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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标I卷)


2013 年高考理科数学试题解析(课标Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应

的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1、已知集合 A={x|x -2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则 ( ) A、A∩B=? B、A∪B=R C、B? A D、A? B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题. 【解析】A=(- ? ,0)∪(2,+ ? ), ∴A∪B=R,故选 B. 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( ) A、-4 4 (B)- 5 (C)4 4 (D) 5
2

【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题. 【解析】由题知 z =

| 4 ? 3i | 4 42 ? 32 (3 ? 4i) 3 4 = = ? i ,故 z 的虚部为 ,故选 D. 3 ? 4i 5 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力 情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样 方法是按学段分层抽样,故选 C. 4、已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
1 x 3 1 C.y?? x 2
D . y ? ?x

A.y??

1 x 4

B.y??

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题. 【解析】由题知, 程为 y ? ?

5 c 2 a 2 ? b2 b 1 b2 1 c 5 ? ,即 = 2 = ,∴ = ,∴ = ? ,∴ C 的渐近线方 2 2 4 a a 2 a a 4 a 2

1 x ,故选 C . 2

5、运行如下程序框图,如果输入的 t ?[?1,3] ,则输出 s 属于
-1-

A .[-3,4]

B .[-5,2]

C .[-4,3]

D .[-2,5]
2

【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题. 【解析】有题意知,当 t ? [?1,1) 时, s ? 3t ? [?3,3) ,当 t ?[1,3] 时, s ? 4t ? t ? [3, 4] , ∴输出 s 属于[-3,4],故选 A . 6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一 个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水 深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) 500π 3 A、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 866π 3 B、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易 题. 【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的距

4? ? 53 500π cm3 ,故选 A. 离为 R-2,则 R ? ( R ? 2) ? 4 ,解得 R=5,∴球的体积为 = 3 3
2 2 2

7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm?1 =-2, Sm =0, Sm?1 =3,则 m = (

)

A、3 B、4 C、5 D、6 【命题意图】 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式, 考查方程思想, 是容易题. 【解析】有题意知 Sm =

m(a1 ? am ) =0,∴ a1 =- am =-( Sm - Sm?1 )=-2, 2

am?1 = Sm?1 - Sm =3 ,∴公差 d = am?1 - am =1 ,∴ 3= am?1 = -
2 ? m ,∴ m =5,故选 C.
8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A . 16 ? 8? B . 8 ? 8? C . 16 ? 16? D . 8 ? 16? 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式,是中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为

1 ? ? 22 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? ,故选 A . 2
9、设 m 为正整数, ( x ? y)
2m

展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y) ( )

2 m?1

展开式的二项式

系数的最大值为 b ,若 13 a =7 b ,则 m = A、5 B、6 C、7 D、8

-2-

【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题.
m m ?1 m m ?1 b 【解析】由题知 a = C2 m , = C2 m ?1 ,∴13 C2 m =7 C2 m ?1 ,即

13 ? (2m)! 7 ? (2m ? 1)! = , m !m ! (m ? 1)!m !

解得 m =6,故选 B. 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A、 + =1 45 36 ( ) C、 + =1 27 18

x2 y2 a b

x

2

y

2

B、 + =1 36 27

x

2

y

2

x2

y2

D、 + =1 18 9

x2

y2

【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题. 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 =2, y1 ? y2 =-2,

x12 y12 ? ?1 a 2 b2
①-②得



2 2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2



( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, a2 b2

∴ k AB =

0 ?1 1 b2 1 y1 ? y2 b2 ( x ? x2 ) b 2 2 2 2 =? 2 1 = 2 ,又 k AB = = ,∴ 2 = ,又 9= c = a ? b ,解 3 ?1 2 a 2 x1 ? x2 a ( y1 ? y2 ) a
2

得 b =9, a =18,∴椭圆方程为

2

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 D. 18 9

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 11、已知函数 f ( x ) = ? ,若| f ( x ) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0
A . (??, 0] B . (??,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0]

【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。 【 解 析 】 ∵ | f ( x ) |= ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0

, ∴ 由 | f ( x) | ≥

ax 得 , ?

?x ? 0

2 ? x ? 2 x? a x



?x ? 0 , ? ?ln( x ? 1) ? ax
由?

?x ? 0
2 ? x ? 2 x ? ax

可得 a ? x ? 2 ,则 a ≥-2,排除A,B,

当 a =1 时,易证 ln( x ? 1) ? x 对 x ? 0 恒成立,故 a =1 不适合,排除 C,故选 D. 12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

cn+an
2

,cn+1=

bn+an
2

,则(

)

-3-

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题.
2 【解析】 b c = b ? [ta ? (1 ? t )b] = ta ? b ? (1 ? t )b =

1 1 t ? 1 ? t = 1 ? t =0,解得 t = 2 . 2 2

14、若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系,是 容易题.

2 1 a1 ? ,解得 a1 =1, 3 3 2 1 2 2 1 2 当 n ≥2 时, an = Sn ? Sn?1 = an ? -( an ?1 ? )= an ? an ?1 ,即 an = ?2an?1 , 3 3 3 3 3 3
【解析】当 n =1 时, a1 = S1 = ∴{ an }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,∴ an = (?2)
n ?1

.

15、设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题, 是难题. 【解析】∵ f ( x ) = sin x ? 2 cos x = 5(

5 2 5 sin x ? cos x) 5 5

令 cos ? =

5 2 5 , sin ? ? ? ,则 f ( x ) = 5(sin x cos ? ? sin ? cos x) = 5 sin( x ? ? ) , 5 5

当 x ? ? = 2 k? ?

?
2

, k ? z ,即 x = 2k? ?

?
2

? ? , k ? z 时, f ( x) 取最大值,此时

? = 2 k? ?

?
2

? ? , k ? z ,∴ cos ? = cos(2k? ?
2 2

?
2

? ? ) = sin ? = ?

2 5 . 5

16、若函数 f ( x ) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x =-2对称,则 f ( x ) 的最大值是 ______. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题. 【解析】由 f ( x ) 图像关于直线 x =-2 对称,则

-4-

0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3)2 ][(?3)2 ? 3a ? b] , 0= f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5)2 ][(?5)2 ? 5a ? b] ,解得 a =8, b =15, ∴ f ( x ) = (1 ? x2 )( x2 ? 8x ? 15) , ∴ f ?( x ) = ?2x( x2 ? 8x ? 15) ? (1 ? x2 )(2x ? 8) = ?4( x3 ? 6 x2 ? 7 x ? 2) = ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0, 当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x ) <0, ∴ f ( x ) 在(-∞,?2 ? 5 )单调递增,在( ?2 ? 5 ,-2)单调递减,在(-2,?2 ? 5 ) 单调递增,在( ?2 ? 5 , + ∞)单调递减,故当 x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 时取极大值,

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易 题. 【解析】 ( Ⅰ ) 由 已 知 得 , ∠ PBC= 60 , ∴ ∠ PBA=30 , 在 △ PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得
o

o

PA2 = 3 ?

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= ; 4 2 4 2

( Ⅱ ) 设 ∠ PBA=

? , 由 已 知 得 , PB= sin ? , 在 △ PBA 中 , 由 正 弦 定 理 得 ,

3 sin ? ,化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , ? o sin150 sin(30o ? ? )
∴ tan ? =

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

18、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA

-5-

A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象能 力、逻辑推论证能力,是容易题. 【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A 1B , A 1E , ∵AB= AA1 ,?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴A 1E ⊥AB, ∴AB⊥ AC 1 ;

∵CA=CB,

∴CE⊥AB, ……6分

∵ CE ? A1E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A 面 ABC∩面 ABB1 A 1, 1 =AB, ∴EC⊥面 ABB1 A 1 ,∴EC⊥ EA 1, ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0), A 1 (0,

3 ,0),C(0,0,

3 ),B( - 1,0,0), 则 BC = ( 1,0 ,
……9 分

3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), AC 1 =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, 则?

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? BB1 ? 0

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0 ? ?x ? 3y ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

∴ cos n, A1C =

n ? A1C | n || A1C |

10 , 5
10 . 5
……12 分

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产 品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品, 则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批
-6-

产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否 为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。 【命题意图】 【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全 为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的 1 件产品是优 质品为事件 D,这批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C4 ( ) ?
3 2

1 2

1 1 4 1 4 1 3 ? ( ) + ( ) ? = .…6 分 2 2 2 2 64

(Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- C4 ( ) ?
3 3

1 2

1 1 4 11 1 1 1 3 1 3 ? ( ) = ,P(X=500)= ,P(X=800)= C4 ( ) ? = , 2 2 16 16 2 2 4
40 5 00 00 8

∴X 的分布列为 X 0 P

11 16

1 16

1 4
……10 分 ……12 分

EX=400×

11 1 1 +500× +800× =506.25 16 16 4

(20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆 心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 当圆 P 的半径最长时, 求|AB|. 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r 1 ) ? (r 2 ? R) = r 1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶

点除外),其方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2,
-7-

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 时,由 r1 ≠R知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为Q,则
0 0

| QP | R = ,可 | QM | r1

求得Q(-4,0),∴设 l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆M相切得

| 3k | 1? k
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 . 4

当k =

x2 y 2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解得 时,将 y ? x ? 2 代入 ? 4 3 4 4
18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . 7 7
18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4 18 或|AB|= 2 3 . 7

x1,2 =

当 k =-

综上,|AB|=

(21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点
2

P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、 函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,
x 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x ) = e (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;……4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x x 2 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) ,

-8-

有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1) 若1 ? k ? e , 则-2< x1 ≤0, ∴当 x ? (?2, x1 ) 时,F ( x) <0, 当 x ? ( x1 , ?? ) 时,F ( x)
2

>0,即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) ,
2 而 F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x1 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,

∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e2 ( x ? 2)(ex ? e2 ) ,
2

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 ?2

? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ]. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分 线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求
2

△BCF 外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题. 【解析】 (Ⅰ)连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE= 90 ,由勾股定理可得DB=DC.
0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=
o
o

3 . 2

设DE中点为O,连结BO,则∠BOG= 60 ,∠ABE=∠BCE=∠CBE= 30 ,

-9-

∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于

3 . 2
已知曲

(23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) ,以坐标原点为极 ? y ? 5 ? 5sin t

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为

? ? 2sin ? 。
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两 曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题. 【解析】将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t ? x ? ? cos ? 代入 x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 得, ? y ? ? sin ?

即 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 ,将 ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0 ;
2

(Ⅱ) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2

由?

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 解得 或? ,∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分别为 ? 2 2 y ? 1 y ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 ? ? ? ?

( 2,

?
4

, () ) ,2

?
2

.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x ) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x ) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题. 【解析】当 a =-2时,不等式 f ( x ) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

- 10 -

? ? ?5 x , ? ? 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, ? ?3 x ? 6, ? ?

x?

1 2

1 ? x ? 1, 2 x ?1

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集 是 {x | 0 ? x ? 2} .

a 1 , )时, f ( x ) = 1 ? a , 不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a ∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ? , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2 4 ∴ a 的取值范围为(-1, ]. 3
(Ⅱ) 当 x ∈[ ?

- 11 -


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