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2013年天津市十二区县联考数学理科试卷(二)含答案


2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)



学(理)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题 卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.

参考公式:
·如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
? 柱体的体积公式 V
? 锥体的体积公式 V

? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

1 ? Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
1. 在复平面内,复数 A.第一象限

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 执行右面的框图,若输出结果为

1 ,则输入的实数 x 的值是 2
C.

A.

3 2

B.

1 4

2 2

D. 2

3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 B.函数 f ( x) ? tan x 的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } C.命题“ ?x ? R, 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R , 均有 “

x2 ? x ? 1 ? 0 ”
D.“ a ? 2 ”是“直线 y ? ? ax ? 2与y ?

a x ? 1 垂直”的必要不充分条件 4

第 1 页 共 11 页

4. 设 (5 x ?

1 x

) n 的展开式的各项系数和为 M ,二项式系数和为 N ,若 M ? N ? 240 ,则

展开式中 x 的系数为 A. ?150 B. 150 C. 300 D. ?300

?log2 x, x ? 0 ? 5. 若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 1 ? 2 ?
( ? ) A. ? 1,0)(0,1 ( ?1? C. ? 1,0)( , ?)
6. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

( ? )( ? B. ? ?, 1 ? 1, ?)

( ? )( ) D. ? ?, 1 ? 0,1

?
4

) , ( x ? R , ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f (x) 的图像向

左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是

A.

? 2

B.

3? 8

C.

? 4

D.

? 8

7. 己知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , a1 , a , a 成等比数列, a1 ? 1 ,Sn 是数列 {an } 前 n 且 若 3 1 3 项的和, n ? N ? ,则

2 S n ? 16 的最小值为 an ? 3
C. 2 3 ? 2 D.

A.4 8. 若关于 x 的方程 A. (0,1)

B. 3

9 2

| x| ? kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为( ) x?4 1 1 B. ( ,1) C. ( , ??) D. (1, ??) 4 4

第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 某学校共有师生 2400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样 本,已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是 .

10. 如图, A , B 是圆 O 上的两点,且 OA ? OB , OA ? 2 , C 为 OA 的中点,连接 BC 并 延长 BC 交圆 O 于点 D ,则 CD ? .

B C D
10 题图 11 题图

O

A

11. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积 为 .

? x ? 4t 2 12. 已知抛物线的参数方程为 ? , t 为参数) ( ,焦点为 F ,准线为 l ,过抛物线上一 y ? 4t ?
点 P 作 PE ? l 于 E ,若直线 EF 的倾斜角为 150? ,则 | PF |? .

| ,集合 B ? {x | x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0} 若 13.已知集合 A ? { x || x ? 1 |? | x ? 1 ? 3}
A ? B ? ? ,则实数 m 的取值范围为
.

14. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD, AD ? DC ? 1, AB ? 3 , 动点 P 在以点 C 为 圆心,且与直线 BD 相切的圆内运动,设 AP ? ? AD ? ? AB (? , ? ? R ) ,则 ? ? ? 的取值范 围是 .

??? ?

????

??? ?

第 3 页 共 11 页

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1 2 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小值和取最小值时相应的 x 值; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 若向量 m ? (1, sin A) 与向量

7 , f (C) ? 0 ,

??

n ? (3, sin B) 共线,求 a , b 的值。

16. (本小题满分 13 分) 某企业招聘工作人员,设置 A 、 B 、C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、 戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、丁两人各自独立参加 B 组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 均为

1 ,丙、丁两人各自通过测试的概率 3

1 .戊参加 C 组测试, C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题 2

作答,答对 3 题则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (Ⅲ)记 A 、 B 组测试通过的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

第 4 页 共 11 页

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ? BC , ?ADC ? 90? , 平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 ,

BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

P

(Ⅰ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)若 M 为棱 PC 的中点,求异面直线 AP 与 M D Q 长 . A B C

BM 所成角的余弦值;
(Ⅲ) 若二面角 M ? BQ ? C 大小为 30°, QM 的 求

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

2x ? 3 1 * ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? f ( ), n ? N . 3x an

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2n?1a2n ? a2na2n?1 ,求 Tn ; (Ⅲ)令 bn ?

m ? 2004 1 对一切 (n ? 2) , b1 ? 3 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 S n ? 2 an?1an

n ? N * 成立,求最小正整数 m .

第 5 页 共 11 页

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短轴端点与 2 a b 2

双曲线

y2 2 -x =1 的焦点重合, 过点 P (4, 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 0) 2

B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围; (Ⅲ)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g ( x) ? xe1? x .(a ? R, e ? 2.71828?) (I)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间; 时 (II)若函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 无零点,求 a 的最小值; (III)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0,e? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2) 使得 f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。

1 2

第 6 页 共 11 页

2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二) 数学理科参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D 7 A 8 C

二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分. 9.150; 10. 三、解答题 15:解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 5; 5

11.

8?? 4 3 ; 12. ; 3 6

13. (? , ) ;

5 3 2 2

14. (1, )

5 3

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6

????3 分

当2 x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z,即x=k? -

?
6

, k ? Z时,f ( x)取得最小值 -2

????6 分 (Ⅱ)由 c ?

7 , f (C) ? 0, 得 C ?

?
3

, a 2 ? b 2 ? ab ? 7

????9 分

由向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? (3, sin B) 共线, 得 sin B ? 3 sin A, b ? 3a ?????11 分 得 a ? 1, b ? 3

??

解方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 7 ?b ? 3a

????13 分

16. (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

P ? A? =

4 3 1 C4 +C4 C2 1+8 3 = = 4 15 5 C6

????3 分

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件

1 2 ?1? 1 1 3 7 p ? B? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2 ? 3 3 4 36

2

????6 分

第 7 页 共 11 页

(Ⅲ) ? 可取 0,1,2,3,4

?
P

0

1

2

3

4

4 36
5 3

12 36

13 36

6 36

1 36

E? ?

????13 分

(注:每个概率 1 分,列表 1 分,期望 1 分) 17. 证明: (Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD // BQ . ????????1 分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ????????2 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ????????3 分 ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????4 分 另证:AD // BC,BC=AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ?????1 分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ?????2 分 ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ?????3 分 z ∵ AD 平面 PAD, P ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????4 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. M ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, D ∴PQ⊥平面 ABCD.??5 分 (注:不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) Q 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则,, ,, A ∵M 是 PC 中点,∴??6 分 B ∴ x 设异面直线 AP 与 BM 所成角为 则=??7 分 ∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 ??8 分,
第 8 页 共 11 页

C

y

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BQC 的法向量为 ??9 分 由 ,且,得??10 分 又, ∴ 平面 MBQ 法向量为. ?????12 分 ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴, ∴ .∴ ?????13 分 18 解: (Ⅰ)???????????2 分 是以为公差,首项的等差数列?????????3 分 ?????????????????????4 分 (Ⅱ) ????6 分 ??8 分 (Ⅲ)当时,?9 分 当时,上式同样成立??????10 分

????? 11 分 ,即对一切成立, 又随递增,且 , , ??????12 分

?????13 分

19 解(Ⅰ)解:由题意知,∴,即??2 分 又双曲线的焦点坐标为, ,????3 分 ∴ 故椭圆的方程为 ????4 分

(Ⅱ)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 由得:???5 分 由得:????6 分 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 ①

第 9 页 共 11 页

∴????7 分 -+= ?? 8 分 , ,????9 分 的取值范围是 ??10 分

(Ⅲ)证明关于轴对称,点 的坐标为????11 分

直线的方程为,令得 又,所以 由①式代入得 所以直线与 x 轴相交于定点

??? 12 分 ??? 13 分

??? 14 分 ????2 分 ????3 分 ????4 分

20、解: (I)当 由由 故 (II)因为上恒成立不可能, 故要使函数上无零点, 只要对任意的恒成立, 即对恒成立。 令 则 ????9 分

??5 分 ??6 分 ????7 分

综上,若函数 ????10 分 (III) 所以,函数 ????11 分

故 ① 此时,当的变化情况如下:
第 10 页 共 11 页

????12 分

x — 0 最小值 ② ③ ????13 分 +

即②对任意恒成立。 由③式解得: ④ 综合①④可知,当 在 使成立。????14 分

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