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高二数学《必修5》综合训练


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高二数学《 高二数学《必修 5》综合训练 》
高二( )班 学号 姓名
)项

一、选择题(每题 4 分,共 40 分)
1、在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则 201 是该数列的第( A.60 B.61 C.62 D.63

2、在 100 和 500 之间能被 9 整除的所有数之和为( ) A.12699 B.13266 C.13833 D.14400 2 3、等比数列{an}中,a3,a9 是方程 3x —11x+9=0 的两个根,则 a6=( ) 11 A.3 B. C.± 3 D.以上皆非 6 4、四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( )

A.

a+d > bc 2

B.

a+d < bc 2

C.

a+d = bc 2

D.

a+d ≤ bc 2


5、在 ?ABC 中,已知 A = 30° , C = 45° , a = 2 ,则 ?ABC 的面积等于( A.

2

B.

3 +1

C. 2

2

D.

1 ( 3 + 1) 2
a+b 的取值范围是 ( c
2]


a,b,c 分别是 ∠A, ∠B, ∠C 所对应的边, C = 90° , ∠ 则 6、 ?ABC 中, 在

A.(1,2)

B. (1,

2)

C. (1,

2]

D. [1,

7、不等式

3x ? 1 ≥ 1 的解集是( 2? x



3 ? ? A. ? x | 3 ≤ x ≤ 2 ? B. ? x | ≤ x < 2 ? C. ? x | x > 2或 x ≤ 3 ? D. {x | x < 2} ? ? ? ? 4 4 4? ? ? ? ? ?
) 8、关于 x 的方程 ax2+2x-1=0 至少有一个正的实根,则 a 的取值范围是( A.a≥0 B.-1≤a<0 C.a>0 或-1<a<0 D.a≥-1 9、在坐标平面上,不等式组 ? B. 3 2

?y ≥ x ?1 所表示的平面区域的面积为( ? y ≤ ?3 | x | +1
C.



A. 2

3 2 2

D.2

? x ? 2 ≤ 0, ? 10、已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ≤ 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范 ?x + 2 y ? 2 ≥ 0 ?
围是( )

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A.[-2,-1] B.[-2,1 二、 填空题(每题 4 分,共 16 分)

C.[-1,2]

D.[1,2]

11、数列 {a n } 的前 n 项的和 Sn=2n2-n+1,则 an= 12、已知 x > 4, 函数y = ? x +
2

1 , 当x = _______ 时,函数有最_______值是 4? x

.

13、不等式 ( x ? 2)(3 ? x ) > 0 的解集是_______________________________ 14、在下列函数中, ① y =| x +

1 x2 + 2 ;③ y = log 2 x + log x 2( x > 0, 且x ≠ 1) ; | ;② y = x x2 +1
x ?x , y = tan x + cot x ;⑤ y = 3 + 3 ;⑥ y = x +

④0< x<

π
2

4 4 ? 2 ;⑦ y = x + ? 2 ;⑧ x x
(填入正确命题的序号)

y = log 2 x 2 + 2 ;其中最小值为 2 的函数是
三、解答题

15、(6 分)在等比数列 {a n } 中, a1 ? a 2 ? a 3 = 27 , a 2 + a 4 = 30 试求:(I) a1 和公比 q ;(II)前 6 项的和 S 6 .

16、(6 分)解关于 x 的不等式

x?a < 0 (a ≠ ±1) ( x ? 1)( x + 1)

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17、(8 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边 【Ⅰ】若 ?ABC 面积 S ?ABC =

3 , c = 2, A = 60°, 求 a 、 b 的值; 2

【Ⅱ】若 a = c cos B ,且 b = c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

18、(8 分)某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消耗 的费用也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第二 年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元.问这台机器最佳使用年限是多少 年?并求出年平均费用的最小值.

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19、(8 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与 后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时? 蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

2

20、(8 分)某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q,该厂的生产能力是月产 P 产品最多有 2500 件,月产 Q 产品最多有 1200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个 A、2 个 B,组装一件 Q 产品 要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个;B 零件最多 12000 个。已知 P 产 品每件利润 1000 元,Q 产品每件 2000 元,欲使月利润最大,需要组装 P、Q 产品各多少件?最 大利润多少万元?

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答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 B 2 B 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D 9 B 10 C

?2 n = 1 ? ; 11、 a n = ? 4n ? 3 n ≥ 2 ? ?

12、5; 大;-6

13、 {x | x < ? 3或 3 < x < 2} ; 14、①②④⑤⑦ 三、解答题 15、解:(I)在等比数列 {a n } 中,由已知可得:

?a1 ? a1 q ? a1 q 2 = 27 ? ? ?a1 q + a1 q 3 = 30 ?
解得: ?

………………………………………….2 分

?a1 = 1 ?a1 = ?1 或? ……………………………………………….4 分 ?q = 3 ?q = ?3

(II)QS n =

a1 (1 ? q n ) 1? q

?a1 = 1 1 × (1 ? 3 6 ) 1 ? 3 6 ∴当 ? 时, S 6 = = = 364 .……………..…… 5 分 1? 3 ?2 ?q = 3 ?a1 = ?1 (?1) × [1 ? (?3) 6 ] 3 6 ? 1 时, S 6 = = = 182 …….…….6 分 1+ 3 4 ?q = ?3

当?

16、原不等式 ? ( x ? a )( x + 1( x ? 1) < 0 . 分情况讨论 (i)当 a < ?1 时,不等式的解集为 {x | x < a或 ? 1 < x < 1} ;………………….2 分 (ii)当 ? 1 < a < 1 时,不等式的解集为 {x | x < ?1或 a < x < 1} ……………….4 分 (iii)当 a > 1 时,不等式的解集为 {x | x < ?1或 1 < x < a} ;………………….6 分

17、解:【Ⅰ】Q S ?ABC = 1 bc sin A = 3 ,∴ 1 b ? 2 sin 60° = 3 ,得 b = 1 … ……2 分
2 2
2 2

由余弦定理得: a = b + c ? 2bc cos A = 1 + 2 ? 2 × 1× 2 ? cos 60° = 3 ,
2 2 2 2 2

所以 a =

3 …………4 分

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【Ⅱ】由余弦定理得: a = c ? 所以 ∠C = 90°

a2 + c2 ? b2 ? a2 + b2 = c2 , 2ac

…………6 分

在 Rt?ABC 中, sin A =

所以 ?ABC 是等腰直角三角形;…………8 分

a a ,所以 b = c ? = a c c

…………7 分

18、[解析]设这台机器最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:

0.2 + 0.3 + 0.4 + ? ? ? + 0.1(n + 1) =

n 2 + 3n , 2

∴ 总费用为 : 7 + 0.2 + 0.2n +

n 2 + 3n n 2 + 7n = 7 .2 + , 20 20

∴ n年的年平均费用为 : y =

7.2 +

n 2 + 7n 20 = 0.35 + ( n + 7.2 ), …………4 分 n 20 n

Q

n 7 .2 7 .2 + ≥2 = 1.2, …………6 分 20 n 20

等号当且仅当 n = 7.2 即n = 12时成立. ∴ y min = 0 .35 +1 .2 =1.55 ( 万元)
20 n
答:这台机器最佳使用年限是 12 年,年平均费用的最小值为 1.55 万元.…………8 分

19、解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800. 蔬菜的种植面积


S = (a ? 4)(b ? 2) = ab ? 4b ? 2a + 8 = 808 ? 2(a + 2b). …………4

所以 S ≤ 808 ? 4 2ab = 648(m 2 ).

…………6 分

当且仅当 a = 2b, 即a = 40(m), b = 20(m)时, S最大值 = 648(m 2 ).

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答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大 2 种植面积为 648m . …………8 分
20、解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,则有

y

?4 x + 6 y ≤ 14000 ?2 x + 8 y ≤ 12000 ? 依题意有? ?0 ≤ x ≤ 2500 ?0 ≤ y ≤ 1200 ?

2x+8y=12000 1200 A(2000,1000)

设利润 z=1000x+2000y=1000(x+2y) …………3 分
要使利润最大,只需求 z 的最大值.

x 2500 4x+6y=14000

作出可行域如图示(阴影部分及边界)
作出直线 l:1000(x+2y)=0,即 x+2y=0 …………6 分 由于向上平移平移直线 l 时,z 的值增大,所以在点 A 处 z 取得最大值

?2 x + 3 y = 7000 ? x = 2000 由? 解得 ? ,即 A(2000,1000) …………7 分 ? x + 4 y = 6000 ? y = 1000 因此,此时最大利润 zmax=1000(x+2y)=4000000=400(万元). …………8 分
答:要使月利润最大,需要组装 P、Q 产品 2000 件、1000 件,此时最大利润为 400 万元。

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