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2015年江苏南通第一中学高三数学最后一练


2015 江苏高考最后一练
第I卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相 .... 应位置上 . ) .... 1. 已知集合 A ? {( x, y) x ? y ? 2} , B ? {( x, y) x ? y ? 4} ,则 A
B?



r />
2. 命题“若实数 a 满足 a≤2,则 a2<4”的否命题是 ▲ 命题(填“真”或“假”). 3. 若复数 z ? 4. 双曲线

2i ( i 为虚数单位),则复数 z 的模 z ? 1? i


▲ .



x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于 4

x 5. 函数 f ?x? ? e cos x 的图像在点 ?0, f ?0?? 处的切线的倾斜角为





? x 2 ? 4 x ? 6 ( x ≥ 0) 6. 设函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ▲ . (用区间表 ( x ? 0) ?x ? 6

示)

π 7. 若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) (| ? |? ) 为偶函数,则 ? ? 2
8. 若 ?an ? 是递增数列,其中 an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是 9. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ,则 a10 ? ▲ .

▲ ▲

. .

10.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给定下列四个命题: ①若 m ? n , n ? ? ,则 m ? ? ; ②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ④若 m ? ? , n ? ? , ? // ? ,则 m // n .其中真命题的序号为 ▲ . ▲ .

11. 若不等式 x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数 x, y 恒成立, 则实数 a 的最小值为 12.已知△OFQ 的面积为 S,且 OF ? FQ ? 1 ,若 是 ▲ .

1 3 ?S? ,则 OF , FQ 夹角 ? 的取值范围 2 2

13.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? n… 2? .若对任意 的 n ? N* , an ? an?1 恒成立,则 a 的取值范围是 14 .已知椭圆
AF ? BF ,
1





x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点 O 的对称点为 B, F 为其右焦点,若 a 2 b2

? π π? 设 ?ABF ? ? , 且 ? ? ? , ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ?12 4 ?





y A x

F1 B

o

F

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) π ?π π? 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( x ? ) ? 3 cos 2 x, x ? ? , ? ,设 x ? ? 时 f ( x) 取到最大值. 4 ?4 2? (1)求 f ( x) 的最大值及 ? 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , A ? ? ? 断 ?ABC 的形状.

π ,且 sin B sin C ? sin 2 A ,判 12

16. (本题满分 14 分)
2

如图, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点. 求证: (1) PA //平面 BDE ; (2)平面 PAC ? 平面 BDE .

P E

C
D
A

O

B

17. (本题满分 14 分) 某校内有一块以 O 为圆心, R ( R 为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图)荒地, 该校总务处计划对其开发利用,其中弓形 BCDB 区域(阴影部分)用于种植学校观赏 植物,?OBD 区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏 植物的成本是每平方米 20 元, 种植花卉的利润是每平方米 80 元, 种植草皮的利润是每 平方米 30 元. (1)设 ?BOD ? ? (单位:弧度) ,用 ? 表示弓形 BCDB 的面积 S弓 ? f (? ) ; (2)如果该校总务处邀请你规划这块土地,如何设计 ?BOD 的大小才能使总利润最大?并 求出该最大值.(参考公式:扇形面积公式 S ?

1 2 1 R ? ? Rl , l 表示扇形的弧长) 2 2

18. (本小题满分 16 分)
3

已知椭圆

x2 y2 3 ? ? 1 ,离心率为 . 2 a 16 5

(1)求椭圆的方程; (2)过 a ? 4 的椭圆的右焦点 F 任作一条斜率为 k ( k ? 0 )的直线交椭圆于 A,B 两点, 问在 F 右侧是否存在一点 D ( m,0) ,连 AD、BD 分别交直线 x ? 25 于 M,N 两点,且以 MN 3 为直径的圆恰好过 F ,若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 16 分) 己知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1 . (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a ? ?1 ,若对任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ 4 x1 ? x2 ,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)
4

若数列 {an } 满足条件:存在正整数 k ,使得 an ? k ? an? k ? 2an 对一切 n ? N* , n ? k 都成立, 则称数列 {an } 为 k 级等差数列. (1)已知数列 {an } 为 2 级等差数列,且前四项分别为 2, 0, 4,3 ,求 a8 ? a9 的值; (2)若 an ? 2n ? sin ?n( ? 为常数) ,且 {an } 是 3 级等差数列,求 ? 所有可能值的集合,并求

? 取最小正值时数列 {an } 的前 3 n 项和 S3n ;
(3)若 {an } 既是 2 级等差数列, {an } 也是 3 级等差数列,证明: {an } 是等差数列.

5

第 II 卷(附加题)
21B. (本小题满分 10 分)选修 4—2:矩阵与变换
?0 1? 在直角坐标系 xOy 中,点(2,﹣2)在矩阵 M ? ? ? 对应变换作用下得到点(﹣2, ?a 0? 4) ,曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C ' ,求曲线 C ' 的方程.

21C. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的

? x ? 1 ? cos α, 3 ?π ? 极 坐 标 方 程 为 ? s i n? ? ? ? ? ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, ?3 ? 2 ? y ? sin α
0 ≤? ≤ π ) .

(1)写出直线 l 的直角坐标方程; (2)求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标.

22. (本小题满分 10 分) 一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性 相同). (1)求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (2)再取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

6

23. (本题满分 10 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的 直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,

?ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程;
(2)若直线 l1 //l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

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