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2014等差数列的前n项和性质+练习


1、等差数列{an}前 n 项和公式: S n =

a 1 ? an n(n ? 1) n(n ? 1) n = a1n ? d = nan ? d。 2 2 2
d 2 d d d n ? (a1 ? )n ,若令 A= ,B=a1- ,则 S n =An2+Bn. 2 2 2 2

等差数列的前 n 项之和公式可变形为 S n ?

在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 2、等差数列{an}前 n 项和的性质 性质 1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列,公差为 n2d 性质 2:(1)若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) 性质 3:(2)若项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an

(an,an+1 为中间两项),此时有:S 偶-S 奇= nd

,

(an 为中间项), 此时有:S 奇-S 偶= an ,

s奇 s偶

?

n n -1

性质 4:数列{

sn }为等差数列 n
S n a 2 n ?1 ? Tn b2 n ?1

性质 5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前 n 项的和分别为 Sn 和 Tn,则 典型例题:

热点考向 1:等差数列的基本量(a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个) 例 1、在等差数列{ an }中,已知 S8 ? 48, S12 ? 168 ,求 a1, 和 d 已知 a6 ? 10, S5 ? 5 ,求 a8 和 S8

训练: 1、在等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30, a20 ? 50 .(1)求通项公式 {an } ; (2)若 Sn ? 242 ,求 n . 2.在等差数列 ?an ? 中, S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S7 ? 7, S15 ? 75 , Tn 为数列{ 3、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于

Sn }的前 n 项和,求 Tn n



4. 已知 ?a n ?是等差数列,且满足 a m ? n, a n ? m(m ? n) ,则 a m ? n 等于________。在等差数列{an}中,设前 m 项 和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 Sm=Sn,m≠n,求 Sm+n. 5、 已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前 20 项的和 S20 的值. 热点考向 2:求等差数列前 n 项和最值 例 2、 已知: 1 等差数列{an}中, n=33-3n, Sn 的最大值. 在等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n (1) a1 ? 20 , a 求 2、 . 若 并且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, S n 最大,并求出最大值; (2)若 a1 ? 0 , S9 ? S12 ,则该数列前多少项的和 最小?
1? n 训练:1、已知: a n ? 1024 ? lg 2 ( lg 2 ? 0.3010 ) n ? N ?

(1) 问前多少项之和为最大?(2)前多少项

之和的绝对值最小? 2.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0. (I)求公差 d 的取值范围; (II)指出

S1 , S 2 , S 3 ,?, S12 中哪一个最大,并说明理由。

3、 在等差数列{an}中,已知 a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值. 热点考向 3:求等差数列各项的绝对值之和. 例 3、已知一个等差数列 ?an ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ? a n |? 的前 n 项和; | 训练:1、 已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 12n ? n2 ,求数列{ an }的前 n 项和 Tn 。 热点考向 4:.等差数列{an}前 n 项和的性质的应用 例 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27 1.在等差数列{an}中,已知公差 d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )A.85 B.145 C.110 2.两等差数列{an} 、 {bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,且

D.90 个

S n 2n ? 7 a ? , 则 10 ? Tn n?3 b10

an 为整数的 n 值有 bn

训练:1、已知等差数列 an}的前 10 项之和为 140,其中奇数项之和为 125 ,则 a6= 。 2. 一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32:27,求公差。 3、已知一个等差数列的总项数为奇数, 且奇数项之和为 77,偶数项之和为 66,则中间项= 总项数为 。 2 4.等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,已知 am-1+am+1-am =0,S2m-1=38,则 m= . 热点考向 5:知识的融合与等差数列的综合应用 例 4.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点列(n, 3 Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn= ,T 是数列{bn}的前 n 项和,求使 anan+1 n m 得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m. 20 2、项数是 2n 的等差数列,中间两项为 a n 和a n ?1 是方程 x ? px ? q ? 0 的两根,求证此数列的和 S 2 n 是方程
2

lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 的根。 ( S 2 n ? 0 )
训练:1、设各项均为正数的数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2 ? a1 ? a3 ,数列

? S ?是公差为 d 的等差数列。
n

2、求数列 ?a n ?的通项公式(用 n, d 表示)(2)设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不 ; 等式 S m ? S n ? cS k 都成立。求证: c 的最大值为 6:练习部分 1.等差数列 {a n } 前 n 项的和为 S n ,且 S3 ? 3 , S6 ? 7 ,则 S 9 的值是( )A.12 B.15 C.11 D.8 2、等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

9 。 2

Sn a 7n ? 1 ? (n ? N ? ), 7 = Tn 4n ? 27 b7



3.在等差数列 {a n } 中,若 a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? 450 ,则 a 2 ? a 8 =( A.45 B.75

C.180

D.320

4.在等差数列 {a n } 中, (1)若 a 11 ? 20 ,则 S 21 =________; (2)若 a 4 ? a 7 ? a10 ? a13 ? 20 ,则 S16 ? ________。 5.在等差数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 1 , a 7 ? a 8 ? a 9 ? 5 ,则 S99 =________。 6.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35

7.在等差数列 {a n } 中, a1 ? 0 , S n 为前 n 项和,且 S3 ? S16 ,则 S n 取得最小值时 n 的值为( ) 。

A.9

B.10

C.9 或 10

D.10 或 11 D. (m ? n ? 1) .

8.在等差数列 {a n } 中, S m ? S n (m ? n) ,则 a1 ? a m?n 等于( )A.mn B. (m ? n) C.0 9.数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ?

1 * ( n ? 2, n ? N ), a2 ? 1 , S n 是 ?an ? 的前 n 项和,则 S 21 = 2
)A.1 ) 13 A. B

10.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于(

5 3

C. ?2 C. 49

D 3 D. 63 )

a 11.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a2 ? 3 , 6 ? 11 , S 7 等于 则 (

B. 35

12. 等差数列{ an }的前 n 项和记为 S n ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是 ( A. S 6 B. S11 C . S12 D. S13 C 3

13. 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,其偶数项之和为 30,则其公差为 ()A 5 B 4

D 2 (D)156

14.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于()(A)13 (B)26 (C)52
?n-1(n为奇数) ? 15.已知数列 an=? ?n(n为偶数) ?

,则 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=(

)(A)4 800 (B)4 900 (C)5 000 (D)5 100

16.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0;Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 (A)S5>S6 (B)S5<S6(C)S6=0(D)S5=S6 17.在递减等差数列{an}中,若 a1+a100=0,则其前 n 项和 Sn 取最大值时的 n 值为()(A)49 (B)51 (C)48 (D)50 1. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 3.已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 . 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 。

S9 ? S5

.

4、若{ an },{ bn }是等差数列,且满足

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 7n ? 2 a ,则 5 = ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn n?3 b5

5.设等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 12.5,偶数项之和为 15,则其首项 a 1 =_______,公差 d=________; 在项数为 2n ? 1(n ? N ? ) 的等差数列中,它的奇数项之和与偶数项之和的比=_______。 6.已知等差数列 1,4,7,10,…,试求 x 的值,使 x 分别满足 1)1+4+7+…+x=477,x=_________; (2) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…+(x+298)=15950,x=_________; (3)x· x 4 · x 7 · x10 · x13 = x105 ,x=______。 S4 1 S8 7 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 = ,则 = S8 3 S16
2 *

. .

8.各项均不为零的等差数列{an}中,若 a n -an-1-an+1=0(n∈N ,n≥2),则 S2 012 等于 1.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 Sm ? 1 , S3m ? 4 ,试求 S6m 的值。 2.等差数列 {a n } 的公差为 1, a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 99 ? 102 ,试求 a 3 ? a 6 ? ? ? a 99 的值。 3.设两个数列{an},{bn}满足 bn=

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?nan ,若{bn}为等差数列,求证:{an}也为等差数列. 1? 2 ? 3 ? ?? n
? Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn. ? n ?

4.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 ?

5.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 6.已知数列{an}中,a1=8, a4=2,且满足 an+2+an=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设 Sn 是数列{|an|}的前 n 项和,求 Sn. 7. 若等差数列 {a n } 的前 m 项、 n 项的和分别为 S m 和 S n , S m :S n = m 2 :n 2( m ? n ) 求证 a n :a m ? (2n ? 1) : 前 且 ,

(2m ? 1) 。
8.在等差数列 {a n } 中,公差为 d, a 4 ? 84 ,前 n 项和为 S n ,且 S10 ? 0 , S11 ? 0 。 (1)求 d 的取值范围; (2)求 使得 a n ? 0 的最小自然数的值; (3)设在集合{ S1 , S 2 , S 3 ,…, S n }中,元素的最大值为 M,试求 M 的取值范 围。


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