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线性代数(经管类)-阶段测评1,2,3,4



线性代数(经管类)-阶段测评 1
1.单选题
1.1
5.0

设矩阵 $A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11 ,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$,则必有()

您答对了

a

a $P_1P_2A=B$

b $P_2P_1A=B$

c $AP_1P_2=B$

d $AP_2P_1=B$

考点:矩阵的行列变换,左乘行变,右乘列变。

1.2

5.0

设$A$为四阶矩阵,且$|A|=-3$,则$|A^(**)|$=()

您答对了 c
?

a $-3$

?

?

b $9$

? ?

c $-27$

? ?

d $81$

?

$|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$.

1.3

5.0

设$A,B$为$n$阶方阵,满足$A^2=B^2$,则必有()

您答对了 d
?

a $A=B$

? ?

b $A=-B$

? ?

c $|A|=|B|$

? ?

d $|A|^2=|B|^2$

?

方阵行列式的性质,特别是$|AB|=|A||B|$ 解 1:因为$A^2=B^2$,故$|A^2|=|B^2|$,而因 为$|AB|=|A||B|$,故$|A^2|=|A|^2,|B^2|=|B|^2$,所以$|A|^2=|B|^2$ 解 2:取

$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$,显然$A^2=B^2=E$, 但选项 A,B,C 都不对,应用排除法知正确答案为 D。

1.4

5.0

设 3 阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$,则$|-3A^T|=$()

您答对了 d
?

a 9

? ?

b 1

? ?

c -1

? ?

d -9

?

$|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$.

1.5

5.0

设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$,且已知$|A|=-1$,则$A^-1$=()

您答对了 b
?

a $[[d,-b],[-c,a]]$

? ?

b $[[-d,b],[c,-a]]$

? ?

c $[[d,-c],[-b,a]]$

? ?

d $[[-d,c],[b,-a]]$

?

$A^-1=1/|A|A^(**)=-[[d,-b],[-c,a]]= [[-d,b],[c,-a]]$.

1.6

5.0

$3$阶行列式$|a_(ij)|=|(0,-1,1),(1,0,-1),(-1,1,0)|$中元素 $a_21$的代数余子式$A_21=$()

您答对了 c
?

a $-2$

? ?

b $-1$

? ?

c $1$

? ?

d $2$

?

考点:代数余子式。$A_21=(-1)^(1+2)xx|(-1,1),(1,0)|=1$

1.7

5.0

设$3$阶行列式$D_3$的第 2 列元素分别为$1,-2,3$,对应的代数余 子式分别为$-3,2,1$,则$D_3=$()

您答对了 d
?

a $-2$

?

?

b $-1$

? ?

c $1$

? ?

d $-4$

?

考点:行列式的展开。$1xx(-3)+(-2)xx2+3xx1=-4$

1.8

5.0

已知 4 阶行列式$D_(4)$第一行的元素依次为 1,2,-1,-1,它们的 余子式依次为 2,-2,1,0,则$D_(4)=$()

您答对了 a
?

a 5

? ?

b 3

? ?

c -3

? ?

d -5

?

$D_(4)$第一行元素的代数余子式依次为 2,2,1,0,则 $D_4=1xx2+2xx2+(-1)xx1+(-1)xx0=5$.

1.9

5.0

设行列式$|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|=1$, $|(a_1,c_1),(a_2,c_2)|=2$,则 $|(a_1,b_1+c_1),(a_2,b_2+c_2)|=$()

您答对了 d
?

a $-3$

? ?

b $-1$

? ?

c $1$

? ?

d $3$

?

行列式的性质:将行列式的某行(或某列)元素拆成两数的代数和,再将行列式按此行拆成 两个行列式之和,其值不变。 $|(a_1,b_1+c_1),(a_2,b_2+c_2)|=|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|+|(a_1,c_1),(a_2,c_2)|=1+2= 3$

1.10

5.0

$D=|[4,0,10,0],[1,-1,3,1],[2,-4,5,0],[-3,2,-7,-1]|$,则第二 行第三列元素的代数余子式$A_(23)=$()

您答对了 b
?

a 16

? ?

b -16

? ?

c 48

? ?

d -48

?

$A_(23)=(-1)^(2+3)|[4,0,0],[2,-4,0],[-3,2,-1]|=-16$.

1.11

5.0

设三阶矩阵$A=[[a_11,a_12, a_13],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32, a_33]]$, 若存在初等矩阵$P$, 使得$PA=[[a_11-8 a_31,a_12-8 a_32, a_13-8 a_33],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32, a_33]]$,则$P=$()

您答对了 a
?

a $[[1,0,-8],[0,1,0],[0,0,1]]$

? ?

b $[[1,0,0],[0,1,0],[-8,0,1]]$

? ?

c $[[1,0,0],[-8,1,0],[0,0,1]]$

? ?

d $[[1,-8,0],[0,1,0],[0,0,1]]$

?

1.12

5.0

设$3$阶方阵$A$的秩为$2$,则与$A$等阶的矩阵为()

您答对了 b
?

a

$((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
? ?

b $((1,1,1),(0,1,1),(0,0,0))$

? ?

c $((1,1,1),(2,2,2),(0,0,0))$

? ?

d $((1,1,1),(2,2,2),(3,3,3))$

?

测试点:矩阵等价的概念;等价矩阵有相等的秩;反之同型的两个矩阵只要其秩相等,必等 价。因为$A,C,D$的矩阵的秩都为$1$,$B$的矩阵的秩等于$2$。故答案应为 B。

1.13

5.0

设$A$是 3 阶方阵,且$|A|=-1/5$,则$|A^-1|=$()

您答对了 a
?

a $-5$

? ?

b $-1/5$

? ?

c $1/5$

? ?

d $5$

?

$|A^-1|=1/|A|=-5$.

1.14

5.0

设矩阵$A=(1,2),B=((1,2),(3,4)),C=((1,2,3),(4,5,6))$,则下列 矩阵运算中有意义的是()

您答对了 b
?

a $ACB$

? ?

b $ABC$

? ?

c $BAC$

? ?

d $CBA$

?

根据矩阵乘法定义运算有意义必须前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数,因为$A$为 $1xx2$矩阵,$B$为$2xx2$矩阵,$C$为$2xx3$矩阵,所以$ABC$有意义。

1.15

5.0

矩阵$((3,3),(-1,0))$的逆矩阵是()

您答对了 c
?

a $((0,-1),(3,3))$

? ?

b $((0,-3),(1,3))$

? ?

c

$((0,-1),(1/3,1))$
? ?

d $((1,1/3),(-1,0))$

?

解: 法一:初等行变换法:$((3,3,1,0),(-1,0,0,1))stackrel(交换 1 行和 2 行)->((-1,0,0,1),(3,3,1,0))stackrel(1 行 xx3+2 行)->((-1,0,0,1),(0,3,1,3))stackrel((1 行-:(-1)),(2 行 -:3))(->)((1,0,0,-1),(0,1,1/3,1))$ 法二:(适合于三阶以下的矩阵):伴随矩阵法: 设$A=(a_(ij))_(nxxn)$,则$A^(-1)=1/|A|A^(**)$,其中$A^(**)$为$A$的伴随矩阵。因为 $A^(**)=((0,-3),(1,3)),|A|=|(3,3),(-1,0)|=3$,所以$A^(-1)=((0,-1),(1/3,1))$ 法 三: 验证法: 逆矩阵定义: 设$A$是一个$n$阶方阵, 若存在一个$n$阶方阵$B$使得$AB=BA=I_n (I_n 为 n 阶单位阵)$,则称$B$是$A$的逆阵。 A.$((0,-1),(3,3))((3,3),(-1,0))=((1,0),(6,))$ B.$((0,-3),(1,3))((3,3),(-1,0))=( (3, ),( ,))$ C.$((0,-1),(1/3,1))((3,3),(-1,0))=((1,0),(0,1))$

1.16

5.0

设$A$,$B$为任意 n 阶矩阵,$E$为单位矩阵,$O$为 n 阶零矩阵,则 下列各式中正确的是() c

您答对了 c
?

a $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

? ?

b $(AB)^3=A^3B^3$

? ?

c $(A-E)^2=A^2-2A+E$

? ?

d 由$A^2=O$,必有$A=O$

?

$(A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2$; $(AB)^3=ABABAB$; $(A-E)^2=A^2-AE-EA+E^2=A^2-2A+E$; 设$A=[[1,-1],[1,-1]]≠O $但$A^2=O$.

1.17

5.0

已知矩阵$A=((1,1),(0,-1)),B=((1,0),(1,1))$,则$AB-BA=$()

您答对了 a
?

a $((1,0),(-2,-1))$

? ?

b $((1,1),(0,-1))$

? ?

c $((1,0),(0,1))$

? ?

d $((0,0),(0,0))$

?

$AB-BA=((1,1),(0,-1))((1,0),(1,1))-((1,0),(1,1))((1,1),(0,-1))=((2,1),(-1,-1))((1,1),(1,0))=((1,0),(-2,-1))$

1.18

5.0

设$A$,$B$都是可逆阵,且$AXB=C$,则()

您答对了 b
?

a $X=A^-1B^-1C$

? ?

b $X=A^-1CB^-1$

? ?

c

$X=B^-1CA^-1$
? ?

d $X=CB^-1A^-1$

?

由$AXB=C$ 得$X=A^-1CB^-1$.

1.19

5.0

设$A$为 n 阶方阵,令方阵$B=A-A^T$,则必有()

您答对了 b
?

a $B^T=B$

? ?

b $B=2A$

? ?

c $B^T=-B$

? ?

d $B=O$

?

$B^T=(A-A^T)^T=A^T-(A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T)=-B$.

1.20

5.0

设$A$为$3$阶方阵,且$|A|=2$,则$|2A^(-1)|=$()

您答对了 d
?

a $-4$

?

?

b $-1$

? ?

c $1$

? ?

d $4$

?

知识点:矩阵行列式的计算。$|2A^(-1)|=2^3|A^(-1)|=8(1)/(|A|)=8xx(1/2)=4$。

线性代数(经管类)-阶段测评 2
1.单选题
1.1
5.0

设有向量组$A:alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$,其中 $alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性无关,则()

您答对了 a
a $alpha_1,alpha_3$线性无关

b $alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$线性无关

c $alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$线性相关

d

$alpha_2,alpha_3,alpha_4$线性相关

整体无关,部分必无关。

1.2

5.0

设向量组$A$能由向量组$B$线性表示,向量组$B$也能由向量组$A$线 性表示,则下列命题中不正确的是()

您答对了 c
?

a 向量组$A$的极大无关组与向量组$B$等价

? ?

b 向量组$A$的秩与向量组$B$的秩相等

? ?

c 向量组$A$的秩与向量组$B$的秩不一定相等

? ?

d 向量组$A$的极大无关组与向量组$B$的极大无关组等价

?

因为任何一个向量组都与它的极大无关组等价,故 A 正确,又因为向量组$A$能由向量组 $B$线性表示,向量组$B$也能由向量组$A$线性表示,则向量组$A$与$B$等价,故 D 也正确; 等价的向量组有相等的秩,故 B 正确。所以错误的是 C。

1.3

5.0

设$n$维向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m(m>=2)$线性无关,则 ()

您答对了 b
?

a 组中增加任意一个向量后仍线性无关

? ?

b

组中减少任意一个向量后仍线性无关
? ?

c 存在不全为零的数$k_1,k_2,…,k_m$,使$sum_(i=1)^mk_ialpha_i=0$

? ?

d 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出

?

由教材 p92 定理 3.2.3 秩整体无关,则部分无关。故答案为 B。

1.4

5.0

设有$4$维向量组$alpha_1,…,alpha_6$,则()

您答对了 a
?

a $alpha_1,…,alpha_6$中至少有两个向量能由其余向量线性表出

? ?

b $alpha_1,…,alpha_6$线性无关

? ?

c $alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$必线性无关

? ?

d $alpha_1,alpha_6$的秩为$2$

?

因为秩$(4$维向量组$alpha_(1),…,alpha_(6))<=4$, 所以$alpha_(1),…,alpha_(6)$至少 有两个向量能由其余向量线性表出。

1.5

5.0

设向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$线性相关,则向量组 中()

您答对了 a
?

a 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

? ?

b 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

? ?

c 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

? ?

d 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

?

向量组线性相关则必有一个向量可以表为其余向量的线性组合。

1.6

5.0

若向量组 $alpha_1=(1,t+1,0),alpha_2=(1,2,0),alpha_3=(0,0,t^2+1)$线性 相关,则实数$t$=()

您答对了 b
?

a 0

? ?

b 1

? ?

c 2

? ?

d

3
?

向量组$alpha_1=(1,t+1,0),alpha_2=(1,2,0),alpha_3=(0,0,t^2+1)$线性相关,必有 $|alpha_1^Tquadalpha_2^Tquadalpha_3^T|=|[1,1,0],[t+1,2,0],[0,0,t^2+1]|=(t^2+1)( 1-t)=0$,即$t=1$。

1.7

5.0

$V$是由向量组 $alpha_1=(1,1,0,2),alpha_2=(1,0,1,0),alpha_3=(0,1,-1,2)$生 成的子空间,则$V$的维数为()

您答对了 c
?

a 0

? ?

b 1

? ?

c 2

? ?

d 4

?

因为$alpha_1=(1,1,0,2), alpha_2=(1,0,1,0), alpha_3=(0,1,-1,2)$的秩为 2,故$V$的 维数为 2。

1.8

5.0

若行列式$|A|=0$,则 $A$中()

您答对了 b
?

a 必有一行全为$0$

?

?

b 行向量组线性相关

? ?

c 有两列成比例

? ?

d 所有元素全为$0$

?

$|A|=0$的充要条件是行向量组线性相关, 其他选项都是$|A|=0$的充分条件, 而非必要条件。

1.9

5.0

在一组秩等于$n$的$n$维向量组中,加入一个$n$维向量后,该组的 秩()

您答对了 c
?

a 等于$n+1$

? ?

b 等于$n-1$

? ?

c 等于$n$

? ?

d 无法确定

?

在一组秩等于$n$的$n$维向量组中,加入一个$n$维向量后,没有改变秩。

1.10

5.0

$alpha_1=(1,1,1,…,1)$,$alpha_2=(0,1,0,…,0)$, $ alpha_3=(0,0,0,…,0)$则()

您答对了 c
?

a $alpha_1$线性相关

? ?

b $alpha_2$,$alpha_3$线性无关

? ?

c $alpha_2$线性无关

? ?

d $alpha_1$,$alpha_2$线性相关

?

因为$alpha_1!=0$,故$alpha_1$线性无关;因为$alpha_3=0$,故$alpha_2$,$alpha_3$线 性相关;因为$alpha_2!=0$,故$alpha_2$线性无关。故答案为 C。

1.11

5.0

向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$线性无关的充分条件是()

您答对了 c
?

a $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$都不是零向量

? ?

b $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意两个向量都不成比例

? ?

c $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合

?

?

d $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意$s-1$个向量都线性无关

?

$alpha_1=(1,1),alpha_2=(2,2)$都不是零向量,但$alpha_1,alpha_2$线性相关; $alpha_1=(1,1,0),alpha_2=(1,0,1),alpha_3=(0,1,-1)$中任意两个向量都不成比例,但 $alpha_3= alpha_1- alpha_2$,故该向量组线性相关。向量组 $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$线性无关的充分条件是其中存在一个向量能由其余向量线 性表示,即线性无关的充分条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合。

1.12

5.0

设向量组$alpha_1,…,alpha_m$有两个极大无关组$alpha_(i_1),… alpha_(i_r)(1);alpha_(j_1),…alpha_(j_s)(2)$,则成立的是()

您答对了 b
?

a $r,s$不一定相等

? ?

b (1)与(2)这两个向量组等价

? ?

c $r+s=m$

? ?

d $r+s < m$

?

向量组的任意两个极大无关组等价。

1.13

5.0

若$alpha_1=(1,0,1),alpha_2=(1,-1,1),alpha_3=(1,t,0)$线性无 关,则必有()

您答对了 d
?

a

$t=1$
? ?

b $t!=1$

? ?

c $t!=0$

? ?

d $t 为任意实数$

?

因为$alpha_(1)=(1,0,1),alpha_(2)=(1,-1,1),alpha_(3)=(1,t,0)$线性无关所以 $|(1,1,1),(0,-1,t),(1,1,0)|!=0=>t$为任意实数。

1.14

5.0

设$A$为 n 阶方阵。$|A|=0$的充分必要条件是()

您答对了 b
?

a 矩阵$A$中有两行(列)成比例

? ?

b $A$中必有一行为其余行的线性组合

? ?

c $A$中有一行元素全为 0

? ?

d $A$中任一行为其余行的线性组合

?

$A$为 n 阶方阵$|A|=0$。$|A|=0$的充分必要条件是$A$的行(列)向量组线性相关,故其充 分必要条件是$A$中必有一行为其余行的线性组合。

1.15

5.0

设$alpha_1=(2,1,0),alpha_2=(0,0,0)$,则()

您答对了 b
?

a $alpha_2$线性无关

? ?

b $alpha_1$线性无关

? ?

c $alpha_1$,$alpha_2$线性无关

? ?

d $alpha_1$线性相关

?

因为$alpha_(1)=(2,1,0)!=(0,0,0)$,所以$alpha_(1)$线性无关。

1.16

5.0

设向量组$A:alpha_1=(a_1,b_1,c_1), alpha_2=(a_2,b_2,c_2), alpha_3=(a_3,b_3,c_3)$,$B:beta_1=(a_1,b_1,c_1,x_1), beta_2=(a_2,b_2,c_2,x_2), beta_3=(a_3,b_3,c_3,x_3)$,则()

您答对了 b
?

a 如果向量组$A$线性相关,则向量组$B$必线性相关

? ?

b 如果向量组$A$线性无关,则向量组$B$必线性无关

? ?

c

如果向量组$B$线性相关,则向量组$A$必线性无关
? ?

d 如果向量组$A$线性相关,则向量组$B$必线性无关

?

由教材 p93 定理 3.2.4 知原向量组线性无关,则接长向量组必线性无关,故答案为 B。

1.17

5.0

设为$A$为$mxxn$矩阵,则齐次线性方程组$Ax=0$仅有零解的充分必 要条件是() a

您答对了 a
?

a $A$的列向量组线性无关

? ?

b $A$的列向量组线性相关

? ?

c $A$的行向量组线性无关

? ?

d $A$的行向量组线性相关

?

$Ax=0$可化为$x_1alpha_1+ x_2alpha_2+…+ x_nalpha_n=0$,其中 $alpha_1,alpha_2,…,alpha_n$为矩阵$A$的列向量组。$Ax=0$仅有零解,即不存在不全为 零的$x_1,x_2,…,x_n$使得$x_1alpha_1+ x_2alpha_2+…+x_nalpha_n=0$成立,从而 $alpha_1,alpha_2,…,alpha_n$线性无关。

1.18

5.0

设向量 $alpha_1=(a_1,b_1,c_1),alpha_2=(a_2,b_2,c_2),beta_1=(a_1,b_ 1,c_1,d_1),beta_2=(a_2,b_2,c_2,d_2)$,下列命题中正确的是()

您答对了 b

?

a 若$alpha_1,alpha_2$线性相关,则必有$beta_1,beta_2$线性相关

? ?

b 若$alpha_1,alpha_2$线性无关,则必有$beta_1,beta_2$线性无关

? ?

c 若$beta_1,beta_2$线性相关,则必有$alpha_1,alpha_2$线性无关

? ?

d 若$beta_1,beta_2$线性无关,则必有$alpha_1,alpha_2$线性相关

?

无关组的接长向量组必为无关组。

1.19

5.0

$n$维向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m$的秩等于$m$的充分必 要条件为()

您答对了 b
?

a 向量组中每一个向量都可由其余$m-1$个向量线性表示

? ?

b 向量组中每一个向量都不可由其余$m-1$个向量线性表示

? ?

c $m<=n$

? ?

d 向量组中不含零向量

?

该向量组满秩即线性无关则向量组中每一个向量都不可由其余$m-1$个向量线性表示。

1.20

5.0

向量组$alpha_1=(1,1,0,2),alpha_2=(1,0,1,0), alpha_3=(0,1,-1,2)$的秩为()

您答对了 c
?

a 0

? ?

b 1

? ?

c 2

? ?

d 3

?

$A=[[alpha_1],[alpha_2],[alpha_3]]=[[1,1,0,2],[1,0,1,0],[0,1,-1,2]]->[[1,1,0,2] ,[0,-1,1,-2],[0,1,-1,2]]->[[1,1,0,2],[0,1,-1,2],[0,0,0,0]]$ 故向量组的秩为 2.

线性代数(经管类)-阶段测评 3
1.单选题
1.1
5.0

已知$eta_1,eta_2,eta_3$是齐次方程组$Ax=0$的一个基础解系,则 此方程组的基础解系还可以选()

您答对了 d
a $eta_1+eta_2,eta_2+eta_3, eta_1-eta_3$

b $eta_1, eta_2+eta_3, eta_1+eta_2+eta_3$

c 与$eta_1,eta_2,eta_3$等秩的向量组$alpha_1, alpha_2, alpha_3$

d 与$eta_1,eta_2,eta_3$等价的向量组$beta_1, beta_2, beta_3$

因为$eta_1,eta_2,eta_3$是齐次方程组$Ax=0$的一个基础解系, 则$eta_1,eta_2,eta_3$是 $Ax=0$的三个线性无关的解, 故$Ax=0$的任意三个线性无关的解都是$Ax=0$的基础解系, 因 为$beta_1, beta_2, beta_3$与$eta_1,eta_2,eta_3$等价,所以$beta_1, beta_2, beta_3$都能由$eta_1,eta_2,eta_3$线性表示,故$beta_1, beta_2, beta_3$都是$Ax=0$的 解,且$beta_1, beta_2, beta_3$必线性无关,故$beta_1, beta_2, beta_3$也是$Ax=0$的 基础解系。

1.2

5.0

线性方程组$Ax=b$中,$A$是$4xx6$矩阵,且$A$与增广矩阵$barA$的 秩都等于$4$,则()

您答对了 b
?

a 方程组有唯一解

? ?

b 方程组有无穷多解

? ?

c 方程组无解

? ?

d 无法确定

?

因为$A$与增广矩阵$barA$的秩都等于$4<6$,所以方程组有无穷多解。

1.3

5.0

设$barA=((1,5,-1,-1,-1),(1,7,1,3,3),(3,17,-1,1,1))$是线性方 程组$Ax=b$的增广矩阵,则下列命题中错误的是()

您答对了 c
?

a $eta=(6,-1,1,1)^T$是$Ax=b$的一个特解

? ?

b $x=(-11,2,0,0)^T$是$Ax=b$的解

? ?

c $x= ((6),(-1),(1),(1))+k((11),(-2),(0),(1))$是$Ax=b$的通解

? ?

d

$x=k_1((6),(-1),(1),(0))+k_2((11),(-2),(0),(1))$是导出组$Ax=0$的通解
?

$barA=((1,5,-1,-1,-1),(1,7,1,3,3),(3,17,-1,1,1)) -> ((1,5,-1,-1,-1),(0,2,2,4,4),(0,2,2,4,4)) -> ((1,5,-1,-1,-1),(0,1,1,2,2),(0,0,0,0,0))$故$zeta_1=((6),(-1),(1),(0)), zeta_2=((11),(-2),(0),(1))$为导出组$Ax=0$的一个基础解系,故 D 正确;将 $eta=(6,-1,1,1)^T$,$x=(-11,2,0,0)^T$代入以 $barB=((1,5,-1,-1,-1),(0,1,1,2,2),(0,0,0,0,0))$为增广矩阵的线性方程组说明 A,B 正 确。

1.4

5.0

设$A$是$m×n$矩阵,则下列命题正确的是()

您答对了 d
?

a 若$r(A)=n$,则$AX=b$有唯一解

? ?

b 若$r(A) < n$,则$AX=b$有无穷多解

? ?

c 若$r(barA)=r(A,b)=m$,则$AX=b$有解

? ?

d 若$r(A)=m$,则$AX=b$有解

?

若$r(A)=m$,则$r(A,b)=m$,则$AX=b$有解。

1.5

5.0

线性方程组$Ax=b$无解,其增广矩阵经初等行变换化成以下形式 $((1,2,3,4,5),(0,0,(a-1),0,0),(0,0,0,(a-1),b))$则下列结论正 确的是()

您答对了 c
?

a

$a=1,b=0$
? ?

b $a!=1,b=0$

? ?

c $a=1,b!=0$

? ?

d $a!=1,b!=0$

?

因为线性方程组$Ax=b$无解,故系数矩阵$A$的秩与增广矩阵$barA$的秩不相等,而 A,B,D 中二者都相等,C 中,$a=1,b!=0$时$r(A)=1,r(barA)=2$,故应选 C.

1.6

5.0

设$alpha_1,alpha_2,alpha_3$是齐次线性方程组$Ax=0$的基础解 系,下列向量组中不能构成$Ax=0$的基础解系的是()

您答对了 c
?

a $alpha_1,alpha_1+alpha_2,alpha_1+alpha_2+alpha_3$

? ?

b $alpha_1+alpha_2,alpha_1-alpha_2,alpha_3$

? ?

c $alpha_1-alpha_2,alpha_2-alpha_3,alpha_3-alpha_1$

? ?

d $alpha_1-2alpha_2,alpha_2,alpha_2+3alpha_3$

?

只有选项 C 与$alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$不等价,其余选项都与 $alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$等价。

1.7

5.0

对非齐次线性方程组$A_(mxxn)x=b$,设$秩(A)=r$,则()

您答对了 a
?

a $r=m$时,方程组$Ax=b$有解

? ?

b $r=n$时,方程组$Ax=b$有唯一解

? ?

c $m=n$时,方程组$Ax=b$有唯一解

? ?

d $r < n$时,方程组$Ax=b$有无穷多解

?

$r=m$时,$秩(A)=m=秩(A,b)$,则方程组$Ax=b$有解。

1.8

5.0

设$A$是$5×3$矩阵,若齐次线性方程组$Ax=0$只有零解,则矩阵 $A$的秩$r(A)$=()

您答对了 d
?

a 2

? ?

b 1

? ?

c

4
? ?

d 3

?

因为$A$为$5×3$矩阵,故齐次线性方程组$AX=0$中含 3 个未知数,所以齐次线性方程组 $AX=0$只有零解的充要条件是$r(A)=3$。

1.9

5.0

5 元齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系含 3 个解, 则系数矩阵$A$只能 为()

您答对了 c
?

a $([1,2,3,4,5],[0,2,1,3,6],[0,0,2,5,8],[0,0,0,0,0])$

? ?

b $([1,2,3,4,5],[0,2,1,3,6],[0,0,2,5,8],[0,0,0,0,1])$

? ?

c $([1,2,3,4,5],[0,2,1,3,6],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0])$

? ?

d $([1,2,3,4],[0,2,1,3],[0,0,0,0],[0,0,0,0])$

?

因为 5 元齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系含 3 个解, 故系数矩阵必有 5 列, 且它的秩等于 $5-3=2$,故只能为 C。

1.10

5.0

$A$是$m×n$矩阵$(m!=n)$,使齐次线性方程组$Ax=0$只有零解的 充分必要条件是()

您答对了 c
?

a

$m > n$
? ?

b $m < n$

? ?

c $A$的$n$个列向量线性无关

? ?

d $A$的$m$个行向量线性无关

?

齐次线性方程组$Ax=0$只有零解$<=>r(A)=n<=>A$的$n$个列向量线性无关。

1.11

5.0

设$m×n$矩阵$A$的秩为$n-1$,且$xi_1$,$xi_2$是齐次线性方程组 $Ax=0$的两个不同的解,则$Ax=0$的通解为()

您答对了 d
?

a $kxi_1,kinR$

? ?

b $kxi_2,kinR$

? ?

c $kxi_1+xi_2,kinR$

? ?

d $k(xi_1-xi_2),kinR$

?

齐次线性方程组的基础解系中包含的解向量的个数$=n-秩(A)=1$, 而$xi_1$, $xi_2$是齐次 线性方程组$Ax=0$的两个不同的解,则$xi_1-xi_2!=0$,则$xi_1-xi_2$线性无关,则 $Ax=0$的通解为$k(xi_1- xi_2),kinR$.

1.12

5.0

若$X_1,X_2$是线性方程组$AX=b$的解,$eta_1, eta_2$是方程组 $AX=0$的解,则()是$AX=b$的解。

您答对了 a
?

a $1/3X_1+2/3X_2$

? ?

b $1/3eta _1+2/3eta _2$

? ?

c $X_1-X_2$

? ?

d $X_1+X_2$

?

因为$X_1,X_2$是线性方程组$AX=b$的解,故$A(1/3X_1+2/3X_2)=1/3AX_1+2/3 AX_2=1/3b+2/3b=b$。即$1/3X_1+2/3X_2$是$AX=b$的解。

1.13

5.0

设$A$为$mxxn$矩阵,齐次线性方程组$AX=0$有非零解的充要条件是 ()

您答对了 c
?

a $m < n$

? ?

b $m > n$

? ?

c $r(A) < n$

? ?

d $m=n$

?

因为$A$为$mxxn$矩阵,故齐次线性方程组$AX=0$中含$n$个未知数,所以齐次线性方程组 $AX=0$有非零解的充要条件是$r(A) < n$。

1.14

5.0

设$alpha_1,alpha_2,alpha_3$是齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础 解系,则下列解向量组中,可以作为该方程组基础解系的是()

您答对了 b
?

a $alpha_1,alpha_2,alpha_1+alpha_2$

? ?

b $alpha_1+alpha_2,alpha_2+alpha_3,alpha_3+alpha_1$

? ?

c $alpha_1,alpha_2,alpha_1-alpha_2$

? ?

d $alpha_1-alpha_2,alpha_2-alpha_3,alpha_3-alpha_1$

?

$(alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(2)+alpha_(3),alpha_(3)+alpha_(1))->(alpha_(1)+alph a_(2),alpha_(3)-alpha_(1),alpha_(3)+alpha_(1))->(alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(3)alpha_(1),2alpha_(3))->(alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(3)-alpha_(1),alpha_(3))->(al pha_(1)+alpha_(2),-alpha_(1),alpha_(3))->(alpha_(2),-alpha_(1),alpha_(3))->(alp ha_(1),alpha_(2),alpha_(3))$ 则

$alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(2)+alpha_(3),alpha_(3)+alpha_(1)$与 $alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$等价,故 $alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(2)+alpha_(3),alpha_(3)+alpha_(1)$也是$Ax=0$的一个基 础解系。

1.15

5.0

四元线性方程组 ${(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(2x_1-x_2-x_3+x_4=1),(3x_1+x_2-2x_3 -x_4=a):}$有解,则$a=$()

您答对了 b
?

a 2

? ?

b 1

? ?

c 0

? ?

d 3

?

线性方程组 ${(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(2x_1-x_2-x_3+x_4=1),(3x_1+x_2-2x_3-x_4=a):}$的增广矩阵 为 $barA=((1,2,-1,-2,0),(2,-1,-1,1,1),(3,1,-2,-1,a))->((1,2,-1,-2,0),(0,-5,1,5,1), (0,-5,1,5,a)) ->((1,2,-1,-2,0),(0,5,-1,-5,-1),(0,0,0,0,a-1))$所以,线性方程组 ${(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(2x_1-x_2-x_3+x_4=1),(3x_1+x_2-2x_3-x_4=a):} $有解 $hArra=1$。

1.16

5.0

已知$beta_1,beta_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同的解, $alpha_1,alpha_2$是其导出组$Ax=0$的一个基础解系,$C_1,C_2$为 任意常数,则方程组$Ax=b$的通解可以表为()

您答对了 a
?

a

$1/2(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$
? ?

b $1/2(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$

? ?

c $1/2(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1-beta_2)$

? ?

d $1/2(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1+beta_2)$

?

根据$beta_1,beta_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同的解,我们知道, $Abeta_1=b,Abeta_2=b,A(beta_1-beta_2)=0;A(1/2(beta_1+beta_2))=b$ 所以 $beta_1-beta_2$是$Ax=0$的解;$1/2(beta_1+beta_2)$是$Ax=b$的解。

1.17

5.0

设向量$zeta_1=(1,0,2)^T$,$zeta_2=(0,1,-1)^T$都是线性方程组 $Ax=0$的解,则下列 4 个矩阵中可以作为系数矩阵$A$的是()

您答对了 a
?

a $(-2" "1" "1)$

? ?

b $([2,0,-1],[0,1,1])$

? ?

c $([-1,0,2],[0,1,-1])$

? ?

d $([0,1,-1],[4,-2,-2], [0,1,1])$

?

显然$zeta_1$, $zeta_2$线性无关, 故系数矩阵$A$必满足未知数个数$3-R(A) >= 2$, 故$R(A) <= 1$,所以答案只能是 A。

1.18

5.0

$A$为$mxxn$矩阵,且$m < n$,$AX=0$是$AX=b$的导出组,则下述结 论正确的是()

您答对了 b
?

a $AX=b$必有无穷多解

? ?

b $AX=0$必有无穷多解

? ?

c $AX=0$只有零解

? ?

d $AX=b$必无解

?

$A$为$mxxn$矩阵,且$m < n$,则$r(A) <= m < n$,$AX=0$必有无穷多解。

1.19

5.0

设$alpha_1, alpha_2,…, alpha_s$是$n$元齐次方程组$Ax=0$的基 础解系,则()

您答对了 b
?

a $alpha_1, alpha_2,…, alpha_s$线性相关

? ?

b $Ax=0$的任意$s+1$个解向量线性相关

? ?

c $s-R(A)=n$

? ?

d $Ax=0$的任意$s-1$个解向量线性相关

?

根据齐次方程组基础解系的概念,$alpha_1, alpha_2,…, alpha_s$必线性无关,$Ax=0$的 任意$s+1$个解向量必线性相关,且$s=n-r(A)$。所以应选 B。

1.20

5.0

设$A$为$m×n$矩阵,则$n$元齐次线性方程$Ax=0$存在非零解的充要 条件是()

您答对了 b
?

a $A$的行向量组线性相关

? ?

b $A$的列向量组线性相关

? ?

c $A$的行向量组线性无关

? ?

d $A$的列向量组线性无关

?

齐次方程组$Ax=0$有非零解的充要条件是系数矩阵的秩$ < n$即$A$的列向量组线性相关。

线性代数(经管类)-阶段测评 4
1.单选题
1.1
5.0

二次型$f(x,y,z)=x^2-y^2$的正惯性指数$p$为()

您答对了 b
a 0

b 1

c 2

d 3

据二次型正惯性指数的定义,$f(x,y,z)=x^2-y^2$的正惯性指数为 1.

1.2

5.0

已知$A$有一个特征值$-2$,则$B=A^2+2E$必有一个特征值()

您答对了 d
?

a $-2$

? ?

b $2$

?

?

c $4$

? ?

d $6$

?

因为$A$有一个特征值$-2$,则$B=A^2+2E$必有一个特征值为$(-2)^2+2=6$.

1.3

5.0

与矩阵$A=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$相似的是()

您答对了 a
?

a $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$

? ?

b $((1,1,0),(0,1,0),(0,0,2))$

? ?

c $((1,0,0),(1,1,0),(0,0,2))$

? ?

d $((1,0,1),(0,2,0),(0,0,1))$

?

因为当方阵能与对角阵相似时,其相似标准只与主对角线上元素有关,而与其顺序无关,故 应选 A。

1.4

5.0

已知$A=((1,2),(x,y))$,且$A$的特征值为 1 与 2,则()

您答对了 a
?

a

$x=0,y=2$
? ?

b $x=2,y=0$

? ?

c $x=-2,y=0$

? ?

d $x=0,y=-2$

?

1.5

5.0

二次型$f=x^TAx$($A$为实对称阵)正定的充要条件是()

您答对了 d
?

a $A$可逆

? ?

b $|A|>0$

? ?

c $A$的特征值之和大于 0

? ?

d $A$的特征值全部大于 0

?

据教材 p175 定理 6.2.5 知实对称矩阵正定的充分必要条件是$A$的$n$个特征值全大于 0.

1.6

5.0

设$3$阶矩阵$A$与$B$相似,且已知$A$的特征值为$2,2,3$,则 $|B^(-1)|=$()

您答对了 a
?

a $1/12$

? ?

b $1/7$

? ?

c $7$

? ?

d $12$

?

$A$与$B$相似,且$A$的特征值为$2,2,3$,所以$B$的特征值为$2,2,3$。$B^(-1)$的特征值 为$1/2,1/2,1/3$,所以$|B^(-1)|=1/2*1/2*1/3=1/12$.

1.7

5.0

设$A$为 4 阶矩阵,$E$为 4 阶单位阵,若行列式$|3E-5A|=0$,$A$的 一个特征值为()

您答对了 a
?

a $3/5$

? ?

b $5/3$

? ?

c $-5/3$

? ?

d $-3/5$

?

$lambda$为$A$的特征值的充要条件是$|lambdaE-A|=0$,因为$|3E-5A|=0$,故 $|3/5E-A|=0$,所以$3/5$是$A$的一个特征值。

1.8

5.0

设$3$阶实对称矩阵$A$的特征值为 $lambda_(1)=lambda_(2)=3,lambda_(3)=0$,则$r(A)=$()

您答对了 c
?

a $0$

? ?

b $1$

? ?

c $2$

? ?

d $3$

?

由题意知$A$与对角阵$((3,0,0),(0,3,0),(0,0,0))$相似,故$r(A)=2$。

1.9

5.0

已知$3$阶矩阵$A$的 3 个特征值为$1,2,3$,则$|A^(**)|=$()

您答对了 c
?

a $63$

?

?

b $6$

? ?

c $36$

? ?

d $3$

?

因为$3$阶矩阵$A$的 3 个特征值为$1,2,3$,故$|A|=lambda_1lambda_2lambda_3=6$。故 $|A^(**)|=|A|^(3-1)=6^2=36$。

1.10

5.0

下列矩阵是正交矩阵的是()

您答对了 a
?

a $[(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)]$

? ?

b $1/sqrt(2)[(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)]$

? ?

c $[(costheta,-sintheta),(-sintheta,costheta)]$

? ?

d $[(sqrt2/2,1/6,sqrt3/3),(0,sqrt6/6,-sqrt3/3),(sqrt2/2,sqrt10/6,-sqrt3/3)]$

?

正交矩阵的定义$(A A^T=E)$及充要条件$A$的行(列)向量组是标准正交向量组。

1.11

5.0

设向量$alpha=(1,1,1)$,则它的单位化向量为()

您答对了 c
?

a $(1/sqrt(3),-1/sqrt(3),1/sqrt(3))$

? ?

b $(1/sqrt(3),1/sqrt(3),-1/sqrt(3))$

? ?

c $(1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))$

? ?

d $(-1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))$

?

$||alpha||=sqrt(sum_(i=1)^3a_i^2)=sqrt(1^2+1^2+1^2)=sqrt(3)$

1.12

5.0

设 3 阶矩阵$A$与$B$相似,且已知$A$的特征值为$0,1,2$,则矩阵 $B$的迹$tr(B)=()$

您答对了 d
?

a 0

? ?

b 1

? ?

c 2

? ?

d

3
?

因为$A$的特征值为$0,1,2$,故$tr(A)=0+1+2=3$,又相似矩阵有相等的迹,而矩阵$A$与 $B$相似,所以$tr(B)=trA=3$.

1.13

5.0

设$lambda=2$是可逆矩阵$A$的一个特征值,则矩阵$(A^2)^(-1)$必 有一个特征值等于()

您答对了 a
?

a $1/4$

? ?

b $1/2$

? ?

c $2$

? ?

d $4$

?

因为$lambda=2$是可逆矩阵$A$的一个特征值,故$4$为$A^2$的一个特征值,从而$1/4$为 $(A^2)^(-1)$的一个特征值。

1.14

5.0

3 元实二次型$f(x_1,x_2,x_3)=-2x_1^2+3x_2^2-4x_3^2$的规范形为 ()

您答对了 b
?

a $–z_1^2+z_2^2-z_3^2$

? ?

b

$z_1^2-z_2^2-z_3^2$
? ?

c $–z_1^2-z_2^2+z_3^2$

? ?

d $z_1^2+z_2^2+z_3^2$

?

令$z_1=sqrt3x_2,z_2=sqrt2x_1,z_3=2x_3$,则原二次型化为$f=z_1^2-z_2^2-z_3^2$.

1.15

5.0

矩阵$A=((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$的非零特征值为()

您答对了 b
?

a $4$

? ?

b $3$

? ?

c $2$

? ?

d $1$

?

原矩阵的特征方程为 $|lambdaE-A|=|(lambda-1,-1,-1),(-1,lambda-1,-1),(-1,-1,lambda-1)|=|(lambda-3,la mbda-3,lambda-3),(-1,lambda-1,-1),(-1,-1,lambda-1)|=(lambda-3)|(1,1,1),(-1,lamb da-1,-1),(-1,-1,lambda-1)|=(lambda-3)|(1,1,1),(0,lambda,0),(0,0,lambda)|=(lambd a-3)lambda^2=0$ 所以原矩阵的非零特征值为$3$。

1.16

5.0

设矩阵$A=((1,1,0),(1,2-a,0),(0,0,3))$为正定矩阵,则$a$的取值 范围是()

您答对了 d
?

a $a>1$

? ?

b $a=1$

? ?

c $a<-1$

? ?

d $a<1$

?

要使$A$为正定矩阵,需要$A$的三个顺序主子式: $D_1=1>0,D_2=|(1,1),(1,2-a)|=1-a>0,D_3=|(1,1,0),(1,2-a,0),(0,0,3)|=3(1-a)>0$ 即 $a<1$.

1.17

5.0

矩阵$A=((1,2,4),(2,2,-1),(4,-1,3))$对应的二次型$f=$()

您答对了 b
?

a $x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3-x_2x_3$

? ?

b $x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+8x_1x_3-2x_2x_3$

? ?

c

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+8x_1x_3-2x_2x_3$
? ?

d $4x_1^2+8x_2^2-2x_3^2+x_1x_2+2x_1x_3+3x_2x_3$

?

根据二次型和其矩阵的关系,写出二次型。

1.18

5.0

设有二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2$,则 $f(x_1,x_2,x_3)$()

您答对了 c
?

a 正定

? ?

b 负定

? ?

c 不定

? ?

d 半正定

?

由$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2$, 知该二次型的正惯性指数$>0$, 负惯性指数$>0$, 故它不定。

1.19

5.0

设$3$阶方阵$A$的特征值为$1,-1,2$,则下列矩阵中为可逆矩阵的是 ()

您答对了 d
?

a

$E-A$
? ?

b $-E-A$

? ?

c $2E-A$

? ?

d $-2E-A$

?

因为$lambda=-2$不是$A$的特征值,故$-2E-A$可逆。

1.20

5.0

已知$lambda=0$为矩阵$A=((0,-2,-2),(2,2,-2),(-2,-2,2))$的 2 重 特征值,则$A$的另一特征值为()

您答对了 d
?

a $1$

? ?

b $2$

? ?

c $3$

? ?

d $4$

?

因为$lambda=0$为矩阵$A=((0,-2,-2),(2,2,-2),(-2,-2,2))$的 2 重特征值,即 $lambda_1=lambda_2=0$, 又$lambda_1+lambda_2+lambda_3=0+2+2=4$, 故$A$的另一特征值 $lambda_3=4$。


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