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5.3.4基本不等式


基本不等式
第 1 课时

ab ?

a?b 2

学习目标
学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号 “≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

学习过程
一、课前准备 看书本 97、98 页填空 复习 1:重要不等式:对于任意实数 a , b ,有 a2 ? b2 ____ 2ab ,当且仅当________时,等号 成立. 复习 2:基本不等式:设 a, b ? (0, ??) ,则 号.

a?b _____ ab ,当且仅当____时,不等式取等 2

二、新课导学 ※ 学习探究
探究 1:基本不等式 ab ?

a?b 的几何背景: 2 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国 古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表 中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

将图中的“风车”抽象成如图,

在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正 方形的边长为____________.这样,4 个直角三角形的面积的和是___________,正方形的面 积为_________.由于 4 个直角三角形的面积______正方形的面积, 我们就得到了一个不等式: 2 2 a ? b ? 2ab . 当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 _______________ 结论:一般的,如果 a, b ? R ,我们有 a 2 ? b2 ? 2ab 当且仅当 a ? b 时,等号成立. 探究 2:你能给出它的证明吗?

1

特别的,如果 a ? 0 , b ? 0 ,我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ,可得 a ? b ? 2 ab , a?b 通常我们把上式写作: ab ? (a>0,b>0) 2 a?b 问:由不等式的性质证明基本不等 ab ? ? 2 用分析法证明: a?b 证明:要证 (1) ? ab 2 a?b? 只要证 (2) 要证(2),只要证 a ? b ? ____ ? 0 (3) 要证(3),只 要证 (_____ ? _____)2 ? 0 (4) 显然,(4)是成立的. 当且仅当 a=b 时,(4)中的等号成立. a?b 3)理解基本不等式 ab ? 的几何意义 2 探究:课本第 98 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b. 过点 C 作垂直于 AB a?b 的弦 DE,连接 AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 的几何解释吗? 2

结论:基本不等式 ab ?

a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

评述:

a?b 看作是正数 a 、b 的等差中项, ab 看作是正数 a 、b 的 2 等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
1.如果把

a?b 为 a 、 b 的算术平均数,称 ab 为 a 、b 的几何平均数.本节定理还 2 可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.在数学中,我们称

※ 典型例题 例 1 (1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用篱笆最短. 最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少?

.

2

※ 动手试试
练 1. x ? 0 时,当 x 取什么值时, x ?

1 的值最小?最小值是多少? x

练 2. 已知直角三角形的面积等于 50,两条直角边各为多少时,两条直角边的各最小,最小 值是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等号. ※ 知识拓展 两个正数 x, y
1 1.如果和 x ? y 为定值 S 时,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值 S 2 . 4 2. 如果积 xy 为定值 P 时,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P .

3

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 81 1. 已知 x ? 0,若 x+ 的值最小,则 x 为( ). x A. 81 B. 9 C. 3 D.16 2. 若 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 且 a ? b ,则 a ? b 、 2 ab 、 2ab 、 a 2 ? b2 中最大的一个是( ). 2 2 A. a ? b B. 2 ab C. 2ab D. a ? b a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是( 3. 若实数 a,b,满足 ). A.18 B.6 C. 2 3 D. 3 2 81 2 4. 已知 x≠0,当 x=_____时,x + 2 的值最小,最小值是________. x 5. 做一个体积为 32 m3 ,高为 2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为________时, 用纸最少.

课后作业
1. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?

2. 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,问这个矩形的长、宽各 为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?

4

基本不等式
第 2 课时

ab ?

a?b 2

学习目标
通过例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ? 大、最小值.

a?b ,并会用此定理求某些函数的最 2

学习过程
一、课前准备 复习 1:已知 m ? 0 ,求证:

24 ? 6m ? 24 . m

9 复习 2:若 x ? 0 ,求 f ( x) ? 4 x ? 的最小值 x

二、新课导学 ※ 学习探究
9 探究 1:若 x ? 0 ,求 f ( x) ? 4 x ? 的最大值. x

探究 2:求 f ( x) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x?5

5

※ 典型例题 例 1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造 价是多少元?

评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 1 1 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,满足 x ? 2 y ? 1 ,求 ? 的最小值. x y

总结:注意“1”妙用. ※ 动手试试 练 1. 已知 a,b,c,d 都是正数,求证:
(ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd .

练 2. 若 x ? 0 , y ? 0 ,且 xy 的最小值.

2 8 ? ? 1 ,求 x y

6

三、总结提升 ※ 学习小结 规律技巧总结:利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正. ※知识拓展 1. 基本不等式的变形: a?b 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a?b 2 (a ? b)2 ;( ; ab ___ ; ab ___( ) ; ) ____ a2 ? b2 _____ 2 2 2 2 2 (a ? b)2 ____ 4ab a ? a2 ? ?an n 2. 一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 ,?, an (n ? 2) ,都有, 1 ? a1 ?a2 ? an (当且仅 ?? n 当 a1 ? a2 ? ? ? an 时取等号)
3. a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc(a, b, c ? R) 当且仅当 a ? b ? c 时取等号)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若 a, b ? R ,则
a b a b ? ?2 ? ?2 b a b a

B.若 a, b ? R ? ,则 lg a ? lg b ? 2 lg a? b lg C.若 x ? R ? ,则 x ?
2 2 ? ?2 x ? ? ? 2 2 x x

D.若 x ? R ? ,则 3x ? 3? x ? 2 3x ? ? x ? 2 3 5 1 2. 已知 x ? ,则函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值是( 4 4x ? 5 1 A.2 B.3 C.1 D. 2 1 1 ? 3. 若 x, y ? R ,且 x ? y ? 1 ,则 ? 的取值范围是( x y A. (2, ??) B. [2, ??) C. (4, ??) D. [4, ??) 1 4 4. 若 x, y ? R? ,则 ( x ? y )?( ? ) 的最小值为 . x y 1 5. 已知 x ? 3 ,则 f ( x) ? x ? 的最小值为 . x?3

).

).

7

课后作业
1. 已知矩形的周长为 36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形长、宽各为多少时, 旋转形成的圆柱的侧面积最大?

2. 某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为 12 m 2 ,房屋正面每平方米的造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5800 元. 如果墙高为 3 m ,且不计 房屋背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?

8


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