当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学竞赛专题讲座之解析几何


高中数学竞赛专题讲座之解析几何
一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C:

x2 y2 + = 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,延长 3 2


PH 到点 Q, 使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。 当点 P 在椭圆 C 上运动时, Q 的轨迹的离心率的取值范围为 点 ( A.

(0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH,所以

3(1 + λ ) ? x ? ?1 HP ? x1 = = ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q 点轨迹为 λ PQ 1 + λ ? y1 = y ? [ x ? 3(1 + λ )]2 y 2 3λ2 ? 2 2 3 + = 1 ,所以离心率 e= = 1 ? 2 ∈ [ ,1) 。故选 C。 2 2 3 3λ 3λ 2 3λ
2.2006 年南昌市) ( . 年南昌市) 抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线方程为(D) 2 A . y = ?12 x B . y 2 = 12 x C . y 2 = ?16 x D . y 2 = 16 x
2 3. 2006 年江苏)已知抛物线 y = 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得△ ( 年江苏)

POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有



B )

( A) 0 个

( B) 2 个

(C ) 4 个

(D) 6 个

(200 天津) 4. 200 6 天津)已知一条直线 l 与双曲线 (

x2 y2 ? = 1 ( b > a > 0 )的两支分别相交于 P 、 Q 两 a 2 b2

点, O 为原点,当 OP ⊥ OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于( A )

(A)

ab b2 ? a2

(B)

ab 2 b ? a2

(C)

b2 ? a2 ab

(D)

b2 ? a2 ab


5. (2005 全国)方程 全国)

x2 sin 2 ? sin 3

+

y2 cos 2 ? cos 3

= 1 表示的曲线是(

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解: 2 + 3 > π ,∴ 0 < Q

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

π
2

? 2< 3?

π
2

<

π
2

,∴ cos(

π
2

? 2 ) > cos( 3 ?

π
2

), 即 sin 2 > sin 3. 又

0< 2 <

π π

, < 3 < π ,∴ cos 2 > 0, cos 3 < 0,∴ cos 2 ? cos 3 > 0, 方程表示的曲线是椭圆。 2 2
2? 3 2+ 3 π sin( + ) KK (?) 2 2 4

Q (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) = 2 2 sin

1

?

π
2

<

2? 3 2? 3 π 2 + 3 3π 3π ,∴ < 0,∴ sin < 0, < < < 2 2 2 2 4 4

2+ 3 π 2+ 3 π + < π .∴ sin( + ) > 0, 2 4 2 4

∴ (?)式 < 0. 即 sin 2 ? sin 3 < cos 2 ? cos 3. ∴ 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。
(2006 年浙江省预赛) 6. 2006 年浙江省预赛)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 ? ( 足条件的直线 L 共有 (A)1 解: 由 AB = 答案为 C。 7. 2006 年浙江省预赛)设在 xOy 平面上, 0 < y ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 所围成图形的面积为 (2006 年浙江省预赛) 合 M = {( x, y ) y ? x ≤ 1}, N = {( x, y ) y ≥ x + 1} 的交集 M I N 所表示的图形面积为
2

2 ,则满


条。 (B)2

( (C)3 (D)4

C

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三条共切线。正确
1 ,则集 3

1 2 4 (B) (C) 1 (B) . ( B ) 3 3 3 解: M I N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M I N 的图形面积只要算出在第 一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得, M I N 的 1 1 1 2 图形在第一象限的面积为 A= ? = 。因此 M I N 的图形面积为 。 所以选(B) 。 2 3 6 3
(A) 二、填空题部分 1. (200 6 天津)已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) ,长轴的两个端点为 A 、 B ,若椭圆上存 a2 b2

在点 Q ,使 ∠AQB = 120 o ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是

6 ≤ e <1 3
9 .



?y ≥ 0 ? 2. (2006 年江苏)已知 ?3 x ? y ≥ 0 ,则 x 2 + y 2 的最大值是 ? ?x + 3y ? 3 ≤ 0
2 2 2 2

3. (2006 吉林预赛)椭圆 x /a +y /b =1(a>b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,左焦点为 F,若∠ABF 是直角,则这个椭圆的离心率为_________。

x2 y 2 + = 1 截得 4、 (2006 陕西赛区预赛)若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 2 8
线段的中点的轨迹方程为

1 ( y + 1) 2 2( x ? ) 2 + =1 2 2

5. (2005 年浙江)根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从原点 年浙江) O 沿正东偏北 α ( 0 ≤ α ≤

π
2

y

P(x,y) A

)方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时

间,但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 。 分钟时的可能落点区域的面积是 O 【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y ) 。设机器人改变方向
2

α
x

的点为 A, OA = a , AP = b 。则由已知条件有 a + b = 2 × 10 = 20 ,以及

? x 2 + y 2 = a 2 + 2ab sin α + b 2 ≤ (a + b) 2 = 400 ? x = a cos α .所以有 ? ? ? y = a sin α + b ? x + y = a (sin α + cos α ) + b ≥ a + b = 20
面积为 100π ? 200 平方米。

即所求平面图形为弓形,其

6.(2006 年浙江省预赛)已知 A = ( x, y ) x 2 + y 2 ? 2 x cos α + 2(1 + sin α )(1 ? y ) = 0, α ∈ R , 2006 年浙江省预赛)

{

}

B = {( x, y ) y = kx + 3, k ∈ R}。若 A ∩ B 为单元素集,则 k = ± 3 。
解 由

x 2 + y 2 ? 2 x cos α + 2(1 + sin α )(1 ? y ) = 0 ? ( x ? cosα ) 2 + ( y ? 1 ? sin α ) 2 = 0 ? x = cos α , y = 1 + sin α ? x 2 + ( y ? 1) 2 = 1

A ∩ B 为单元素集,即直线 y = kx + 3 与 x 2 + ( y ? 1) 2 = 1 相切,则 k = ± 3 .
7. (2005 全国)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线 y = x 2 上. 全国) 则该正方形面积的最小值为 80 .

解: 设正方形的边 AB 在直线 y = 2 x ? 17 上, 而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) , D 则 CD 所在直线 l 的方程 y = 2 x + b, 将直线 l 的方程与抛物线方程联立, x 2 = 2 x + b ? x1, 2 = 1 ± b + 1. 得 令正方形边长为 a, 则 a 2 = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 5( x1 ? x 2 ) 2 = 20(b + 1). ① 在 y = 2 x ? 17 上任取一点(6,,5) ,它到直线 y = 2 x + b 的距离为 a,∴ a =
2 ①、②联立解得 b1 = 3, b2 = 63. ∴a 2 = 80, 或 a 2 = 1280. ∴ a min = 80.

| 17 + b | 5

②.

(2004 全国) ,点 P 在 X 轴上移动, 8、 2004 全国)在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ( 当 ∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为_______________。 解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为:( x ? a ) 2 + ( y ? 3 + a ) 2 = 2(1 + a 2 ) .对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小 而角度增大,所以,当 ∠MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方 程中的 a 值必须满足 2(1 + a 2 ) = (a ? 3) 2 , 解得 a=1 或 a=-7。 即对应的切点分别为 P (1, 0)和P ' ( ?7, 0) , 而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M,N,P 的圆的半径,所以 ∠MPN > ∠MP ' N ,故点 P(1,0) 为所求,所以点 P 的横坐标为 1。 三、解答题部分 1.(集训试题)已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P (集训试题) 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的 度数。 解:以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0),点

3

A(k, λ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=

x 2 + 2 2 =1+r。所以 x=±

o?r o?h ? k AN ? k AM r 2 + 2r ? 3 , ∴tan∠MAN= = x+r?h x?r?h o?h o?h 1 + k AN ? k AM 1+ ? x+r ?h x?r ?k

=

2rh 2rh 2rh 2 2 = = ,令 2m=h +k -3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x ? k) ? r + h ( ± r + 2r ? 3 ) ? r ? h h + k ? 3 + 2 r m 2k r + 2r ? 3
2

tan ∠ MAN=

1 2 , 所 以 m+r m k r + 2r ? 3 =nhr , ∴ m+(1-nh)r= ± k r 2 + 2r ? 3 , 两 边 平 方 , 得 : n

?m 2 = ?3k 2 (1) ? ? 2 2 2 2 2 2 2 m +2m(1-nh)r-(1-nh) r =k r +2k r-3k , 因为对于任意实数 r≥1, 上式恒成立, 所以 ?2m(1 ? nh) = 2k 2 (2) , ? 2 2 ?(1 ? nh) = k (3) ?
由(1) (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n=

1 1 2 2 。由 2m=h +k -3 得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN= =h= h n

± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°。 2、 2006 吉林预赛)已知抛物线 C:x =2py(p>0),O 是坐标原点,M(0,b)(b>0)为 y 轴上一动点, ( 吉林预赛) 2 过 M 作直线交 C 于 A、B 两点,设 S△ABC =mtan∠AOB,求 m 的最小值。 -0.5p ) (
2

3、 2006 年南昌市)(高二)给定圆 P: x 2 + y 2 = 2 x 及抛物线 S: y 2 = 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此直线 ( 年南昌市) 与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D ,如果线段 AB, BC , CD 的长按此顺序构成一个 等差数列,求直线 l 的方程. 解:圆 P 的方程为 ( x ? 1) + y = 1 ,则其直径长 B C = 2 ,圆心为 P (1, 0 ) ,设 l 的方程为 ky = x ? 1 ,
2 2

即 x = ky + 1 ,代入抛物线方程得: y 2 = 4ky + 4 ,设 A ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) 有?

? y1 + y 2 = 4k ,则 ( y1 ? y 2 ) 2 = ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? y1 y 2 = ?4
2 2 2 2 2 y12 ? y 2 ) 4

y
A

故 | AD | = ( y1 ? y 2 ) + ( x1 ? x 2 ) = ( y1 ? y 2 ) + (

B P o D
C

y1 + y 2 2 ) ] = 16(k 2 + 1) 2 ,因此 | AD |= 4(k 2 + 1) 4 据 等 差 , 2 BC = AB + CD = AD ? BC 所 以 AD = 3 BC = 6 即
= ( y1 ? y 2 ) 2 [1 + (
,

x

4(k 2 + 1) = 6 , k = ±

2 2 2 则 l 方程为 x = y + 1或 x = ? y +1. 2 , 2 2

4. 2006 年上海) ( 年上海) 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) , 其焦点为 F, 一条过焦点 F, 倾斜角为 θ (0 < θ < π ) 的直线交抛物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标原点) ,交准线于点 B′ ,连接 BO,交准线于点 A′ ,求 四边形 ABB′A′ 的面积.
4

解 当θ = 当θ ≠

π
2

时, S ABB′A′ = 2 p .
2

…………………(4 分)

π
2

时,令 k = tan θ .设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则由
y

p y = k ( x ? ) ,① y 2 = 2 px , 2 2p 2 y ? p 2 = 0 ,所以 消去 x 得, y ? k 2p 2 y1 + y2 = , y1 y2 = ? p . ③ k
又直线 AO 的方程为: y =



A/

A

O B/

F B

x

y1 2p x ,即为 y = x ,所以,AO x1 y1

与准线的交点的坐标为 B′( ?

p p2 p2 , ? ), 而由③知,y2 = ? , 所以 B 和 B′ 的纵坐标相等, 从而 BB′ x 2 y1 y1

轴.同理 AA′ x 轴,故四边形 ABB′A′ 是直角梯形.………………(9 分) 所以,它的面积为 S ABB′A′ =

1 1 ( AA′ + BB′ ) ? A′B′ = AB ? A′B′ 2 2

=

1 1 1 1 1 ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ? y2 ? y1 = ( y2 ? y1 )2 1 + 2 = 1 + 2 ?( y1 + y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? 2 k k ? 2 2
3 2

3 1 ?2 ? = 2 p ?1 + 2 ? = 2 p 2 (1 + cot 2 θ ) 2 .………………(14 分) ? k ?

5. (2005 年浙江)(20 分)设双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 ?PF1 F2 的顶点 P 年浙江) 在第一象限的双曲线上移动, 求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF2 上的切点轨迹。 【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 F1 F2 上的 切点,H 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,K 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF1 上的切点。则有

GF1 ? GF2 = KF1 ? HF2 = ( KF1 + KP ) ? ( HF2 + HP ) = PF1 ? PF2
由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G = F2 A =

-------------

5分

2 ?1 。 根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等, 所以 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上

的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分 因为 P ( x, y ) 是在 x 2 ? y 2 = 1 第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时,与 x 轴正向 的交角 θ 的正切的极限是 lim tan θ = lim
x → +∞

x2 ?1 x? 2

x → +∞

=1
5

即 θ →

π
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式) ?

? x ? 2 = ( 2 ? 1) cos θ π , ( < θ < π )-- 15 分 4 y = ( 2 ? 1) sin θ ?

也可以用直角坐标形式。由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为

x = 1 ( 0 < y < 1) 。

-------------------------------- 20 分

6.(2006 浙江省)在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay + b 2 = 0 外 ( 浙江省) 切( a, b ∈ N , a ≠ 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求 (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L; (2)若直线 4( 7 ? 1) abx ? 4ay + b 2 + a 2 ? 6958a = 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求 a, b 之值。 解: (1)由 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay + b 2 = 0 可得 ( x ?

b 2 1 1 ) + ( y ? )2 = ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ∈ N,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,设动圆圆心坐标为 ( x, y ) , 则有

(x ?
整理得到动圆圆心轨迹方程

b 2 1 1 ) + ( y ? )2 = y + , 2a 4a 4a

y = ax 2 ? bx +
另解 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 ( 包含该点)的抛物线,得轨迹方程

b2 4a

(x ≠

b ) 。 ……………………(5 分) 2a

b 1 1 b , ) 为焦点, y = ? 为准线,且顶点在 ( ,0) 点(不 2a 4 a 4a 2a

(x ?

b 2 1 b2 b ) = y ,即 y = ax 2 ? bx + ( x ≠ ) …………………(5 分) 2a a 4a 2a

(2)联立方程组

y = ax 2 ? bx +

b2 b (x ≠ ) 4a 2a



4( 7 ? 1)abx ? 4ay + b 2 + a 2 ? 6958a = 0
消去 y 得



4a 2 x 2 ? 4 7 abx ? (a 2 ? 6958a ) = 0 ,

由 ? = 16 × 7 a 2 b 2 + 16a 2 ( a 2 ? 6958a ) = 0, 整理得

7b 2 + a 2 = 6958a
从③可知 7 a 2 ? 7 a 。 故令 a = 7 a1 ,代入③可得



6

b 2 + 7 a1 = 6958a1
2

? 7 b 2 ? 7 b . 再令 b = 7b1 ,代入上式得
7b1 + a1 = 994a1
2 2

…………………(10 分)

同理可得, 7 a1 ,7 b1 。可令 a = 49n, b = 49m, 代入③可得

7 m 2 + n 2 = 142n
对④进行配方,得



(n ? 71) 2 + 7 m 2 = 712 ,

对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶数,所以 7 m 2 = 712 ? ( n ? 71) 2 为 8 的倍数,所以

4 m 。令

m = 4r ,则 112r 2 ≤ 712 ? r 2 ≤ 45 。
所以

r = 0,1, 3, 5, 2,4,6
2 2

…………………………………(15 分)

仅当 r = 0,4 时, 71 ? 112r 为完全平方数。于是解得

a = 6958, b = 0(不合,舍去)

a = 6272 b = 784

a = 686 。 …………………(20 分) b = 784
2

10、 2004 全国)设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________。 10、 (2004 全国) (

p ± p 2 + 4n 2 解:设 k ? pk = n, n ∈ N , 则 k ? pk ? n = 0, k = ,从而 p 2 + 4n 2 是平方数,设为 2
2 * 2 2

m 2 , m ∈ N * , 则 (m ? 2n)(m + 2n) = p 2 ? p2 + 1 m= ? ? m ? 2n = 1 ? 2 Q p是质数,且p ≥ 3, ∴ ? , 解得 ? 2 2 ?m + 2n = p ?n = p ? 1 ? ? 4
∴k =

p ± m 2 p ± ( p 2 + 1) ( p + 1)2 = ,故k = 。 (负值舍去) 2 4 4

7


相关文章:
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类。高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题 1. (04 湖南)已知曲线 C : y ? 围是(C) ...
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题 1. (04 湖南)已知...
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题 1. (04 湖南)已知...
高中数学竞赛专题讲座解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分 1.(集训试题)过椭圆 C: x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的...
高中数学竞赛专题讲座解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分 1.(集训试题)过椭圆 C: x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的...
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座之解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: x2 y2 ...
高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何(1)
高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何(1)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何(1)_学科竞赛_高中...
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类
高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类。高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题 1. (04 湖南)已知曲线 C : y ? ? x 2 ?...
高中数学竞赛专题讲座解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分 1.(集训试题)过椭圆 C: x2 y2 ? ? 1 上任一...
更多相关标签:
高中数学竞赛专题讲座 | 高中数学解析几何专题 | 命题人讲座 解析几何 | 初中数学竞赛专题讲座 | 平面解析几何专题 | 高中数学竞赛解析几何 | 龙门专题 解析几何 | 解析几何专题复习 |