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【人教A版】高中数学 3.3.2简单的线性规划问题练习 新人教A版必修5


3.3.2

简单的线性规划问题

?基础梳理 1.线性约束条件: ________________________________________________________________________. 2.线性目标函数: ________________________________________________________________________. 3.线性规划问题: ________________________________________________________________________. 4.可行解: ________________________________________________________________________. 5.可行域: ________________________________________________________________________. 6.最优解: ________________________________________________________________________.

x≥0, ? ? 已 知 实 数 x , y 满 足 ?y≤1, 求 2x + y 的 最 大 值 , 这 个 问 题 就 是 ? ?2x-2y+1≤0,
__________________________.

x≥0, ? ? 其中实数 x,y 满足的不等式组?y≤1, 是______________________,z=2x+y ? ?2x-2y+1≤0
是______________________.

?1 ? 满足不等式组的解(x,y)叫________,如? ,1?是一组可行解,由所有可行解组成的集 ?2 ?
1 合即不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分)是______.易知,当 x= ,y=1 时,目 2

?1 ? 标函数 z=2x+y 取最大值 2,故? ,1?是这个规划问题的________. ?2 ?

7.利用代数式的几何意义.

y y-2 表示点 P(x,y)与______连线的斜率. 表示点 P(x,y)与点______连线的斜率. x x+1 x2+y2表示点 P(x,y)到________的距离. 2 2 (x-1) +(y+2) 表示点 P(x,y)到点________的距离. 8.直线 y=2x-1 的斜率为________,在 y 轴上的截距为________. 9.直线 y=kx+b 与 y=mx+n 平行的条件是__________________________. 10.两直线 y=2x-1 与 y=x 的交点坐标是________.
基础梳理 1.由关于 x,y 的一次不等式形成的约束条件 2.由关于两个变量 x,y 一次式形成的函数 3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 4.满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解 5.由所有可行解组成的集合叫可行域 6.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 7.原点 (-1,2) 原点 (1,-2) 8.2 -1 9.k=m,b≠n 10.(1,1) ?自测自评 1.目标函数 z=3x-y,将其看成直线方程时,z 的几何意义是( A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的纵截距的相反数 D.该直线的横截距

线性规划问题

)

x-y+1≤0, ? ? 2.(2014·福建卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+2y-8≤0,则 z=3x+y 的最小值为 ? ?x≥0,
________. 3.(2013·陕西卷)若点(x,y)位于曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x -y 的最小值为________. 自测自评 1.解析:由 z=3x-y 变形得 y=3x-z.故选 C. 答案:C 2.解析:作出可行域,通过目标函数线的平移求出最优解. 由题意,作出约束条件组成的可行域如图所示,当目标函数 z=3x+y,即 y=-3x+z 过点(0,1)时 z 取最小值为 1.

答案:1 3.解析:如图,阴影部分为封闭区域,作直线 2x-y=0,并向左上平移,过点 A 时,
? ?y=2, 2x-y 最小,由? 得 A(-1,2). ?y=|x-1|(x<1), ?

∴(2x-y)min=2×(-1)-2=-4. 答案:-4 ?基础达标 y≤x, ? ? 1.(2014·广东卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1 ,且 z=2x+y 的最大值和最 ? ?y≥-1, 小值分别为 M 和 m,则 M-m=( A.8 B.7 C.6 D.5 )

y≤x, ? ? 1.解析:作出不等式组?x+y≤1,所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示, ? ?y≥-1

直线 y=-1 交直线 x+y=1 于点 A(2,-1),交直线 y=x 于点 B(-1,-1),作直线 l:z=2x+y,则 z 为直线 l 在 y 轴上的截距,当直线 l 经过可行域上的点 A 时,直线 l 在 y 轴上的截距最大,此时 z 取最大值 M,即 M=2×2+(-1)=3; 当直线 l 经过可行域上的点 B 时, 此时直线 l 在 y 轴上的截距最小, 此时 z 取最小值 m, 即 m=2×(-1)+(-1)=-3.因此,M-m=3-(-3)=6,故选 C. 答案:C x-4y+3≤0, ? ? 2.已知实数 x,y 满足?3x+5y-25≤0,设 z=2x+y.取点(3,2)可求得 z=8,取点 ? ?x≥1, (5,2)可求得 zmax=12,取点(1,1)可求得 zmin=3,取点(0,0)可求得 z=0.则点(3,2)叫 做______解,点(0,0)叫做________解,点(5,2)和点(1,1)叫做______解. 2.解析:点(3,2)在可行域内,所以点(3,2)叫做可行解;点(0,0)不在可行域内, 所以点(0,0)叫做非可行解;z=2x+y 在点(5,2)和点(1,1)处取得最值,所以叫做最优 解. 答案:可行 非可行 最优 3.已知非负实数 x、y 同时满足 2x+y-4≤0,x+y-1≥0,则目标函数 z=x +(y+ 2 2) 的最小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7
?2x+y-4≤0, ? 3.解析:不等式组? (x,y≥0)表示的平面区域如下图所示: ? ?x+y-1≥0
2

又 x +(y+2) 表示区域内的点到点 B(0,-2)的距离,当点(x,y)在点 A(1,0)处 时, ( x +(y+2) )min= 5,∴z=x +(y+2) 的最小值为 5. 答案:B y≤x, ? ? 4.(2014·湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4,且 z=2x+y 的最小值为-6, ? ?y≥k, 则 k=______. 4.解析:作出不等式组表示的平面区域,结合线性目标函数的最值求 k. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z=2x+y,则 y=-2x+z.易知 当直线 y=-2x+z 过点 A(k,k)时,z=2x+y 取得最小值,即 3k=-6,所以 k=-2.
2 2 2 2

2

2

答案:-2

0≤x≤2, ? ? 2 2 5.在条件?0≤y≤2,下,z=(x-1) +(y-1) 的取值范围是________. ? ?x-y≥1, 5.解析:不等式组所表示的平面区域如下图所示:

z 表示区域内的点 P(x,y)到点 A(1,1)距离的平方,又|PA|min 就是点 A 到直线 x-y=1 的距离 2 1 ?1 ? ,|PA|max 就是点 A 到点(2,0)的距离 2,∴ ≤z≤2,即 z 的取值范围是? ,2?. 2 2 ?2 ?

? 1 ? 答案:? ,2? ? 2 ?
x+2y-5≤0, ? ?x+2y-3≥0, y 6.已知实数 x,y 满足? 则 的最大值为______. x x≥1, ? ?y≥0, x+2y-5≤0, ? ?x+2y-3≥0 6.解析:画出不等式组? 对应的平面区域 Ω ,如图所示. x≥1, ? ?y≥0,

y y-0 = 表示平面区域 Ω 上的点 P(x,y)与原点的连线的斜率.A(1,2),B(3,0),∴ x x-0 y 0≤ ≤2. x 答案:2 ?巩固提高 0≤x≤1, ? ? 7.若?0≤y≤2, 则 z=2y-2x+4 的最小值为( ? ?2y-x≥1,

)

A.2 B.3 C.4 D.5
7.解析:作出可行域,当直线 z=2y-2x+4 过可行域上点 B 时,直线在 y 轴上的截距 最小,z 最小,又点 B(1,1),∴zmin=2×1-2×1+4=4. 答案:C 8.将大小不同的两种钢板截成 A、B 两种规格的成品,每张钢板可同时截得这两种规格 的成品的块数如下表所示.若现在需要 A、B 两种规格的成品分别为 12 块和 10 块,则至少 需要这两种钢板共______张. 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 8.解析:设这两种钢板分别需要 x,y 张,依题意有:
? ? 2x+y≥12, ? 且 x,y∈N, ?x+3y≥10 ?

A 规格 2 1

B 规格 1 3

可行域如下图所示:

目标函数 z=x+y,
? ?2x+y=12, 由? ? ?x+3y=10 ?

26 ? ?x= 5 , ? 8 ?y=5, ?

∵x、y∈N,∴当 x=5,y=2 时,zmin=7, 即当直线 x+y=z 过点(5,2)时,z 取最小值 7. 答案:7 y≥0, ? ? y-3 9.实数 x、y 满足不等式组:?x-y≥0, 则 k= 的取值范围为________. x+1 ? ?2x-y-2≤0, 9.解析:不等式所表示的平面区域如下图所示. k 表示区域内的点与点 M(-1,3)连线的斜率.由下图可知:kMO≤k≤kMA,

1 1 又 kMO=-3,kMA=- ,∴-3≤k≤- . 3 3 1? ? 故 k 的取值范围是?-3,- ?. 3? ? 1? ? 答案:?-3,- ? 3? ? 10.某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各生产量不少于 15 吨.已知生产甲产品 1 吨 需煤 9 吨,电力 4 千瓦时,劳力 3 个;生产乙产品 1 吨需煤 4 吨,电力 5 千瓦时,劳力 10 个.甲产品每 1 吨利润 7 万元,乙产品每 1 吨利润 12 万元,但每天用煤不超过 300 吨,电 力不超过 200 千瓦时,劳力只有 300 个.问每天各生产甲、乙两种产品多少,能使利润总额 达到最大? 10.分析:将已知数据列成表,如下表所示. 产品 消耗量 资源 煤/吨 电力/千瓦时 劳力/个 利润/万元 甲产品 9 4 3 7 乙产品 4 5 10 12 资源限额 300 200 300

设出未知量,根据资源限额建立约束条件,由利润建立目标函数. 解析:设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、 y 吨,利润总额为 z 万元,那么

? ?4x+5y≤200, x+10y≤300, ?3 x≥15, ? ?y≥15.
9x+4y≤300,

z=7x+12y.
作出以上不等式组的可行域,如下图所示.

7 z 7 z 目标函数为 z=7x+12y, 变为 y=- x+ , 得到斜率为- , 在 y 轴上截距为 , 12 12 12 12 且随 z 变化的一簇平行直线.由图可以得到,当直线经过可行域上点 A 时,截距 最大,z 12 最大.
? ?4x+5y=200, 解方程组? 得点 A 坐标为(20,24). ?3x+10y=300 ?

z

所以 zmax=7×20+12×24=428(万元). 故生产甲、乙两种产品分别为 20 吨,24 吨时,利润最大,最大值为 428 万元.

解简单线性规划问题的基本步骤: 1.画图.画出线性约束条件所表示的平面区域,即可行域. 2.定线.令 z=0,得一过原点的直线. 3.平移.在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线. 4.求最优解.通过解方程组求出最优解. 5.求最值.求出线性目标函数的最大或最小值.


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