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平面习题课


问题1:反证法 例1.已知:直线a∥b. 求证:经过a、b有且只有一个平面. 证明:(1)“存在性”. ∵a∥b, ∴a、b在同一平面α内(平行线的定义). (2)“唯一性”。 在直线a上作一点A,假设过a和b还有一个平面β, 则A∈β.那么过b和b外一点A有两个平面α和β. 这与推论1矛盾.
含否定词的证明题均可考虑用反证法 注:“反证法”的证题步骤: (1)先否定结论; (2)由(1)和其余条件推出矛盾; (3)肯定结论;

问题2:怎样证几条线共面.
例1、求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内. 证明:(1)已知d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R, a a、b、c相交于点O, 求证:a、b、c、d共面

b Q o p

c

d

R

证明:∵d∩a=P,∴过d、a确定一个平面α(推论2). 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ. ∵O∈a,O∈b,O∈c,∴O∈α,O∈β,O∈γ. ∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O. ∴α、β、γ重合.∴a、b、c、d共面.
注:本题的方法是“同一法”.

(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R, b a∩b=M,b∩c=N,a∩c=S, P M a 且无三线共点. Q R 求证:a、b、c、d共面 证明:∵d∩a=P, N d ∴d和a确定一个平面α(推论2). ∵a∩b=M,d∩b=Q,∴M∈α,Q∈α. ∴a、b、c、d四线共面.

c S

注:①分类讨论时,强调要注意既不要重复,又不要遗漏.

证明点线共面的方法: 先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或 线)在这个平面内;或先由部分点线确定平面,再由 其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.

问题3:如何证明几点共线?

A E D H B G C F P

例2.已知空间四边形ABCD中,E、F、 G、H分别是AB、AD、BC、CD上的 点,且EF交GH于P,求证:P在直线 BD上.

已知:EF∩GH=P, E∈AB、 F∈AD, G∈BC, H∈CD, 求证:B、D、P三点共线. 证明:∵AB∩BD=B,∴AB和BD确定平面ABD(推论2). ∵A∈AB,D∈BD,∵E∈AB,F∈AD, ∴EF∩GH=P,∴P∈平面ABD. 同理,P∈平面BCD. ∴平面ABD∩平面BCD=BD. ∴P∈BD即B、D、P三点共线.

证明几点共线的方法: 先考虑两个平面的交线, 再证有关的点都是这两个平面的公共点,或先由某两点作 一直线,再证明其他点也在这条直线上.
P

问题4:如何证明几线共点?
例3.三个平面两两相交,有三条交 线,若其中两条相交于一点, 证明第三条交线也过这一点. 已知:α∩β=a,β∩γ=b, α∩γ=c,b∩c=p. 求证:p∈a.

a c

b

证明:∵b∩c=p,∴p∈b. ∵β∩γ=b,∴p∈β. 同理,p∈α. 又∵α∩β=a,∴p∈a.

P

a c

b

证明几线共点的方法:
先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他” 直线往往归结为平面与平面的交线.

练习: 1.直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC 所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并 说明理由. 2.四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线) 分别与平面α相交于E,F,G,H, A 求证:E,F,G,H必在同一直线上.
B
D C E F H

G

1 3.在正方体ABCD- A1B1C1D1中,对角线 AC 与平面BDC1 交 于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点. 求证:(1)C1 、O、M三点共线; (2)E、C、D1 、F四点共面; D1F 、DA三线共点. (3)CE、


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