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江苏省溧阳市戴埠高级中学高中数学 20圆的标准方程学案


圆的标准方程

学案

班级 学号 姓名 ?学习目标 1.经历圆的标准方程的推导,体验轨迹法的基本思想 2.掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心的坐标和半径 3.能根据所给条件,通过求圆的标准方程. ?课前准备 问题 1:确定直线的基本要素是什么?确定圆的基本要素又是什么呢?

问题 2:在平面直角坐标系中,任何一条直

线都可用一个二元一次方程来表示,设该直线的 方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,则直线上任意一点 P( x, y ) 的坐标都是 ;以方程

Ax ? By ? C ? 0 的解为坐标的点
?课堂学习 一、重点难点 重点:求圆的标准方程; 难点:圆与方程的关系

该条直线上.

二、知识建构 如图,是以 O 为定点, r 为定长画出的一个圆,如何建立它的方程 第一步: 第二步: 第三步: 第四步: 推广:一般地,设点 P( x, y ) 是以 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆上的任意一点,则 CP ? r , 由两点间距离公式,得到: ,即 . 反过来,若有点 P( x, y ) 满足方程 ,根据圆的定义动点 P( x, y ) 到定点 ( a, b) 距离为定值 r , 所以点 P( x, y ) 在以 为圆心, 为半径的圆上.

圆的标准方程: 方程 叫做以 ( a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程. . 特别地,当圆心在原点,半径为 r 时,圆的标准方程为: 三、典型例题 例 1.求圆心是 C (2, ?3), 且经过坐标原点的圆的方程.

例 2. (1)已知圆的直径的两个端点是 A(?1, 2) , B(7,8) .求该圆的标准方程.
1

(2)已知圆的直径的两个端点是 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .求该圆的标准方程.

例 3. 求圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点 (2, ?1) 的圆的标准方程

例 4. 求过点 A(1,?1), B(?1,1) ,且圆心 C 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程.

四、反馈练习 写出下列各圆的标准方程: ⑴经过点 P(6,3) ,圆心为 C (2, ?2) . ⑵已知两点 P(?4, ?5) , Q(6, ?1) ,以线段 PQ 为直径. ⑶以点 C (?1, ?5) 为圆心,并且和 y 轴相切的. ⑷以点 A(1, 2) 为圆心,并且和 x 轴相切的. 五、学法指导 1.方法归纳 ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.
2

.

. . .

⑵比较点到圆心的距离与半径的大小,能得出点与圆的位置关系. 2.圆的标准方程的两种求法: ⑴根据题设条件, 列出关于 a, b, r 的方程组, 解方程组得到 a, b, r 的值, 写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准 方程. ?课后复习 1.已知圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 3, 则该圆圆心坐标为 ,半径 r ? .

2.以点 A(1, 2) 和点 B(3, 4) 为直径端点的圆的标准方程为

.

3.以 (4, ?2) 为圆心且过点 (1, 2) 的圆的标准方程为



4.圆心为 ( ?1, 2), 半径为 2 的圆的标准方程是

.

5.圆心为 (3, ?4) 且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的标准方程为



, ??1) 在圆 ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 25 外,则实数 a 的取值范围是 6.若点 (?1
2 2



7.求满足下列条件的圆的标准: ⑴与两坐标轴都相切,且圆心在直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 上. .

⑵经过点 A(3,5) 和 B(?3, 7), 且圆心在 x 轴上.

.

8.求过两点 A(0, 4), B(4,6), 且圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上的圆的标准方程.

3

9.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是 A(5,6), C (3, ?4), 求这个圆的标准方程.

10.已知半径为 5 的圆过点 P(?4,3) , 且圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上, 求这个圆的标准方程.

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