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立体几何测试题(文科)


立体几何文科试题
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,

m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 2、已知直线 l , m 与平面 ?,? ,? 满足 ? A. ? ? ? 且 l ? m C. m // ? 且 l ? m
? ? l,l // ?,m ? ? 和 m ? ? ,则有

)

B. ? ? ? 且 m // ? D. ? // ? 且 ? ? ?

3.若 a ? ? 0,1, ?1? , b ? ?1,1, 0 ? ,且 a ? ? b ? a ,则实数 ? 的值是( ) A .-1 B.0 C.1 D.-2 4、已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β

?

?

5 一个几何体的三视图及长度数据如图,则几何体的表面积与体积分别为

? A?7 ?
?C ?7 ?

2 ,3
3 2, 2

?B?8 ?
?D ?8 ?

2, 3
2, 3 2

6、已知长方体的表面积是 24cm ,过同一顶点的三条棱长之和是 6cm ,则它的对角线长是 ( A. )

2

14cm

B. 4cm

C. 3 2cm

D. 2 3cm

3 7、已知圆锥的母线长 l ? 5cm ,高 h ? 4cm ,则该圆锥的体积是____________ cm

A. 12π

B 8π

C. 13π

D. 16π

8、某几何体的三视图如图所示,当 a ? b 取最大值时,这 个几何体的体积为 ( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2

9







A,

B, C , 在D 同 一 个 球 面

上 , AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 , 则 B, C 两点间的球 面距离是 ( A. ) B.

? 3

4? 3

C.

2? 3

D.

5? 3

10、四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上,且 CD ? 2 , AB ? 3 ,在外接球面上 A,B 两 点间的球面距离是( A. ) B.

π 6
B.2cm

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6


11、 半径为 2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上, 一阵风吹倒它, 它的最高处距桌面 ( A.4cm C. 2 3cm D. 3cm

12、 有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察 的结果如图所示.如果记 3 的对面的数字为 m,4 的对面的数字为 n,那么 m+n 的值为 ( ) A.3 B.7 C.8 D.11

二.填空题:本大题共 4 个小题。把答案填在题中横线上。 13.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 ________ 14、在 ABC 中, AB ? 13, AC ? 12, BC ? 5 , P 是平面 ABC 外一点,

PA ? PB ? PC ?

13 10 ,则 P 到平面 ABC 的距离是 2

、C 、 D是 半 径 为 2 的 球 面 上 的 四 个 不 同 点 , 且 满 足 AB ? AC ? 0 , 15 、 设 A、 B

AC ? AD ? 0 ,AD ? AB ? 0 , 用 S1、 △ ACD 、 △ ABD 的面积, S2 、 S3 分别表示△ ABC 、
则 S1 ? S2 ? S3 的最大值是 .

16、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 2,2,3, 则此球的表面积为 .

三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)如图: 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2, ∠ACB=90?.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= 3 . (Ⅰ )求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ )求三棱锥 A1-CDE 的体积.

18、(本小题满分 12 分) 如图 6,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

P

ABCD 是直角梯形, AD // BC , ?BAD =90?, BC ? 2 AD .
(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.

C
D
A
图6

B

19、(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中, ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形, ∠APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

20 、 ( 本小题满分 12 分 ) 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

CC1 ? AC ? BC? 2 , ?ACB ? 90? .
(1) 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图,请据此画出它的 左视图和俯视图; (2) 若 P 是 AA1 的中点,求四棱锥 B1 ? C1 A1PC 的体积.
主视图 左视图

A1

C1

2
A
俯视图

2

C

21、(本小题满分 12 分)如图所示,等腰△ABC 的底边 AB=6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上 异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB.现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置, 使 PE⊥AE.记 BE ? x V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值?

22.(本小题满分 14 分) 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视 图在下面画出(单位:cm) 。 (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视 图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG。
6

D' G F B'

C'

2

2

2 4

E D A B C
正视图
4

侧视图

+:
一、选择题 1 D 2、A3、D 4、D 5、C6、D 7、A. 8、D 9、B 10、C 11、D 12、C 二、填空题 13、

4 ? 3

14、

39 2

15、8

16、 17? ?

三、解答题 17 解:解:(1)在 Rt△DBE 中,BE=1,DE= 3 ,∴BD= DE -BE
2 2

1 = 2 = 2 AB,

∴ 则 D 为 AB 中点, 而 AC=BC, ∴ CD⊥ AB 又∵ 三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴ CD⊥ AA1 又 AA1∩ AB=A 且 AA1、AB ? 平面 A1ABB1 故 CD⊥ 平面 A1ABB1 (2)解:∵ A1ABB1 为矩形,∴ △ A1AD,△ DBE,△ EB1A1 都是直角三角形, ∴ S ?A1DE ? S A1ABB1 ? S ?A1AD ? S ?DBE ? S ?EB1A1 1 1 1 3 =2×2 2 -2 × 2 ×2-2 × 2 ×1-2 ×2 2 ×1= 2 2 1 1 3 ∴ VA1-CDE =VC-A1DE = 3 ×SA1DE ×CD= 3 ×2 2 × 2 =1 ∴ 三棱锥 A1-CDE 的体积为1. -------------------------12 分

6分

18 解:解: (1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ∵ AB ⊥ AD , PA ? AD ? A , ∴ AB ⊥平面 PAD , ∵ PD ? 平面 PAD ,∴ AB ⊥ PD . (2)法 1: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE, EF , DF , 则 EF 是△ PBC 中位线.
P F E

…… 2 分

…… 4 分 …… 6 分

∴ EF ∥ BC ,

EF ?

1 BC 2 , 1 BC 2 ,

……8 分
D A B

C

∵ AD // BC ,

AD ?

∴ AD // EF, AD ? EF . ∴ 四边形 EFDA 是平行四边形, ∴ AE // DF . ∵ AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. 法 2: 取线段 PB 的中点 E , BC 的中点 F ,连结 AE, EF , AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线.
P

……10 分

……12 分

∴ EF ∥ PC ,

CF ?

1 BC 2 ,
D A

E C F B

∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD . …… 8 分

∵ AD // BC ,

AD ?

1 BC 2 ,

∴ AD // CF , AD ? CF .∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ∴ AF // CD ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ∵ AF ? EF ? F ,∴平面 AEF // 平面 PCD .∵ AE ? 平面 AEF , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. ……12 分 ……10 分

19 如图,连接 AC, ∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点,

∴AC 必经过 F 又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP

1分

2分 4分

∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内,∴EF∥面 PAD (2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD 又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线,AP⊥面 PCD 又 AD ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD (3)取 AD 中点为 O,连接 PO,

面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD, 6分 7分 8分

因为面 PAD⊥面 ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形,所以 PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高 ∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥 P—ABCD 的体积 V ? 10 分

1 2 PO ? AB ? AD ? --------12 分 3 3

20 解:

主视图

左视图

A1

C1

C1

B1
C1 B1 A1

2 A
俯视图

2 2 2
C
C1

…3

C

2

B

P
C

B

A1

A

…6

2
B1
(2)解:如图所示. 由 B1C1 ? AC 1 1,B 1C1 ? CC1 ,则 B1C1 ? 面 ACC1 A 1 .所以, 四棱锥 B1 ? C1 A1PC 的体积为 VB1 ?C1 A1PC ?

1 1 ?1 ? ? B1C1 ? SC1 A1PC ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ? 2? ? 2 . 3 3 ?2 ?

…10 …12

21 解: (1) V ?

1 1 x 6 3 (9 6 ? ? ? x) ? x (0 ? x ? 3 6) 即 V ? 3 6 x ? x (0 ? x ? 3 6) 3 2 6 36
6 2 6 x ? (36 ? x 2 ) ,? x ? (0, 6) 时, V ? ? 0; ? x ? (6,3 6) 时, V ? ? 0; 12 12

(2) V ? ? 3 6 ?

? x ? 6 时 V ( x) 取得最大值.

22 、解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 4 2 2 (俯视图) 6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)所求多面体体积

V ? V长方体 ? V正三棱锥
1 ?1 ? ? 4? 4? 6 ? ? ? ? 2? 2?? 2 3 ?2 ?
284 D? C? (cm 2 ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 G 3 F A? B? (Ⅲ)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, 连结 AD ? ,则 AD? ∥ BC ? . E D 因为 E,G 分别为 AA? , A?D ? 中点, C 所以 AD? ∥ EG , A B 从而 EG ∥ BC ? .又 BC ? ? 平面 EFG , 所以 BC ? ∥面 EFG . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ?


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