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第2章 基本初等函数、导数及其应用第7讲


ln(x+3) 1.函数 f(x)= 的定义域是( ) 1-2x A.(-3,0) B.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(-3,0) ?x+3>0, ? ln(x+3) 解析: 选 A.因为 f(x)= 所以要使函数 f(x)有意义, 需使? 即-3<x<0. x x , ?1-2 >0, 1-2 ? 2.若函数 y=f

(x)是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( ) 1 A.log2x B. x 2 - C.log1x D.2x 2
2

解析: 选 A.由题意知 f(x)=logax, 因为 f(2)=1, 所以 loga2=1.所以 a=2.所以 f(x)=log2x. 3.(2015· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f(x)= ? 1 + log ( 2-x),x<1, ? 2 ? x -1 则 f(-2)+f(log212)=( ) ?2 ,x≥1, ? A.3 B.6 C.9 D.12 解析:选 C.因为-2<1, 所以 f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3. 12 因为 log212>1,所以 f(log212)=2log212-1= =6. 2 所以 f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选 C. 4.(2016· 沈阳质检)已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解析:选 B.因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3). 又函数 f(x)=loga|x|为偶函数, 所以 f(2)=f(-2), 所以 f(1)<f(-2)<f(3). 5.已知函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) 1 0, ? C.? D.(3,+∞) ? 3? 解析:选 D.由于 a>0,且 a≠1,所以 u=ax-3 为增函数,所以若函数 f(x)为增函数, 则 y=logau 必为增函数,因此 a>1.又 u=ax-3 在[1,3]上恒为正,所以 a-3>0,即 a>3, 故选 D. ? ?log2x,x>0, 6.(2016· 西安模拟)已知函数 f(x)=?log (-x),x<0,若 af(-a)>0,则实数 a 的取值

? ?

1 2

范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 解析:选 A.若 a>0,则 af(-a)=alog1a>0?log1a>0?0<a<1;
2 2

若 a<0,则 af(-a)=alog2(-a)>0?log2(-a)<0 ?-a<1?-1<a<0. 综上,-1<a<1 且 a≠0,故选 A. 1 1 ? 7.计算? ?lg4-lg 25?÷100-2=________. 解析:原式=(lg 2 2-lg 52)×1002 1 - =lg 2 ×10=lg 10 2×10=-2×10=-20. 2 ·52 答案:-20 8.(2016· 云南省师大附中适应性考试)“10a>10b”是“lg a>lg b”的________条件. 解析:当 lg a>lg b 时,a>b>0,则 10a>10b;当 10a>10b 时,a>b,无法得出 lg a>lg b. 答案:必要不充分 9.若 f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为________. 解析: 令函数 g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2, 对称轴为 x=a, 要使函数在(- ? ? g ( 1 ) >0 , 2 - a >0 , ? ? ∞,1]上递减,则有? 即? 解得 1≤a<2,即 a∈[1,2). ?a≥1, ?a≥1, ? ? 答案:[1,2) x2+1 10.关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列命题: |x| ①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④f(x)在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确命题的序号是________. x2+1 解析:根据已知条件可知 f(x)=lg (x≠0)为偶函数,显然利用偶函数的性质可知命 |x| 题①正确;对真数部分分析可知最小值为 2,因此命题③正确;利用复合函数的单调性判定 法则可知 f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,f(x)为偶函数,故 f(x)在(-1,0)上递增, 在(-∞,-1)上递减,故命题④正确,命题②错误;函数 f(x)有最小值,因此命题⑤错误. 答案:①③④ 1 32 4 11.(1)计算: lg - lg 8+lg 245; 2 49 3 1 1 (2)设 2a=5b=m,且 + =2,求 m 的值. a b 1 32 4 解:(1) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2 a b (2)因为 2 =5 =m,所以 a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 所以 + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m


1

所以 m= 10. 12.已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性. 解:(1)由 ax-1>0,得 ax>1,当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0. 所以当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1<ax1<ax2, 故 0<ax1-1<ax2-1, 所以 loga(ax1-1)<loga(ax2-1).所以 f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. 综上知,函数 f(x)在定义域上单调递增.

1 2? 1. 已知函数 f(x)=loga(2x-a)在区间? 则实数 a 的取值范围是( ?2,3?上恒有 f(x)>0, 1 ? A.? ?3,1? 2 ? C.? ?3,1? 1 ? B.? ?3,1? 2 ? D.? ?3,1?

)

1 2? 4 ? 4 解析: 选 A.当 0<a<1 时, 函数 f(x)在区间? 所以 loga? 即 0< ?2,3?上是减函数, ?3-a?>0, 3 1 2 1 4 1 ? -a<1,解得 <a< ,故 <a<1;当 a>1 时,函数 f(x)在区间? ?2,3?上是增函数,所以 loga(1 3 3 3 1 ? -a)>0,即 1-a>1,解得 a<0,此时无解.综上所述,实数 a 的取值范围是? ?3,1?. 2.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x)在区间[m2,n] 上的最大值为 2,则 n+m=________. 解析:根据已知函数 f(x)=|log2x|的图

象知,0<m<1<n,所以 0<m2<m<1,根据函数图象易知,当 x=m2 时取得最大值,所以 1 5 f(m2)=|log2m2|=2,又 0<m<1,解得 m= .再结合 f(m)=f(n)求得 n=2,所以 n+m= . 2 2 5 答案: 2 a ? 3.(2016· 浙江高考调研(一))已知函数 f(x)=lg? ?x+x-2?,其中 x>0,a>0. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围. a 解:(1)由 x+ -2>0, x 2 x -2x+a 得 >0. x 因为 x>0,所以 x2-2x+a>0. 当 a>1 时,定义域为(0,+∞);

当 a=1 时,定义域为(0,1)∪(1,+∞); 当 0<a<1 时,定义域为(0,1- 1-a)∪(1+ 1-a,+∞). (2)对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0, a 即 x+ -2>1 对 x∈[2,+∞)恒成立, x 即 a>-x2+3x 对 x∈[2,+∞)恒成立, 记 h(x)=-x2+3x,x∈[2,+∞),则只需 a>h(x)max. 3 2 9 x- ? + 在[2, 而 h(x)=-x2+3x=-? +∞)上是减函数, 所以 h(x)max=h(2)=2, 故 a>2. ? 2? 4 4.(2016· 沈阳模拟)设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b. (1)求方程 f(x)=1 的解; a+b a+b? (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b)=2f? ,求证:a· b=1, >1. 2 ? 2 ? 解:(1)由 f(x)=1,得 lg x=± 1, 1 所以 x=10 或 . 10 (2)证明:结合函数图象,由 f(a)=f(b)可判断 a∈(0,1),b∈(1,+∞),

从而-lg a=lg b,从而 ab=1. 1 +b a+b b 又 = , 2 2 1 令 φ(b)= +b(b∈(1,+∞)), b 任取 1<b1<b2,

?1- 1 ?<0, 因为 φ(b1)-φ(b2)=(b1-b2)· ? b1b2? 所以 φ(b1)<φ(b2), 所以 φ(b)在(1,+∞)上为增函数. a+b 所以 φ(b)>φ(1)=2.所以 >1. 2


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