当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5正余弦定理教案


? 高中数学必修 5 正余弦定理教案?
●教学目标? (一)知识目标? 1.三角形的有关性质;? 2.正、余弦定理综合运用.? (二)能力目标? 1.熟练掌握正、余弦定理应用;? 2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质;? 3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.? (三)德育目标? 通过正、 余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数

与三角形有关性质的功能, 反映了 事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.? ●教学重点? 正、余弦定理的综合运用.? ●教学难点? 1.正、余弦定理与三角形性质的结合;? 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.? ●教学方法? 启发式? 1.启发学生在求解三角形问题时,注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产 生联系,从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的;? 2.在题设条件不是三角形基本元素时,启发学生利用正、余弦建立方程,通过解方程组 达到解三角形目的.? ●教具准备? 投影仪、幻灯片? 第一张:正、余弦定理内容(记作§ 5.9.4 A) 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R; sin A sin B sin C

余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC. b2 ? c2 ? a2 cos A ? , 2bc c2 ? a2 ? b2 cos B ? , 2ca a2 ? b2 ? a2 cosC ? . 2ab

第二张:例题 1、2(记作§ 5.9.4 B)? [例 1]在△ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三角 形的三边长.? [例 2]如图,在△ABC 中,AB=4cm,AC=3cm,角平分线 AD=2cm,求此三角 形面积.

第三张:例题 3、4(记作§ 5.9.4 C)? [例 3]已知三角形的一个角为 60° ,面积为 10 3 cm2,周长为 20cm,求此三角形 的各边长. [例 4]在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长. ●教学过程? Ⅰ .复习回顾? 师:上一节课,我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断 三角形形状时的应用,这一节,我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质 来求解三角形问题.首先,我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§ 5.9.4 A). ? .讲授新课? Ⅱ 师:下面,我们通过屏幕看例题.(给出投影片§ 5.9.4 B)? [例 1]分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建 立边角关系.其中 sin2α 利用正弦二倍角展开后出现了 cosα, 可继续利用余弦定理建立关于边 长的方程,从而达到求边长的目的.? 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈ *,又设最小角为 α,则? N

x x?2 x?2 ? ? sin ? sin 2? 2 sin ? ? cos ? x?2 ? cos ? ? ① 2x
又由余弦定理可得x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1) x+2)cosα② ( ? 将① 代入② 整理得: 2 x -3x-4=0? 解之得x1=4,x2=-1(舍)? 所以此三角形三边长为 4,5,6.? 评述: (1)此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方 程;? (2)在求解过程中,用到了正弦二倍角公式,由此,要向学生强调三角公式的工具性作 用,以引起学生对三角公式的重视.?

1 AB· sinA, AC· 2 1 A 需求出 sinA,而△ABC 面积可以转化为S△ADC+S△ADB,而S△ADC= AC· ADsin ,S△ADB 2 2 1 A A = AB· sin ,因此通过S△ABC=S△ADC+S△ADB 建立关于含有 sinA,sin 的方程,而 AD· 2 2 2
[例 2]分析:由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式S△ABC=

sinA=2sin

A A A A cos ,sin2 +cos2 =1,故 sinA 可求,从而三角形面积可求. 2 2 2 2

解:在△ABC 中,S△ABC=S△ADB+S△ADC,?

1 1 A 1 A · ADsin + · ADsin AC· AB· 2 2 2 2 2 1 1 A ∴ · 3sinA= · 2sin 4· 3· 2 2 2 A ∴ 6sinA=7sin 2 A A A ∴ 12sin cos =7sin 2 2 2 A A 7 ∵ sin ≠0 ∴ cos = 2 2 12 A ? 又 0<A<π ∴ 0< < 2 2
∴ AB· ACsinA= ∴ sin

A 95 2 A = 1 ? cos , ? 2 2 12 A A 7 95 cos = , 2 2 72

∴ sinA=2sin

∴ △ABC= S

1 7 95 · 3sinA= 4· (cm2).? 2 12

评述:面积等式的建立是求 sinA 的突破口,而 sinA 的求解则离不开对三角公式的熟悉. 由此启发学生在重视三角形性质运用的同时,要熟练应用三角函数的公式.另外,在应用同 角的平方关系 sin2α+ cos2α=1 时,应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍. (给出幻灯片§ 5.9.4 C)? [例 3]分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本 元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于 边长为三个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知 60° 角的余 弦,其二可用面积公式S△ABC=

1 absinC 表示面积,其三是周长条件应用.? 2

解:设三角形的三边长分别为 a、b、c,B=60° ,则依题意得

? a2 ? c2 ? b2 cos60? ? ? 2ac ? ?1 ? ? ac sin 60? ? 10 3 ?2 ?a ? b ? c ? 20 ? ?

?a ? b ? c ? 20 ? ? ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ?ac ? 40 ?

① ② ③

由① 式得:b2=[20-(a+c) 2=400+a2+c2+2ac-40(a+c) ④ ] ? 将② 代入④ 400+3ac-40(a+c)=0? 得 再将③ 代入得 a+c=13? 由?

?a1 ? 5 ?a 2 ? 8 ?a ? c ? 13 解得? 或? ac ? 40 c1 ? 8 ?c2 ? 5 ? ?

∴ 1=7,b2=7? b 所以,此三角形三边长分别为 5cm,7cm,8cm.? 评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦 形式的面积公式的应用.? (2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路, 以提高自己的解方程及运算能力.? [例 4]分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为 x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应 注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为 D 为 BC 中点, 所以 BD、 DC 可表示为 程.? 解:设 BC 边为x,则由 D 为 BC 中点,可得 BD=DC=
2 2 2

x ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方 2 x , 2

x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 AD ? BD ? AB 2 在△ADB 中,cosADB= ? , x 2 ? AD ? BD 2? 4? 2 x 4 2 ? ( ) 2 ? 32 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 2 在△ADC 中,cosADC= ? . x 2 ? AD ? DC 2? 4? 2
又∠ ADB+∠ ADC=180° ∴ cosADB=cos(180° ADC)=-cosADC.? -∠

x x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 2 ∴ ?? x x 2? 4? 2? 4? 2 2
解得,x=2? 所以,BC 边长为 2. 评述: 此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能, 体会互补角的余弦值互为相反数 这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.? 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下:?

由三角形内角平分线性质可得

AB BD 5 ? ? ,设 BD=5k,DC=3k,则由互补角 AC DC 3

∠ ADC、∠ ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再 由同角平方关系求出 sinA. 师:为巩固本节所学的解题方法,下面我们进行课堂练习.? Ⅲ .课堂练习? 1.半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25,求此三角形三边 长的乘积.? 解:设△ABC 三边为 a,b,c.则S△ABC=

1 ac sin B 2



S ?ABC ac sin B sin B ? ? abc 2abc 2b b ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径 sin B S ?ABC 1 ? abc 4R





∴ abc=4RS△ABC=4× 0.25=1 1× 所以三角形三边长的乘积为 1.? 评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式 sin sin siC A B n 1 S△ABC= ac sin B 发生联系,对 abc 进行整体求解. 2
2.在△ABC 中,已知角 B=45° ,D 是 BC 边上一点,AD=5, AC=7,DC=3,求 AB.? 解:在△ADC 中,

AC 2 ? DC 2 ? AD2 7 2 ? 32 ? 5 2 11 ? ? , cosC= 2 ? AC ? DC 2?7?3 14
又 0<C<180° sinC= ,∴ 在△ABC 中,

5 3 14

AC AB ? sin B sin C

∴ AB=

sin C 5 3 5 6 AC ? ? 2 ?7 ? . sin B 14 2

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、 余弦定理的综合运用. 3.在△ABC 中,已知 cosA=

3 5 ,sinB= ,求 cosC 的值.? 5 13

解:∵ cosA=

3 2 < =cos45° ,0<A<π 5 2

∴ <A<90° 45°

4 5 5 1 ∵ sinB= < =sin30° ,0<B<π 13 2
∴ sinA= ∴ <B<30° 150° 0° 或 <B<180° 若 B>150° ,则 B+A>180° 与题意不符.? ∴ <B<30° cosB= 0°

12 13 3 12 4 5 16 ? ? ? ? 5 13 5 13 65 16 . 65

∴ cos(A+B)=cosA· cosB-sinA· sinB= 又 C=180° -(A+B).?

∴ cosC=cos[180° -(A+B) ]=-cos(A+B)=-

评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体 确定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的 三角函数值进行比较.? Ⅳ .课时小结? 师:通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了 正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断 提高三角形问题的求解能力. Ⅴ .课后作业? (一)书面作业? 1.课本P132 习题 5.9 5.? 2.在三角形中,三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的三边长分别 为 . 答案:2,3,4? 3.已知方程 a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0 没有实数根,如果 a、b、c 是△ABC 的三条边的长,求证△ABC 是钝角三角形.? (二)1.预习内容? 课本P132~P133 解斜三角形应用举例. 2.预习提纲? (1)解斜三角形在实际中有哪些应用?? (2)实际中的解斜三角形问题如何转化为纯数学问题?? ●板书设计 1.常用三角公式 练习 ① 2A+cos2A=1? sin ② sin2A=2sinAcosA? § 5.9.4 正弦定理、余弦定理(四) 2.三角形有关性质 3.学生

① 面积公式S= ② 角平分线定理

1 absinC 2

③ sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB? ③ 互补角正弦值相等 ④ 2A=1-2sin2A cos ④ 互补角余弦值互为相反数 ●备课资料? 1.正、余弦定理的综合运用? 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得:sin2A=sin2B+sin2C -2sinBsinCcosA. 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,下面举例说明 之.? [例 1]在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3 sinAsinC,求 B 的度数. 解:由定理得 sin2B=sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB,? ∴ -2sinAsinCcosB= 3 sinAsinC ∵ sinAsinC≠0? ∴ cosΒ=-

3 2

∴ B=150° [例 2]求 sin210° +cos240° +sin10° cos40° 的值. 2 2 解:原式=sin 10° +sin 50° +sin10° sin50° 2 2 2 在 sin A=sin B+sin C-2sinBsinCcosA 中,令 B=10° ,C=50° ,则 A=120° . 2 2 2 sin 120° =sin 10° +sin 50° -2sin10° sin50° cos120° =sin210° +sin250° +sin10° sin50° =(

3 2 3 )= . 4 2

[例 3]在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状.? 解: 在原等式两边同乘以 sinA 得:2cosBsinAsinC=sin2A, 由定理得 sin2A+sin2C-sin2Β =sin2A, ∴ 2C=sin2B? sin ∴ B=C 故△ABC 是等腰三角形.? 2.一题多证? [例 4]在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形.? 证法一:欲证△ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边 元素,使只剩含角的三角函数.由正弦定理得 a= ∴ 2bcosC=

b sin A sin B

b sin A ,即 2cosC· sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC. sin B

∴ sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0,? ∴ B-C=nπ(n∈ Z).? ∵ B、C 是三角形的内角,? ∴ B=C,即三角形为等腰三角形.? 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB,

又∵ a=2bcosC? ∴ 2bcosC=bcosC+ccosB? ∴ bcosC=ccosB,即 又∵ ?

b cos B ? . c cos C

b sin B . c sin C sin B cos B ? , 即 tanB=tanC ∴ sin C cos C
∵ B、C 在△ABC 中,? ∴ B=C? ∴ ABC 为等腰三角形.? △ 证法三:∵ cosC=

a2 ? b2 ? c2 a a2 ? b2 ? c2 a 及 cosC ? ,∴ ? , 化简后得 b2 = 2ba 2b 2ab 2b

c2.? ∴ b=c ∴ △ABC 是等腰三角形.?


相关文章:
人教版 高中数学必修5 余弦定理教案
人教版 高中数学必修5 余弦定理教案_其它_党团工作_实用文档。人教A版必修五教案 余弦定理一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第 ...
高中数学必修5教学设计1.1.1正弦定理教案1
高中数学必修5教学设计1.1.1正弦定理教案1_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修5教学设计 1.1.1 正弦定理一、教学目标: 1、能力要求: ①掌握正弦定理,能...
人教版_高中数学必修5__余弦定理教案
人教版_高中数学必修5__余弦定理教案_数学_高中教育_教育专区。2012012180 靳萍 余弦定理一、教材分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第 2 版)...
高中数学必修5正弦定理表格教案
高中数学必修5正弦定理表格教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 课题 课型 新授课 课时 正弦定理及其应用 1 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的...
必修5正余弦定理讲解及练习及答案
必修5正余弦定理讲解及练习及答案_数学_高中教育_教育专区。相当基础的题目解三角形 (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题...
人教版高中余弦定理教案
人教版高中余弦定理教案_数学_高中教育_教育专区。《余弦定理》教案 一、教材分析 《余弦定理》选自人教 A 版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课 的...
【全国一等奖】人教版高中数学必修五:1.1正弦定理教案
正弦定理(教学设计) 一、教学内容分析 “正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修 5) 》 (人教版)第 一章第一节的主要内容,它既是初中“解直角...
人教版高中数学(必修五)教案
人教版高中数学(必修五)教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五...? ? 2R , (1) 正弦定理: sin A sin B sin C (2) 推论:正余弦定理...
人教版高中数学必修5《解三角形》教案
人教版高中数学必修5《解三角形》教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 5...正弦定理余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知...
更多相关标签:
余弦定理教案 | 正余弦定理教案 | 余弦定理优秀教案 | 余弦定理的教案 | 高中数学余弦定理教案 | 余弦定理 | 正弦定理和余弦定理 | 余弦定理公式 |