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广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)


广东省潮州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|0<x≤2},B={x|x<1},则集合?U(A∪B)=() A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,1] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 2. (5 分)复数 z=(1+i) (1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为() A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2)

3. (5 分)若向量 =(2,﹣1) , =(0,2) ,则以下向量中与 + 垂直的是() A.(1,﹣2) B.(1,2) C.(2,1) D.(0,2) )的部分图象如图所示,则

4. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< φ=()

A.﹣
0.1

B.
0.1

C. ﹣

D.

5. (5 分)设 a=4 ,b=log30.1,c=0.5 ,则() A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c

D.b>c>a

6. (5 分)己知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.2

7. (5 分) 已知数列{an}是等比数列, 且 a2013+a2015= 的值为() 2 A.π

dx, 则 a2014 (a2012+2a2014+a2016)
2

B.2π

C. π

D.4π

8. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x , 已知函数 g(x)= 个数为() A.7 ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的

2

B. 8

C. 9

D.10

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9. (5 分)若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a 恒成立,则 a 的取值范围是. 10. (5 分)曲线 y=﹣x +3x 在 x=1 处的切线方程为. 11. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为.
2 2 2 3 2

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最大值是.

13. (5 分)二项式(ax ﹣

2

) 的展开式中常数项为 160,则 a 的值为.

5

14. (5 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为. (用数字作答)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知函数 f(x)=2cos(x﹣ (1)求 f(π)的值; (2)若 f(α+ )= ,α∈(﹣ ,0) ,求 f(2α)的值. ) ,x∈R.

16. (13 分)某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进行体制健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下:根据学生体制健康标 准,成绩不低于 76 的为优良.

(1)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体制健康测试, 求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (2)从抽取的 12 人中随机选取 3 人, 记 ξ 表示成绩“优良”的学生人数, 求 ξ 的分布列及期望.

17. (13 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求二面角 B﹣AC=A1 的余弦值.

18. (14 分)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 2Sn=an+2n (n∈N ) . (1)求 an,Sn; (2)若 ak,a2k﹣2,a2k+1(k∈N?)是等比数列{bn}的前三项,设 Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, 求 Tn.

2

*

19. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点 P(

, ) ,离心率为

,动点 M(2,

t) (t>0) . (1)求椭圆的标准方程; (2)求以 O M( O 为坐标原点)为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 O M 的垂线与以 O M 为直径的圆交于点 N,证明线 段 O N 的长为定值,并求出这个定值. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣ , (a∈R) .

(Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求函数 h(x)的单调区间; (Ⅲ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,求 a 的取值范围.

广东省潮州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|0<x≤2},B={x|x<1},则集合?U(A∪B)=() A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,1] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 的并集,找出并集的补集即可. 解答: 解:∵A=(0,2],B=(﹣∞,1) , ∴A∪B=(﹣∞,2], ∵全集为 U=R, ∴?U(A∪B)=(2,+∞) . 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)复数 z=(1+i) (1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为() A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2) 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由条件利用两个复数代数形式的乘法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,化简 z,可得 复数 z 在复平面内对应的点的坐标. 解答: 解:由于复数 z=(1+i) (1﹣i)=1﹣i =2,故此复数对应点的坐标为(2,0) , 故选:B. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题.
2

3. (5 分)若向量 =(2,﹣1) , =(0,2) ,则以下向量中与 + 垂直的是() A.(1,﹣2) B.(1,2) C.(2,1) D.(0,2)

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 求出向量 + ,验证各选项是否满足 x1x2+y1y2=0,从而判定向量是否与 + 垂直. 解答: 解:∵向量 =(2,﹣1) , =(0,2) , ∴ + =(2,1) , 对于 A,2×1+1×(﹣2)=0, ∴该向量与向量 + 垂直; ∴可以排除掉 B、C、D 选项.

故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的垂直问题,两向量垂直,有 ⊥ ? ? =0?x1x2+y1y2=0,解 题时应灵活地运用,是基础题.

4. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< φ=()

)的部分图象如图所示,则

A.﹣

B.

C. ﹣

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数图象的顶点求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值. 解答: 解:有函数的图象顶点坐标可得 A=2,再根据 再根据五点法作图可得 2× +φ= 可得 φ= , = = ﹣ 求得 ω=2.

故选:D. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数图象的顶点求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,属于基础题. 5. (5 分)设 a=4 ,b=log30.1,c=0.5 ,则() A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数、对数函数的单调性即可得出. 0.1 0.1 解答: 解:∵a=4 >1,b=log30.1<0,0<c=0.5 <1, ∴a>c>b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数、对数函数的单调性,属于基础题. 6. (5 分)己知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()
0.1 0.1

D.b>c>a

A.

B.

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体是三棱柱与半圆柱的组合体,且三棱柱的底面是边长为 2 的 正三角形,高为 2;半圆柱的底面半径为 1,高为 2,把数据代入棱柱与半圆柱的体积公式计 算. 解答: 解:由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体,且三棱柱的底面是边长为 2 的 正三角形,高为 2; 半圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴几何体的体积 V= ×2× ×2+ ×π×1 ×2=2
2

+π.

故选 D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解答此类问题的关键. 7. (5 分) 已知数列{an}是等比数列, 且 a2013+a2015= 的值为() 2 A.π dx, 则 a2014 (a2012+2a2014+a2016)
2

B.2π

C. π

D.4π

考点: 等比数列的性质;定积分. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 求定积分可得 a2013+a2015=π,由等比数列的性质变形可得 a2014(a2012+2a2014+a2016) 2 =(a2013+a2015) ,代值计算可得. 解答: 解:由定积分的几何意义可得
2 2

dx

表示圆 x +y =4 在第一象限的图形的面积,即四分之一圆, 故可得 a2013+a2015= dx= ×π×2 =π,
2

∴a2014(a2012+2a2014+a2016) =a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016 = +2a2013?a2015
2 2

=(a2013+a2015) =π

故选:A 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及定积分的求解,属中档题. 8. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x , 已知函数 g(x)= 个数为() A.7 ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的
2

B. 8

C. 9

D.10

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可判断函数 y=f(x)在 R 上是周期为 2 的函数,从而作出函数 f(x)与 g(x) 的图象,从而得到交点的个数即可. 解答: 解:∵f(x+1)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣f(x+1)=f(x+2) ; 故函数 y=f(x)在 R 上是周期为 2 的函数, 作出函数 f(x)与 g(x)的图象如下,

由图象可知函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为 8 个. 故选 B. 点评: 本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9. (5 分)若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a 恒成立,则 a 的取值范围是 a≤3. 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题. 分析: 求出绝对值的表达式的最小值,即可求出 a 取值范围. 解答: 解:因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是数轴上的点到﹣1,与到 2 的距离之和,显然最小 值为 3, 所以 a 的取值范围是:a≤3. 故答案为:a≤3. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,恒成立问题的应用,考查计算能力.

10. (5 分)曲线 y=﹣x +3x 在 x=1 处的切线方程为 3x﹣y﹣1=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 y=f(x)在 x=1 处的导数,即是改点处切线的斜率, 从而写出切线的方程. 解答: 解:∵y=f(x)=﹣x +3x ,∴y'=f′(x)=﹣3x +6x, 2 2 ∴y'|x=1=(﹣3x +6x)|x=1=﹣3×1 +6×1=3, 3 2 又 x=1 时,y=f(1)=﹣1 +3×1 =2; 3 2 ∴曲线 y=f(x)=﹣x +3x 在 x=1 处的切线方程为 y﹣2=3(x﹣1) , 即 3x﹣y﹣1=0; 故答案为:3x﹣y﹣1=0 点评: 本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程问题,是基础题. 11. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为 2. 考点: 抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线的标准方程可知准线方程为 x=﹣ ,根据抛物线的准线与圆相切可知 3+ =4 求得 p. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ , 因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 3+ =4,p=2; 故答案为:2. 点评: 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.属于基础题.
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2

3

2

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最大值是 9.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可求出 z 的最大值. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=x+2y 得 y=﹣ x+ z, 平移直线 y=﹣ x+ z,

由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A,y=﹣ x+ z 的截距最大,此时 z 最大.





解得

,即 A(1,4) ,

代入 z=x+2y=1+2×4=9. 即目标函数 z=x+2y 最大值为 9. 故答案为:9.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义结合数形结合,即可求出 z 的最大 值. 13. (5 分)二项式(ax ﹣
2

) 的展开式中常数项为 160,则 a 的值为 2.

5

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项, 再根据常数项等于 160 求得实数 a 的值. 解答: 解:由通项公式 Tr+1= 令 10﹣ = =0,求得 r=4,可得常数项为(﹣2) ?C
4

? a=160,解得 a=2,



故答案为:2. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于中档题.

14. (5 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为 472. (用数字 作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 利用间接法,先选取没有条件限制的,再排除有条件限制的,问题得以解决. 解答: 解:由题意,不考虑特殊情况,共有 种取法, 两张红色卡片,共有 故所求的取法共有 ﹣4 种取法, ﹣ =560﹣16﹣72=472 种. 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 4

故答案为:472. 点评: 本题考查了组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知函数 f(x)=2cos(x﹣ (1)求 f(π)的值; (2)若 f(α+ )= ,α∈(﹣ ,0) ,求 f(2α)的值. ) ,x∈R.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值; (2)由已知化简可先求得 sin (2α﹣ ,从而可求 cos = ,将 f(2α)=2cos

)用两角差的余弦公式展开后代入即可求值. )=﹣2cos =﹣ .

解答: 解: (1)f(π)=2cos(π﹣ (2)∵f(α+ ∴sin ∵α∈(﹣ ∴cos ,0) , = )=2cos(

)=﹣2sinα= ,

∴f(2α)=2cos(2α﹣ = cos2α+sin2α=

) = = .

点评: 本题主要考察了特殊角的三角函数值,两角差的余弦公式的应用,考察了计算能力, 属于基础题. 16. (13 分)某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进行体制健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下:根据学生体制健康标 准,成绩不低于 76 的为优良. (1)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体制健康测试, 求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (2)从抽取的 12 人中随机选取 3 人, 记 ξ 表示成绩“优良”的学生人数, 求 ξ 的分布列及期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)依题意得从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良“的概率为 ,由此利用对立事 件概率计算公式能求出在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良”的概率. (2)由题意可得,ξ 的可能取值为 0,1,2,3.分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布 列和 ξ 的期望 Eξ. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (1)抽取的 12 人中成绩是“优良”的有 9 人,频率为 , 依题意得从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良“的概率为 ,…(2 分) 设事件 A 表示“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良””, 则 P(A)=1﹣ = .…(5 分) .…(6 分)

答:至少有 1 人成绩是“优良”的概率为

(2)由题意可得,ξ 的可能取值为 0,1,2,3.…..(7 分) P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



P(ξ=3)=

=

…(11 分)

所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 P ∴ξ 的期望 Eξ=

2

3

= …(13 分)

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要 认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 17. (13 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求二面角 B﹣AC=A1 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)取 AB 中点 O,连 CO,OA1,A1B,由题设条件推导出△ A1AB 为正三角形, 从而得到 A1O⊥AB,由 CA=CB,得到 CO⊥AB,由此能够证明 AB⊥A1C. (Ⅱ)以 OA 为 x 轴,以 OA1 为 y 轴,以 OC 为 z 轴建立空间直角坐标系 O﹣xyz,利用向量 法能求出二面角 B﹣AC=A1 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O,连 CO,OA1,A1B, ∵AB=AA1,∠BAA1=60°, ∴△A1AB 为正三角形, ∴A1O⊥AB, ∵CA=CB,∴CO⊥AB, ∵CO∩A1O=O, ∴AB⊥平面 COA1, ∵A1C?平面 COA1, ∴AB⊥A1C. (Ⅱ)解:∵AB=CB=2,AB=AA1,CA=CB,∠BAA1=60°,

∴CO=A1O= ∵A1C= ∴ , =

=





∴OC⊥A1O, ∵OC∩AB=O,∴A1O⊥平面 ABC, 建立如图空间直角坐标系 O﹣xyz, O(0,0,0) ,A(1,0,0) , 设平面 AA1C 的法向量为 则 , , ,C(0,0, , ) ,





∴ =(

,1,1) ,

平面向量 ACB 的法向量 =(0,1,0) , cos< >= = . .

∴二面角 B﹣AC=A1 的余弦值为

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意向量法 的合理运用. 18. (14 分)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 2Sn=an+2n (n∈N ) . (1)求 an,Sn; (2)若 ak,a2k﹣2,a2k+1(k∈N?)是等比数列{bn}的前三项,设 Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, 求 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件求出 a1=2,a2=4,从而得到公差 d=a2﹣a1=2,由此能求出 an,Sn. (2)由 ak,a2k﹣2,a2k+1(k∈N?)是等比数列{bn}的前三项,求出 k=4,从而得到 anbn= ,由此利用错位相减法能求出 Tn.
2 *

解答: 解: (1)∵{an}为等差数列,且 2Sn=an+2n (n∈N ) ,设公差为 d, 当 n=1 时,2S1=2a1=a1+2,解得 a1=2, 当 n=2 时,2(2+a2)=a2+2×4,解得 a2=4, ∴d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n, =n(n+1) . (2)∵ak,a2k﹣2,a2k+1(k∈N?)是等比数列{bn}的前三项, ∴
2

2

*



∴4(2k﹣2) =2k?2(2k+1) , 2 整理,得 2k ﹣9k+4=0, 解得 k=4 或 k= (舍) ,

∴a4,a6,a9 成等比数列,且 q= ∴ =8( )
n﹣1 n﹣1

= .

, ,

∴anbn=2n?8( )

=

∵Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, ∴ = [1× +2× [1× +2× = +3× +3×
2 3

+…+n? +…+n?
n

],① ],②
n+1

①﹣②,得﹣

[ +( ) +( ) +…+( ) ﹣n?( )

]

=

×[

﹣n?( )

n+1

]

=﹣32﹣16(n﹣2)? ∴Tn=

, .

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意错位相减法的合理运用.

19. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点 P(

, ) ,离心率为

,动点 M(2,

t) (t>0) . (1)求椭圆的标准方程;

(2)求以 O M( O 为坐标原点)为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 O M 的垂线与以 O M 为直径的圆交于点 N,证明线 段 O N 的长为定值,并求出这个定值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)把点
2 2 2

代入椭圆方程可得

,又

,a =b +c ,联立解出即可得出;

(2)以 OM 为直径的圆的圆心为

,半径

,可得圆的标准方程;由

于以 OM 为直径的圆被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2, 利用点到直线的距离公式可得圆心 到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离 d,利用弦长公式可得弦长=2 即可得出. ,直线 FN 的方

(3)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K.直线 OM 的方程为 程为
2

,联立解得 K 坐标,可得|OK|,|OM|,利用|ON| =|OK|?|OM|即可证明. , , 为定值. .利用 , , ,可证

方法二:设 N(x0,y0) ,则

解答: (1)解:由题意得

,①

∵椭圆经过点 又 a =b +c ③ 2 2 2 由①②③解得 a =2,b =c =1. ∴椭圆的方程为 .
2 2 2

,∴



(2)解:以 OM 为直径的圆的圆心为

,半径



故圆的方程为



∵以 OM 为直径的圆被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2,

∴圆心到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离





,即 2|2t+2|=5t,

故 4t+4=5t,或 4t+4=﹣5t, 解得 t=4,或 .

又 t>0,故 t=4. 2 2 所求圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =5. (3)证明:方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K. 直线 OM 的方程为 ,直线 FN 的方程为 .



,解得

,故









又 ∴ . ∴线段 ON 的长为定值



. , , . ,

方法二:设 N(x0,y0) ,则

∵ 又∵ ∴ ∴

,∴2(x0﹣1)+ty0=0.∴2x0+ty0=2. ,∴x0(x0﹣2)+y0(y0﹣t)=0. . 为定值.

点评: 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直 与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能,考查了推理能 力与计算能力,属于难题.

20. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣

, (a∈R) .

(Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求函数 h(x)的单调区间; (Ⅲ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: (Ⅰ)先求出其导函数,让其大于 0 求出增区间,小于 0 求出减区间即可得到函数 的单调区间进而求出函数 f(x)的极值; (Ⅱ)先求出函数 h(x)的导函数,分情况讨论让其大于 0 求出增区间,小于 0 求出减区间 即可得到函数的单调区间; (Ⅲ)先把 f(x0)<g(x0)成立转化为 h(x0)<0,即函数 在[1,

e]上的最小值小于零;再结合(Ⅱ)的结论分情况讨论求出其最小值即可求出 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , (1 分) 当 a=1 时,f(x)=x﹣lnx, x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) ﹣ 0 + f(x) 极小 (3 分) 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值 1. (4 分) (Ⅱ) , , (2 分)

(6 分) ①当 a+1>0 时,即 a>﹣1 时,在(0,1+a)上 h'(x)<0,在(1+a,+∞)上 h'(x)>0, 所以 h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)上单调递增; (7 分) ②当 1+a≤0,即 a≤﹣1 时,在(0,+∞)上 h'(x)>0, 所以,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增. (8 分) ( III)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,即 在[1,e]上存在一点 x0,使得 h(x0)<0, 即函数 在[1,e]上的最大值小于零. (9 分)

由(Ⅱ)可知 ①即 1+a≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递增, 所以 h(x)的最小值为 h(e) , 由 可得 ,

因为



所以

; (10 分)

②当 1+a≤1,即 a≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, 所以 h(x)最小值为 h(1) ,由 h(1)=1+1+a<0 可得 a<﹣2; (11 分) ③当 1<1+a<e,即 0<a<e﹣1 时,可得 h(x)最小值为 h(1+a) , 因为 0<ln(1+a)<1, 所以,0<aln(1+a)<a 故 h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)>2 此时,h(1+a)<0 不成立. (12 分) 综上讨论可得所求 a 的范围是: 或 a<﹣2. (13 分)

点评: 本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值.在利用导函数来研究函数的极值时, 分三步①求导函数,②求导函数为 0 的根,③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数 取极大值;若左负右正,原函数取极小值.


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