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函数的极值和最值(习题)


【巩固练习】
1.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

2.设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 A. 若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B. 若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C. 若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D. 若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 3.设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则 x



) B.x=

1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 4.函数 y=

D.x=2 为 f(x)的极小值点

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
B(0,1] C[1,+∞) D(0,+∞)

A( ? 1,1]

5.已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.函数 f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。 7.函数 y=1+3x-x 的极大值是_______,极小值是________。 8.函数 f(x)=12x-x3 在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。 9.函数 f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。 10.函数 y=x+2cosx 在区间 [0, ] 上的最大值是________ 。 11.已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x(a≠0),求 f(x)的极大值与极小值。 12.已知函数 f(x)=ax +3x -x+1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。 13.设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值。 (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围。
2 14.设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A
2 3 2 3 2 3

1 2

B.

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(1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 15.设 f ( x) ? ae ?
x

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 【参考答案与解析】 1. C 2. A

3 x ;求 a , b 的值. 2
5. C 10.

3. D 8.-16;

4. B 9.0;

+? ) 6. ( ,

1 e

7.3,-1;

?
6

? 3

11. 【解析】 若 a>0,则 当 x=-a 时,f(x)的极大值为 5a3。 当 x=3a 时,f(x)的极小值为-27a3. 若 a<0, 则当 x=3a 时,f(x)的极大值为-27a3, 当 x=-a 时,f(x)的极小值为 5a3 12. a≤-3 13. 【解析】 (I)a=-3,b=4 (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c 恒成立, 所以 9+8c<c ,解得 c<-1 或 c>9, 因此 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞) 14. 【解析】 (1)令 g ( x) ? 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ,
2 2

? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 9a2 ? 30a ? 9 ? 3(3a ?1)(a ? 3) 。
① 当0 ? a ?

1 时, ? ? 0 , 3

方程 g ( x) ? 0 的两个根分别为

x1 ?

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 , x2 ? , 4 4

所以 g ( x) ? 0 的解集为

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 (??, ) ( , ??) 。 4 4
因为 x1 , x2 ? 0 ,所以
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D?A
② 当

B ? (0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 ) ( , ??) 。 4 4

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? 0 恒成立, 3
B ? (0, ??) ,

所以 D ? A

综上所述,当 0 ? a ?

1 时, 3

D ? (0,


3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 ) ( , ??) ; 4 4

1 ? a ? 1 时, D ? (0, ??) 。 3

(2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? a)( x ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 。 ① 当0 ? a ?

1 时,由(1)知 D ? (0, x1 ) ( x2 , ??) , 3

因为 g (a) ? 2a2 ? 3(1 ? a)a ? 6a ? a(3 ? a) ? 0 ,

g (1) ? 2 ? 3(1 ? a) ? 6a ? 3a ?1 ? 0 ,
所以 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

?


(a, x1 ) ?


( x2 , ??) ?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,没有极小值点。 ② 当

1 ? a ? 1 时,由(1)知 D ? (0, ??) , 3

所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(0, a ) ?


a
0 极大值

(a,1) ?


1
0 极小值

(1, ??) ?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,极小值点为 x ? 1 。 综上所述,当 0 ? a ? 当

1 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? a ,没有极小值点; 3

1 ? a ? 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? a ,一个极小值点 x ? 1 。 3
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1 1 a 2t 2 ? 1 ? 15. 【解析】(I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ? ?b ? y ? a? 2 ? at at at 2
x

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数 at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ? b a 1 ?b ? 2?b ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? at 1 x 当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 a 1 1 x x (II) f ( x) ? ae ? x ? b ? f ?( x) ? ae ? x ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e ?? 由题意得: ? 3?? f ?(2) ? ? ? ae 2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ?

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