当前位置:首页 >> 数学 >>

等腰三角形经典例题整理


1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9,则它的周长为( A 17 B 22 C 17 或 22 D 13
根据等腰三角形的性质寻求规律 例 1.在△ABC 中,AB=AC,∠1=



1 1 ∠ABC,∠2= ∠ACB,BD 与 CE 相交于点 O,如图,∠ 2 2

BOC 的大小与∠A 的大小有什么关

系?

1 1 ∠ABC,∠2= ∠ACB,则∠BOC 与∠A 大小关系如何? 3 3 1 1 若∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB,则∠BOC 与∠A 大小关系如何? n n
若∠1=

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例 2.如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,一腰上的中线 BD?将这个等腰 三角形周长分成 15 和 6 两部分,求 这 个 三角形的腰长及底边长.

利用等腰三角形的性质证线段相等 例 3.如图,P 是等边三角形 ABC 内的一点,连结 PA、PB、PC,?以 BP 为边作∠PBQ=60°, 且 BQ=BP,连结 CQ. (1)观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系,并证明你的结论. (2)若 PA:PB:PC=3:4:5,连结 PQ,试判断△PQC 的形状,并说明理由.

例 1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm 的两部分,则腰长 为( A、2cm ) B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定

例 2、 已知 AD 为△ABC 的高, AB=AC, △ABC 周长为 20cm, △ADC 的周长为 14cm, AD 的长。 求

A

B

C

例 3、如图,已知 BC=3,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,OE∥AB,OF∥AC,求△OEF 的 周长。

A

O B E F C

例 4、如图,已知等边△ABC 中,D 为 AC 上中点,延长 BC 到 E,使 CE=CD,连接 DE,试说明 DB=DE。

A D

B
例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45 ,则这个三角形是( A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形
0

C


E

D、等腰直角三角形 。 ;

例 6、 (1)等腰三角形的腰长为 10,底边上的高为 6,则底边的长为 (2)直角三角形的周长为 12cm,斜边的长为 5cm,则其面积为 (3)若直角三角形三边为 1,2,c,则 c=
2 2 2



例 7、下列说法:①若在△ABC 中 a +b ≠c ,则△ABC 不是直角三角形; ②若△ABC 是直角三角形,∠C=90 ,则 a +b =c ; ③若在△ABC 中,a +b =c ,则∠C=90 ; ④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 (把你认为正确的序号填在横线上) 。
2 2 2 0 0 2 2 2

例 8、正三角形 ABC 所在平面内有一点 P,使得△PAB、△PBC、△PCA 都是等腰三角形,则 这样的 P 点有( ) (A)1 个(B)4 个(C)7 个(D)10 个

例 9. 四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形 ABCD 的面积

为 8,则 BE=( A.2 B.3

) C. 2 2 D. 2 3

例 10. 已知△ABC 为正三角形,P 为其内一点,且 AP=4,BP= 2 3 ,CP=2,则△ABC 的边长 为 ( ) (A) 2 5 三.巩固练习 1、已知等腰三角形的一边等于 5,另一边等于 9,求它的周长。 2、在△ABC 中,AB=AC,∠B=40 ,则∠A= 3、等腰三角形的一个内角是 70 ,则它的顶角为
0 0

(B) 2 7

(C)4

(D) 4 2

。 。 .140°呢
C D

4、有一个内角为 40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 o 5、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=105 ,直线 BD 交 AC 于 D, 把直角三角形沿着直线 BD 翻折,点 C 恰好落在斜边 AB 上, 如果△ABD 是等腰三角形,那么∠A 等于 (A)40
o


o



(B) 30

o

(C) 25

o

(D )15

B

A

6、若△ABC 三边分别为 a、b、c,且满足 a +b +c +50=6a+8b+10c,则△ABC 的形状为( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是???????? ( A、有一腰和一角对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 B、有两边对应相等 D、有两角对应相等 ) 。

2

2

2

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于( ) A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 9、在等腰三角形 ABC 中,∠A 与∠B 度数之比为 5∶2,则∠A 的度数是( A、100° B、75° C、150° D、75°或 100° A、125
0

) )

10、如图,P、Q 是△ABC 边 BC 上的两点,且 QC=AP=AQ=BP=PQ,则∠BAC=?( B、130
0

C、90

0

D、120

0

11、如图,△ABC 中,AB=AC,BD、CE 为中线,图中共有等腰三角形( )个。 A、4 个
A

B、6 个

C、3 个

D、5 个
A
A

E
B P Q C

D

E

10 题图

B

11 题图

C

B

C

12 题图

12、如图,AB=AC,AE=EC,∠ACE=28 ,则∠B 的度数是????( ) A、60
0

0

B、70

0

C、76

0

D、45

0

13、如图是一个等边三角形木框,甲虫 P 在边框 AC 上(端点 A、C 除外),设 P到 另外两边距离之和为 d,等边三角形 ABC 的高为 h, 则 d 与 h 的大小关系是( )

甲虫
A

P B C

【解题方法指导】
例 1. 已知,如图,AB=AC=CD,求证:∠B=2∠D
A

B

C

D

例 2. 已知,如图,△ABC 是等边三角形,AD//BC,AD⊥BD,BC=6,求 AD 的长。
D A

B

C

【考点指要】 等腰三角形、等边三角形及含 30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形,因此,在 中考试题中经常以证明题或计算题频频出现, 而且经常把它们结合在一道题中加以应用, 虽 然题目的难度不是很大,但也要善于分析,找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】
例 1. (2005 年 苏州) 如图,等腰三角形 ABC 的顶角为 120°,腰长为 10,则底边上的高 AD=________。
A

B

D

C

例 2. 已知,如图,△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交 AB 于 E,交 AC 于 D, AD=8,∠A=30°,求 CD 的长。
C D

A

E

B

例 3. 已知,如图,△ABC 是等边三角形,E 是 AB 上一点,D 是 AC 上一点,且 AE= CD,又 BD 与 CE 交于点 F,试求∠BFE 的度数。
A E F B C D

【综合测试】
1. 已知,如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:DB=DC
A B C

D

2. 已知,如图,D、E 是 BC 上两点,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE
A

B

D

E

C

3. 已知,如图,△ABC 中,DE//BC,AB=AC,求证:AD=AE

A

D

E

B

C

4. 已知,如图,△ABC 中,AB=AC,D 是 AB 上一点,E 是 AC 延长线上一点,DE 交 BC 于 F,又 BD=CE,求证:DF=EF
A

D B C E

F

5. 已知,如图,D 是 BC 上一点,△ABC、△BDE 都是等边三角形,求证:AD=CE
A

B E

D

C

6. 已知,如图,△ABC 中,∠B=90°,AC 的垂直平分线交 AC 于 D,交 BC 于 E,又 ∠C=15°,EC=10,求 AB 的长。
A D B E C

例 6、如图 11,在△ABC 中,∠A=90° ,AB=AC,D 为 BC 边中点,E、F 分别 在 AB、AC 上,且 DE⊥DF,求证:AE+AF 是一个定值. 证明:连接 AD, ∵AB=AC,D 为 BC 中点,∴AD⊥BC, ∵∠BAC=90° ,AB=AC, ∴∠B=∠C=45° ,
B D 图5 C O A

∴∠BAD=45° ,∠CAD=45° ,∴AD=BD=CD, ∵∠EDF=90° ,∴∠EDA+∠ADF=90° , 又由 AD⊥BC 得∠BDE+∠ADE=90° ,∴∠BDE=∠ADF, 在△BDE 和△ADF 中,∠B=∠DAF,BD=AD,∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF, ∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB(定值). 思考:四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢?为什么?

例 4、如图 9,已知 AD 为△ABC 的高,E 为 AC 上一点, BE 交 AD 于 F,且有 BF=AC,FD=CD,你认为 BE 与 AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗? 证明:线段 BE⊥AC,理由如下: ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90° , ∴∠FBD+∠BFD=90° , 在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中,BF=AC,FD=CD, ∴Rt△BDF≌Rt△ADC, ∴∠BFD=∠C,∴∠FBD+∠C=90° , ∴∠BEC=180° -(∠FBD+∠C)=180° -90° =90° ,即 BE⊥AC. 例 5、如图 10,在△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC,M 是 AB 上一点,求证:
B D 图11 C E A F

AM 2 ? BM 2 ? 2CM 2 .
证明:过 C 作 CD⊥AB 于点 D, ∵∠ACB=90° ,AC=BC,CD⊥AB, ∴∠A=∠B=45° ,∠ACD=∠BCD=45° , ∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD, ∴AD=BD,BD=CD,即 AD=BD=CD,
A M B C

∵CD⊥AB,∴ DM 2 ? CD 2 ? CM 2 ,
2 2 2 2 2 2

D 图10
2

∴ AM ? BM ? ( AD ? DM ) ? ( BD ? DM ) ? 2( DM ? CD ) ? 2CM . 思考:请同学们试试用另外的方法来证明本题.
A

例 1、如图 5,在△ABC 中,AB=AC,点 O 在△ABC 内,
F E

B

图9

D

C

OB=OC,求证:AO⊥BC. 证明:延长 AO 交 BC 于点 D,

∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,∴△ABO≌△ACO, ∴∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD, ∴AD⊥BC,即 AO⊥BC. 例 2、如图 6,在等边△ABC 中,D、E 分别在边 BC、BA 的延长线上,且 AE= BD,求证:CE=DE. 证明:过 E 作 EF⊥CD 于点 F, ∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60° ,∴∠BEF=30° , ∴BE=2BF,即 BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF) , ∴CD=2CF, ∴CF=DF, 在△CEF 和△DEF 中,CF=DF,∠CFE=∠DFE=90° ,EF=EF, ∴△CEF≌△DEF,∴CE=DE. 例 3、如图 7,已知在△ABC 中,AB=AC,P 为底边 BC 上任意一点,PD⊥AB 于点 D, PE⊥AC 于点 E,求证:PD+PE 是一个定值. 解:连接 AP,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,
A

E

A B C
F 图6

D

1 1 AB ? CF , S?PAB ? AB ? PD , 2 2 1 1 S?PAC ? AC ? PE ? AB ? PE , S?ABC ? S?PAB ? S?PAC , 2 2 1 1 1 得: AB ? CF ? AB ? PD ? AB ? PE , 2 2 2
由 S?ABC ? 即, PD ? PE ? CF (定值).

F D B P 图7 E C

说明:本例的结论可用文字语言叙述为:等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰 上的高. 拓展:如果点 P 不是在边 BC 上,而是在 BC 的延长线上,其它条件保持不变,那么 PD 与 PE 之间又有怎样的关系呢? 解:连接 AP,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F, (如图 8) 由 S?ABC ?
A

S?PAC

1 1 AB ? CF , S?PAB ? AB ? PD , 2 2 1 1 ? AC ? PE ? AB ? PE , 2 2
F

D

B

图8

C E

P

S?ABC ? S?PAB ? S?PAC ,
得:

1 1 1 AB ? CF ? AB ? PD ? AB ? PE , 2 2 2

即, PD ? PE ? CF (定值). 即,当点 P 在 BC 延长线上时,PD 与 PE 之差为一定值. 基础训练:1、填空题: (1)等腰三角形中,如果底边长为 6,一腰长为 8,那么周长是 。 (2)如果等腰三角形有一边长是 6,另一边长是 8,那么它的周长是 ;如果等腰 三角形的两边长分别是 4、8,那么它的周长是 。 (3)等腰三角形的对称轴最多有 条。 2、填空题: (1)如果△ABC 是等腰三角形,那么它的边长(或周长)可以是( ) A、三条边长分别是 5,5,11 B、三条边长分别是 4,4,8 C、周长为 14,其中两边长分别是 4,5 D、周长为 24,其中两边长分别是 6,12 (2)等腰三角形一边长为 2,周长为 5,那么它的腰长为( ) A、3 B、2 C、1.5 D、2 或 1.5 3、已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍,周长为 35cm,求等腰三角形各边的长。 4、已知:如图,AD 平分∠BAC,AB=AC,请你说明△DBC 是等腰三角形。 A D

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解, 求这个三角形的各边长。 (1)等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 (2)等腰三角形有一个角是 120°,那么其他两个角的度数是 和 。 (3)△ABC 中,∠A=∠B=2∠C,那么∠C= 。 (4)在等腰三角形中,设底角为 x°,顶角为 y°,则用含 x 的代数式表示 y,得 y= 用含 y 的代数式表示 x,得 x= 。 2、选择题: (1)等腰三角形的一个外角为 140°,那么底角等于( ) A、40° B、100° C、70° D、40°或 70° (2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于( ) A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 (3)在等腰三角形 ABC 中,∠A 与∠B 度数之比为 5∶2,则∠A 的度数是( ) A、100° B、75° C、150° D、75°或 100° (4)等腰三角形 ABC 中,AB=AC,AD 是角平分线,则“①AD⊥BC,②BD=DC, ③∠B=∠C,④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是( ) A、4 B、3 C、2 D、1 3、如图,已知△ABC 中,D 在 BC 上,AB=AD=DC,∠C=20°,求∠BAD。

{ 3x+y=7

x+2y=4

B

C



A B 4、如图,已知△ABC 中,点 D、E 在 BC 上, AB=AC,AD=AE。请说明 BD=CE 的理由。 D A C

B

D

E

C

1、填空题: (1)在△ABC 中,∠A 的相邻外角是 110°,要使△ABC 是等腰三角形,则∠B= 。 (2)在一个三角形中,等角对 ;等边对 。 (3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等,则它的各内角的度数是 。 (4)如图,AB=AC,BD 平分∠ABC,且∠C=2∠A, A 则图中等腰三角形共有 个。 D 2、选择题: 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=108°,∠ADB=72°, B C DE 平分∠ADB,则图中等腰三角形的个数是( ) A A、3 B、4 C、5 D、6 E C D 3、如图,在△ABC 中,∠B 和∠C 的平分线相交于点 O,且 OB=OC,请说明 AB=AC 的理 A 由。 O B C B

4、如图,已知∠EAC 是△ABC 的外角,∠1=∠2,AD∥BC,请说明 AB=AC 的理由。 E 1 A D 2 B C 5、如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,请你说明 AD 是 BC 的中垂线。 A

B D

C


相关文章:
等腰三角形知识点汇总及典型例题
等腰三角形知识点汇总及典型例题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1.主要知识点: 1.在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。 在同一三...
等腰三角形经典例题
等腰三角形经典例题 1.如图,已知点 C 为线段 AB 上一点, 和 都是等边三角...有关等腰三角形习题 2页 免费 等腰三角形经典例题整理 10页 3下载券 等腰三角...
等腰三角形典型例题练习
等腰三角形典型例题练习_司法考试_资格考试/认证_教育专区。等腰三角形典型例题练习一.计算题: 1. 如图,△ABC 中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 A ...
等腰三角形典型例题
等腰三角形典型例题一.选择题(共 2 小题) 1.如图,∠ C=90°,AD 平分∠ ...等腰三角形经典例题整理 10页 2下载券 沪科15.3等腰三角形典型... 暂无评价...
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习(含答案)_司法考试_资格考试/认证_教育专区。等腰三角形典型例题练习 1.在△ ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E、F 分别为 AB、AC 上的...
等腰三角形经典例题
等腰三角形经典例题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 等腰三角形经典例题 1.如图,已知点 C 为线段 AB 上一点, 和 都是等边三角形,AN、BM 相交 于点 O...
八年级等腰三角形典型例题练习
八年级等腰三角形典型例题练习_初二数学_数学_初中教育_教育专区。八年级等腰三角形典型例题练习 等腰三角形典型例题练习一.选择题(共 2 小题) 1.如图,∠C=90...
等腰三角形典型例题练习(含答案)[1]_图文
若△ ABC 的边长为 1,AE=2,求 CD 的长(请你直接写出结果) . 2 等腰三角形典型例题练 习参考答案与试题解析一.选择题(共 2 小题) 1.如图,∠C=90°,...
整理后的等腰三角形解题中的分类讨论思想
整理的等腰三角形解题中的分类讨论思想_理学_高等教育_教育专区。适合中等生练习...解答题 1.在平面直角坐标系中,点 A 坐标为(1,0) ,在直线 y= 求所有满足...
等腰三角形复习典型例题
等腰三角形复习典型例题_初一数学_数学_初中教育_教育专区。等腰三角形基础知识复习学案 (一、 )关于角的问题 1、 (1)已知等腰三角形的一个内角为 75°,则其...
更多相关标签: