+tan α ∴tan2α= 2tanα 3 =- . 4 1-tan2α

4. (文)(2013· 乌鲁木齐 模拟)为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象, 只需把函数 y=sin2x -cos2x 的图象( )

π A.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 2 π D.向 右平移 个单位长度 2 [答案] A π π [解析] y=sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ),y=sin2x-cos2x= 2sin(2x- ),只需把函数 4 4 π y=sin2x-cos2x 的图象向左平移 个单位长度,即可得到 y=sin2x+cos2x 的图象. 4 π (理)(2012· 天津文,7)将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得 4 3π 图象经过点( ,0),则 ω 的最小值是( 4 1 A. 3 B.1 )

5 C. 3

D.2

[答案] D [解析] 本题考查三角函数图象的平移变换.

π ωπ 3π 3π ωπ 平移之后 y=sin[ω(x- )]=sin(ωx - ),由图象过点( ,0)得,sin(ω× - )=0, 4 4 4 4 4 3π π ∴ω( - )=kπ,k∈Z,∴ω=2k,又 ω>0,∴ωmin=2. 4 4 π [点评] 平移是对“x”来说的,不要出现 y=sin(ωx- )这样的错误. 4 4 π 2 5.(文)(2012· 洛阳检测)如果 sinα= ,那么 sin(α+ )- cosα 等于( 5 4 2 2 2 A. 5 C. 4 2 5 2 2 B.- 5 4 2 D.- 5 )

[答案] A π 2 [解析] sin(α+ )- cosα 4 2 π π 2 4 2 2 2 =sinαcos +cosαsin - cosα= × = . 4 4 2 5 2 5 2 π (理)(2013· 新课标Ⅱ文,6)已知 sin2α= ,则 cos2(α+ )=( 3 4 1 A. 6 1 C. 2 [答案] A [解析] 本题考查半角公式及诱导公式. π 由半角公式可得,cos2(α+ )= 4 π 2 1+cos?2α+ ? 1- 2 1-sin2α 3 1 = = = ,故选 A. 2 2 2 6 ) 1 B. 3 2 D. 3 )

π π 6.(文)(2013· 天津文,6)函数 f(x)=sin(2x- )在区间[0, ]上的最小值为( 4 2 A.-1 C. 2 2 B.- D.0 2 2

[答案] B [解析] 本题考查正弦型函数的最值.

π π π 3π π 令 t=2x- ,因为 x∈[0, ],所以 t∈[- , ],f(x)=sin(2x- )变为 y=sint,由正弦 4 2 4 4 4 π 2 函数的图象可知,当 t=- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值为- . 4 2 (理)用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从 小到大 3π 依次为 x1、x2、x3、x4、x5 且 x1+x5= ,则 x2+x4( 2 π A. 2 3π C. 2 B.π D.2π )

[答案] C [解析] 由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象性质可知 x1、x5 关于 x3 对称,x2、x4 也关于 x3 3π 对称,∴x2+x4=x1+x5= ,故选 C. 2 二、填空题 4 7.已知 α 为锐角,tan2α=- ,则 3 sin?2π-α?-cos?π+α? =________. 3π π sin? -α?+cos? +α? 2 2 [答案] 1 3

2tanα 4 1 [解析] 由 tan2α= 2 =- 得,tanα=2 或- , 3 2 1-tan α ∵α 为锐角,∴tanα>0,∴tanα=2. ∴ sin?2π-α?-cos?π+α? -sinα+cosα tanα-1 2-1 1 = = = = . 3π π -cosα-sinα 1+tanα 1+2 3 sin? -α?+cos? +α? 2 2

π 8.(2013· 宝鸡二模)函数 f(x)=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则 2 f(x)=________.

[答案]

π π 2sin( x+ ) 8 4

[解析] 由题意得 A= 2,函数的周期为 T=16, 2π π π 又 T= ?ω= ,此时 f(x)= 2sin( x+φ), ω 8 8 π π 又 f(2)= 2,即 sin( ×2+φ)=sin( +φ)=1, 8 4 π π π 解得 +φ=2kπ+ ?φ=2kπ+ ,k∈Z, 4 2 4 π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 4 π π 所以函数的解析式为 f(x)= 2sin( x+ ). 8 4 9 . ( 文 ) 如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函 数.给出下列四个函数: ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)= 2(sinx+cosx); ③f(x)=sinx; ④f(x)= 2sinx+ 2. 其中为“互为生成”函数的是________(填序号). [答案] ①④ π π [解析] 首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)= 2sin(x+ ),②f(x)=2sin(x+ ),③ 4 4 f(x)=sinx,④f(x)= 2sinx+ 2,可知③f(x)=sinx 的图象要与其他的函数图象重合,单纯经 过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx 不能与其他函数成为“互 π π 为生成”函数,同理①f(x)= 2sin(x+ )的图象与②f (x)=2sin(x+ )的图象也必须经过伸缩 4 4 π 变换才能重合,而④f(x)= 2sinx+ 2的图象向左平移 个单位,再向下平移 2个单位即可 4 π 得到①f(x)= 2sin(x+ )的图象,所以①④为“互为生成”函数. 4 π (理)(2012· 山西省高考联合模拟)设 f(x)=asin(π-2x)+bsin( +2x), 其中 a、 b∈R, ab≠0, 2 π 若 f(x)≤|f( )|对一切 x∈R 恒成立,则 6 5π ①f( )=0; 12 ②f(x)的周期为 2π; ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③

[解析] b tanφ= , a

π f(x)=asin(π-2x) +bsin( +2x)=asin2x+bcos2x= a2+b2sin(2x+φ),其中, 2

π ∵f(x)≤|f( )|对一切 x∈R 恒成立, 6 π π π π ∴|f( )|= a2+b2,∴2× +φ=kπ+ ,∴φ=kπ+ ,又 f(x)的周期 T=π,故①③正确, 6 6 2 6 ②④错误. 三、解答题 1 10.(文)(2013· 北京文,15)已知函数 f(x)=(2cos2 x-1)sin2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; π ? 2 (2)若 α∈? ?2,π?,且 f(α)= 2 ,求 a 的值. 1 [解析] (1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+ cos4x[来源:学+科+网] 2 1 = (sin4x+cos4x) 2 = 2 π sin(4x+ ) 2 4

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α)= 2 π ,所以 sin(4α+ )=1. 2 4

π 因为 α∈( ,π), 2 π 9π 17π 所以 4α+ ∈( , ), 4 4 4 π 5π 9π 所以 4α+ = ,故 α= . 4 2 16 π (理)(2013· 天津理,15)已知函数 f(x)=- 2sin(2x+ )+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R. 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2 π π [解析] (1)f(x)=- 2sin2x· cos - 2cos2x· sin +3sin2x-cos2x 4 4 π =2sin2x-2cos2x=2 2sin(2x- ). 4

2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2 3π 3π π (2)因为 f(x)在区间[0, ]上是增函数,在区间[ , ]上是减函数. 8 8 2 3π π π 又 f(0)=-2,f( )=2 2,f( )=2,故函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2 2,最小 8 2 2 值为-2. 能力提高训练 一、选择题 π π π 1.(2012· 吉林模拟)若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f( +t)=f( -t),且 f( ) 8 8 8 =-3,则实数 m 的值等于( A.-1 C.-5 或-1 [答案] C π π [解析] 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是 x= 时,函数 f(x)取得最 8 8 值,因此有± 2+m=-3,∴m=-5 或 m=-1,选 C. 2.(2013· 浙江文,6)函数 f(x)=sinxcosx+ A.π,1 C.2π,1 [答案] A [解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质. 1 3 π f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π,振幅为 1,故选 A. 2 2 3 1 cos2α 3.(2012· 莱芜检测)若 tan(π-α)=- ,则 的值为( 3 2sinαcosα+cos2α 8 A.- 3 8 C. 15 8 B. 5 8 D.- 7 ) B.π,2 D.2π,2 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 ) B.± 5 D.5 或 1 )

[答案] C [分析] 先求 tanα,再将所求三角函数式分子分母同除以 cosα 化成切的式子. cos2α-sin2α 1-tan2α 1 1 cos2α [解析] 由 tan(π-α)=- 得,tanα= , 2 = 2 = 3 3 2sinαcosα+cos α 2sinαcosα+cos α 2tanα+1

1 1- 9 8 = = . 2 15 +1 3 π 4.(文)(2013· 东城区模拟)函数 f(x)=sin(ωx+φ),(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到 2 g(x)=sinωx 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

π A.向右平移 个单位 6 π B.向右平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 6 π D.向左平移 个单位 12 [答案] A T 7π π π [解析] 由图象可知, = - = ,∴T=π, 4 12 3 4 2π π π ∴ω= =2,再由 2× +φ=π,得 φ= .[来源:学科网] π 3 3 π ∴f(x)=sin(2x+ ), 3 π π 故只需将 f(x)=sin2(x+ )的图象向右平移 个单位, 6 6 可得到 g(x)=sin2x 的图象. (理)

(2013· 广东佛山二模)如图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象, 其中 A,B 两点之间的距 离为 5,那么 f(-1)等于( A.2 C.- 3 [答案] A [解析] 设函数 f(x)的最小正周期为 T, 因为 A, B 两点之间的距离为 5, 所以 T ? ?2+42 2 B. 3 D.-2 )

2π π π =5,解得 T=6.所以 ω= = .又图象过点(0,1),代入得 2sinφ=1,所以 φ=2kπ+ 或 φ= T 3 6 5π π 5π π π π 5π 2kπ+ (k∈Z). 又 0≤φ≤π, 所以 φ= 或 φ= .故 f(x)=2sin( x+ )或 f(x)=2sin( x+ ). 对 6 6 6 3 6 3 6 π π π 于函数 f(x)=2sin( x+ ),当 x 略微大于 0 时,有 f(x)>2sin =1,与图象不符,故舍去;综 3 6 6 π 5π 上,f(x)=2sin( x+ ). 3 6 π 5π 故 f(-1)=2sin(- + )=2.故选 A. 3 6 π π 5.(2012· 佛山模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象关于直线 x= 对称, 2 3 它的最小正周期为 π,则函数 f(x)图象的一个对称中心是( π A.( ,1) 3 5π C.( ,0) 12 [答案] B [解析] 由题意知 T=π,∴ω=2, π π π π 由函数图象关于直线 x= 对称,得 2× +φ= +kπ(k∈Z),即 φ=- +kπ(k∈Z). 3 3 2 6 π π 又|φ|< ,∴φ=- , 2 6 π ∴f(x)=Asin(2x- ), 6 π π k 令 2x- =kπ(k∈Z),则 x= + π(k∈Z). 6 12 2 π ∴一个对称中心为( ,0),故选 B. 12 6.(2012· 河北石家庄调研)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)的部分 图象如图所示,则 f(0)=( ) π B.( ,0) 12 π D.(- ,0) 12 )

A. 2 C.0

B.

2 2

D.- 2

[答案] A T 5π π π 4π [解析] 由图可知 = - = ,∴T= , 4 6 2 3 3 即 2π 4π 3 = ,∴ω= , ω 3 2

3 又 A=2,∴f(x)=2sin( x+φ), 2 5π 5π ∵f(x)的图象经过点( ,-2),∴2sin( +φ)=-2, 6 4 ∴ 5π 3π π +φ= +kπ,k∈Z,∴φ= +kπ(k∈Z), 4 2 4

π 3 π 取 k=0 得,φ= ,∴f(x)=2sin( x+ ), 4 2 4 π ∴f(0 )=2sin = 2. 4 二、填空题 π 7.(2013· 新课标Ⅱ文,16)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与 2 π 函数 y=sin(2x+ )的图象重合,则 φ=________. 3 [答案] 5π 6

[解析] 本题考查三角函数的平移变换 π y=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位得, 2 π π π y=cos[2(x- )+φ]=cos(2x-π+φ)=sin(2x-π+φ+ )=sin(2x+φ- ),而它与函数 y 2 2 2 π π π 5π =sin(2x+ )的图象重合,令 2x+φ- =2x+ 得,φ= ,符合题意. 3 2 3 6 8.(2013· 合肥第一次质检)定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=

( 3,2sinx)?(cosx,cos2x)的图象向左平移 n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数, 则 n 的最小值为_ _______. [答案] 5π 12

π [解析] f(x)= 3cos2x-2sinxcosx= 3cos2x-sin2x=2cos(2x+ ),将 f(x)的图象向左平 6 π π 移 n 个单位长度对应的函数解析式为 f(x)=2cos[2(x+n)+ ]=2cos(2x+2n+ ),要使它为偶 6 6 π kπ π 函数,则需要 2n+ =kπ(k∈Z),所以 n= - (k∈Z),因为 n>0,所以当 k=1 时,n 有最 6 2 12 5π 小值 . 12 三、解答题 π 9.(文)(2013· 安徽文,16)设函数 f(x)=sinx+sin(x+ ). 3 (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到. 1 3 3 3 π [解析] (1)因为 f(x)=sinx+ sinx+ cosx= sinx+ cosx= 3sin(x+ ). 2 2 2 2 6 π π 2π 所以当 x+ =2kπ- ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,f(x)取得最小值- 3. 6 2 3 2π 此时 x 的取值集合为{x|x=2kπ- ,k∈Z}. 3 (2)先将 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变),得到 y= 3 π sinx 的图象;再将 y= 3sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=f(x)的图象. 6 π (理)(2013· 安徽理,16)已知函数 f(x)=4cosωx· sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π 4 (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. 2 π [解析] (1)f(x)=4cosωx· sin(ωx+ )=2 2sinxω· cosωx+2 2cos2ωx 4 π = 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2=2sin(2ωx+ )+ 2. 4 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 从而有 2π =π,故 ω=1. 2ω

π (2)由(1)知 f(x)=2sin(2x+ )+ 2.[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 4

π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2 π π π 综上可知, f(x)在区间[0, ]上单调递增, 在区间[ , ]上单调递减. [来源:学科网 ZXXK] 8 8 2 1+cos2x 1 3 10. (2012· 沈阳市二模)已知向量 m=(sin2x+ , sinx), n=( cos2x- sin2x,2sinx), 2 2 2 设函数 f(x)=m· n,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 x∈[0, ],求函数 f(x)的值域. 2 [解析] (1)∵cos2x=2cos2x-1, 1+cos2x ∴m=(sin2x+ ,sinx)=(1,sinx), 2 1 3 1 3 π f(x)=m· n= cos2x- sin2x+2sin2x=1- cos2x- sin2x=1-sin(2x+ ). 2 2 2 2 6 2π ∴其最小正周期为 T= =π. 2 π (2)由(1)知 f(x)=1-sin(2x+ ), 6 π π π 7π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x+ )∈[- ,1]. 6 2 3 ∴函数 f(x)的值域为[0, ]. 2


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