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高一下学期期末综合复习题二(必修3+5)


高一下学期期末复习数学二(必修 3+5)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.等差数列 {an } 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn ?

n(n ? 1) 2 π π 2.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B ? , C ? ,则△ABC 的面积为 4 6 A. 2 3+2 B. 3+1 C. 2 3 ? 2 D. 3 ? 1 2 3.若 f ? x ? ? x ? ax ?1 有负值,则常数 a 的取值范围是( )
A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C. D.
[来

n(n ? 1) 2

?2 ? a ? 2 A.

a ? 2且a ? ?2 B.

1? a ? 3 C.

a ? ?2 或 a ? 2 D.

4.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? A.14 B.21 C.28 D.35 5. (2013 课标全国Ⅱ, 文 7)执行下面的程序框图, 如果输入的 N ? 4 , 那么输出的 S ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? B. 1+ ? 2 3 4 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? C. 1+ ? ? ? D. 1+ ? 2 3 4 5 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2 6.若 b ? a ? 0 ,则下列不等式中一定成立的是 a?b a?b ? ab ? b ?a A. a ? B. b ? ab ? 2 2 a?b a?b ? ab ? a ? ab C. b ? D. b ? a ? 2 2
A. 1+ 7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 ) D. s2 ? s1 ? s3 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A. s3 ? s1 ? s2 B. s2 ? s1 ? s3 C. s1 ? s2 ? s3

8.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职 工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 A.7 B.15 C.25 D.35 9.已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? ( A. ? )

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

10.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数的正 ? Bn n?3 bn
1

整数 n 的个数是( A.2

) B .3 C.4 D.5

11. 已知 x ? 0 ,y ? 0 ,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列, 则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

( a ? b) 2 的最小值是 ( cd



?x ? y ?1 ? 0 ? 12.设 x , y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
A.8 B.7 C.2 D.1



二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是__________ 14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为 2: 3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 。 15.函数 y ? log a ( x ? 3) ?1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中

mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n


?

16.在 ? ABC 中,D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135 .若 AC ?

2 AB ,则

BD=_____
三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

18. (本小题满分 12 分)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1 , BC ? 3 , CD ? DA ? 2 . (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。

2

19.(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未 售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所 示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内 的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (I)将 T 表示为 X 的函数; (II)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.

20. (本小题满分 12 分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市 民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下: 甲部门 4 7 0 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 10 59 0 4 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 4 2 1 1 3 1 0 8 4 2 1 3 4 乙部门

9 7 6 6 5 3 3 2 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 6 6 5 5 6 3 2

1 1 2 2

9 1 0 0 2

5 3 3 4 5

6 6 7 7 7 8 9 4 6 8 8 4 4 9 5 6

(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率; (III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。

3

21(本小题满分 12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格 出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的 函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利 润不少于 75 元的概率.

22.(本小题满分 12 分)某家具厂有方木材 90m ,木工板 600m ,准备加工成书桌和书橱出售,已知生 产每张书桌需要方木料 0.1m 、木工板 2m ;生产每个书橱需要方木料 0.2m ,木工板 1m ,出售一张书 桌可以获利 80 元,出售一张书橱可以获利 120 元; (I)怎样安排生产可以获利最大? (Ⅱ)若只生产书桌可以获利多少? (III)若只生产书橱可以获利多少?
3 2 3

3

2

2

4

高一下学期期末复习数学三参考答案
一、选择题: (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分) 题 号 答 案 1 A 2 B. 3 4 D . C. 5 B 6 C 7 B 8 B 9 D 10 D. 11 D 12 B

1. a42 ? a2a8 ,(a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ), d ? 2, a1 ? 2, sn ? n(n ? 1)

7π a b 1 , ? , 求出 a , S ? ab sin c 12 sin A sin B 2 3. ? ? 0
2. A ? 4. a3 ? a4 ? a5 ? 12,3a4 ? 12, a4 ? 4 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 5.答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入 N=4, T=1,S=1,k=2;

7 7 (a1 ? a7 ) ? .2a4 ? 7a4 ? 28 2 2

1 1 , S ? 1+ ,k=3; 2 2 1 1 1 T? ,S= 1+ ? ,k=4; 3? 2 2 3? 2 1 1 1 1 T? ? , S ? 1? ? ,k=5; 4 ? 3? 2 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 ? 输出 S ? 1 ? ? . 2 3? 2 4 ? 3? 2 b?b a ?b ? ? ab ? a ? a ? a 6. b ? 2 2 (7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 5 ? 8.5, 7. 【解析】? x甲 ? 20 T?

s12 ?
x乙 ?
2 s2 ?

2 5? [ ( 7 ? 8. 5 ?) ? ( 8 2? 8 . 5? ) 20

2 (9 ? 8 .?5 )

2

(1 0 8 . 5 ) ] ?1 . 2 5 ,

( 7? 1 0 ?) ?6 ?( 8 ? 9 ) 4 ?8.5, 20
2 6? [ ( 7 ? 8. 5 ?)

? (1 0

2

8 ?. 5 ?) ] ? 4 [2? ( 8 ?8 . 5 ) 2 ( 9 8 . 5 ) ] ?1 . 4 5 , 20

x丙 ?
2 s3 ?

(7 ? 10) ? 4 ? (8 ? 9) ? 6 ? 8.5, 20

2 4? [ ( 7 ? 8. 5 ?)

? (1 0

2

8 ?. 5 ?) ]? 6 [2? ( 8 ?8 . 5 ) 2 ( 9 8 .y 5) ] ?1 . 0 5 , 20
C B

由s22 ? s12 ? s32得s2 ? s1 ? s3. 答案:B
8.解析:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,中年职工

O
A F

x
5

7 占 15 ,所以样本容量为

7
7 15

? 15

10.

an A2 n ?1 7(2n ? 1) ? 45 14n ? 38 14( n ? 1) ? 24 ? ? ? ? bn B2 n ?1 (2n ? 1) ? 3 2n ? 2 2(n ? 1) 12 , n ? 1=2,3,4,6,12 n ?1

?7?

(a ? b)2 ( x ? y)2 x 2 ? y 2 ? 2 xy 2 xy ? 2 xy 11. a ? b ? x ? y, cd ? xy, ? ? ? ?4 cd xy xy xy
12. 解析约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,由 z ? x ? 2 y ,得 y ? ?

1 z z x ? , 为直线 2 2 2

1 z z 1 z y ? ? x ? 在轴上的截距,要使 z 最大,则需 最大,所以当直线 y ? ? x ? 经过点 B ? 3, 2 ? 时, z 2 2 2 2 2 最大,最大值为 3 ? 2 ? 2 ? 7 ,故选 B.
y 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 A 1 2 3 x B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.

1 5

14. n ? 60

15. 8

16. BD ? 2 ? 5

13.五个数中取两个,共有 10 种取法。两数之和为五,只有 14,23 两个,所以概率是

1 5

14. 【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为 2 x,3x, 4 x,6 x, 4 x, x ,则 2 x ? 3x ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ? 1 , 解得 x ?

1 2 3 4 , , ,所以前三组数据的频率分别是 , 20 20 20 20 2 3 4 ? ? )n =27,解得 n=60。 故前三组数据的频数之和等于 ( 20 20 20

15 .函数 y ? loga (x ? 3)? 1(a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ( -2 , -1 ) ,若点 A ( -2 , -1 )在直线

mx ? ny ? 1 ? 0







?2m ? n ? 1 ? 0, 2m ? n ? 1







mn ? 0





1m 2 4 1 2 1 n2 m 4 n ? ? ( m2 ?n ? ) ? ( ? ? ) ? ?4 ? , 4 ? 的最小值为 2 . 8 m n m n m n m n m n

8

6

16.解析:设 BD=x,则 CD=2x

在 ? ABD中,由余弦定理得AB2 ? AD2 +BD2 -2AD ? BDCOS?ADB

? 2 ? x2 ? 2x 在 ? ADC中,由余弦定理得AC2 ? AD2 +DC2 -2AD ? DCCOS?ADC ? 2 ? 4 x2 ? 4 x 又 AC 2 ? 2 AB2 ,?2 ? 4x2 ? 4x ? 4 ? 2x2 ? 4x,即x2 ? 4x ?1 ? 0 ,解得 x ? 2 ? 5
故 BD ? 2 ? 5 17.解析(I) a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ?

1 n

a n ?1 n ?1 n ?1 a 1 , an ?1 ? an ? n , n ?1 ? n ? n n 2 n 2 n ?1 n 2

1 21 1 b3 ? b2 ? 2 2 a 1 1 bn ? n , bn ?1 ? bn ? n ,用累加法可得: b4 ? b3 ? 3 n 2 2 ? ? ? ? ? ? b2 ? b1 ? bn ? bn ?1 ?
bn ? b1 ?

1 2n ?1

a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ?1 , b1 ? 1 ? 1, bn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ...... ? n ?1 ? 2(1 ? n ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2(1 ? n ) 2 a 1 1 1 (II) bn ? n ? 2(1 ? n ), an ? 2n(1 ? n ) ? 2(n ? n. n ) n 2 2 2

S n ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2[(1 ? 2 ? ... ? n) ? (1. ? 2.[ n(n ? 1) 1 1 1 ? (1. 1 ? 2. 2 ? ... ? n. n )] 2 2 2 2

1 1 1 ? 2. 2 ? ... ? n. n )] 1 2 2 2

设 Tn ? 1.

1 1 1 ? 2. 2 ? ... ? n. n ,用错位相减法,以下你懂的! 1 2 2 2
2 2 2

18.解析(1)由题设及余弦定理得 BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C ? 13 ? 12cos C ,①

BD2 ? AB2 ? DA2 ? 2 AB ? DA cos A ? 5 ? 4cos C .
由①,②得 cos C ?



1 ? ,故 C ? 60 , BD ? 7 . 2

(2)四边形 ABCD 的面积

S?

1 1 1 ?1 ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C ? ? ?1? 2 ? ? 3 ? 2 ? sin 60? ? 2 3 2 2 2 ?2 ?

19.解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.

7

所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0.7. 20.解析(1)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25, 26 位的是 75,75 ,故 样本中位数为 75 ,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75 . 50 位市民对乙部门的评分由小 到大排序,排在第 25, 26 位的是 66,68 ,故样本中位数为 中位数的估计值是 67 . (2)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为

66 ? 68 ? 67 ,所以该市的市民对乙部门评分的 2 5 8 ? 0.1 , ? 0.16 ,故该 50 50

市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1 , 0.16 . (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以 大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、 评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. 命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率,是 简单题. 21【解析】 (Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n ? N ) ; n ? 17, ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为

1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4; 100
(ii) 利 润 不 低 于 75 元 当 且 仅 当 日 需 求 不 少 于 16 枝 , 故 当 天 的 利 润 不 少 于 75 元 的 概 率 为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7

8

22.(12 分)

9


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