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江西省临川区2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(文科)


江西省临川区 2013—2014 学年度高三年级第二次模拟考试 数学试题(文科)
本试卷分为试题卷和答题卷两部分.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置 ) ........ 2 1.已知集合 A={x|x

-2x≤0,x∈R},集合 B={x||x|≤1,x∈R},则 A∩B 为 A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
3

C.{x|-1≤x≤2}

D. {x|0≤x≤1}

? 1? i ? 2.已知 i 是虚数单位,则 ? ? 在复平面内对应的点位于 ? 2?
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知幂函数 f ( x) ? x2?m 是定义在区间 [?1, m] 上的奇函数,则 f (m ? 1) 为 A.8 B.4 C.2 D.1 2 2 4.已知 a、b∈R,那么“ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.设 a、 b 是不同的直线, ?、? 是不同的平面,则下列命题: ①若 a ? b, a // ? , 则b // ? ③若 a ? ? , ? ? ? , 则a // ? 其中正确命题的个数是 A.0 B. 1 ②若 a // ? , ? ? ? , 则a ? ? ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?

C.2

D.3

6. 已 知 数 列 { an } 满 足 l o 3 gan ? ? 1

l 3o ang ?

1

?9 , 则 n?N (* , 且 ) a2 ? a 4? a 6
1 5

lo1 g a(5? a ? 7 a 的值是 9 )
3

A. ?

1 5

B. ?5

C.5

D.

' 7. 函数 f ( x) 的图像如图, f ( x) 是 f ( x) 的导函数,则下列

数值排列正确的是

0? B. 0 ? C. 0 ? D. 0 ?
A.

f ' (2) ? f ' (3) ? f (3) ? f (2) f (3) ? f (2) ? f ' (2) ? f ' (3) f ' (3) ? f ' (2) ? f (3) ? f (2) f ' (3) ? f (3) ? f (2) ? f ' (2)

8. 在平面直角坐标系 xOy 中, ⊙M 过原点且与坐标轴交于 A(a, 0), B(0, a)两点, 其中 a>0. 已 知直线 x ? y ? 2 ? 0 截⊙M 的弦长为 6 ,则 a 为

第 1 页 共 7 页

A.

7 4

B.

7 2

C.

7 2

D. 7

9 .已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的半焦距为 c(c>0),左焦点为 F ,右顶点为 A,抛物线 a2 b2

y2 ?
A.

15 (a ? c) x 与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 8 8 15
B.

4 15

C.

2 3

D.

1 2

10.若集合 A 具有以下性质:① 0 ? A , 1 ? A ;②若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ,且 x ? 0 时,

1 ? A .则称集合 A 是“好集”. x (1)集合 B ? ??1,0,1? 是好集; (2)有理数集 Q 是“好集”; (3)设集合 A 是“好集”, 若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ; (4)设集合 A 是“好集”,若 x, y ? A ,则必有 xy ? A ; y (5)对任意的一个“好集” A ,若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则必有 ? A . x
则上述命题正确的个数是 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为 .
开始

S ? 1, n ? 0

?2? x ( x ≥ 3) 12. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f (log 2 3) ? ? f ( x ? 1)( x ? 3)

.

n ? n ?1

1 2 13.已知 x>0,y>0, + =2,则 2 x ? y 的最小值为 x y ?1
14.已知函数 f ( x) ?

S ? n ? S ?1



1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c 在 x1 处取得极大值, 3 2 a ? 2b ? 4 在 x2 处取得极小值,满足 x1 ? (?1,0) , x2 ? (0,1) ,则 a?2
M E A . F D

S ? 50
>50 是
输出 n 出 nn 结束

的取值范围是 . 15.如图,矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形,其中 A、B、C、D 都在矩形的边上,若向量 BD ? x AE ? y AF , 则x ? y ?
2 2

s ? 1, n ? 0

T

C

O

B (第 15 题图)

R

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,请在答题卡上给出详细的解答过程. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(sinx+cosx) -2sin x. (1)求 f(x)的单调递减区间;
第 2 页 共 7 页
2 2

? ???? A 6 ??? AB ? AC =12, (2) A、 B、 C 是△ABC 的三内角, 其对应的三边分别为 a、 b、 c. 若 f( )? , 8 2

a ? 2 7 ,且 b<c,求 b、c 的长.
17.(本小题满分 12 分) 有六张纸牌,上面分别写有 1,2,3,4,5,6 六个数字,甲、乙两人玩一种游戏:甲先 取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数。如果两个点数的和为偶数就算甲 胜,否则算乙胜. (1)求点数的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由.

18.(本大题满分 12 分) 如图是某直三棱柱 ( 侧棱与底面垂直 )
第 18 题图

被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,N 是 BC 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)求该几何体的体积; (2)求证:AN∥平面 CME; (3)求证:平面 BDE⊥平面 BCD. 19.(本小题满分 12 分) * 已知数列{an},如果数列{bn}满足 b1= a1,bn= an + an-1(n≥2,n ? N ) ,则称数列{bn}是 数列{an}的“生成数列”. (1)若数列{an}的通项为 an=n,写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}的通项为 cn =2 n +b(其中 b 是常数) ,试问数列{cn}的“生成数列”{qn} 是否是等差数列,请说明理由; n (3)已知数列{dn}的通项为 dn=2 +n,求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前 n 项和 T n . 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 2(1 ? a) ln(x ?1), x ? (1,??) .
2

(1) x ?

3 是函数的一个极值点,求 a 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 的单调区间;
2 ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 函 数 g ( x) ? ? x ? b, (b ? 0) , 若 对 任 意 m1 , m2 ? ? ? 1, e ? 1? ,

?1 ?e

? ?

| g (m2 ) ? f (m1 ) |? 2e2 ? 2e 都成立,求 b 的取值范围.
第 3 页 共 7 页

21.(本小题满分 14 分) 已知直线 l:y=kx+2(k 为常数)过椭圆 C:
2 2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F,

直线 l 被圆 O:x +y =4 截得的弦 AB 的中点为 M.
4 5 (1)若|AB|= ,求实数 k 的值; 5 (2)顶点为 O,对称轴为 y 轴的抛物线 E 过线段

y B T

l S

BF 的中点 T 且与椭圆 C 在第一象限的交点为 S, 抛物线 E 在点 S 处的切线 m 被圆 O 截得的弦 PQ 的中点为 N,问:是否存在实数 k,使得 O、M、 N 三点共线?若存在,请求出 k 的值;若不存在, 请说明理由.

x F A O

江西省新余市 2012—2013 学年度高三年级第二次模拟考试 数学试题(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBACB BDADC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 4 12.

1 12

13.3

14.(1,3)

15.13

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1)f (x)=1+sin2x-1+cos2x= 2 sin(2x+ ∴ 当 2k? ? 解得 k? ?

?
4

),

?
2

≤2x+

?
4

≤ 2 k? ?

?
8

≤x≤ k? ?

5? ](k∈Z). ??????6 分 8 8 A ? ? ? 6 3 A ? A ? A (2)f ( )= 2 sin( + )= ,即 sin( + )= , ? ?( , ) 2 2 4 4 4 2 4 4 4 4 8 ? A ? ? ∴ + = ,即 A= . 3 4 4 3 ??? ? ???? 1 由 AB ? AC =c·b·cosA=12,cosA= ,得 bc=24.①
即 f (x)的单调递减区间为[ k? ? , k? ?

5? , 8

3? 时,f (x)单调递减, 2

?

2

又 cosA=

b ?c ?a 1 2 2 ? ,a ? 2 7 ,得 b +c =52. 2bc 2
2 2 2

第 4 页 共 7 页

∵ b +c +2bc=(b+c) =100,b>0,c>0, ∴ b+c=10,② 联立①②,且 b<c,解得 b=4,c=6.??????????????12 分 17.解: (1)设“甲胜且点数的和为 6”为事件 A,甲的点数为 x,乙的点数为 y,则(x,y) 表示一个基本事件.?????2 分 两人取牌结果包括(1,1) , (1,2) ,?(1,5) , (1 , 6 ) , ( 2, 1 ) ,?(6,1) ,? (6,6)共 36 个基本事件;?????4 分 A 包含的基本事件有(1,5) , (2,4) , (3,3) (4,2) , (5,1)共 5 个,

2

2

2

? 所以 P(A)

5 36

所以,编号之和为 6 且甲胜的概率为

5 ???6 分 36

(2)这种游戏公平。设“甲胜”为事件 B, “乙胜”为事件 C.甲胜即两个点数的和为偶 数. ?????8 分 所包含基本事件为以下 18 个: (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (2,6) , (3, 1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4,4) , (4,6) , (5,1) , (5,3) (5,5) , (6,2) , (6, 4) , (6,6)???10 分 所以甲胜的概率为 P( B) ?

18 1 18 1 ? ;乙胜的概率为 P(C) ? ? ? P( B) ? P(C ) 36 2 36 2

?这种游戏规则是公平的 . ???12 分
(备注:利用等可能性也给分) 18(1)由题意可知:四棱锥 B-ACDE 中,平面 ABC⊥平面 ACDE,AB⊥AC, AB⊥平面 ACDE,又 AC=AB=AE=2,CD=4, ????2 分

则四棱锥 B-ACDE 的体积为: V ? S梯形ACDE ? AB ? ? 即该几何体的体积为 4 ????4 分 (2)证明:由题图知,连接 MN,则 MN∥CD, 且 MN ? CD .又 AE∥CD,且 AE ? CD ,

1 3

1 (4 ? 2) ? 2 ?2 ? 4, 3 2

1 2

1 2

????6 分

∴ MN ∥ AE , MN = AE ∴四边形 ANME 为平行四边形,∴AN∥EM. ∵AN ? 平面 CME,EM ? 平面 CME,∴AN∥平面 CME (3)证明:∵AC=AB,N 是 BC 的中点,∴AN⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCD,∴AN⊥平面 BCD 则(2)知:AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD,又 EM ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD ???12 分 ????10 分 ?????8 分

19.(1)解:当 n≥2 时, bn ? an ? an?1 ? 2n ?1 ??2 分 当 n = 1 时, b1 ? a1 ? 1 适合上式, ∴ bn ? 2n ? 1 ??4 分

第 5 页 共 7 页

n ?1 ?2 ? b qn ? ? 4 n ? 2 b ? 2 n≥ 2 ? (2)解: ??

6分

当 b = 0 时, qn ? 4n ? 2 , 由于 qn?1 ? qn ? 4 ,所以此时数列 ?cn ?的“生成数列” ?qn ?是等差数列 当 b≠0 时,由于 q1 ? c1 = 2 + b , q2 = 6 + 2b , q3 = 10 + 2b 此时 q2 ? q1 ? q3 ? q2 ,所以此时数列 ?cn ?的“生成数列” ?qn ?不是等差数列。?8 分

n ?1 ?3 pn ? ? n ?1 ?3 ? 2 ? 2n ? 1 n ? 1 (3)解:
当n >

??9 分

2 n ?1 T ? 3 ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 2 ? 5) ? ? ? (3 ? 2 ? 2n ? 1) n 1 时,

=

3 ? 3(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? (3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2n ? 1) ? 3 ? 2n ? n2 ? 4 ???11 分


又 n = 1 时, T1 = 3,适合上式 (备注:未考虑 n=1 的扣 6 分)

Tn ? 3 ? 2n ? n2 ? 4

???12 分

20 解: (1)函数 f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 2(1 ? a)1n( x ? 1)
2

f ?( x) ? 2 x ? 2(1 ? a) ?
?x ?

2(1 ? a) ,???2 分 x ?1

3 是函数的一个极值点 2 3 3 ? f ?( ) ? 0 解得: a ? ????4 分 2 2 2(1 ? a) 2 x( x ? a) ? (2)? f ? ? x ? ? 2 x ? 2(1 ? a ) ? x ?1 x ?1

又? f ( x)的定义域是( 1 , ? ?)
???6 分 ?当a ? 1时,函数f(x)的单调增区间为( 1 , ? ?)

当a?1时,( 1 ,a)为减区间,( a,??)为增区间???8 分
(3)当 a=2 时,由(2)知 f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.

1 1 ? f (2) ? 0, f ( ? 1) ? 2 , f (e ? 1) ? e 2 ? 3 e e ?1 1 ? y ? f ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域 [0, e 2 ? 3] ??10 分 e
第 6 页 共 7 页

1 ? g ( x) ? ? x 2 ? b在[ ? 1, e ? 1]为减函数 e 1 1 2 ? y ? g ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域为 [? (e ? 1 ) ? b,?( ? 1) 2 ? b] ????11 分 e e ? b>0

1 ? ?( ? 1)2 ? b?0,?(e ? 1)2 ? b?0 e 所以 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 2e2 ? 2e成立,只要
e2 ? 3 ? (?(e ? 1)2 ? b) ? e2 ? 3 ? (e ? 1)2 ? b ? 2e2 ? 2e ? 2 ? b?2e2 ? 2e成立即可??12 分
解得:0<b<2????13 分 21.解: (1)圆 O 的圆心为 O(0,0) ,半径为 r=2
4 5 ∵OM⊥AB,|AB|= 5

y B M T O Q m

l S P x N

∴ | OM |? r 2 ? ( | AB | ) 2 ? 4 5 2 5 ∴
2 k ?1
2

????? 2 分

F A

?

1 4 5 ,∴ k 2 ? 5 4 1 ∴k ? 2

又 k ? k FB ? 0 (2)∵F( ? ∴T ( ?

????? 5 分

2 ,0),B(0,2),T 为 BF 中点 k

1 1 2 ,1) . 设抛物线 E 的方程为 y=tx (t>0),∵抛物线 E 过 T ∴ 1 ? t ? 2 ∴ t ? k 2 k k

∴抛物线 E 的方程为 y ? k 2 x 2 , ?????????????????? 7 分 ∴ y ' ? 2k 2 x ,设 S(x0,y0),则 k m ? y ' x? x ? 2k 2 x0 ,????????? 8 分
0

假设 O、M、N 三点共线,则∵OM⊥l,ON⊥m,∴l//m ,??????? 9 分 又 kl ? k ? 0 ∴ kl ? k m ∵S 在椭圆 C 上,∴
1
2 x0

∴ k ? 2k 2 x 0
?
2 y0

∴ x0 ?

1 1 1 2 , y 0 ? k 2 x0 ?? 10 分 ? k2 ? 2 ? 2k 4 4k

a

2

b

2

? 1 结合 b ? 2 , c ?

4 2 , a2 ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 , k k

1 2 59 4 k 16 得 ∴k 无实数解,矛盾,∴假设不成立 ? ? 1 ,∴ k 2 ? ? 4 63 4 4? 2 k

故不存在实数 k,使得 O、M、N 三点共线.???????????? 14 分

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