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直线与圆的方程的应用 (1)


三都民族中学、高二数学备课组
2016年8月30日

复习引入
1. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的
位置关系?

2. 如何根据圆的方程,判断它们之间的位
置关系?

讲授新课
1. 标准方程问题
例1. 求圆(x-2)2 +(y+3)2=4上的点到

x-y+2=0的最远、最近的距离.

2. 弦问题 例2. 直线l经过点(5,5),且和圆x2+y2=25 相交,截得的弦长为 4 5 ,求l的方程.

练习.求圆x2+y2=9与
圆x2+y2-2x-4y-4=0的公共弦的长.

3. 对称问题 圆关于点对称,圆关于直线对称.
例3.求圆(x-1)2 +(y+1)2=4关于点(2,2) 对称的圆的方程. 练习1.求圆(x-1)2 +(y-1)2=4关于直线 l:x-2y-2=0对称的圆的方程.

练习2.求圆(x-1)2 +(y-1)2=4关于直线 l:x-y-2=0对称的圆的方程.

3.实际问题 例4. 下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这 个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求 支柱A2P2的高度(精确到0.01m).

P2 P
4m

A

A1

A2 O A3
20m

A4

B

解:建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b),
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 解得, b= -10.5 102+(0-b)2=r2 r2=14.52 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)

答:支柱A2P2的长度约为3.86m.
7

例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所 对边长的一半. y
B (0,b)

(c,0) C

O

M

A (a,0)

N O`

x
a d E( , ) 2 2

(0,d) D
8

例 5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一 边的距离等于这条边所对边长的一半.
证明 如图,以四边形ABCD互相垂直的对角

线CA,DB所在直线分别为x轴,y轴,建立直 角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0), D(0,d).

过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线,垂 足分别为M、N、E,则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.
由线段的中点坐标公式, a+c b+d a d 得xO′=xM= 2 ,yO′=yN= 2 ,xE=2,yE=2.
a c a2 b d d2 1 2 2 所以|O′E|= ? + - ? +? + - ? = b +c .又|BC|= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 b +c ,所以|O′E|=2|BC|.

练习:

问题:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中,接到气象台的台 风预报:台风中心位于 轮船正西70km处,受影响的范围是半径 长为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如 果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

(0,4)

分析:以台风中心为原点O,东 (7,0) 西方向为x轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km 为单位长度. 问题归结为圆O与直线l 是否有交点
圆C : x 2 ? y 2 ? 9 x y 直线l : ? ? 1 ? 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 7 4

l

练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=9所截得 的弦长. 2、某圆拱桥的水面跨度20 m,拱高4 m. 现有 一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否 从桥下通过?
P

M

5

O

N
11

3、点M在圆心为C1的方程: x2+y2+6x-2y+1=0,点N在圆心为C2的方程 x2+y2+2x+4y+1=0,求|MN|的最大值.

12

作业:如图,圆O1和圆O2的半径都等 于1,圆心距为4,过动点P分别作圆 O1和圆O2的切线,切点为M、N,且使 得|PM|= 2|PN|,试求点P的运动轨 迹是什么曲线? y P
作业:P133、A 组、7 、10
M O
1

N

o

O2

x


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