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福建师大附中2016届高三数学下学期模拟考试试题文(新)


福建师大附中 2016 届高三模拟考试卷 数学(文科)
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知 i 是虚数单位,则复数 (A)第一象限

5 ? 3i 在复平面内所对应的点位于 4?i
(C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限
*

2.

若集合 M ? x ? N y ? (A)2 个 (B)4 个

?

2 ? x , N ? ? y y ? 2 x ? , P ? M ? N ,则 P 的子集共有
(C)6 个 (D)8 个

?

? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 AB ? (?1, ?2), CD ? (5,5) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
(A)

3 2 2

(B)

3 15 2

(C) ?

3 2 2

(D) ?

3 15 2

? y ?1 ? 4. 已知实数 x, y 满足线性约束条件 ? y ? 2 x ? 1,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ? x? y ?5 ?
( A)-1 (B)0
x

(C)1

(D)3

? 2 , x ≤ 0, 1 5.函数 f ( x) ? ? 则函数 y ? f ( x) ? 的零点个数为 2 ?| log 2 x |, x ? 0, (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣: “远看巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯” 。 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它 一共有 7 层, 每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍, 共有 381 盏灯, 问塔顶有几盏灯? 你 算出顶层有 (A) 2 盏灯 (B)3 盏灯
x

(C)5 盏灯
x

(D) 6 盏灯

* 7. 已知命题 p : ?x ? N , ?

?1? ?1? 3 2 ? ? ? ? ,命题 q : ?a ? R , 使得 f ( x) ? x ? ax 为 ? 2? ? 3?

奇函数,则下列命题中为真命题的是
1

(A) p ? q

(B)

? ?p ? ? q

(C) p ? ? ?q ?

(D)

? ?p ? ? ? ?q ?

8. 如右图:网格纸上的小正方形边长都为 1,粗线画出的 是 某几何体的的三视图,则该几何体的体积为 (A)4 (B)

16 3

(C)

20 3

(D)8

9. 执行如图所示的程序框图,当输入 x ?[1,13] 时,输出的结果 不小于 95 的概率为 (A)

1 3

(B)

11 12

(C)

2 3

(D)

1 6

10.已知函数 f ( x) ? cos x ? x2 ,则不等式 f (ln x) ? f (1) 的解集为 (A) (e,??) (B) (0, e) (C) (0, ) ? (1, e)

1 e

(D) ( , e)

1 e

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点,若曲线 C 上 a 2 b2 存在点 P ,使得直线 FP 与以坐标原点为圆心,半径是 b 的圆切于 P 点,
11. 已知 F 为双曲线 C : 则该双曲线的离心率为 (A)

12. 设函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是 常 数, A ? 0, ? ? 0 ) . 若 f ( x ) 在 区 间

3 3

(B) 3

(C) 2

(D) 5

? ? ? 2? ? [ , ] 上具有单调性,且 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ,则 f ( x) 的最小正周期为 6 2 2 3 6 ? 3? (A) (B) ? (C) (D) 2? 2 2
第 II 卷 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 3 13. 函数 f ( x) ? x ? x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为______________ 14. 右图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空 气质量指数小于 100 表示空气 质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人 随机选择 3 月 1 日至 3 月 12
2

日中某一天到达城市,并停留两天. 由图判断从 3 月____日开始连续三天的空气质量指数的方差最大. 15.已知三棱锥 P ? ABC ,在底面 ?ABC 中, ?A ? 60 , BC ? 3 , PA ? 面ABC ,
0

PA ? 2 ,则此三棱锥的外接球的体积为__________
16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A ? 当 tan( A ? B ) 取最大值时,角 B 的值为_________ 三.解答题(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分) 17. (本小题满分12分) 设数列 {an } 的前n项和为 Sn , Sn ? 2n ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 c, 2

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ?1

18. (本小题满分 12 分) 某食 品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,在这两条流水线上 各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在(495,510]的产品为合格 品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本频数分布表,图 1 是乙流水线样本的频率分布 直方图.

(Ⅰ)若检验员不小心将甲、乙两条流水线生产的重量值在(510,515]的产品放在了 一起,然后又随机取出 3 件产品,求至少有一件是乙流水线生产的产品的概率. (Ⅱ)由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质 量与两条自动包装流水线的选择有关”. 甲流水线 乙流水线 合计 合格品
3

不合格品 合计

19. (本小题满分 12 分) 如图,在底面为梯形的四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,
P

AD ∥ BC , AD ? CD , AD ? CD ? 2,BC ? 4 .
(Ⅰ)若 M 为 PC 的中点,求证: DM ∥平面 PAB ;

M
C B

2 (Ⅱ)若 PA ? PB ,且三棱锥 D ? PAC 的体积为 ,求 AP 的长. 3
D

A

20. (本小题满分 12 分) 定圆 ? : x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,动圆 ? 过点 F

?

3, 0 且与圆 ? 相切,

?

记圆心 ? 的轨迹为 ? . (Ⅰ)求轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)设点 ? , ? , C 在 ? 上运动, ? 与 ? 关于原点对称,且 ?C ? C? ,当 ??? C 的 面积最小时,求直线 ?? 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? a ln x(a ? R ) . 2

(Ⅰ) 讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求证: f ( x2 ) ? ?2
4

请考生在第 22、23、24 两题中任选一题做答,并用 2B 铅笔将答题卡上把所选题目对 应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正三角形 ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、 AC 上,

A

1 1 BC , CE ? CA , AD 、 BE 相交于点 P ,求证: 3 3 (Ⅰ)四点 P 、 D 、 C 、 E 共圆; (Ⅱ) AP ? CP .
且 BD ?
B D

P

E C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
2

6 ,以极点为直角坐标系的 2 cos ? ? 3sin 2 ?
2

原点,取相同的单位长度,并以 x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系. (Ⅰ) 求曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 P, Q 是曲线 C 上的两个点,当 OP ? OQ 时,求

1 OP
2

?

1 OQ
2

的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a , a ? R (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ?

1 ( x ? 1) ; 2

(Ⅱ)记函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2 的值域为 A ,若 A ? [?1,3] ,求 a 的取值范围.

5

福建师大附中 2016 届高三模拟考试参考答案 数学(文科) 1-16.ABCBA BACCD BB

y ? x ? 1 ,5,

? 8 2 ?, 6 3

17.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ? 1 ? 1; 当 n≥2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 2n ?1 经验证可知 n ? 1 时,也适合上式, ? an ? 2n ?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得: bn ?

n , 2n

1 1 1 1 Tn ? 1? ? 2 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? ( n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n?2 ? n? 1 Tn ? ? 2 ? ??? ? n ? n n ?1 = 1 ? ?1 ? ? ? ( ) n ,所以 Tn ? 2 ? n . 2 2 2 2 2 2 ? 2? 2

19.证明: (Ⅰ) 取 PB 得中点 N , 连接 MN , 在 ?PBC 中,MN ∥ 又因为已知

1 1 BC ,且 MN = BC 2 2

1 1 DA ∥ BC ,且 DA = BC 2 2 ? DA ? MN ,且 DA ∥ MN ,所以四边形 DAMN 为平行四边形,----------4 分 ? MD ∥ NA ,又? MD ? 平面 PAB ,? MD ∥平面 PAB -------------6 分 (Ⅱ)取 AB 中点 G ,连接 PG ,因为 PA ? PB ,所以 PG ? AB ????????7 分 又平面 PAB ? 平面 ABCD ,所以 PG ? 平面 ABCD ????????????9 分
连接 AC ,因为 AD ? DC , AD ? DC ? 2 ,所以 AC ? 2 2 ??10 分
6

所以 VD ? PAC ? VP ? ADC ? 所以 PA ?

1 2 S?ADC ? PG ? ,得 PG ? 1 ???????????11 分 3 3

AG2 ? PG2 ? 3 ???????????????????????12 分

20.解: (1)因为点 F

?

3, 0 在圆 ? : x ? 3

?

?

?

2

? y 2 ? 16 内,所以圆 ? 内切于圆 ? .

因为 ?? ? ?F ? 4 ? F?

所以点 ? 的轨迹 ? 是以 ? ? 3, 0 , F 且 2a ? 4 , c ? 3 ,所以 b ? 1 . 所以轨迹 ? 的方程为

?

?

?

3, 0 为焦点的椭圆.

?

(2)当 ?? 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) ,

x2 ? y 2 ? 1. 4

1 ? ?C ? ?? ? 2 . 2 当直线 ?? 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 ?? 的方程为 y ? kx ,
此时 S ???C ?

? x2 4k 2 4 ? ? y2 ? 1 2 2 y ? 联立方程 ? 4 ,得 x? ? , , ? 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? y ? kx ?
所以 ?? ? x ? y ?
2 ? 2 ? 2

4 ?1 ? k 2 ?

1 ? 4k 2 由 ?C ? C? 知, ??? C 为等腰三角形, ? 为 ?? 的中点, ?C ? ?? ,
? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?4 所以直线 ? C 的方程为 y ? ? x ,由 ? , k 1 ?y ? ? x ? k ? 2 4 ?1 ? k 2 ? 4k 4 2 2 2 解得 xC ? 2 , yC ? 2 , ?C ? . k ?4 k ?4 k2 ? 4
S???C ? 2S???C ? ?? ? ?C ? 4 ?1 ? k 2 ? 1 ? 4k 2
2 2



?

4 ?1 ? k 2 ? k2 ? 4

?

?1 ? 4k ?? k
2

4 ?1 ? k 2 ?
2

? 4?



由于

?1 ? 4k ?? k
2

2

? 4?

?1 ? 4k ? ? ? k ?
2

? 4?

?

5 ?1 ? k 2 ? 2



所以 S ???C ?

8 , 5
8 . 5
7

2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时 ??? C 面积的最小值是

8 8 ,所以 ??? C 面积的最小值为 ,此时直线 ?? 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 5 5 1 2 21. 解: (I)由 f ( x) ? x ? 2 x ? a ln x(a ? R ) 2
因为 2 ? 得 f '( x) ? x ? 2 ?

a x2 ? 2 x ? a ? (a ? R) ??1 分 x x

(0, +?) ①当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 恒成立,故 f ( x ) 在区间 上单调递增;??2 分
②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 1 ? 1 ? a ? 1 ? 1 ? a , 由

f '( x) ? 0



0 ? x ? 1? 1? a



x ? 1? 1? a



f '( x) ? 0



1 ? 1 ? a ? x ? 1+ 1 ? a ,
故 f ( x ) 在区间 和 上单调递增, (01 , ? 1 ? a) ( 1 ? 1 ? a, +?) 在区间 上单调递减;??3 分 ( 1 ? 1 ? a, 1+ 1 ? a)
2 ③ a ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x,x ? 0 , f ( x ) 在区间 上单调递减, (0, 2)

1 2

(2, +?) 在区间 上单调递增;?4 分
④ a ? 0 时, 1 ? 1 ? a ? 0 ? 1 ? 1 ? a , 由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ? 1 ? a ; f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1+ 1 ? a , 故 f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;??5 分 (0, 1+ 1 ? a) ( 1 ? 1 ? a, +?)

(0, +?) 综上所述:当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 上单调递增;当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间
和 上单调递增,在区间 上单调递减; ( 1 ? 1 ? a, 1+ 1 ? a) (0, 1? 1? a) ( 1 ? 1 ? a, +?)

a ? 0 时, f ( x) 在区间 (2, +?) (0, 2) 上单调递减,在区间 上单调递增;a ? 0 时, f ( x) 在
区间 上单调递减,在区间 上单调递增.?6 分 (0, 1+ 1 ? a) ( 1 ? 1 ? a, +?) (II)由(I)可知, 0 ? a ? 1 ,且 x1 +x2 =2,x1 ? x2 =a ,??7 分 ∴
8

f ( x2 ) ?

1 2 1 2 1 2 2 x 2 ? 2 x2 ? a ln x2 = x 2 ? 2 x2 ? x2 (2 ? x2 ) ln x2 ? x 2 ? 2 x2 ? (2 x2 ? x2 ) ln x2 2 2 2

∵ x1 ? x2 ,且 x1 +x2 =2,x1 ? x2 =a , 0 ? a ? 1 ,∴ 0 ? x2 ? 2 。??8 分 令 g ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? (2 x ? x 2 ) ln x, x ? (0, 2) ??9 分 2

则 g '( x) ? x ? 2 ? (2 ? 2 x) ln x ?

2 x ? x2 ? 2(1 ? x) ln x ??10 分 x

当 0 ? x ? 1 ,1 ? x ? 0,ln x ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 ,1 ? x ? 0,ln x ? 0 ,所以

g '( x) ? 0 ;∴ x ? (0, 2) , g '( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 (0, 2) 上单调递减。??11 分
∴ x ? (0, 2) 时, g ( x) ? g(2) ? ?2 综上所述:若 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x ) 的两个极值点,则 f ( x2 ) ? ?2 。??12 分 22.解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 BD ?

1 1 BC , CE ? CA 知: ?ABD ? ?BCE ??2 分 3 3
o

从而有 ?ADB ? ?BEC ,于是 ?ADC ? ?BEC ? 180 ?????????3 分 所以 P 、 D 、 C 、 E 四点共圆?????????????????5 分 (Ⅱ)如图,连接 DE ,在 ?CDE 中,由 CD ? 2CE, ?DCE ? 60o 及余弦定理

DE 2 ? CD2 ? CE 2 ? 2CD ? CE cos ?DCE 得

A

DE ? 3CE ?????????????????????7 分
2 2 2 2 因为 DE ? CE ? 4CE ? CD ,所以 DE ? CE ???8 分

P B D

E C

由 P 、 D 、 C 、 E 四点共圆知 ?DPC ? ?DEC ???9 分 故 AP ? CP ???????????????????????????10 分

23.解: (Ⅰ)由 ? ?
2

6 2 2 2 2 得 2? cos ? ? 3? sin ? ? 6 , 2 2 cos ? ? 3sin ?
2

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入得到曲线 C 的普通方程是

x2 y2 ? ?1 3 2
9

(Ⅱ)? ? ?
2

6 2 2 cos ? ? 3sin 2 ?

?

1

?2

?

cos 2 ? sin 2 ? ? 3 2

由 OP ? OQ ,设 ? ( ?1 , ? ) ,则 Q 点的坐标可设为 ( ? 2 , ? ?

?
2

),

?

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1

?

2 1

?

1

?2 2

?

cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? 1 1 5 ? ? ? ? ? ? 3 2 6 3 2 3 2

24. 解: (Ⅰ)由 于 a ? 1 ,故 f ( x) ? ? 当 x ? 1 时,由 f ( x) ?

?1 ? x, x ? 1 ? x ? 1, x ? 1

1 1 1 ( x ? 1) ,得 1 ? x ? ( x ? 1) ,解得 x ? ; 2 2 3 1 1 当 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ,得 x ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 3 2 2 1 1 综上,不等式 f ( x) ? ( x ? 1) 的解集为 (??, ] ? [3, ??) 2 3

a ? 2, x ? a ? ? (2)当 a ? 2 时, g ( x) ? ?2 x ? 2 ? a, a ? x ? 2 , g ( x) 的值域 A ? [a ? 2, 2 ? a] ? 2 ? a, x ? 2 ?
当 A ? [?1,3] ,得 ?

?a ? 2, x ? 2 ,解得 a ? 1 ,又 a ? 2 ,故 1 ? a ? 2 ? 2?a ? 3

a ? 2, x ? 2 ? ? 当 a ? 2 时, g ( x) ? ? ?2 x ? 2 ? a, 2 ? x ? a , g ( x) 的值域 A ? [2 ? a, a ? 2] ? 2 ? a, x ? a ?
当 A ? [?1,3] ,得 ?

?2 ? a ? ?1 ,解得 a ? 3 ,又 a ? 2 ,故 2 ? a ? 3 ? a?2?3

综上, a 的取值范围为[1,3]

10


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