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空间几何体的表面积和体积教案


空间几何体的表面积和体积教案
例 1:已知直三棱柱底面各边的比为 17∶10∶9,侧棱长为 16 cm, 全面积为 1440 cm2,求底面各边之长. 分析:这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题,从结论出发,欲 求底面各边之长,而各边之比已知,可分别设为 17a、10a、 9a,故只须求出参数 a 即可,那么如何利用已知条件去求 a 呢? [生]设底面三边长分别是 17a、10a、9a, ·16=576a S 侧=(17a+10a+9a) 设 17a 所对三角形内角α, (10a)2+(9a)2-(17a)2 3 4 =-5 ,sinα=5 则 cosα= 2×10a×9a 1 4 S 底=2 ·10a·9a·5 =36a2 ∴576a+72a2=1440 解得:a=2

∴三边长分别为 34 cm,20 cm,18 cm. [师]此题中先设出参数 a,再消去参数,很有特色. 例 2:正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成 45°角,求此棱锥的侧 面积与全面积. 分析:可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解: 如图所示, 设正三棱锥 S—ABC 的高为 SO, 斜高为 SD, 在 Rt△SAO 中,∴AO=SA·cos45°

2 2 3 ∵AO=3 AD=3 2 a 在 Rt△SBD 中 SD=
( 6 2 1 15 a) ? ( a ) 2 = a 3 2 6

6 ∴SA= 3 a

1 15 ∴S 侧=2 ·3a·SD= 4 a2. 15 3 ∴S 全=( 4 + 4 )a2

3 ∵S 底= 4 a2

例 3: 从一个正方体中, 如图那样截去 4 个三棱 锥后,得到一个正三棱锥 A—BCD,求它 的体积是正方体体积的几分之几? 分析:在准确识图的基础上,求出所截得的每 个三棱锥的 体积和正三棱锥 A—BCD 的体积即可. 解:设正方体体积为 Sh,则每个截去的三棱锥的体积 1 1 1 为 3 ·2 Sh=6 Sh. ∵三棱锥 A—BCD 的体积为 1 1 Sh-4·6 Sh=3 Sh. 1 ∴正三棱锥 A—BCD 的体积是正方体体积的3 . 例 4:假设正棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求对角面的面积和 侧面积.

解:如图所示,在正四棱锥 P—ABCD 中,AB =a,PB=2a, 作 PO⊥底面 ABCD 于 O.连结 BD,则 O∈ BD,且 PO⊥BC, 由 AB=a,得 BD= 2 a,在 Rt△PAB 中, 2 PO2=PB2-BO2=(2a)2-( 2 a)2 1 14 7 ∴PO= 2 a,S 对角面=2 PO·BD= 2 a2. 又作 PE⊥BC 于 E,这时 E 是 BC 的中点 1 ∴PE2=PB2-BE2=(2a)2-(2 a)2 15 ∴PE= 2 a ∴S 侧=4× 1 PE·BC= 15 a2
2

7 ∴对角面面积为 2 a2,侧面积为

15 a2.

例 5:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的3 证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R, 高为 2R,得 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR·2R=4πR2 (2)∵S 圆柱全=4πR2+2πR2=6πR2 2 ∴S 球=3 S 圆柱全 ∴S 球=S 圆柱侧 S 球=4πR2

例 6:有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个 正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各顶点,求这三 个球的表面积之比. a 解:设正方体的棱长为 a,则第一个球的半径为 2 ,第二个球的 2 3 半径是 2 a,第三个球的半径为 2 a. ∴r1∶r2∶r3=1∶ 2 ∶ 3 2∶3 例 7:已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍,求圆锥侧面积与 底面积之比. 解:过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面 SAB 和球 的大圆⊙O,且⊙O 为 △SAB 的内切圆. 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l;内切圆半径为 R,则 S 锥全=πr2+πrl,S 球=4πR2,∴r2+rl=8R2 ① 又∵△SOE∽△SAO1 ∴ ② 由②得:R2 =r2 · 8r2·
l?r ,得: l+r l?r 代入①得:r2 +rl= l+r

∴S1∶S2∶S3=1∶

R l?r l?r = = 2 2 r l+r l ?r

l=3r



S 锥侧 πrl l = 2 = =3 S底 πr r

∴圆锥侧面积与底面积之比为 3∶1. 练习: 1.已知球面上 A、 C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半, B、 且 AB=BC=CA=2,求球的体积. 2.一个体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积. 例 8:求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 解: 如图所示, 等边△SAB 为圆锥的轴截面, 此截面截圆柱得正方形 C1CDD1,截球面得球的 大圆圆 O1. 设球的半径 O1O=R,则它的外切圆柱的高 为 2R,底面半径为 R,则有 OB=O1O·cot30°= 3 R SO=OB·tan60°= 3 R· 3 =3R 4 ∴V 球=3 πR3,V 柱=πR2·2R=2πR3 1 V 锥=3 π( 3 R)2·3R=3πR3 ∴V 球∶V 柱∶V 锥= 4∶6∶9 [师]以上题目,通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴 露这些几何体之间的相互关系. 让我们继续体会有关球的相接切问题.

例 9:半径为 R 的球的内接四面体内有一内切 球,求这两球的体积比? 解:如图所示,大球 O 的半径为 R;设正 四面体 A—BCD 的棱长为 a, 它的内切球半径为 r, 依题意 2 3 3 BO1=3 2 a= 3 a, AO1= AB2-BO12 = 又∵BO2=BO12+OO12, ∴R2=(
3 2 6 a) + ( a ? R) 2 3 3

3 6 a2-( 3 a)2 = 3 a

∴a= 2

6 3

R

连结 OA,OB,OC,OD,内切球球心到正四面体各面距离为 r, VO—BCD=VO—ABC+VO—ACD+VO—AOB+VO—BCD ∴ 1 ? S ?BCD ? AO1 = 4 ? 1 ? S ?BCD ? r
3 3

∴r= ∴r= ∴V

AO1 4

6 6 2 6 1 a= ? R= R 12 12 3 3 4 π· 1 R)3∶ 4 π·R3=1∶27 ( 小球∶V 大球= 3 3 3

∴内切球与外接球的体积比为 1∶27.

空间几何体的表面积和体积教案 例 1:已知直三棱柱底面各边的比为 17∶10∶9,侧棱长为 16 cm, 全面积为 1440 cm2,求底面各边之长. 分析:这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题,从结论出发,欲 求底面各边之长,而各边之比已知,可分别设为 17a、10a、 9a,故只须求出参数 a 即可,那么如何利用已知条件去求 a 呢? [生]设底面三边长分别是 17a、10a、9a, ·16=576a S 侧=(17a+10a+9a) 设 17a 所对三角形内角α, (10a)2+(9a)2-(17a)2 3 4 =-5 ,sinα=5 则 cosα= 2×10a×9a 1 4 S 底=2 ·10a·9a·5 =36a2 ∴576a+72a2=1440 解得:a=2

∴三边长分别为 34 cm,20 cm,18 cm. [师]此题中先设出参数 a,再消去参数,很有特色. 例 2:正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成 45°角,求此棱锥的侧 面积与全面积. 分析:可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解: 如图所示, 设正三棱锥 S—ABC 的高为 SO, 斜高为 SD, 在 Rt△SAO 中,∴AO=SA·cos45°

2 2 3 ∵AO=3 AD=3 2 a 在 Rt△SBD 中 SD=
( 6 2 1 15 a) ? ( a ) 2 = a 3 2 6

6 ∴SA= 3 a

1 15 ∴S 侧=2 ·3a·SD= 4 a2. 15 3 ∴S 全=( 4 + 4 )a2

3 ∵S 底= 4 a2

例 3: 从一个正方体中, 如图那样截去 4 个三棱 锥后,得到一个正三棱锥 A—BCD,求它 的体积是正方体体积的几分之几? 分析:在准确识图的基础上,求出所截得的每 个三棱锥的 体积和正三棱锥 A—BCD 的体积即可. 解:设正方体体积为 Sh,则每个截去的三棱锥的体积 1 1 1 为 3 ·2 Sh=6 Sh. ∵三棱锥 A—BCD 的体积为 1 1 Sh-4·6 Sh=3 Sh. 1 ∴正三棱锥 A—BCD 的体积是正方体体积的3 . 例 4:假设正棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求对角面的面积和 侧面积.

解:如图所示,在正四棱锥 P—ABCD 中,AB =a,PB=2a, 作 PO⊥底面 ABCD 于 O.连结 BD,则 O∈ BD,且 PO⊥BC, 由 AB=a,得 BD= 2 a,在 Rt△PAB 中, 2 PO2=PB2-BO2=(2a)2-( 2 a)2 1 14 7 ∴PO= 2 a,S 对角面=2 PO·BD= 2 a2. 又作 PE⊥BC 于 E,这时 E 是 BC 的中点 1 ∴PE2=PB2-BE2=(2a)2-(2 a)2 15 ∴PE= 2 a ∴S 侧=4× 1 PE·BC= 15 a2
2

7 ∴对角面面积为 2 a2,侧面积为

15 a2.

例 5:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的3 证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R, 高为 2R,得 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR·2R=4πR2 (2)∵S 圆柱全=4πR2+2πR2=6πR2 2 ∴S 球=3 S 圆柱全 ∴S 球=S 圆柱侧 S 球=4πR2

例 6:有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个 正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各顶点,求这三 个球的表面积之比. a 解:设正方体的棱长为 a,则第一个球的半径为 2 ,第二个球的 2 3 半径是 2 a,第三个球的半径为 2 a. ∴r1∶r2∶r3=1∶ 2 ∶ 3 2∶3 例 7:已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍,求圆锥侧面积与 底面积之比. 解:过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面 SAB 和球 的大圆⊙O,且⊙O 为 △SAB 的内切圆. 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l;内切圆半径为 R,则 S 锥全=πr2+πrl,S 球=4πR2,∴r2+rl=8R2 ① 又∵△SOE∽△SAO1 ∴ ② 由②得:R2 =r2 · 8r2·
l?r ,得: l+r l?r 代入①得:r2 +rl= l+r

∴S1∶S2∶S3=1∶

R l?r l?r = = 2 2 r l+r l ?r

l=3r



S 锥侧 πrl l = 2 = =3 S底 πr r

∴圆锥侧面积与底面积之比为 3∶1. 练习: 1.已知球面上 A、 C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半, B、 且 AB=BC=CA=2,求球的体积. 2.一个体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积. 例 8:求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 解: 如图所示, 等边△SAB 为圆锥的轴截面, 此截面截圆柱得正方形 C1CDD1,截球面得球的 大圆圆 O1. 设球的半径 O1O=R,则它的外切圆柱的高 为 2R,底面半径为 R,则有 OB=O1O·cot30°= 3 R SO=OB·tan60°= 3 R· 3 =3R 4 ∴V 球=3 πR3,V 柱=πR2·2R=2πR3 1 V 锥=3 π( 3 R)2·3R=3πR3 ∴V 球∶V 柱∶V 锥= 4∶6∶9 [师]以上题目,通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴 露这些几何体之间的相互关系. 让我们继续体会有关球的相接切问题.

例 9:半径为 R 的球的内接四面体内有一内切 球,求这两球的体积比? 解:如图所示,大球 O 的半径为 R;设正 四面体 A—BCD 的棱长为 a, 它的内切球半径为 r, 依题意 2 3 3 BO1=3 2 a= 3 a, AO1= AB2-BO12 = 又∵BO2=BO12+OO12, ∴R2=(
3 2 6 a) + ( a ? R) 2 3 3

3 6 a2-( 3 a)2 = 3 a

∴a= 2

6 3

R

连结 OA,OB,OC,OD,内切球球心到正四面体各面距离为 r, VO—BCD=VO—ABC+VO—ACD+VO—AOB+VO—BCD ∴ 1 ? S ?BCD ? AO1 = 4 ? 1 ? S ?BCD ? r
3 3

∴r= ∴r= ∴V

AO1 4

6 6 2 6 1 a= ? R= R 12 12 3 3 4 π· 1 R)3∶ 4 π·R3=1∶27 ( 小球∶V 大球= 3 3 3

∴内切球与外接球的体积比为 1∶27.

圆与方程教案
例 1:已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3) ,求以 P1P2 为直径的圆的方 程,并且判断点 M(6,9) ,N(3,3) ,Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在

圆外。 解:根据已知条件,圆心 C(a,b)是 P1P2 的中点,那么它的坐标为: 9+3 4+6 a= 2 =5,b= 2 =6 再根据两点的距离公式,得圆的半径是: r=︱CP1︱= (4-5)2 +(9-6)2 = 10 ∴所求圆的方程是: (x-5)2 +(y-6)2 =10 ∵︱CM︱= 10 ,︱CN︱= 13 > 10 ,︱CQ︱=3< 10 ∴点 M 在圆上,点 Q 在圆内,点 N 在圆外. 例 2:圆 x2 + y2 =4 与圆(x-3)2 +(y-4)2 =16 的位置关系。 解:∵圆心距=5<r1+r2=6 ∴两圆相交 例 3:求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的 方程. 解:因为圆 C 和直线 3x-4y-7=0 相切,所以半径 r 等于圆心 C 到 这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式,得 r =
3 ×1 ? 4 × 3 ? 7 3 + ( ? 4)
2 2

=

16 5

因此,所求的圆的方程是 ( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 =

256 . 25

说明:例 3 中用到了直线和圆相切的性质,即圆心与切点连线垂直于 切线且等于半径. 例 4:过点 A(3,1)和 B(-1,3) ,且它的圆心在直线 3x-y-2 =0 上的圆的方程。

解:设圆的方程为 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 则: (3-a)2 +(1-b)2 =r 2, (-1-a)2 +(3-b)2 =r 2,3a -b-2 =0 解法二:线段 AB 的中点坐标是(1,2) 则 kAB= 3-1 1 =-2 -1-3

所以,线段 AB 的垂直平分线方程为: y-2=2(x-1)
?2x-y=0 由? ?3x-y-2=0

即:2x-y=0

得圆心坐标为 C(2,4) ,

又 r=︱AC︱= 10

∴圆的方程是: (x-2)2 +(y-4)2 =10 例 5:求半径为 10,和直线 4x+3y-70=0 切于点(10,10)的圆的 方程。 解:设圆心坐标为 C(x 0,y 0) ,则

? y 0-10 ·(-4 )=-1 3 ? x 0-10 ?(x 0-10)2 +(y 0-10)2 =100
解得:x 0=2,y 0=4 或 x 0=18,y 0=16 ∴所求圆的方程是: (x-2)2 +(y-4)2 =100 或(x-18)2 +(y-16)2 =100 例 6:已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点 M(x0, y0)的切 线的方程. 解:设切线的斜率为 k,半径 OM 的斜率为 k1,因为圆的切线垂直于过

切点的半径, 于是 k=-
1 k1

∵ k1 =

y0 x ,∴ k = ? 0 . x0 y0 x0 ( x ? x0 ) y0

经过点 M 的切线方程是: y ? y 0 = ? 整理得: x0 x + y 0 y = x 02 + y 02

因为点 M(x0,,y0)在圆上,所以 x02 + y 02 = r 2 所求切线方程为: x0 x + y 0 y = r 2 当点 M 在坐标轴上时,上述方程同样适用. 例 7:求过点 A(2,4)向圆 x2 + y2 =4 所引的切线方程。 解法一:设切线方程为 y-4=k(x-2)
?kx-y+4-2k=0 由? 2 2 ?x + y =4

即 kx-y+4-2k=0

得:

(k 2+1)x 2+4k(2-k)x+4k 2-16k+12=0 3 由△=0 得:k=4 又:当过点 A 并且与 y 轴平行的直线恰与圆相切 ∴所求切线方程为: x=2 或 3x-4y+10=0 解法二:设切线方程为 kx-y+4-2k=0 则: ︱4-2k︱ =2 k 2+1 3 得:k=4

又:当过点 A 并且与 y 轴平行的直线恰与圆相切 ∴所求切线方程为: x=2 或 3x-4y+10=0

解法三:设切点为(x 0,y 0) ,则: x 0x+y0y=4 又:x02 + y02=4 6 8 ∴x 0=2,y 0=0 或 x 0=-5 ,y 0=5 得切线方程:x=2 或 3x-4y+10=0 例 8:两直线分别绕 A(2,0) ,B(-2,0)两点旋转,它们在 y 轴 上的截距 b,b′的乘积 bb′=4,求两直线交点的轨迹。 解:设 M(x,y)为两直线 l1、l2 的交点 x y x y + =1 则有 l1:2 +b = 1,l2: -2 b′ 得:b= 2y 2y ,b′= 2-x 2+x ∴2x 0+4y0=4

2y 2y ∴bb′= · =4 2-x 2+x x2 + y2 =4(y≠0) 例 9:已知一圆与 y 轴相切,圆心在直线 l:x-3y = 0 上,且被直线 y=x 截得的弦 AB 长为 2 7 ,求圆的方程。 解:设圆心 C(3a,a) ∵圆与 y 轴相切 ∴r=3︱a︱ 1 ︱BD︱=2 ︱AB︱=

︱3a—a︱ 又:︱CD︱= = 2 ︱a︱ 2 7 由勾股定理得:a=±1 ∴所求圆的方程为:

(x+3)2 +(y+1)2 =9 或(x-3)2 +(y-1)2 =9 、M 例 10:求过三点 O(0,0) 1(1,1) 2(4,2)的圆的方程, 、M 并求这个圆的半径和圆心坐标. 解:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 用待定系数法,根据所给条件来确定 D、E、F、 因为 O、M1、M2 在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的 坐标依次代入上面的方程,可得
?F = 0 ? ?D + E + F + 2 = 0 ?4 D + 2 E + F + 20 = 0 ? ? D = ?8 解得 ? E = 6 ? ?F = 0 ?

于是所求圆方程为:x2+y2-8x+6y=0 化成标准方程为: (x-4)2+[y-(-3)]2=52 所以圆半径 r=5,圆心坐标为(4,-3) 说明:如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐 标列方程的问题,一般采用圆的标准方程,如果已知条件和圆心 坐标或半径都无关,一般采用圆的一般方程。 例 11:已知一曲线是与两个定点 O(0,0) 、A(3,0)距离的比为 的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线. 解:在给定的坐标系里,设点 M(x,y)是曲线上的任意一点,也就 是点 M 属于集合.
P = {M |
| OM | 1 = }. | AM | 2 1 2

由两点间的距离公式,点 M 所适合的条件可以表示为

x2 + y2 ( x ? 3) 2 + y 2

=

1 , 2


x2 + y2 1 = 2 2 4 ( x ? 3) + y

将①式两边平方,得

化简得 x2+y2+2x-3=0 化为标准形式得: (x+1)2+y2=4



所以方程②表示的曲线是以 C (-1, 0) 圆心,2 为半径的圆。 说明:到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。



(1)当 例 12:已知曲线 C: (1+a)x 2+(1+a)y 2-4x+8ay=0, a 取何值时,方程表示圆; (2)求证:不论 a 为何值,曲线 C 必 过两定点; (3)当曲线 C 表示圆时,求圆面积最小时 a 的值。 解: (1)当 a=-1 时,方程为 x+2y=0,为一直线; 4+16a 2 4a 2 2 2 当 a≠-1 时, (x- ) +(y+ ) = 表 1+a 1+a (1+a)2 示圆。 (2)方程变形为:x2 + y2-4x +a(x2 + y2 + 8y)=0 16 8 ∴C 过定点 A(0,0) ,B( 5 ,-5 ) (3)以 AB 为直径的圆面积最小(为什么?) 8 4 16 得圆的方程: (x-5 )2 +(y+5 )2 = 5
2 2 8 4a 4 4+16a 16 ∴ =5 , =5 , 2 = 5 1+a 1+a (1+a)

1 解得:a=4

例 13:已知圆 x2 + y2=1,求过点 P(a,b)的圆的切线方程。 解: (1)当 P 在圆内,即 a2 + b2<1 时,无切线方程; (2)当 P 在圆上,即 a2 + b2=1 时,方程为:ax+by=1; (3)当 P 在圆外,即 a2 + b2>1 时,设直线方程为 y-b=k(x -a) , 即 kx-y-ka+b=0 ︱k·0—0-ka+b︱ 由 d= =1,得 k 2+1 (a 2-1)k 2-2abk+b2-1=0 ab± 当 a≠±1 时,k= b2-1 2b ab± ∴当 a≠±1 时,y-b= a 2+b2-1 (x-a) a 2-1 a 2+b2-1 ;当 a=±1 时,k=± a 2-1

b2-1 当 a=1 时,y-b= 2b (x-1)或 x=1 b2-1 当 a=-1 时,y-b=- 2b (x+1)或 x=-1 4 例 14:已知圆方程为 x2 + y2-4x-2y-20=0, (1)斜率为-3 的直 线 l 被圆所截线段长 为 8,求直线方程; (2)在圆上求两点 A 和 B,使它们到直线 l: 4x+3y+19=0 的距离分别取得最大值或最小值。 4 解: (1)设所求方程为:y=-3 x+b,圆的方程可化为:

(x-2)2+(y-1)2=25 ∴圆心 C(2,1) ,半径 r=5 ︱11-3b︱ ︱4×2+3×1-3b︱ = 圆心到直线的距离为:d= 5 5 =3 4 26 ∴ b=-3 或 b= 3 4 4 26 4 所求直线方程为:y=-3 x-3 或 y=-3 x+ 3 即:4x+3y+4=0 或 4x+3y-26=0 (2)解法一:设 l′∥l 且 l′与圆相切,则所述距离即为 l′与 l 间的距离,切点即为所求点。 设 l′:4x+3y+m=0
?4x+3y+m=0 ? 2 2 ?x + y -4x-2y-20=0

则由: 得:

25x 2+4(2m-3)x+m 2+6m-180=0 △=16(2m-3)2-100(m 2+6m-180)=0 得:m=14 或 m=-36 -4(2m-3) 2(3-2m) 又:x= = 2×25 25 ∴x=-2(m=14 时)或 x=6(m=-36 时) 得 A(-2,-2) ,B(6,4) 解法二:过圆心作与直线 l 垂直的直线 l′与圆交于 A、B 两点 即为所求。

4 ∵kl=-3

3 ∴k l′=4 即:3x-4y-2=0

3 ∴l′:y-1=4 (x-2)

?3x-4y-2=0 由 ? 2 解出 x、y 即为 A、B 坐标 2 ?x + y -4x-2y-20=0

例 15:自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其 反射光线所在直线与圆 x2 + y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程。 解:圆的方程可化为 (x-2)2+(y-2)2=1 所以圆心 C(2,2) ,半径 r=1 设直线 l 的斜率为 k,则 l:y-3=k(x+3)且反射光线 l′的斜 率为 k′=-k, 3 又 l 交 x 轴于(-k -3,0) 3 所以,反射光线方程为:y=-k(x+k +3) 即:k x+y+3+3 k=0 ︱5 k+5︱ 圆心到 l′的距离 =1 k 2+1 4 3 得:k=-3 或 k=-4 所以,所求直线 l 的方程为: 4 3 y-3=-3 (x+3)或 y-3=-4 (x+3) 即:4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0

直线与方程教案
例 1:已知直线 l1 的倾斜角α1=300,直线 l2⊥l1,求 l1、l2 的斜率。 3 解:l1 的斜率 k1=tanα1=tan300= 3 ∵l2 的倾斜角α2=900+300=1200, ∴l2 的斜率 k2=tanα2=tan1200=-tan600=- 3 例 2:一条直线经过点 P1(-2,3),倾斜角 α =45°,求这条直线方 程,并画出图形. 解:这条直线经过点 P1(-2,3),斜率是 k=tan450=1. 代入点斜式方程,得 y-3=x+2,即 x-y+5=0 这就是所求的直线方程,图形略 例 3:三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3) 、 C(0,2) ,求这个三角形三边所在直线的方 程。 解:直线 AB 过 A(-5,0)、B(3,-3)两点,由 两点式得 x-(-5) y-0 = -3-0 3-(-5) 整理得:3x+8y+15=0,即直线 AB 的方程. 2-(-3) 5 直线 BC 过 C(0,2),斜率是 k= =-3 , 0-3 5 由点斜式得: y-3=-3 (x-0) 整理得: 5x+3y-6=0,即直线 BC 的方程.

直线 AC 过 A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得: x-(-5) 0-(-5) 整理得:2x-5y+10=0,即直线 AC 的方程.

y-0 = 2-0

4 例 4:已知直线 m 的倾斜角θ的余弦值等于 5 ,在 y 轴上的截距为 -2,求直线方程。 4 解:∵cosθ= 5 ,0≤θ<π 3 3 ∴k = tanθ=4 ,得 y = 4 x-2 π 例 5:求过点 P(-5,-4) ,且与 y 轴夹角为 3 的直线方程。 x- 3 y+5-4 3 = 0 或 x+ 3 y+5+4 3 = 0 例 6:一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形 面积为 1,求这直线的方程。 x y 解法一:设直线方程为 a +b

?-2 +2 = 1 ? a b = 1,则有:? 1 ? 2 ︱ab︱= 1 ?

解得 a = -1,b = -2 或 a = 2,b = 1 ∴直线方程为 y x y x + = 1 或 2 +1 = 1 -1 -2

解法二:令 y-2 = k(x+2) 2 从 y = 0 得 x = -k -2 从 x = 0 得 y = 2k+2

1 2 ∴2 ︱(k +2) (2k+2)︱=1 1 得 k = -2 或 k = -2 例 7:求通过点 P(2,3) ,并在两坐标轴上截距相等的直线方程。 x y 解:设直线方程为 a +a = 1,则有: 3 2 +a = 1 a 得a=5

x y ∴直线方程为 5 +5 = 1 3 又:直线过原点 k = 2 3 ∴y = 2 x

例 8:求斜率为 k 且被两坐标轴截得线段为定长 m 的直线方程。 解:设直线方程为 y = kx+b,则有: b2 b +k2 = m2
2

即 b= ±

km 1+k2

∴y = kx±

km 1+k2

例 9:已知直线 l 在 x 轴上的截距比 y 轴上的截距大 6,且过点(4, 4) ,求其直线方程。 解:设直线方程为 y-4 = k(x-4) ,则: 4 (4-k ,0)(0,4-4k) , 4 ∴4-k = 4-4k+6 1 得 k = 2 或 k = -2

1 即 y-4 = 2(x-4)或 y-4 = -2 (x-4)

4 例 10:已知直线经过点 A(6,-4),斜率为-3 ,求直线的点斜式和一般式 方程. 4 解:经过点 A(6,-4)并且斜率等于-3 的直线方程的点斜式是: 4 y+4=-3 (x-6)化成一般式,得 4x+3y-12=0. 例 11: 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式, 求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画图. 解:将原方程移项,得 2y=x+6 1 两边除以 2,得斜截式 y=2 x+3 1 因此,直线 l 的斜率 k=2 ,它在 y 轴上的截距是 3, 在上面的方程中令 y=0,可得 x=-6,即直线 l 在 x 轴上的截距 是-6. 由上述内容可得直线 l 与 x 轴、y 轴的交点为 A(-6,0) 、B(0, 3) ,过点 A、B 作直线,就得直线 l.(如右图). 例 12:直线 l 过 P(3,2)且与 l′:x+3y-9 = 0 及 x 轴围成底边 在 x 轴上的等腰三角形,求直线 l 的方程。 解法一:求 k 解法二:求 l 与 x 轴的交点坐标 例 13:已知点 P(6,4)和直线 l1:y = 4x,求过 P 点的直线 l,使它 与直线 l1 以及 x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。

解:设 l 与 l1 的交点为 Q(x1,4x1) 1>1) (x ,则直线 l 的方程为 y- 4= 4x1-4 (x-6) x1-6 5x1 ∴ l 与 x 轴的交点为 R( ,0) x1-1 10x12 S △= x1-1 10x12-Sx1+S = 0 由△≥0,得:S≥40 当 S=40 时,x1=2,此时: x+y-10 = 0 例 14:若一直线 l 被直线 l1:4x+y+6 = 0 和 l2:3x-5y-6 = 0 截得 的线段的中点恰好在坐标原点,求这条直线方程。 解:设 l:y = kx
?y = kx 由? ?4x+y+6 = 0 ?y = kx 由? ?3x-5y-6 = 0

得x= - 得x=

6 4+k

6 3-5k 1 k = -6

6 6 ∴- + =0 4+k 3-5k 得 l:x+6y = 0

例 15:已知直线方程 l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,证明 l1∥ l2 1 7 1 5 证明:把 l1、l2 的方程写成斜截式 l1:y=2 x+4 ,l2:y=2 x+2
∵ k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ,∴ l1 ∥ l 2

例 16:求过点 A(1,-4)且与直线 2 x + 3 y + 5 = 0 平行的直线的方程. 2 解:已知直线的斜率是-3 ,因为所求直线与已知直线平行,因此它的 2 斜率也是-3 . 根据点斜式,得到所求直线的方程是: y + 4 = ? ( x ? 1) 即 2 x + 3 y + 10 = 0 . 例 17:求与直线 l1:Ax+By+C = 0 平行的直线方程。 A 解:∵所求直线 l 的斜率 k=-B A ∴所求直线方程为:y = -B x+b 即:Ax+By-Bb = 0 也就是 Ax+By+b′= 0 例 18:求和直线 2x+6y-11=0 平行,且与坐标轴围成的三角形面积 为 6 的直线方程。 解: 设所求直线方程为 2x+6y+b=0 b b 则有: (0,-6 ),(-2 ,0) 1 b2 ∴S = 2 12 = 6 b2 = 144 b = ±12
2 3

即:2x+6y+12=0 或 2x+6y-12=0 例 19:△ABC 中,A(1,1),B(3,5),C(5,-1),直线 l∥AC,且 l 平 分△ABC 的面积,求 l 的方程。

解:∵kAC=

-1-1 1 = -2 5-1

1 ∴设 l:y =-2 x+b 且交 AB 于 D ∵l 平分△ABC 的面积 BD 1 ∴BA = 2 BD DA = 1 = 2-1 2 +1

6+ 2 4+ 2 ,y = ∴D 点坐标:x = 2+ 2 2+ 2 6+ 2 1 4+ 2 则: = -2 +b 2+ 2 2+ 2 得 b = 13-5 2 2

∴l:x+2y-13+5 2 = 0 例 20:求过点 A(2,1),且与直线 2 x + y ? 10 = 0 垂直的直线 l 的方程. 解:直线 2 x + y ? 10 = 0 的斜率是-2,因为直线 l 与已知直线垂直,所以它 的斜率为: k = ?
1 1 = ?2 2 1 2

根据点斜式,得到 l 的方程: y ? 1 = ( x ? 2), 即 x ? 2 y = 0 . 解法二: 设所求直线方程为 x-2y+b = 0 则:2-2×1+b = 0 ∴l: x ? 2 y = 0 例 21:已知三角形两顶点是 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2) , 求第三个顶点 C 的坐标。 解:∵kBH = 2 1 ∴kAC = -2 得b = 0

1 ∴lAC:y-2 = -2 (x+10) 又 BC∥y 轴 ∴C(6,-6) ∴kCH = -8 又 H(5,2)

1 解法二:∵kAB = 8

∴lCH:y-2 = -8(x-5) 又 BC∥y 轴 ∴C(6,-6)

例 22:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
l1 : x ? 2 y + 2 = 0, l 2 : 2 x ? y ? 2 = 0

解:解方程组 ?

?x ? 2 y + 2 = 0 ?x = 2 得? ?2 x ? y ? 2 = 0 ?y = 2

所以, l1 与 l2 的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为 y = kx ,把点(2,2)的坐标代入以上方程, 得 k = 1 ,所以所求直线方程为 y = x. 例 23:已知两条直线 l1:x+my+6=0,l2: (m-2)x+3y+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2(1)相交(2)平行(3)重合 A1 B1 1 m 解: 当A = B 时, = 3 ,解得 m = -1 或 m = 3 m-2 2 2 A1 C1 1 6 当A = C 时, = 2m ,解得 m = 3 m-2 2 2 ∴(1)当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交 (2)当 m =-1 时,l1∥l2 (3)当 m = 3 时,l1 与 l2 重合。 例 24:已知两条直线 l1:x+m 2y+6=0,l2: (m-2)x+3my+2m=0, 问当 m 为何值时,

l1 与 l2 (1)平行(2)重合(3)相交
解: 当 m = 0 时,l1:x+6 = 0,l2: x = 0,此时 l1∥l2 m-2 3m 当 m≠0 时, 1 = m2 得 m = 3 或 m = -1 m-2 2m = 6 得m=3 1 ∴(1)当 m = 0 或 m = -1 时,l1∥l2 (2)当 m = 3 时,l1 与 l2 重合 (3)当 m≠0,m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交。 例 25:求点 P0(-1,2)到下列直线的距离: (1) 2 x + y ? 10 = 0; (2)3 x = 2. 解: (1)根据点到直线的距离公式得 d =
2 × (?1) + 2 ? 10 2 2 + 12 = 10 5 = 2 5.

(2)因为直线 3x = 2 平行于 y 轴,所以 d =

2 5 ? ( ?1) = . 3 3

例 26:求平行线 2 x ? 7 y + 8 = 0 和 2 x ? 7 y ? 6 = 0 的距离. 解:在直线 2 x ? 7 y ? 6 = 0 上任取一点,例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直 线 2 x ? 7 y + 8 = 0 的距离就是两平行线间的距离.因此:
d= 2×3 ? 7×0 + 8 2 + ( ?7 )
2 2

=

14 53

=

14 53 . 53

例 27:已知 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,求 l1 与 l2 间的距离。 C1 略解: (0,- B )∈l1 C1 d = ︱ A·0 + B×( - B ) + C 2 ︱ / A2+B2 = ︱ C 2 - C 1 ︱

/ A2+B2 例 28:求与直线 3x-7y+5 = 0 的距离为 2 的直线方程。 解:设 P(x,y)是所求直线上一点,则: ︱3x-7y+5︱ =2 9+49 ︱3x-7y+5︱= 2 58 ∴ 3x-7y+5±2 58 = 0 例 29:求两直线 l1:x+y-2 = 0,l2:7x-y+4 = 0 所成角的平分线 方程。 解一:设 P(x,y)是角平分线上任意一点,则: ︱7x-y+4︱ ︱x+y-2︱ = 2 5 2 +4) 即:x-3y+7 = 0(舍)或 6x+2y-3 = 0 解二:∵k1= -1,k2= 7 ∴ k+1 7-k = 1-k 1+7k 1 得 k = 3 (舍)或 k = -3 得 5(x+y-2)=±(7x-y

例 30:求过点 P(1,2)且与两点 A(2,3) ,B(4,-5)距离相 等的直线 l 的方程。 解:∵l 与 x 轴不垂直 ∴可设 l 的方程为:y-2 = k (x-1) 即:kx-y+2-k = 0

︱2k-3+2-k︱ ︱4k+5+2-k︱ 得: = k 2+1 k 2+1 3 k = -2 或 k = -4

∴所求直线方程为:4x+y-6 = 0 或 3x+2y-7 = 0 例 31:求过点 P(1,1)且被两平行直线 3x-4y-13 = 0 与 3x-4y +7 = 0 截得线段的长为 4 2 的直线方程。 ︱7-(-13)︱ 解:∵两平行线间的距离为: =4 3 2+4 2 ∴所求直线与平行线的夹角为 45 0,设其斜率为 k,则: 3 k-4 ︱ 3 ︱= 1 1+4 k 1 解得 k = -7 或 k = 7

1 所求直线方程为:y-1 = 7(x-1) 或 y-1 = -7 (x-1) 即:7x-y-6 = 0 或 x+7y-8 = 0 例 32:求经过两已知直线 l1:x+3y+5 = 0 和 l2:x-2y+7 = 0 的交 点及点 A(2,1)的直线 l 的方程。 略解:x+3y+5+λ(x-2y+7) = 0 10 将 A(2,1)代入得:λ=- 7 ∴l:3x-41y+35 = 0 例 33:设直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5 = 0,求证: 不论 m 为何值时,所给的直线经过一定点。 略证:方程化为 x-2y+5+m(2x+3y-18)= 0
?x-2y+5 = 0 ∴ ? ?2x+3y-18 = 0

得(3,4)


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