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圆锥曲线的极点与极线的重要结论


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中学数学研究

2014 年第 10 期 (上)

圆锥曲线的极点与极线的重要结论
华南师范大学附属中学 (广州, 510630) 罗碎海
文 【1】 很值得一读, 原文作者的探究思想与技巧方法启 特例: 以圆锥曲线焦点为极点的极线是该焦点所对应的 准线.反之亦真. 定理: 一个四边形的四个顶

点 在一条二阶曲线上, 则这个四边形 的对边延长线的交点 (假设四边形 对边不平行) 及其对角线交点的组 成的三角形的任一顶点是其对边的 极点 【3】 。 证明见参考资料 【3】 。 图1

迪我们的思维, 作者的严格推理与运算毅力震撼我们的心

灵。他由 2012 年北京卷解析几何题探究出 5 个优美的结论, 而且 5 个结论的证明过程使用高中解析几何的初等方法。 阅读再三, 心潮澎拜。为了我们更系统理解和应用这类知 的一些心得, 本人不揣浅陋将此类问题归纳如下。 识, 结合以前看到的涉及这类问题的研究文章 【2】 以及个人

1、 圆锥曲线的极点与极线定义及统一定理
圆锥曲线 (也称为二次曲线) 有许多奇妙的性质, 其中极 点与极线就是最具代表性的特点之一。为了方便掌握, 我们 从方程角度给出定义. ① , 已 知 点 P (x0,y0) ( 非 中 心) 及 直 线 l: x y + y0 x x +x y +y Ax 0 x + B 0 + Cy 0 y + D 0 +E 0 + F = 0 ②, 我们 2 2 2 称点 P (x0,y0) 为直线 l 关于圆锥曲线 C 的极点, 称直线 l 为点 P 关于圆锥曲线 C 的极线 【2】 。 定义: 对于圆锥曲线 C: Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0
2 2

(如图所示, 点 Q 的极线是直线 PR, 点 P 的极线是直线 QR。 )

2、 极点与极线的具体性质
在上面的定理中, 包含了许多内容, 以下具体列出: (1) 过点 P 作圆锥曲线的割线, 交点为 M、 N, 在直线 PN | HM | | PM | 上有一点 H 满足 = ,则点 H 在点 P 的极线上[4]。 |HN| |PN|
, (1) 过点 P 作动直线与圆锥曲线交于 M、 N, 在该直线上 有一点 H 满足 |HM| = |PM| ,则点 H 的轨迹是点 P 的极线的一 |HN| |PN|

从形式上看, 直线 l 的方程是在圆锥曲线方程中按照以 x y + y0 x x +x 下置换: x2 → x0x, y 2 → y 0y , xy→ 0 , x→ 0 , y→ 2 2 y0 + y 而得到。 2

如图 1, 点 H 就是点 R。

段。

(2) 过点 P 作直线 l 与圆锥曲线交于 M、 N, 与对应极线交

转化为函数 y = f (x) = ex - mx2( x > 0 ) 的零点个数.解法 2 将
y = f (x) = ex - mx2 转 化 为 y = f (x) =(e + m x)(e - m x) , 进而
x 2 x 2

如图 6, 在同一坐标系中作出 y = a α 与 y = α m x 的图象, 当直线 y = α m x 与曲线 y = e α 相切时, 设切点为 (x 0 , a α ) , 则 切 线
x0 x x0

x

转化为函数 y = g(x) = e 2 - m x( x > 0 ) 的零点个数, 避免了求

x

二阶导数, 从而化难为易, 起到了事半功倍之效.解法 3、 解 法 4 将两曲线的交点个数转化为直线与曲线的交点个数, 解 法 5 通过分离参数将 f (x) = 0 转化为 m = g(x) , 进而将函数的 1 至解法 6 均是解决参数问题的通性、 通法, 其中解法 1、 解法







x ln a α y = 1 a α (ln a)x +(1 - 0 )a , α α
x0

y - a α = 1 a α (ln a)(x - x 0) α
x0 x0

, 即

零点个数转化为直线 y = m 与曲线 y = g(x) 的交点个数, 解法 2 需分类讨论, 解法 3、 解法 4 要转化为直线与曲线的位置关 分离参数思想, 避免了对参数的讨论.
α


x0 α

(1 -

x 0 ln a α ) =0 α
x0 1

, 即
1

系, 再求出直线与曲线相切时的参数值, 解法 5、 解法 6 利用 推广: 设 x > 0 ,α > 0 ,a > 1 , 且 α, a 为常数, 讨论曲线 分析: 当 x > 0 时, 曲线 y = a x 与 y = mxα (m > 0) 的公共点
x

m = 1 a (ln a) = ln a a1na , m =( ln a a ln a )α , α α α
1

x0 = α ln a

, 从



y = a x 与曲线 y = mxα (m > 0) 公共点个数.

公共点; 当 m =( ln a a ln a )α 时, 曲线 y = a x 与 y = mxα (m > 0) 有 α
1

∴当 0 < m <( ln a a ln a )α 时, 曲线 y = a x 与 y = mxα (m > 0) 无 α
1

个数等价于方程 a x = mxα 在 (0, +∞) 上的根的个数, 等价于为 方程 a α = α m x 在 (0, +∞) 上的根的个数.

一个公共点; 当 m >( ln a a ln a )α 时, 曲线 y = a x 与 y = mxα (m > 0) α 有两个公共点.

2014 年第 10 期 (上) 于点 R, 则 1 + 1 = 2 【2】. |PM| |PN| |PR|

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许多高考题是以极点与极线的背景编制的, 只是未出现 极点极线的名词。有了上面的知识, 对待这类高考题如掌上 观纹, 一眼可看出答案, 剩下的问题只需用常规书写而已。
= 8(m?R)

, (2) 过点 P 作动直线与圆锥曲线交于 M、 N, 在该直线上 1 1 2 有一点 R 满足 + = ,则 |PM| |PN| |PR|

点 R 的轨迹是点 P 的极线的一段。

例 1 (2012 北 京 卷 19) 、 已 知 曲 线 C:(5 - m)x2 +(m - 2)y 2

处的切线方程为②。即若极点在圆 锥曲线上, 则极线为过该点的切线
[ 5]

(3) 圆锥曲线 ① 上一点 P (x0,y0) 图2

(1) 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 求 m 的取值范围; (2) 设 m=4 , 曲线 C 与 y 轴的交点为 A, B(点 A 位于点

。 (如图 2)

一点, 过 P 作该圆锥曲线的两条切 直线方程为极线②[5]( . 如图 3)

(4) 点 P(x0, y0) 为圆锥曲线 ① 外

线 y = 1 与直线 BM 交于点 G .求证:A, G, N 三点共线.

B 的上方) , 直线 y = kx + 4 与曲线 C 交于不同的两点 M, N , 直

线, 设切点为 A、 B, 则过切点 A、 B的 (5) 过点 P(x0 , y0) 作一直线与圆 图3

定点 (0,4) , 而点 (0,4) 关于椭圆 x2+2y2=8 的极线为 y=1, 所以, A、 G、 N 三点自然共线。 例 2(2010 江苏卷 18) 、 在平面

分析 (2) : m=4 时的椭圆方程为 x2+2y2=8, 直线 y=kx+4 过

锥曲线 ① 相交, 过交点作圆锥曲线 ① 的切线, 两切线交点的轨迹方程

直角坐标系 xoy 中, 如图, 已知椭圆
2 x2 + y = 1 的左、 右顶点为 A、 B, 右焦 9 5

为直线②; 过直线②上任一点作圆锥曲线①两切线 (存在的 话) , 切点弦交于点 P(x0 , y0) [5]。 (如图 4) (6) 如图 1, 过 P(x0, y0)作圆锥曲线①的两条割线, 设交点

点 为 F。 设 过 点 T (t, m) 的 直 线 TA、 TB 与椭圆分别交于点
m > 0, y1 > 0, y 2 < 0.

分别为 A、 B, C、 D, 则直线 AC 与 BD 的交点 R 在极线②上, 且 直线 AD 与 BC 的交点 Q 也在极线② 上, 由此可知, 直线 RQ 就是点 P 的 极线. 就是定理的表述, 证明见 【3】 。 外一点作圆锥曲线切线的方法: 点分别为 A、 B, C、 D, 若直线 AC 与 点为 R, 连 R、 Q 的直线与圆锥曲线 交于 T、 S, 连 PT、 PS, 则直线 PT、 PS 为圆锥曲线的切线, T、 S 为切点。 (如 图 5) 由定理及性质 (4) 立即证明。 图5 由以上结论, 可得过圆锥曲线

M (x1, y1)、N (x 2 , y 2) , 其中

图7

(1) 设动点 P 满足 PF 2 - PB2 = 4 ,求点 P 的轨迹; (2) 设 x1 = -2, x 2 = - 1 , 求点 T 的坐标; 3

图4

与 m 无关) 。

(3) 设 t = 9 ,求证: 直线 MN 必过 x 轴上的一定点 (其坐标 分析 (3) : 因为点 (9, m) 关于椭圆的极线为 x+y=1,此极线 如果我们从更高的层次看我们所遇到的数学问题, 往往

(7) 过 P(x0, y0)作圆锥曲线①的两条割线 PAB、 PCD, 设交

与 x 轴交于点 (1,0) , 这就是 MN 所过的定点。

BD 的交点为 Q, 直线 AD 与 BC 的交

会看透其本质, 有一种 “原来一直在黑暗中摸索” 的感觉, 真 希望我们真正能感受这光明的数学世界。
参考文献: [1] 杨华.2012 年高考北京卷解析几何题的探究 [J]. 中学数学研究. [2]邹书生. 圆锥曲线的极点与极线的一组性质[J]. 中学数学教学. [3]梅向明. 高等几何 ( 第二版 ) [ M ] . 高等教育出版社. 2000 年 5 月. [4]梅向明. 高等几何 ( 第二版 ) [ M ] . 高等教育出版社. 2000 年 5 月. 学参考. 2009. (3). [5]罗碎海. 方程 x0x+y0y=r2 与 x2+y2=r2 几何背景的探讨[J]. 中学数学教 [6]姜坤崇. 圆锥曲线关于极点极线的一个统一性质[J]. 中学数学教学 2010.(4) . 2014.(6) (上).

P 是平面内的一点 (非原点, 非渐近 线上的点) , 点 P 的极线为 l, 若 OP (O 为坐标原点) 与曲线 C 与极线依 次交于 R、 Q (如图 6) , 则
【6】 |OP| · |OQ|=|OR|2。

(8) 对于有心二次曲线 C, 若点

3、 极点与极线的应用

图6

[J] . 2010. (4).


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