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对函数概念教学的几点思考


对函数概念教学的几点思考
涉县第一中学 张建军

摘要: 函数的概念及相关内容是高中和职业类教材中非常重要的部分,

许多学生认为这些内容比较抽象、难懂、图像多,方法灵活多样。以 致部分学生对函数知识产生恐惧感。 就教学过程中学生的反应和自己 的反思,浅淡几点自己的看法。

关键词:函数;对应;映射;数形结合<

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要把握函数的实质 17世纪初期,笛卡尔在引入变量概念之后,就有了函数的思想,

把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹,欧拉在1734年首次用 f(x) 作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。 变量说的定义是:设 x、y 是两个变量,如果当变量 x 在实数的某一 范围内变化时,变量 y 按一定规律随 x 的变化而变化。我们称 x 为自 变量,变量 y 叫变量 x 的函数,记作 y=f(x)。初中教材中的定义为: 如果在某个变化过程中有两个变量 x、y,并且对于 x 在某个范围内 的每一个确定的值,按照某个对应法则,y 都有唯一确定的值与之对 应,那么 y 就是 x 的函数,x 叫自变量,x 的取值范围叫函数的定义 域,和 x 的值对应的 y 的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域。 它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化,它致命的弊端就 是对函数的实质——对应缺少充分地刻画,以致不能明确函数是 x、

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y 双方变化的总体,却把 y 定义成 x 的函数,这与函数是反映变量间 的关系相悖,究竟函数是指 f ,还是 f(x),还是 y=f(x)?使学生不易 区别三者的关系。 19世纪70年代集合论问世后,明确把集合到集合的单值对应称 为映射,并把:“一切非空集合到数集的映射称为函数”,函数是映射 概念的推广。对应说的优点有:①它抓住了函数的实质——对应,是 一种对应法则。②它以集合为基础,更具普遍性。③它将抽像的知识 以模型并赋予生活化, 比如: 某班每一位同学与身高 (实数) 的对应; 某班同学在某次测试的成绩的对应; 全校学生与某天早上吃的馒头数 的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划,它们 相互独立,缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。 2 加强数形结合 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形 成方法和理论,并进行广泛应用的过程。高中研究的函数主要是幂函 数、指数函数、对数函数和三角函数,对每一类函数都是利用其图像 来研究其性质的,作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教 学要做到学生心中有形, 函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的 佛像,只要心中有形,函数性质就比较直观,处理问题时就会得心应 手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函
47 | ,t=0时, 4 1 x=-3或 x=4, 知 t 函数的图像是变形后的抛物线, 其对称轴为 x= 与 2

数 y ? log0.5 | x 2 ? x ? 12 | 单调区间,令 t= | x 2 ? x ? 12 |?| ( x ? ) 2 ?

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x 轴的交点是 x=-3或 x=4并开口向上,其 x∈(-3,4)的部分由 x 轴
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下方翻转到 x 轴上方,再考虑对数函数性质即可。又如:判定方程
3x 2 ? 6 x ? 1 的实数根的个数,该方程实根个数就是两个函数 x 1 y ? 3x 2 ? 6 x与y ? 图像的交点个数,作出图像交点个数便一目了然。 x

3 将映射概念下放 就前面三种函数概念而言,能提示函数实质的只有“对应说”,如 果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义,可有以下优 点:⑴体现数学知识的系统性,也显示出时代信息,为学生今后的学 习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性,函数是刻画现实世界 数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化,替换后学生会感到 函数概念不再那么抽像难懂,好像伸手会触摸到一样,身边到处都有 函数。学生就会感到函数不再那么可怕,它无非是一种映射。只需将 集合论的初步知识下放一些即可,学生完全能够接受,因为从小学第 一学段就已接触到集合的表示方法,第二学段已接触到集合的运算, 没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点,当时不 也有人得出反对意见吗?可现在不也下放到了小学吗?如果能下放 到初中,就使得知识体系更完备,衔接更自然,学生易于接受,学生 就不会提出“到底什么是函数?”这样的问题。 4 区分函数与方程 尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系, 可函数反映的是变 量和变量之间的关系,强调的是一个变量随另一个变量的变化情况, 从函数的角度来看,考虑的是 x 和 y 在各自取值范围内,彼此间怎样 相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系,等式 F(x,
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y)=0是一个方程,只有在一定条件下才能确定为一个函数,从方程 的角度来看,考虑的是 x 和 y 选取哪些数值时才能使等式成立,另一 方面, 如果变量 x 和 y 的函数关系可以用解析式 y=f(x)表示, 那就得 到一个方程 y-f(x)=0,它们是可以互相转化的, 有时用方程知识去研 究函数,也常用函数知识去研究方程。

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