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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-1


基础巩固强化 一、选择题 1.(2013· 山东潍坊一中月考)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1= 0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( A.1 或 3 C.3 或 5 [答案] C 3 [解析] 若 k=3,则两直线为 y=-1,y=2,此时两直线平行, k-3 4-k 1 所以满足条件. 当 k≠3 时, 要使两直线平行, 则有 =

≠ , 2?k-3? -2 3 1 4-k 1 即2= ≠ ,解得 k=5,综上满足条件的 k 值为 k=3 或 k=5,选 -2 3 C. 2.(文)直线 xcos140° +ysin140° =0 的倾斜角是( A.40° C.130° [答案] B cos140° [解析] 直线的斜率 k=- sin140° cos40° sin50° = sin40° =cos50° =tan50° , ∴倾斜角为 50° . (理)已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线 l 的斜率是( ) B.50° D.140° ) B.1 或 5 D.1 或 2 )

A.0 C. 3 [答案] C

3 B. 3 D.- 3

[解析] 由条件知,直线 PQ 的倾斜角为 120° ,旋转后所得直线 l 与直线 PQ 夹角为 60° ,因此直线 l 的倾斜角为 60° ,∴斜率 k= 3. 1 2 x2 y2 3. (文)(2013· 陕西检测)经过抛物线 y=4x 的焦点和双曲线17- 8 =1 的右焦点的直线方程为( A.x+48y-3=0 C.x+3y-3=0 [答案] D [解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0,1),双曲线的右焦点坐标为 ) B.x+80y-5=0 D.x+5y-5=0

0-1 (5,0),则过这两点的直线方程为 y-0= (x-5),即 x+5y-5=0. 5-0 (理)(2013· 河南安阳一模)平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点,D 点在直线 3x-y+1=0 上移动,则 B 点的轨迹方程为( ) B.3x-y-10=0 D.3x-y-12=0

A.3x-y-20=0 C.3x-y-9=0 [答案] A

5 [解析] 设 AC 的中点为 O,则 O(2,-2). 设 B(x,y)关于点 O 的对称点为(x0,y0),
? ?x0=5-x, 即 D(x0,y0),则? ? ?y0=-4-y,

由 3x0-y0+1=0 得 3x-y-20=0.

4.(2013· 保定调研)若实数 x,y 满足 x|x|-y|y|=1,则点(x,y)到 直线 y=x 的距离的取值范围是( A.[1, 2) 1 C.(2,1) [答案] D [解析] ) B.(0, 2] D.(0,1]

①当 x≥0 且 y≥0 时,x|x|-y|y|=x2-y2=1;②当 x>0 且 y<0 时, x|x|-y|y|=x2+y2=1;③当 x<0 且 y>0 时,无意义;④当 x<0 且 y<0 时,x|x|-y|y|=y2-x2=1.作出图象如图所示,因为直线 y=x 为两段 等轴双曲线的渐近线,四分之一个单位圆上的点到直线 y=x 的距离 的最大值为 1,所以选 D. 5.(文)曲线 y=k|x|及 y=x+k(k>0)能围成三角形,则 k 的取值范 围是( ) B.0<k≤1 D.k≥1

A.0<k<1 C.k>1 [答案] C

[解析] 数形结合法.在同一坐标系中作出两函数的图象,可见 k≤1 时围不成三角形,k>1 时能围成三角形. (理)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),当 x<0 时,f(x)>1,方程 y

1 =ax+a表示的直线是(

)

[答案] C [解析] ∵x<0 时,ax>1,∴0<a<1. 1 ∴直线 y=ax+a的斜率 a 满足 0<a<1, 1 在 y 轴上的截距a>1.故选 C. 6.(文)(2013· 南宁调研)与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直 线方程为( ) B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 [答案] A

[解析] 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x- 4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0. (理)一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反 射,则反射光线所在的直线方程为( A.2x+y-6=0 ) B.x-2y+7=0

C.x-y+3=0 [答案] B

D.x+2y-9=0

[解析] 取直线 2x-y+2=0 上一点 A(0,2), 设点 A(0,2)关于直线 x+y-5=0 对称的点为 B(a,b), b+2 + ?a 2 2 -5=0, 则? b-2 ? a =1.
? ?a=3, 解得? ∴B(3,5). ?b=5. ?

? ? ?2x-y+2=0, ?x=1, ? 由 解得? ∴直线 2x-y+2=0 与直线 x ? ? ?x+y-5=0. ?y=4.

+y-5=0 的交点为 P(1,4),∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4) 的直线上,其直线方程为 y-4= 故选 B. 二、填空题 1 7.若三直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky+k+2=0 能围 成三角形,则 k 不等于________. 3 1 [答案] 2、-1 和-2
? ?x-y-1=0, [解析] 由? 得交点 P(-1,-2), ?2x+3y+8=0. ?

4-5 (x-1),整理得 x-2y+7=0, 1-3

1 1 若 P 在直线 x+ky+k+2=0 上,则 k=-2. 此时三条直线交于一点; 3 若 k=2或 k=-1,则在三条直线中存在两条直线平行. 1 3 综上知 k≠-2,2和-1.

8.已知指数函数 y=2x 的图象与 y 轴交于点 A,对数函数 y=lgx 的图象与 x 轴交于点 B, 点 P 在直线 AB 上移动, 点 M(0, -2), 则|MP| 的最小值为________. [答案] 3 2 2

[解析] A(0,1),B(1,0),∴直线 AB:x+y-1=0, 又 M(0,-2),当|MP|取最小值时,MP⊥AB, ∴|MP|的最小值为 M 到直线 AB 的距离 d= |0-2-1| 3 2 = 2 . 2

9.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y -4k2-4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最 小的 k 值为________. 1 [答案] 8 [解析] 由题意知直线 l1、l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 1 4-k,直线 l2 的横截距为 2k2+2,所以四边形的面积 S=2×2×(4- 1 1 k)+2×4×(2k2+2)=4k2-k+8,故面积最小时,k=8. 三、解答题 10.

(文) (2013· 江苏扬州一模)如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴 成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点, 1 当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=2x 上时,求直线 AB 的方程. [解析] 由题意可得 kOA=tan45° =1, kOB=tan(180° -30° )=-

3 3 ,所以直线 l OA:y=x,lOB:y=- 3 3 x. 设 A(m,m),B(- 3n,n), m- 3n m+n 所以 AB 的中点 C( 2 , 2 ), 1 由点 C 在直线 y=2x 上,且 A、P、B 三点共线得, m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,
? ?m= 3, 解得? 所以 A( 3, 3). ? ?n=3-2 3,

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 所以 lAB:y= 3+ 3 2 (x-1),

3+ 3 3 = 2 , 3-1

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. (理)

2 (2013· 河北沧州一模)如图,函数 f(x)=x+ x 的定义域为(0,+

∞).设点 P 是函数图象上任一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的 垂线,垂足分别为 M,N. (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 2 [解析] (1)证明: 设 P(x0,x0+ x )(x0>0), 则|PN|=x0,|PM|=
0

2 |x |
0

2

1 =x ,因此|PM|· |PN|=1. 0 2 (2)直线 PM 的方程为 y-x0- x =-(x-x0),
0

?y=x, 2 即 y=-x+2x0+ x ,解方程组? 2 0 y =- x + 2 x 0+ ? x ,
0

得 x=y=x0+ S

1 1 1 ,∴M(x0+ ,x0+ ).连接 OP, 2x0 2x0 2x0 1 1 1 2 | PN || ON | + | PM || OM | = x 0 (x 0 + 2 2 2 x0 )

四边形

OMPN=S△NPO+S△OPM=

11 1 1 2 1 +2· · 2( x ) = 2 + )≥1+ 2, 0+ x0 2(x0+x2 2x0 0 1 当且仅当 x2 0= 2,即 x0=1 时等号成立,因此四边形 OMPN 面积 x
0

的最小值为 1+ 2. 能力拓展提升 一、选择题 11.(2013· 福建龙岩一模)已知直线 l1 的方向向量 a=(1,3),直线 l2 的方向向量为 b=(-1,k),若直线 l2 过点(0,5),且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程是( ) B.x+3y-15=0

A.x+3y-5=0

C.x-3y+5=0 [答案] B

D.x-3y+15=0

[解析] 因为直线 l2 经过点(0,5), 且方向向量为 b=(-1,k), 所以直线 l2 的方程为 y-5=-kx. 又因为直线 l1 的方向向量为 a=(1,3),且 l1⊥l2, 1 所以-k· 3=-1?k=3, 1 所以直线 l2 的方程为 y-5=-3x,即 x+3y-15=0. 12. (文)(2013· 海口模拟)直线 l1 的斜率为 2, l1∥l2, 直线 l2 过点(- 1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) [答案] D [解析] 由题意知,直线 l2 的方程为 y-1=2(x+1), 令 x=0,得 y=3,即点 P 的坐标为(0,3). (理)(2013· 湖南长沙一模)过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0)和(0, b),且 a∈N*,b∈N*,则可作出的直线 l 的条数为( A.1 C.3 [答案] B 1 3 [解析] 由题意得a+b=1?(a-1)(b-3)=3. 又 a∈N*,b∈N*,
? ? ?a=2, ?a=4, ? 所以有两个解 或? ? ? ?b=6 ?b=4.

)

B.(-3,0) D.(0,3)

)

B.2 D.4

13.(文)经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且 截距之和最小,则直线的方程为( A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 [答案] B x y [解析] 设直线方程为a+b=1, 1 4 由条件知 a>0,b>0,a+b=1, 1 4 b 4a ∴a+b=(a+b)(a+b)=5+a+ b ≥5+2 b 4a a· b =9, ) B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

b 4a 等号在a= b ,即 b=2a 时成立.
?a=3, ? 1 4 ∵a+b=1,b=2a,∴? ? ?b=6.

x y ∴直线方程为3+6=1,即 2x+y-6=0. (理)(2013· 山西六校模拟)设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点, 过 点 P 作圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,切点分别为 A,B, 则四边形 PACB 的面积最小值为( A.1 C.2 3 [答案] D [解析] 依题意,圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心是点 C(1,1), 半径是 1,易知|PC|的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的 ) 3 B. 2 D. 3

1 距离 d=2,而四边形 PACB 的面积等于 2S△PAC=2×(2|PA|· |AC|)= |PA|· |AC|=|PA|= |PC|2-1, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 22-1= 3,选 D. 二、填空题 14.(文)(2013· 皖南八校联考)已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx -(a2+1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为________. [答案] 2 [解析] ∵两直线互相垂直, ∴a2b-(a2+1)=0 且 a≠0, ∴a2b=a2+1, a2+1 1 ∴ab= a =a+a, 1 1 ∴|ab|=|a+a|=|a|+|a|≥2.(当且仅当 a=± 1 时取“=”). (理)(2013· 潍坊质检)已知直线 l 过点(0,-1),且与曲线 y=xlnx 相切,则直线 l 的方程为________. [答案] x-y-1=0 [解析] y′=1+lnx,设切点坐标为(x1,y1),则有 y1=x1lnx1, 直线 l 的斜率为 1+lnx1,从而直线 l 的方程为 y=(1+lnx1)· (x-x1)+ x1lnx1,又直线 l 过点(0,-1),所以-1=-x1(1+lnx1)+x1lnx1,解得 x1=1,y1=0,故直线 l 的方程为 x-y-1=0. 15.(文)如果 f ′(x)是二次函数,且 f ′(x)的图象开口向上,顶 点坐标为(1,- 3),那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的 取值范围是________. π 2π [答案] [0,2)∪( 3 ,π)

[解析] 由题意 f ′(x)=a(x-1)2- 3, ∵a>0,∴f ′(x)≥- 3,因此曲线 y=f(x)上任一点的切线斜率 k=tanα≥- 3, π 2π ∵倾斜角 α∈[0,π),∴0≤α<2或 3 <α<π. 1 (理)(2013· 福州质检)已知曲线 y= x ,则曲线的切线中斜率最 e +1 小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________. 1 [答案] 2 [解析] -e x y′ = x = ?e +1?2 -1 1 x x , 因 为 e >0 , 所 以 e + 1 ex x e +ex+2

≥2

1 1 1 x x ex· 即 x = 0 时取等号 ) , 所以 e + x=2(当且仅当 e = x, e e ex+2≥4,

-1 1 故 y′= ≥ - 1 4(当且仅当 x=0 时取等号).所以当 x=0 时, x e +ex+2 1 曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为(0,2),切线的方程 1 1 为 y-2=-4(x-0),即 x+4y-2=0. 1 该切线在 x 轴上的截距为 2, 在 y 轴上的截距为2, 所以该切线与 1 1 1 两坐标轴所围成的三角形的面积 S=2×2×2=2. 三、解答题 16.(文)过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|,求直线 l 的方程. [解析] 当 k 不存在时,B(3,0),C(3,6).

此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|,

∴直线 l 的斜率存在, ∴设直线 l 的方程为:y+1=k(x-3), 1 令 y=0 得 B(3+k,0),
? ?y=2x, 1+3k 由? 得 C 点横坐标 xc= . k-2 ?y+1=k?x-3?. ?

若|BC|=2|AB|则|xB-xC|=2|xA-xB|, 1+3k 1 1 ∴| -k-3|=2|k |, k-2 ∴ 1+3k 1 2 1+3k 1 2 -k-3=k或 -k-3=-k , k-2 k-2

3 1 解得 k=-2或 k=4. ∴所求直线 l 的方程为:3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0. (理)

有一个装有进出水管的容器, 每单位时间进出的水量各自都是一 定的,设从某时刻开始 10min 内只进水、不出水,在随后的 30min 内既进水又出水, 得到容器内水量 y(L)与时间 x(min)之间的关系如图 所示,若 40min 后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系. 20 [解析] 当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0),A(10,20),∴kOA=10 =2,∴此时直线方程为 y=2x; 当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20),B(40,30), 此时 kAB= 30-20 1 = , 40-10 3

1 ∴此时的直线方程为 y-20=3(x-10), 1 50 即 y=3x+ 3 ; 当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进 水的速度为 v1,放水的速度为 v2,在 OA 段时是进水过程,∴v1=2. 在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识可知,此时的速度为 v1 1 +v2=3, 1 5 ∴2+v2=3.∴v2=-3. 5 ∴当 x>40 时,k=-3,又过点 B(40,30), 5 290 ∴此时的直线方程为 y=-3x+ 3 . 令 y=0 得,x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

2x,0≤x≤10, ? ?1x+50,10<x≤40, 3 综上所述:y=?3 5 290 ? - ? 3x+ 3 ,40<x≤58.

考纲要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的 计算公式. 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 3.掌握确定直线位置的几何要素;掌握直线方程的几种形式(点 斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系. 4.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 5.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两平行 直线间的距离. 补充说明 1.判断三点 A、B、C 共线的方法 (1)kAB=kAC(斜率存在时); → ∥AC →; (2)AB (3)求出直线 AB 的方程,验证点 C 满足方程; (4)计算|AB|,|BC|,|AC|,验证满足两个的和等于第三个. 2.若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2 =0,则 l1∥l2 的充分条件是 A1B2-A2B1=0 且 A1C2≠A2C1;而 l1⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0. 3.分类讨论思想

在直线的方程中,涉及分类讨论的常见原因有:确定直线所经过 的象限;讨论直线的斜率是否存在;直线是否经过坐标原点等. 4.对称思想 在许多解析几何问题中,常常涉及中心对称和轴对称的性质,许 多问题,抓住了其对称性质,问题可迎刃而解. 备选习题 1.已知直线 l1、l2 的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy+d=0,其 图象如图所示,则有( )

A.ac<0 C.bd<0 [答案] C

B.a<c D.b>d

[解析] 由图可知,a、c 均不为零.直线 l1 的斜率、在 y 轴上的 1 b 截距分别为:-a、-a;直线 l2 的斜率、在 y 轴上的截距分别为:- 1 d 1 b 1 d 1 1 、- ,由图可知- <0 ,- >0 ,- <0 ,- <0 ,- > - c c a a c c a c,于是得 a>0,b<0,c>0,d>0,a>c,所以只有 bd<0 正确. 2.直线 xsinα+y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π C.[0,4] [答案] B )

π 3π B.[0,4]∪[ 4 ,π) π π D.[0,4]∪(2,π)

[解析] 设直线的倾斜角为 θ, 则有 tanθ=-sinα, 其中 sinα∈[- π 3π 1,1],∴tanθ∈[-1,1].又 θ∈[0,π),所以 0≤θ≤4或 4 ≤θ<π. 3.如下图,定圆半径为 a,圆心为 C(b,c),则直线 ax+by+c =0 与直线 x-y+1=0 的交点在( )

A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] 由已知-b>a>c>0, ∴a-c>0,a+b<0,b+c<0,

B.第二象限 D.第四象限

? ? c+b a-c? ?ax+by+c=0, ?在第三象限, , 由? 得交点?- ?x-y+1=0. ? a+b a+b? ?

∴选 C. 4.(2013· 辽宁五校联考)在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1(- 2,0)、A2(2,0),再取两个动点 N1(0,a),N2(0,b),且 ab=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 F2(1,0),设直线 l:y=kx+m 与(1)中的轨迹 M 交于 P、 Q 两点,直线 F2P、F2Q 的倾斜角为 α、β,且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. a [解析] (1)依题意知直线 A1N1 的方程为:y=2(x+2),①

b 直线 A2N2 的方程为:y=-2(x-2),② ab 设 R(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得 y2=- 4 (x2-4). x2 y2 将 ab=3 代入整理得 4 + 3 =1. ∵点 N1、N2 不与原点重合, ∴点 A1(-2,0)、A2(2,0)不在轨迹 M 上, x2 y2 ∴轨迹 M 的方程为 4 + 3 =1(x≠± 2). (2)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为零,

?y=kx+m, 联立方程?x2 y2 ? 4 + 3 =1.
-8km x +x = , ? ? 3+4k ? 4m -12 ? ?x x = 3+4k ,
1 2 2 2 1 2 2

消去 y 得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12

=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则

(*)且 kF2P=

kx1+m kx2+m ,kF2Q= . x1-1 x2-1

由已知 α+β=π,得 kF2P+kF2Q=0, ∴ kx1+m kx2+m + =0, x1-1 x2-1

化简,得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 4m2-12 8mk?m-k? 将(*)式代入,得 2k× - -2m=0, 3+4k2 3+4k2 整理得 m=-4k. ∴直线 l 的方程为 y=k(x-4), ∴直线 l 过定点,该定点的坐标为(4,0).


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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-8
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-8_数学_高中教育_教育专区。基础巩固...二、填空题 x2 2 7.设 P 为双曲线 4 -y =1 上一动点,O 为坐标原点...
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