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数学(基础模块)下册电子教案


【课题】 6.1
【教学目标】 知识目标: (1)了解数列的有关概念;

数列的概念

(2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式. 能力目标: 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力. 【教学重点】 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项. 【教学难点】 根据数列的前若干项写出它的一

个通项公式. 【教学设计】 通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列.讲解 数列的通项(一般项)和通项公式. 从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数.学生往往 不易理解什么是“一定次序”. 实际上, 不论能否表述出来, 只要写出来, 就等于给出了“次 序”,比如我们随便写出的两列数:2,1,15,3,243,23 与 1,15,23,2,243,3,就 都是按照“一定次序”排成的一列数, 因此它们就都是数列, 但它们的排列“次序”不一样, 因此是不同的数列. 例 1 和例 3 是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项;后者是利用通项公式判 断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用. 例 2 是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系,不能泛泛而谈, 采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6.1 数列的概念. *创设情境 兴趣导入 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

-1-

教 过

学 程

教师 行为 播放 (1 ) 课件

学生 行为 观看 课件

教学 意图 从实 例出 发使

时 间

将正整数从小到大排成一列数为 1,2,3,4,5,?. 将 2 的正整数指数幂从小到大排成一列数为
2, 2 , 2 , 2 , 2 ,? .
2 3 4 5

质疑 (2 )

思考

学生 自然 的走 向知 识点

当 n 从小到大依次取正整数时, cos n? 的值排成一列数为 -1,1,-1,1,?. (3 )

取无理数 ? 的近似值(四舍五入法) ,依照有效数字的个 数,排成一列数为 3,3.1,3.14,3.141,3.1416,?. (4) 自我 引导 分析 分析

5

*动脑思考 探索新知 【新知识】 象上面的实例那样,按照一定的次序排成的一列数叫做数 列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,按照自 左至右的排序, 各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项 (或 首项) ,第 2 项,第 3 项,?,第 n 项,?,其中反映各项在 数列中位置的数字 1,2,3,?,n,分别叫做对应的项的项数. 只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做 无穷数列. 【小提示】 数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念.如 数列(2)中,第 3 项为 23 ,这一项的项数为 3. 【想一想】 上面的 4 个数列中,哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 【新知识】 由于从数列的第一项开始,各项的项数依次与正整数相对 仔细 分析 理解 引导 总结 归纳 思考 带领 学生 分析

-2-

教 过

学 程

教师 行为 讲解 关键 词语

学生 行为 记忆

教学 意图 式启 发学 生得 出结 果

时 间

应,所以无穷数列的一般形式可以写作

a1 , a2 , a3 ,?, an, . (n ? N ?) ?
简记作{ an }.其中,下角码中的数为项数,a1 表示第 1 项,a2 表示第 2 项,?.当 n 由小至大依次取正整数值时, an 依次可 以表示数列中的各项,因此,通常把第 n 项 an 叫做数列{ an } 的通项或一般项. *运用知识 强化练习 1.说出生活中的一个数列实例. 2.数列“1,2,3,4,5”与数列“5 ,4, 3,2,1 ” 是否为同一个数列? 3.设数列 {an } 为“-5,-3,-1,1,3, 5,?” ,指出其中 a3 、

10

及时 了解 学生 提问 巡视 指导 思考 口答 知识 掌握 得情 况 15

a6 各是什么数?
*创设情境 兴趣导入 【观察】 6.1.1 中的数列(1)中,各项是从小到大依次排列出的 正整数.
a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,?,

质疑

思考

引导 启发 引导 分析 参与 分析 学生 思考

可以看到,每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用
an ? n (n ? N* )

表示.利用这个规律,可以方便地写出数列中的任意一项,如
a11 ? 11 , a20 ? 20 .

6.1.1 中的数列(2)中,各项是从小到大顺次排列出的 2 的正整数指数幂.
a1 ? 2 , a2 ? 22 , a3 ? 23 ,?,

-3-

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

可以看到,各项的底都是 2,每一项的指数恰好是这项的项 数.这个规律可以用
an ? 2n (n ? N* )

25 表示,利用这个规律,可以方便地写出数列中的任意一项,如
a11 ? 211 , a20 ? 220 .

*动脑思考 探索新知 【新知识】 一个数列的第 n 项 an ,如果能够用关于项数 n 的一个式 子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 仔细 数列(1)的通项公式为 an ? n ,可以将数列(1)记为数 列{n};数列(2)的通项公式为 an ? 2n ,可以将数列(2)记 为数列 {2 } . *巩固知识 典型例题 例1 设数列{ an }的通项公式为
an ? 1 , 2n
n
1

总结 归纳

思考 归纳

带领 学生 总结

理解 记忆

分析 讲解 关键 词语

35

说明 强调

观察

写出数列的前 5 项. 分析 知道数列的通项公式,求数列中的某一项时,只需

引领

思考

将通项公式中的 n 换成该项的项数,并计算出结果. 解
a5 ? a1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ;a2 ? 2 ? ;a3 ? 3 ? ;a4 ? 4 ? ; 1 4 8 16 讲解 2 2 2 2 2

主动 求解 通过 例题 进一 步领

1 1 . ? 5 32 2

说明

例 2 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项 公式. (1)5,10,15,20 , ? ; (2)

1 1 1 1 , , , , ?; 2 4 6 8 引领

会 观察

-4-

教 过

学 程

教师 行为 分析

学生 行为

教学 意图

时 间

(3)?1,1,?1,1,?. 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系,探求用式 子表示这种关系. 解 (1)数列的前 4 项与其项数的关系如下表: 项数 n 项 an 关系 1 5 2 10 3 15 4 20

5 ? 5 ?1

10 ? 5 ? 2 15 ? 5 ? 3 20 ? 5 ? 4

由此得到,该数列的一个通项公式为
an ? 5n .

(2)数列前 4 项与其项数的关系如下表: 序号 项 an 1
1 2

注意 观察 4
1 8 1 1 ? 8 2? 4

2
1 4

3
1 6

学生 是否 理解 知识 点

关系

1 1 ? 2 2 ?1

1 1 ? 4 2? 2

1 1 ? 6 2?3

由此得到,该数列的一个通项公式为
an ? 1 . 2n

(3)数列前 4 项与其项数的关系如下表: 序号 项 an 关系 1 ?1
( ?1)1

2 1
( ?1) 2

3 ?1
( ?1)3

4 1
( ?1) 4

由此得到,该数列的一个通项公式为
an ? (?1)n .

强调 含义

思考 求解

-5-

教 过 【注意】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 反复 强调

时 间

由数列的有限项探求通项公式时,答案不一定是唯一 的.例如, an ? (?1)n 与 an ? cos n? 都是例 2(3)中数列“?1, 1,?1,1,?. ”的通项公式. 【知识巩固】 例 3 判断 16 和 45 是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指 出是第几项. 思考 分析 如果数 a 是数列中的第 k 项,那么 k 必须是正整数, 并且 a ? 3k ? 1 . 解 数列的通项公式为 an ? 3n ? 1 . 将 16 代入数列的通项公式有 求解 说明 领会

16 ? 3n ? 1 ,
解得
n ? 5 ? N* .

所以,16 是数列 {3n ? 1} 中的第 5 项. 将 45 代入数列的通项公式有

45 ? 3n ? 1 ,
解得
44 n? ? N* , 3

50

所以,45 不是数列 {3n ? 1} 中的项. *运用知识 强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式,写出数列的前 4 项: (1) a n ? 3 ? 2 ;
n

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

(2) a n ? ( ?1) ? n .
n

2. 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公 式: (1)?1,1,3,5,?;

提问 巡视

动手 求解

自我 发现 归纳

指导 1 1 1 1 (2) ? , , ? , ,?; 3 6 9 12
-6-

教 过 (3)
1 3 5 7 , , , ,?. 2 4 6 8

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

3. 判断 12 和 56 是否为数列 {n 2 ? n} 中的项,如果是,请 65 指出是第几项. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 数列、项、项数分别是如何定义的? 结论: 按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个 数叫做数列的项.从开始的项起,按照自左至右排序,各项按 照其位置依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,第 3 项,?,第 n 项,?,其中反映各项在数列中位置的数字 1,2, 3,?,n,分别叫做各项的项数. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 判断 22 是否为数列 {n2 ? n ? 20} 中的项, 如果是,请指出是 第几项. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.1 A 组(必做) ;6.1 B 组 (选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的数列实例 90 说明 记录 分层 次要 求 提问 反思 检验 学生 学习 巡视 指导 动手 求解 效果 85 引导 回忆 归纳 强调 75 质疑 回答 及时 了解 学生 知识 掌握 情况

【教师教学后记】

-7-

项目

反思点 学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活;

学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面.

【课题】 6.2
【教学目标】 知识目标: (1)理解等差数列的定义; (2)理解等差数列通项公式. 能力目标:

等差数列(一)

通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力. 【教学重点】 等差数列的通项公式. 【教学难点】 等差数列通项公式的推导. 【教学设计】
-8-

本节的主要内容是等差数列的定义、 等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、 等 差数列的通项公式;难点是通项公式的推导.等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特 点: a n ?1 ? a n ? d (常数).例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义. 教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳 方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例 2 是求等差数列 的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四 个量: a1 , d , n, a n , 只要知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6.2 等差数列. *创设情境 兴趣导入 【观察】 将正整数中 5 的倍数从小到大列出,组成数列: 5,10,15,20,?. 将正奇数从小到大列出,组成数列: 1,3,5,7,9,?. 观察数列中相邻两项之间的关系, 发现:从第 2 项开始,数列(1)中的每一项与它前一项的差 都是 5;数列(2)中的每一项与它前一项的差都是 2.这两个 引导 数列的一个共同特点就是从第 2 项开始,数列中的每一项与它 前一项的差都等于相同的常数. 分析 自我 分析 (2) (1) 质疑 思考 播放 课件 观看 课件 介绍 了解 从实 例出 发使 学生 自然 的走 向知 识点 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

引导 式启 发学 生得 出结 果 5

*动脑思考 探索新知

-9-

教 过

学 程

教师 行为 总结 归纳

学生 行为 思考

教学 意图 带领 学生 分析

时 间

如果一个数列从第 2 项开始,每一项与它前一项的差都等 于同一个常数,那么,这个数列叫做等差数列.这个常数叫做 等差数列的公差,一般用字母 d 表示. 由 定 义 知 , 若 数 列 ?a n ? 为 等 差 数 列 , d 为 公 差 , 则
an?1 ? an ? d ,即

仔细 分析 讲解 关键

理解

记忆

an?1 ? an ? d

(6.1)

词语

10 *巩固知识 典型例题 例1 已知等差数列的首项为 12, 公差为?5, 试写出这个 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会等 差数 讲解 说明 主动 求解 列通 项公 式 45

数列的第 2 项到第 5 项. 解 由于 a1 ? 12, d ? ?5 ,因此

a2 ? a1 ? d ? 12 ? ?? 5? ? 7 ;
a3 ? a2 ? d ? 7 ? ?? 5? ? 2 ; a4 ? a3 ? d ? 2 ? ?? 5? ? ?3; a5 ? a 4 ? d ? ?3 ? ?? 5? ? ?8.
*运用知识 强化练习 1. 已知 ?a n ? 为等差数列, a5 ? ?8 ,公差 d ? 2 ,试写出

及时 了解 提问 巡视 动手 求解 学生 知识 掌握 得情 况 25

这个数列的第 8 项 a8 . 2. 写出等差数列 11,8,5,2,?的第 10 项.

指导

*创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例 1 中数列的第 101 项吗? 质疑 思考

从实 际事 例使

- 10 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 学生

时 间

显然,依照公式(6.1)写出数列的第 101 项,是比较麻烦 的,如果求出数列的通项公式,就可以方便地直接求出数列的 第 101 项. 引导 分析 参与 分析

自然 的走 向知 识点

30

*动脑思考 探索新知 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35

a1 ? a1 ,

a2 ? a1 ? d ,

a3 ? a2 ? d ? ?a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , 分析 a4 ? a3 ? d ? ?a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d , 讲解
... ... 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
an ? a1 ? ? n ? 1? d .

关键 词语 (6.2)

知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 和 d ,利用公式(6.2) ,可以 直接计算出数列的任意一项. 在例1的等差数列 {an } 中, a1 ? 12 , d ? ?5 ,所以数列的 通项公式为
an ? 12 ? (n ? 1)(?5) ? 17 ? 5n ,

引导 数列的第 101 项为
a101 ? 17 ? 5 ? 101 ? ?488 .

启发 学生 思考 求解

【想一想】 等差数列的通项公式中,共有四个量: a n 、 a1 、 n 和 d , 只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法?
- 11 -

教 过 *巩固知识 典型例题 例 2 求等差数列

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

说明 . ? 1,5,11,17, .. 强调

观察

通过 例题 进一 步领

的第 50 项. 解 式为 由于 a1 ? ?1, d ? a2 ? a1 ? 5 ? ?? 1? ? 6, 所以通项公 引领 思考



an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?1 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 7,

讲解 说明

主动 求解 注意 观察

即 故

a n ? 6n ? 7.

学生 是否

a50 ? 6 ? 50 ? 7 ? 293 .
例3 解 在等差数列 ?a n ? 中, a100 ? 48, 公差 d ? 由于公差 d ?

引领

观察

理解 知识 点 45

1 , 求首项 a1. 3

分析

1 , 故设等差数列的通项公式为 3
an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 3

强调 含义

思考 求解

由于 a100 ? 48 ,故
1 48 ? a1 ? (100 ? 1) ? , 3

反复 强调

解得
a1 ? 15.

说明

领会

【小提示】 本题目初看是知道 2 个条件, 实际上是 3 个条件: ? 100 , n
an ? 48, d ?

1 . 3

思考 求解

例4

小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好

构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为 120 岁,爷爷的年龄 比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄.
- 12 -

教 过 分析

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间 50

知道三个数构成等差数列,并且知道这三个数的

和,可以将这三个数设为 a ? d , a , a ? d ,这样可以方便地求 出 a ,从而解决问题. 解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 a ? d , a , a ? d , 其中 d 为公差 则

??a ? d ? ? a ? ?a ? d ? ? 120 , ? ? 4?a ? d ? ? 5 ? a ? d
解得

a ? 40, d ? 25
从而

a ? d ? 15, a ? d ? 65.
答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 15 岁、40 岁和 65 岁. 【注意】 将构成等差数列的三个数设为 a ? d , a , a ? d ,是经常使 用的方法. *运用知识 强化练习 练习 6.2.2 1.求等差数列
2 8 ,1, ,?的通项公式与第 15 项. 5 5

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

2.在等差数列 ?a n ? 中, a5 ? 0 , a10 ? 10 ,求 a1 与公差 d . 3.在等差数列 ?a n ?中, a5 ? ?3 , a9 ? ?15 ,判断-48 是 否为数列中的项,如果是,请指出是第几项.

提问 巡视 指导

动手 求解

自我 发现 归纳

60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 等差数列的通项公式是什么? 质疑 小组 讨论 及时 了解 学生

- 13 -

教 过 结论: 等差数列的通项公式

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 知识

时 间

回答 归纳

掌握 情况

an ? a1 ? ? n ? 1? d .

强调

理解

以小组 讨论师

强化

生共同 归纳的 形式强 调重点 突破难 点

70

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 写出等差数列
7 1 3 , ,1, ,? 5 5 5 的通项公式,并求出数列的第 11 项.

引导

回忆

检验 学生 学习 效果 提问 反思

培养 学生

巡视 指导

动手 求解

总结 反思 学习 过程 的能 力 80

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.2(必做) ;学习指导 6.3(选 做) (3)实践调查:寻找生活中等差数列的实例 90 说明 记录 分层 次要 求

- 14 -

【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】 6.3
【教学目标】 知识目标: (1)理解等比数列的定义; (2)理解等比数列通项公式. 能力目标:

等比数列(一)

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力. 【教学重点】 等比数列的通项公式. 【教学难点】 等比数列通项公式的推导.
- 15 -

【教学设计】 本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等 比数列的通项公式;难点是通项公式的推导. 等比数列与等差数列在内容上相类似,要让学生利用对比的方法去理解和记忆,并弄 清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础,教学中要给以足够的 重视.同时要强调“等比”的特点:

a n ?1 ? q (常数). an

例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样,教材中等 比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法, 公式的正确性也应该用数学归纳法 加以证明,这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量: a1 , q ,

n , an ,

只有知道其中任意三个量, 就可以求出另外的一个量.教材中例 2、 例3都是这类问题.注意: 例 3 中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例 4 可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是

a , a, aq 比较好,因为这 q

样设了以后,这三个数的积正好等于 a , 很容易将 a 求出. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6.3 等比数列. *创设情境 兴趣导入 【观察】 某工厂今年的产值是 1000 万元,如果通过技术改造,在 今后的 5 年内,每年的产值都比上一年增加 10%,那么今年及 以后 5 年的产值构成下面的一个数列(单位:万元) :
1000, 1000 ? 1.1, 1000 ? 1.12 , 1000 ? 1.13 , 1000 ? 1.14 , 1000 ? 1.15.
- 16 -

3

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

介绍

了解

从实 例出 发使

0

播放 课件

观看 课件

学生 自然 的走

质疑

思考

向知 识点

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

不难发现,从第 2 项开始,数列中的各项都是其前一项的 1.1 倍, 即从第 2 项开始, 每一项与它的前一项的比都等于 1.1. *动脑思考 探索新知 【新知识】 如果一个数列从第 2 项开始,每一项与它前一项的比都等 于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做这 个等比数列的公比,一般用字母 q 来表示. 由定义知,若 ?a n ?为等比数列,q 为公比,则 a1 与 q 均不
a 为零,且有 n ?1 ? q ,即 an

引导 分析

自我 分析 5

总结 归纳

思考

带领 学生 分析

仔细 分析 讲解 关键 (6.5) 词语

理解

引导 记忆 式启 发学 生得 出结 果 10

an ?1 ? an ? q .

*巩固知识 典型例题 例1
a5 .

在等比数列 {an } 中,a1 ? 5 ,q ? 3 , a2 、a3 、a4 、 求

说明 强调

观察

通过 例题 进一 步领



引领

思考

a2 ? a1 ? q ? 5 ? 3 ? 15, a3 ? a2 ? q ? 15 ? 3 ? 45, a4 ? a3 ? q ? 45 ? 3 ? 135, a5 ? a4 ? q ? 135 ? 3 ? 405.
【试一试】 你能很快地写出这个数列的第9项吗? 讲解 说明 主动 求解



15

*运用知识 强化练习 练习 6.3.1 1.在等比数列 ?a n ?中, a 3 ? ?6 , q ? 2 ,试写出 a4 、 提问 动手 及时 了解 学生

- 17 -

教 过
a6 .

学 程

教师 行为 巡视 指导

学生 行为 求解

教学 意图 知识 掌握 得情 况

时 间

2.写出等比数列 3,?6,12,?24, ??的第5项与第 6 项.

25

*创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢? 质疑 思考 学生 自然 引导 分析 参与 分析 的走 向知 识点 *动脑思考 探索新知 与等差数列相类似,我们通过观察等比数列各项之间的关 系,分析、探求规律. 设等比数列 ?a n ?的公比为 q,则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35 30

a2 ? a1 ? q, a3 ? a2 ? q ? ? a1 ? q ? ? q ? a1 ? q 2 , a4 ? a3 ? q ? ? a1 ? q 2 ? ? q ? a1 ? q 3 ,
?? 【说明】
a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? q 0

依此类推,得到等比数列的通项公式:

(6.6)

知道了等比数列 ?an ? 中的 a1 和 q ,利用公式(6.6) ,可以 直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量: a n 、 a1 、 n 和 q , 只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法?
- 18 -

引导 启发 学生 思考 求解

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

*巩固知识 典型例题 说明 例 2 求等比数列 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领
1 a1 ? ?1 , q ? ? , 2

1 1 1 ? 1, ,? , ,? 2 4 8
的第 10 项. 解 由于 思考



故,数列的通项公式为

讲解 说明

主动 求解

? 1? an ? a1 ? q n ?1 ? ?1? ? ? ? ? 2?

n ?1

?1? ? ?1? (?1) n ?1 ? ? ? ?2?

n ?1

? (?1) n ?

1 , 2n ?1

所以
a10 ? (?1)10 1 2
10?1

?

1 . 512

1 例 3 在等比数列 ?a n ?中, a5 ? ?1 , a8 ? ? ,求 a13 . 8

45



由 a5 ? ?1, a8 ? ? 有

1 8

?1 ? a1 ? q 4 ,

(1) 引领 (2) 分析 观察 注意 观察 学生 强调 含义 思考 求解 是否 理解 知识 说明 领会 点

1 ? ? a1 ? q 7 , 8
(2)式的两边分别除以(1)式的两边,得

1 ? q3 , 8
由此得

q? 1 将 q ? 代人(1) ,得 2

1 . 2

a1 ? ?2 4 ,
所以,数列的通项公式为 思考 反复 强调
- 19 -

教 过

学 程
1 an ? ?24 ? ( )n ?1 . 2

教师 行为

学生 行为 求解

教学 意图

时 间



1 ?1? a13 ? a1 ? q ? ?2 ? ? ? ? ?2?8 ? ? . 256 ?2?
12 4

12

【注意】 本例题求解过程中,通过两式相除求出公比的方法是研究 等比数列问题的常用方法. 【想一想】 在等比数列 ?a n ?中, a7 ? 比较简单的方法? 【知识巩固】 例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的数 量恰好组成一个等比数列.已知他们三人一共钓了 14 条鱼, 而每个人钓鱼数量的积为 64. 并且知道,小强钓的鱼最多, 小明钓的鱼最少,问他们三人各钓了多少条鱼? 分析 知道三个数构成等比数列,并且知道这三个数的
1 1 , q ? .求 a3 时,你有没有 9 3

积,可以将这三个数设为 而解决问题. 解

a 引领 , a, aq ,这样可以方便地求出 a ,从 q 分析

观察

设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为

a , a, aq .则 强调 q
含义

思考 求解 注意 观察 学生

?a ? q ? a ? aq ? 14, ? ? ? a ? a ? aq ? 64. ? q ?
解得

?a ? 4, ? a ? 4, ? 1 或? ? ? q ? 2, ? q ? 2 . ?
- 20 -

是否 理解

教 过 当q ? 2时

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 知识 点

时 间

a 4 ? ? 2, aq ? 4 ? 2 ? 8, q 2
此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当q ?

50

1 时 2

a 4 1 ? ? 8, aq ? 4 ? ? 2, q 1 2 2
此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2. 由于小明钓的鱼最少,小强钓的鱼最多,故小明钓了 2 条 鱼,小刚钓了 4 条鱼,小强钓了 8 条鱼. 【注意】

a 将构成等比数列的三个数设为 , a, aq ,是经常使用的方 说明 q
法. *运用知识 强化练习 1.求等比数列

领会 思考

反复 强调

2 ,2,6,? .的通项公式与第 7 项. 3
1 , a5 ? ?5 , 判断 ? 125 是否 25

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

2.在等比数列 ?a n ?中, a2 ? ?

提问 巡视 指导

动手 求解

为数列中的项,如果是,请指出是第几项.

自我 发现 归纳 60

*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 等比数列的通项公式是什么 结论: 归纳
n ?1

质疑 回答

及时 了解 学生 知识 理解 掌握 情况 强化 70

a n ? a1 ? q

.

强调

- 21 -

教 过 *归纳小结 强化思想

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 已知等比数列 {a n } 中, a 4 ? ?1, a 7 ? ? ,求 a11 .

引导

回忆

1 8

提问

反思

检验 学生

解答 1

由已知条件得
? a1q 3 ? ?1 ? ? 6 1 ? a1q ? ? 8 ?

学习 效果 巡视 指导 动手 求解

解方程组得 因此

a1 ? ?8 q ?

1 , 2

培养 学生 总结 反思 学习 过程 的能 力 80

1 1 . a11 ? ?8 ? ( )10 ? ? 2 128

解答 2

1 1 由 ? ? ?1q3 得 q ? .所以 8 2 1 1 1 . a11 ? (? ) ? ( )4 ? ? 8 2 128

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业: 教材习题 6. 组 3A (必做) 教材习题 6. ; 3B 组(选做) (3)实践调查:用等比数列的通项公式解决生活中的一个 问题 【教师教学后记】 项目 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 反思点 学生是否真正理解有关知识; 90 说明 记录 分层 次要 求

- 22 -

在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】7.1
【教学目标】 知识目标:

平面向量的概念及线性运算

(1)了解向量、向量的相等、共线向量等概念; (2)掌握向量、向量的相等、共线向量等概念. 能力目标: 通过这些内容的学习,培养学生的运算技能与熟悉思维能力. 【教学重点】 向量的线性运算. 【教学难点】 已知两个向量,求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件. 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车,产生运动的效果不同”的实际问题引入概念. 向量不同于数量,数量是只有大小的量,而向量既有大小、又有方向.教材中用有向

- 23 -

线段来直观的表示向量, 有向线段的长度叫做向量的模, 有向线段的方向表示向量的方向. 数 量可以比较大小,而向量不能比较大小,记号“a>b”没有意义,而“︱a︱>︱b︱”才是 有意义的. 教材通过生活实例,借助于位移来引入向量的加法运算.向量的加法有三角形法则与 平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上,通过向量的加法来定义的.即 a-b=a+(-b),它可以通 过几何作图的方法得到, a-b 可表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.作向量 即 减法时,必须将两个向量平移至同一起点. 实数 ? 乘以非零向量 a,是数乘运算,其结果记作 ? a ,它是一个向量,其方向与向量 a 相同, 其模为 a 的 ? 倍. 由此得到 a ∥ b ? a ? ?b . 对向量共线的充要条件, 要特别注意 “非 零向量 a、b”与“ ? ? 0 ”等条件. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 7.1 平面向量的概念及线性运算 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

*创设情境 兴趣导入 如图 7-1 所示,用 100N 的力,按照不同的方向拉一辆 车,效果一样吗?


播放 课件

观看 课件

从实 例出 发使

思考

学生 自然 的走

引导 分析 图 7-1 *动脑思考 探索新知 自我 分析

向知 识点 3

- 24 -

教 过 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量 叫做数量(标量) ,例如质量、时间、温度、面积、密度等.既 有大小,又有方向的量叫做向量(矢量) ,例如力、速度、位 移等. 平面上带有指向的线段(有向线段)叫做平面向量,线段 的指向就是向量的方向, 线段的长度表示向量的大小. 如图 7-2 所示,有向线段的起点叫做平面向量的起点,有向线段的终点 叫做平面向量的终点.以 A 为起点,B 为终点的向量记作
??? ? AB .也可以使用小写英文字母,印刷用黑体表示,记作 a;
? 手写时应在字母上面加箭头,记作 a .

总结 归纳

思考

带领 学生 分析

理解

仔细 分析 讲解 关键 词语 记忆

引导 式启 发学 生得 出结 果

B

a
A

图 7-2
??? ? 向量的大小叫做向量的模. 向量 a, AB 的模依次记作 a ,
???? ? AB .

10

模为零的向量叫做零向量.记作 0,零向量的方向是不确 定的. 模为 1 的向量叫做单位向量. *巩固知识 典型例题 例 1 一架飞机从 A 处向正南方向飞行 200km, 另一架飞机 从 A 处朝北偏东 45°方向飞行 200km, 两架飞机的位移相同 吗?分别用有向线段表示两架飞机的位移. 说明 强调 观察

- 25 -

教 过 解

学 程

教师 行为 引领

学生 行为

教学 意图 通过

时 间

位移是向量.虽然这两个向量的模相等,但是它们的

方向不同,所以两架飞机的位移不相同.两架飞机位移的有向 线段表示分别为图 7-3 中的有向线段 a 与 b. b A a 强调 含义 讲解 说明

思考

例题 进一 步领 会

主动 求解

13

图 7-3 *运用知识 强化练习 说出下图中各向量的模,并指出其中的单位向量 (小方格 为 1). N 及时 B M A L Z Q C D P F K G 18
图 7?4

E T K H 提问 巡视 指导 思考 口答

了解 学生 知识 掌握 得情 况

- 26 -

教 过 *创设情境 兴趣导入

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 从实

时 间

? ??? ? ???? 观察图 7?4 中的向量 AB 与 MN ,它们所在的直线平行,
? ??? ? ??? 两个向量的方向相同;向量 CD 与 PQ 所在的直线平行,两个

播放 课件

观看 课件

例出 发使 学生

质疑 向量的方向相反. 引导 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量.向 量 a 与向量 b 平行记作 a //b. 规定:零向量与任何一个向量平行. 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此 相互平行的向量又叫做共线向量. 【想一想】 图 7?4 中,哪些向量是共线向量? 仔细 分析 讲解 关键 词语 *动脑思考 探索新知 【新知识】
??? ? ???? ? 图 7?4 中的平行向量 AB 与 MN ,方向相同,模相等;平 ? ???? ??? 行向量 HG 与 TK ,方向相反,模相等.

自然 自我 分析 的走 向知 识点 20

总结 归纳

思考 归纳

带领 学生 总结

理解 记忆

23

思考 总结 归纳 思考 归纳 归纳

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素. 当向量 a 与 向量 b 的模相等并且方向相同时,称向量 a 与向量 b 相等,记 仔细 作 a = b .也就是说,向量可以在平面内任意平移,具有这种 性质的向量叫做自由向量. 与非零向量 a 的模相等,且方向相反的向量叫做向量 a 的 分析 讲解 关键 理解 记忆 理解 记忆

- 27 -

教 过 负向量,记作 ?a .

学 程

教师 行为 词语

学生 行为

教学 意图

时 间

规定:零向量的负向量仍为零向量.
???? ? ???? ? ??? ? ??? ? 显然,在图 7-4 中, AB = MN , GH = - TK .

28

*巩固知识 典型例题 例 2 在平行四边形 ABCD 中 (图 7-5) O 为对角线交点. ,
??? ? (1)找出与向量 DA 相等的向量;
???? (2)找出向量 DC 的负向量;
D O C

说明 强调

观察 通过 例题

思考

引领
A 图 7-5 B

主动 求解

进一 步领 注意 观察

??? ? (3)找出与向量 AB 平行的向量.

分析 要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等, 它们必须是方向相同,模相等;两个向量互为负向量,它们必 须是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反. 解 由平行四边形的性质,得

讲解 说明 观察

学生 是否

引领

思考 求解

理解 知识 点 反复 强调 33 +

? ??? ??? ? (1) CB = DA ; ??? ? ???? ??? ? ???? (2) BA = ? DC , CD ? ?DC ; ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? (3) BA // AB , DC // AB , CD // AB .

强调 含义 说明

领会 思考 求解

*运用知识 强化练习 1. 如图, ? ABC 中,D、E、F 分别是三边的中点,试写 出
??? ? ???? (1)与 EF 相等的向量; (2)与 AD 共线的向量.

启发
A D B E ( 练 习 题 第 1 题图 1.1.1 第 2 题图) F C A B F E D

思考 了解 可以 交给

引导

O C

学生 自我 发现

(图 1-8) 第 2 题图

2.如图,O 点是正六边形 ABCDEF 的中心,试写出
- 28 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 归纳

时 间

???? ???? ???? (1) OC 相等的向量;(2)OC 的负向量;(3) OC 与 与

提问 巡视 指导

动手 求解

38

共线的向量.

*创设情境 兴趣导入 王涛同学从家中(A 处)出发,向正南方向行走 500 m 到 达超市(B 处) ,买了文具后,又沿着北偏东 60°角方向行走 200 m 到达学校(C 处) (如图 7-6) .王涛同学这两次位移的 总效果是从家(A 处)到达了学校(C 处) .
A

播放 课件

观看 课件

从实 例出 发使 学生

质疑

自我 分析

自然 的走 向知

500m

C 200m

引导 分析

识点

B

图7-6

42 *动脑思考 探索新知
??? ? ???? ??? ? 位 移 AC 叫 做 位 移 AB 与 位 移 BC 的 和 , 记 作 ? ???? ??? ??? ? AC = AB + BC .
B a b A a a+b b C

图7-7

总结 归纳

思考 归纳

一般地, 设向量 a 与向量 b 不共线, 在平面上任取一点 A(如
??? ? ??? ? ???? 图 7-6),依次作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做向量 a 与向

带领 学生

量 b 的和,记作 a+b ,即
??? ? ??? ???? ? a+b = AB + BC = AC
- 29 -

(7.1)

总结

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方 法叫做向量加法的三角形法则. 观察图 7-7 可以看到:依照三角形法则进行向量 a 与向 量 b 的加法运算,运算的结果仍然是向量,叫做 a 与 b 的和向 量.其和向量的起点是向量 a 的起点,终点是向量 b 的终点. 【做一做】 给出两个不共线的向量 a 和 b,画出它们的和向量. 【想一想】 (1)a+b 与 b+a 相等吗?请画出图来说明. (2)如果向量 a 和向量 b 共线,如何画出它们的和向量? *动脑思考 探索新知
? ???? ??? 如图 7-9 所示, ABCD 为平行四边形,由于 AD = BC ,

理解 仔细 分析 讲解 关键 词语 记忆

50

根据三角形法则得 总结
D C

思考 归纳

? ??? ? ???? ??? ? ??? ???? AB + AD = AB + BC = AC

归纳

A 图 7-9

B

这说明,在平行四边形

带领 学生 总结

???? ??? ? ???? ABCD 中, AC 所表示的向量就是 AB 与 AD 的和.这种求和

方法叫做向量加法的平行四边形法则. 平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加 法具有以下的性质: (1)a+0 = 0+a = a; a+(?a)= 0; (2)a+b=b+a; (3) (a+b)+ c = a +(b+c) . 仔细 分析 讲解 关键 词语

理解 记忆

55

*巩固知识 典型例题

- 30 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

例 3 一艘船以 12 km/h 的速度航行,方向垂直于河岸,已 知水流速度为 5 km/h,求该船的实际航行速度. 解
??? ? 如图 7-10 所示, AB 表示船速,
D B

???? AC 为水流速度,由向量加法的平行四边形

说明 强调

观察

???? 法则, AD 是船的实际航行速度,显然

C

A 图 7-10

???? AD ?

??? 2 ???? 2 ? AB ? AC = 122 ? 52 =13.

又 tan ?CAD ?

12 2 ,利用计算器求得 ?CAD ? 67?23? . 5
思考 引领

即船的实际航行速度大小是 13km/h,其方向与河岸线(水 流方向)的夹角约 67?23? . *例 4 用两条同样的绳子挂一个物体(图 7-11) .设物

体的重力为 k,两条绳子与垂线的夹角为 ? ,求物体受到沿两 条绳子的方向的拉力 F1 与 F2 的大小. 分析 由于两条同 主动 讲解 说明 求解

样的绳子与竖直垂线所 成的角都是 ? ,所以
F1 ? F2 .解决问题不

F2

?

F1

注意 观察 引领 学生 观察 思考 求解 是否 理解 知识 点

考虑其它因素,只考虑 受力的平衡,所以
F1 ? F2 ? ?k .

k 图 7-11

分析

解 利用平行四边形法则,可以得到
F1 ? F2 ? 2 F1 cos? ? k ,

所以
F1 ? k 2cos ?

. 领会

- 31 -

教 过 【想一想】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

根据例题 4 的分析,判断在单杠上悬挂身体时(如图 7- 12),两臂成什么角度时,双臂受力最小?

讲解 说明 思考 求解 反复 强调 62 图 7-12 *运用知识 强化练习 练习 7.1.2 1. 如图,已知 a,b,求 a+b.

a

b b a (1) 第 1 题图 (图 1-15) (2)

启发 引导

思考 了解 可以 交给 学生

2.填空(向量如图所示) : (1)a+b =_____________ , (2)b+c =_____________ , (3)a+b+c =_____________ . 3.计算:
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1) AB + BC + CD ; (2) OB + BC + CA .

自我 发现 归纳 提问 巡视 指导 动手 求解 65

*创设情境 兴趣导入 在进行数学运算的时候,减去一个数可以看作加上这个数 的相反数. 质疑 引导 思考 参与

引导 启发 学生

- 32 -

教 过

学 程

教师 行为 分析

学生 行为 分析

教学 意图 思考

时 间 66

*动脑思考 探索新知 与数的运算相类似,可以将向量 a 与向量 b 的负向量的和 定义为向量 a 与向量 b 的差.即 a ?b = a+(?b).
??? ? ??? ? 设 a =OA ,b ? OB ,则
??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OA ? (?OB)= OA ? BO ? BO ? OA ? BA .

总结 归纳

思考 归纳



? ??? ??? ??? ? ? OA ?OB = BA

(7. 2)

观察图 7-13 可以得到:起点相同的两个向量 a、 b,其 差 a-b 仍然是一个向量,叫做 a 与 b 的差向量,其起点是减 向量 b 的终点,终点是被减向量 a 的终点.
a-b B b O 图7-13 a

带领 学生 仔细 总结 理解 记忆 68

A

分析 讲解 关键 词语

*巩固知识 典型例题 例5 已知如图 7-14(1)所示向量 a 、b ,请画出向量 强调
O a b A b B

a-b.

思考 求解 注意 观察

含义

a

(1)
图7-14

(2)

学生 是否 理解 领会 说明 知识 点



如图 7-14(2)所示,以平面上任一点 O 为起点,作

??? ? ??? ? ??? ? OA =a, OB =b,连接 BA,则向量 BA 为所求的差向量,即

??? ? BA = a-b .

- 33 -

教 过 【想一想】

学 程

教师 行为

学生 行为 思考 求解

教学 意图

时 间

当 a 与 b 共线时,如何画出 a-b . *运用知识 强化练习
??? ???? ? 1.填空: (1) AB ? AD =_______________,
??? ??? ? ? (2) BC ? BA =______________, ???? ??? ? (3) OD ?OA =______________.

70

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

2.如图,在平行四边形
??? ? ???? ABCD 中,设 AB = a, AD = b,
???? ??? ? 试用 a, b 表示向量 AC 、 BD 、

提问 巡视 指导

动手 求解 自我 发现 归纳 72

??? ? DB .

*创设情境 兴趣导入
???? 观察图 7-15 可以看出,向量 OC 与向量 a 共线,并且 ???? OC =3a.

质疑

思考 引导 启发 学生

a a O A a B 图 7?15 *动脑思考 探索新知 一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a,它 的模为 a C 引导 分析 参与 分析

思考

74

| ?a |?| ? || a |

(7.3)

若 | ? a |? 0,则当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同, 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反. 总结 思考 带领

- 34 -

教 过

学 程

教师 行为 归纳

学生 行为 归纳

教学 意图 学生 分析

时 间

由上面定义可以得到,对于非零向量 a、b,当 ? ? 0 时, 有 一般地,有 0a= 0, ? 0 = 0 . 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对 于任意向量 a, b 及任意实数 ?、? ,向量数乘运算满足如下的 法则:
1a ?1?    ? a ,?1? a ? ?a ; ?

a ∥ b ? a ? ?b

(7.4)

理解 记忆

? 2?    ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? ? a ?; ? ?? ? 3?    ? ? ? a ? ? a ? ? a; ??

?4?  ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b.
【做一做】 请画出图形来,分别验证这些法则. 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相 仔细 分析 理解 记忆 引导 启发 学生 得出 结论 78 *巩固知识 典型例题 例 6 在平行四边形 ABCD 中,O 为两对角线交点如图 7-
???? ???? ??? ? ???? 16, AB =a , AD =b,试用 a, b 表示向量 AO 、 OD .

类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形, 讲解 可直接应用于向量的运算中.但是,要注意向量的运算与数的 运算的意义是不同的. 关键 词语

分析 出

???? 1 ???? ???? 1 ??? ? 因为 AO ? AC , OD ? BD , 所以需要首先分别求 2 2 ???? ??? ? 向量 AC 与 BD .

强调 含义
图 7-16

思考 求解 注意

- 35 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 观察

时 间



???? ??? ? AC =a+b, BD =b ?a,

学生 是否 理解 领会 说明 知识 点

因为 O 分别为 AC,BD 的中点,所以
???? 1 ???? 1 1 1 AO ? AC ? (a+b)= a+ b, 2 2 2 2 ???? ? 1 1 ??? 1 1 OD = BD = (b ?a)=? a+ b. 2 2 2 2
1 1 1 1 例 6 中, a+ b 和? a+ b 都叫做向量 a, 的线性组 b 2 2 2 2 ???? ???? 合,或者说, AO 、 OD 可以用向量 a,b 线性表示.

思考 求解

一般地,? a+ ? b 叫做 a, b 的一个线性组合 (其中 ? , ? 均 为系数) .如果 l = ? a+ ? b,则称 l 可以用 a,b 线性表示. 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算. *运用知识 强化练习 1. 计算: (1)3(a ?2 b)-2(2 a+b) ; (2)3 a ?2(3 a ?4 b)+3(a ?b) .
??? ? ??? ? 1 2. a, b 不共线, 设 求作有向线段 OA , OA = (a+b) 提问 使 . 2 巡视

81

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

动手 求解

自我 发现 归纳 83

指导 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 向量、向量的模、向量相等是如何定义的? 质疑 结论: 当一种量既有大小,又有方向,例如力、速度、位移等, 这种量叫做向量(矢量) 归纳 ??? ? 向量的大小叫做向量的模.向量 a, AB 的模依次记作 a , 强调
???? ? AB .

回答

及时 了解 学生 知识 掌握 情况 85

a 与向量 b 的模相等并且方向相同时,称向量 a 与向量 b
- 36 -

教 过 相等,记作 a = b . *归纳小结 强化思想

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 计算: ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? (1) AB + BC + CD ; (2) OB + BC + CA .

引导

回忆

检验 提问 反思 学生 学习 巡视 指导 动手 求解 88 效果

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 7.1 A 组(必做) ;7.1 B 组 (选做) (3)实践调查:试着用向量的观点解释生活中的一些问题 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作; 说明 记录 分层 次要 求

- 37 -

在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】7.2 平面向量的坐标表示
【教学目标】 知识目标: (1)了解向量坐标的概念,了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示; (2)了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标: 培养学生应用向量知识解决问题的能力. 【教学重点】 向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【教学难点】 向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】 向量只有“模”与“方向”两个要素,为了研究方便,我们首先将向量的起点放置在 坐标原点(一般称为位置向量) .设 x 轴的单位向量为 i ,轴的单位向量为 j .如果点 A 的坐 标为( x , y ),则
??? ? OA ? xi ? yj ,

??? ? ??? ? 将有序实数对( x , y )叫做向量 OA 的坐标.记作 OA =( x , y ) .

例 1 是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题.要强调此时起点的位置.让学生认 识到,当向量的起点为坐标原点时,其终点的坐标就是向量的坐标.例 2 是关于“向量线性 运算的坐标表示”的知识巩固性例题.要强调与公式的对应. 在研究起点为坐标原点的向量的基础上,利用向量加法的三角形法则,介绍起点在任

- 38 -

意位置的向量的坐标表示, 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量 的坐标,由此得到公式(7.8).数值上可以简单记为:终点的坐标减去起点的坐标.例 3 是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题.要强调“终点的坐标减去起点 的坐标” . 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 7.2 平面向量的坐标表示 *创设情境 兴趣导入 【观察】 设平面直角坐标系中,x 轴的单位向量为 i, y 轴的单位向
??? ? 量为 j, OA 为从原点出发的向量,点 A 的坐标为(2,3)(图 7

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

介绍

了解

0

-17).则

质疑

思考 从实 例出 发使 学生 自然 的走

图 7-17
???? ???? ? OM ? 2i , ON ? 3 j .

引导 分析 自我 分析

向知 识点

由平行四边形法则知
??? ???? ???? ? ? OA ? OM ? ON ? 2i ? 3 j .

【说明】 可以看到,从原点出发的向量,其坐标在数值上与向量终点的

- 39 -

教 过 坐标是相同的. *动脑思考 探索新知 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间 5

思考 仔细 分析 讲解 理解

引导 式启 发学 生得 出结 果

设 i, j 分别为 x 轴、y 轴的单位向量,
???? ? (1)设点 M ( x, y ) ,则 OM ? xi + yj (如图 7-18(1)) ;

(2)设点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) (如图 7-18(2)) ,则 y M(x,y)

关键 词语 记忆

10

j O i (1) y B x

A j O

i

x

(2) 图 7-18
??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 i + y2 j ) ? ( x1i + y1 j ) ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j.

由此看到,对任一个平面向量 a,都存在着一对有序实数
( x, y ) , 使得

a ? xi ? yj .

有序实数对 ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标,记作
a ? ( x, y) .
- 40 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

??? ? 如图 7-17 所示,向量的坐标为 OA ? (2,3).

如图 7-18(1)所示,起点为原点,终点为 M ( x, y ) 的向量 的坐标为
???? ? OM ? ( x, y ).

如图 7-18(2)所示,起点为 A( x1 , y1 ), 终点为 B( x2 , y2 ) 的向 量坐标为
??? ? AB ? ( x2 ? x1,y2 ? y1 ).

(7.5)

*巩固知识 典型例题 例 1 如图 7-19 所示,用 x 轴与 y 轴上的单位向量 i、j 表示向量 a、b, 并写出它们的坐标. 解 因为
???? ? ???? a= OM + MA =5i+3j ,

说明 强调

观察 通过 例题 进一 思考 步领 会

所以 同理可得

a ? (5,3) . b ? (?4,3) .

引领

主动 讲解 说明 图 7-19 【想一想】
??? ? ???? ? 观察图 7-19, OA 与 OM 的坐标之间存在什么关系?

求解

例2 解

??? ??? ? ? , 已知点 P(2, ?1),Q(3, 2) ,求 PQ QP 的坐标. ??? ? PQ ? (3, 2) ? (2, ?1) ? (1,3),

- 41 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

??? ? QP ? (2, ?1) ? (3, 2) ? (?1, ?3).

15 及时 了解 提问 巡视 指导 思考 口答 学生 知识 掌握 得情 况 20

*运用知识 强化练习
??? ? 1. 点 A 的坐标为(-2,3) ,写出向量 OA 的坐标,并用 ??? ? i 与 j 的线性组合表示向量 OA .

2. 设向量 a ? 3i ? 4 j ,写出向量 a 的坐标.
??? ??? ? ? , 3. 已知 A,B 两点的坐标,求 AB BA 的坐标.

(1) A(5,3), B(3, ?1); (2) A(1, 2), B(2,1); (3) A(4,0), B(0, ?3). *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察图 7-20,向量
??? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? 质疑 OA ? (5,3) , OP ? (3,0) , OM ? OA ? OP ? (8,3) .可以看到,

思考

两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和.

引导 分析

参与 分析

引导 启发 学生 思考

图 7-20

27 *动脑思考 探索新知 【新知识】

- 42 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

设平面直角坐标系中, a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则
a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j )

总结
? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j .

思考 归纳 带领

归纳

所以
a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

(7.6)

学生 总结 仔细 理解 记忆 35

类似可以得到
a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

(7.7) (7.8)

分析 讲解 关键 词语

? a ? (? x1 , ? y1 ) .

*巩固知识 典型例题 例 3 设 a=(1,?2), b=(?2,3),求下列向量的坐标: (1) a+b , 解 (2) ?3 a, (3) 3 a ?2 b . 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会

(1) a+b=(1, ?2)+(?2,3)=(?1,1)

(2) ?3 a=?3×(1, ?2)=(?3,6) (3) 3 a ?2 b=3×(1, ?2) ? 2×(?2,3)=(3, ?6) ? (?4,6)=(7, ?12).

讲解 说明

主动 求解 45

*运用知识 强化练习 已知向量 a, b 的坐标,求 a+b、 a ?b、?2 a+3 b 的坐标. (1) a=(?2,3), b=(1,1); (2) a=(1,0), b=(?4, ?3); 启发 引导 思考 了解 及时 了解 学生 提问 巡视 指导 动手 求解 知识 掌握 得情

(3) a=(?1,2), b=(3,0).

- 43 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 况

时 间 55

*创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学习了公式(7.4) ,知道对于非零向量 a、b,当 引导 分析 思考 引导 启发 学生 思考 观察 思考 参与 分析 60 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 由 a ? ?b ,有
x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , 于是 x1? y2 ? ? x2 y1 ,即 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

? ? 0 时,有
a ∥ b ? a ? ?b

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢?

总结 归纳

思考 归纳

由此得到, 对非零向量 a、 b, a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当 设

仔细 分析 讲解

理解 记忆

带领 学生 总结 67

? ? 0 时,有
a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.

(7.9)

*巩固知识 典型例题 例 4 设 a ? (1,3), b ? (2,6) ,判断向量 a、 b 是否共线. 解 由于 3×2?1×6=0, 说明 强调 通过 例题 引领 分析 主动 思考 进一 步领 会 观察

故由公式(7.9)知, a ∥ b ,即向量 a、 b 共线.

- 44 -

教 过

学 程

教师 行为 讲解 说明

学生 行为 求解

教学 意图

时 间

70 *运用知识 强化练习 判断下列各组向量是否共线: (1) a=(2,3), b=(1, 启发 引导 思考 了解 及时 了解 学生 提问 巡视 指导 动手 求解 知识 掌握 得情 况 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 向量坐标的概念? 任意起点的向量的坐标表示? 共线向量的坐标表示? 结论: 一般地,设平面直角坐标系中,x 轴的单位向量为 i, y 轴 的单位向量为 j,则对于从原点出发的任意向量 a 都有唯一一 对实数 x、y,使得 a ? xi ? yj .有序实数对 ( x, y ) 叫做向量 a 的 坐标,记作
a ? ( x, y) .

3 ); 2

(2) a=(1, ?1) , b=(?2,2); (3) a=(2, 1) , b=(?1,2).

75

质疑

回答

及时 了解 学生 知识

归纳 强调

掌握 情况

向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起 点的向量的坐标. 对非零向量 a、 b,设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当 ? ? 0 时, 有
a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.

80

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 引导 回忆

- 45 -

教 过 *自我反思 目标检测

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 已知向量 a, b 的坐标,求 a+b、 a ? b、?2 a+3 b 的坐 标. a=(?2,3), b=(1,1);

提问

反思

检验 学生

巡视 指导

动手 求解

学习 效果 85

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 7.2 A 组(必做) ;7.2 B 组(选 做) (3)实践调查:寻找生活中的向量坐标实例 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践;
- 46 -

说明

记录

分层 次要 求

在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】 知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标: 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力. 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角. 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量, 而功是数量.因此,向量的内积又叫做数量积. 在讲述向量内积时要注意: (1)向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余 弦的乘积.其符号是由夹角决定; (2)向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中: (1)当<a,b>=0 时,a·b=|a||b|;当<a,b>= 180 时,a·b=-|a||b|.可以记忆为:两 个共线向量, 方向相同时内积为这两个向量模的积; 方向相反时内积为这两个向量模的积的 相反数. (2)|a|= a ? a 显示出向量与向量的模的关系,是得到利用向量的坐标计算向量模的 公式的基础; (3)cos<a,b>=
a ?b ,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基 | a || b |
- 47 ?

础; (4) “a·b=0 ? a ? b”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示 的重要基础. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入
F

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

介绍

了解

0

从实 例出 s 质疑 思考 发使 学生 自然

30?

O

图 7—21

的走 向知

如图 7-21 所示,水平地面上有一辆车,某人用 100 N 的 力,朝着与水平线成 30? 角的方向拉小车,使小车前进了 100 m.那么,这个人做了多少功? *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离 的乘积.如图 7-22 所示,设水平方向的单位向量为 i,垂直 方向的单位向量为 j,则 总结 归纳 思考 引导 分析 自我 分析

识点

5

带领 学生 分析

F ? x i + y j ? F sin 30? ? i ? F cos30? ? j ,
即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和, 垂直方向上没有 产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为 s,即

- 48 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

W=|F|cos 30? · |s|=100×

3 · 10=500 3 (J) 2

y F(x,y)

理解

j O i 图 7-22 x

这里,力 F 与位移 s 都是向量,而功 W 是一个数量,它 等于由两个向量 F,s 的模及它们的夹角的余弦的乘积,W 叫 做向量 F 与向量 s 的内 积,它是一个数量,又叫 做数量积. 如图 7-23,设有两
??? ? 个非零向量 a, b,作 OA
O 图 7-23 A

引导 仔细 分析 讲解 关键 记忆 式启 发学 生得 出结 果

a b
B

词语

??? ? =a, OB =b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b

的夹角,记作<a,b>. 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与 向量 b 的内积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos<a,b> (7.10)

15

上面的问题中,人所做的功可以记作 W=F·s. 由内积的定义可知 a·0=0, 0·a=0. 由内积的定义可以得到下面几个重要结果:

- 49 -

教 过

学 程
?

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

(1) 当<a,b>=0 时, b=|a||b|; a· 当<a,b>= 180 时, b a· =?|a||b|. (2) cos<a,b>=
a ?b . | a || b |

思考

(3) 当 b=a 时,有<a,a>=0,所以 a·a=|a||a|=|a|2, 即|a|= a ? a . (4) 当 ? a, b ?? 90? 时 , a ? b , 因 此 , a · b =
a ? b cos90 ? 0, 因此对非零向量 a,b,有
?

总结 归纳 带领 学生 分析 理解

a·b=0 ? a ? b. 可以验证,向量的内积满足下面的运算律: (1) a·b=b·a. (2) ( ?a )·b= ? (a·b)=a·( ? b). (3) (a+b)·c=a·c+b·c. 注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b) ·c. 请结合实例进行验证. *巩固知识 典型例题 例 1 已知|a|=3,|b|=2, <a,b>= 60? ,求 a·b. 解 a·b=|a||b| cos<a,b> =3×2×cos 60? =3. 说明 强调 仔细 分析 讲解 关键 词语

反复 强调 记忆 30

思考

注意 观察 学生 是否

例 2 已知|a|=|b|= 2 ,a·b= ? 2 ,求<a,b>. 解 由于 所以 *运用知识 强化练习 1. 已知|a|=7,|b|=4,a 和 b 的夹角为 60? ,求 a·b. 提问 思考

? 2 2 a ?b cos<a,b>= = =? . | a || b | 2 2? 2
0≤<a,b>≤ 180 ? , <a,b>= 135 .
?

引领

主动 求解

理解 知识 点 40

及时 了解 学生

- 50 -

教 过

学 程

教师 行为 巡视 指导

学生 行为 口答

教学 意图 知识 掌握 得情 况

时 间

2. 已知 a·a=9,求|a|. 3. 已知|a|=2,|b|=3, <a,b>= 30? ,求(2a+b)·b.

45 *动脑思考 探索新知 设平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),i,j 分别为 x 轴,y 轴上 的单位向量,由于 i⊥j,故 i·j =0,又| i |=|j|=1,所以 a·b=(x1 i+y1j)· (x2 i+y2j) = x1 x2 i ?i+ x1 y2 i ?j+ x2 y1 i ?j + y1 y2 j ?j = x1 x2 |j|2+ y1 y2 |j|2 = x1 x2+ y1 y2. 这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和, 总结 即 a·b= x1 x2+ y1 y2 (7.11) 归纳 思考 归纳

利用公式(7.11)可以计算向量的模.设 a=(x,y),则
a ? a ?a ?
x 2 ? y 2 ,即

带领 (7.12) 学生 总结

a ?

x2 ? y 2

由平面向量内积的定义可以得到,当 a、b 是非零向量时, cos<a,b>=
x1 x2 ? y1 y2 a ?b = . 2 | a || b | x1 ? y12 x2 2 ? y2 2

(7.13)

仔细 分析 讲解 关键 词语

理解 记忆

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于 a ? b ? a·b=0,由公式(7.11)可知 a·b=0 ? x1 x2+ y1 y2=0. 因此 a ? b ? x1 x2+ y1 y2=0. (7.14)

60

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂 直的问题.

- 51 -

教 过 *巩固知识 典型例题

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

例 3 求下列向量的内积: (1) a= (2,?3), b=(1,3); (2) a= (2, ?1), b=(1,2); (3) a= (4,2), b=(?2, ?3). 解 (1) a·b=2×1+(?3)×3=?7;

说明 强调

观察 讲解 说明

引领

思考

(2) a·b=2×1+(?1)×2=0; (3) a·b=2×(?2)+2×(?3)=?14. 例 4 已知 a=(?1,2),b=(?3,1).求 a·b, |a|,|b|, <a,b>. 解 a·b=(?1)( ?3)+2×1=5; |a|= a ? a ? (?1) 2 ? 22 ? 5 ; |b|= b ? b ? (?3) 2 ? 12 ? 10 ; 引领 cos<a,b>=
a ?b 5 2 = , ? 2 | a || b | 10 5

讲解 说明

主动 求解 注意 观察 学生 观察 是否 理解 知识 思考 点 求解

分析

所以 例5

<a,b>= 45? . 判断下列各组向量是否互相垂直: b=(6, 4); b=(1, ?2). 说明 强调 含义

(1) a=(?2, 3), (2) a=(0, ?1), 解

反复 领会 强调 70 思考 求解

(1) 因为 a·b=(?2)×6+3×4=0,所以 a ? b.

(2) 因为 a·b=0×1+(?1)×(?2)=2,所以 a 与 b 不垂 直. *运用知识 强化练习 1. 已知 a=(5, ?4),b=(2,3),求 a·b. 2. 已知 a=(1, 3 ),b=(0, 启发 引导

思考 了解

及时 了解 学生 知识

3 ),求<a,b>.

3. 已知 a=(2, ?3),b=(3,-4),c=(?1,3),求 a·(b+c). 4. 判断下列各组向量是否互相垂直: 提问 动手

掌握

- 52 -

教 过

学 程

教师 行为 巡视 指导

学生 行为 求解

教学 意图 得情 况

时 间

(1) a=(?2, ?3),b=(3, ?2); (2) a=(2,0),b=(0, ?3); (3) a=(?2,1),b=(3,4). 5. 求下列向量的模: (1) a=(2, ?3), (2) b=(8, 6 ). *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 平面向量内积的概念、几何意义? 结论: 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与 向量 b 的内积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos<a, b> (7.10)

80

及时 质疑 回答 了解 学生 知识 掌握 归纳 强调 情况

a· 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投 b 影的乘积. 83 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 1.已知 a=(5, ? 4),b=(2,3),求 a·b. 2.已知 a=(2, ?3),b=(3, ?4),c=(?1,3),求 a·(b+c). *继续探索 活动探究 (1)读书部分:阅读教材 (2)书面作业:教材习题 7.3 A 组(必做) ;7.3 B 组(选 做) (3)实践调查:编写一道向量内积问题并解答. 90 【教师教学后记】
- 53 -

引导

回忆

提问

反思

检验 学生

巡视 指导

动手 求解

学习 效果 88

说明

记录

分层 次要 求

项目

反思点 学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活;

学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】8.1 两点间的距离与线段中点的坐标 【教学目标】 知识目标: 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式; 能力目标: 用“数形结合”的方法,介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力. 【教学重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【教学难点】 两点间的距离公式的理解

- 54 -

【教学设计】 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式,教材采用“知识回顾”的方式 给出这两个公式. 讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解, 但讲解的重点 应放在公式的应用上. 例 1 是巩固性练习题.题目中,两个点的坐标既有正数,又有负数.讲授时,要强调两 点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况. 例 2 是中点公式的知识巩固题目.通过连续使用公式(8.2) ,强化学生对公式的理解与 运用. 例 3 是本节两个公式的综合性题目,是知识的简单综合应用.要突出 “解析法” ,进行 数学思维培养. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 8.1 两点间的距离与线段中点的坐标 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 平面直角坐标系中,设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,则 1 质疑 思考 启发 学生 思考 引导 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 总结 思考 带领 学生 15 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

???? ? P P2 ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . 1

???? ? 我们将向量 P P2 的模,叫做点 P 、 P2 之间的距离,记作 归纳 1 1

- 55 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 分析

时 间

P P2 ,则 1
???? ? ???? ???? ? ? | P P2 |? P P2 ? P P2 ?P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 1 1 1 1

记忆 25

(8.1) *巩固知识 典型例题 例 1 求 A(?3,1) 、B(2,?5)两点间的距离. 解 A、B 两点间的距离为
2

说明 强调

观察

| AB |? (?3 ? 2) 2 ? ?1 ? (?5) ? ? 61

通过 例题 引领 思考 进一 步领 会 讲解 第 1 题图 说明 主动 求解

30 *运用知识 强化练习 1.请根据图形,写出 M、N、P、Q、R 各点的坐标. 提问 巡视 2. 在平面直角坐标系内, 描出下列各点: A(1,1) 、B(3, 4) 、 指导
C (5,7) .并计算每两点之间的距离.

思考 口答

反复 强调 38

*创设情境 兴趣导入 【观察】 练习 8.1.1 第 2 题的计算结果显示,
| AB |?| BC |? 1 | AC | . 2

质疑

思考 引导 启发 学生

这说明点 B 是线段 AB 的中点,而它们三个点的坐标之间 恰好存在关系

引导 分析

参与 分析

思考

- 56 -

教 过
3?

学 程
1? 5 1? 7 , 4? 2 2

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

43

*动脑思考 探索新知 【新知识】 设线段的两个端点分别为 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,线段的

???? ? 中点为 M ( x0 , y0 ) (如图 8-1) ,则 AM ? ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ), ???? MB ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), 由 于 M 为 线 段 AB 的 中 点 , 则
???? ???? ? AM ? MB,


总结 归纳

思考 归纳

带领 学生 总结

( x0 ? x1, y0 ? y1 ) ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), 即
解得 x0 ?

? x0 ? x1 ? x2 ? x0 , ? ? y0 ? y1 ? y2 ? y0 ,
y

x1 ? x2 y ?y , y0 ? 1 2 . 2 2

仔细 分析 讲解

理解 记忆

B(x2, y2) M(x0, y0) A(x1, y1)

关键 词语

O

x

52

图 8-1 一般地,设 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点,则 1 线段 P P2 中点 P ( x0 , y0 ) 的坐标为 1 0
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2

(8.2)

*巩固知识 典型例题 例 2 已知点 S(0,2) 、点 T(?6,?1) ,现将线段 ST 四 等分,试求出各分点的坐标. 分析 如图 8-2 所示, 首先求出线段 ST 的中点 Q 的坐标,

然后再求 SQ 的中点 P 及 QT 的中点 R 的坐标.
- 57 -

教 过 解

学 程

教师 行为 说明 强调

学生 行为

教学 意图

时 间

设线段 ST 的中点 Q 的坐标为 ( xQ , yQ ) ,

观察 通过

则由点 S(0,2) 、点 T(?6,?1)得
xQ ? yQ ? 0 ? (?6) ? ?3 , 2 2 ? (?1) 1 ? . 2 2

引领 思考

例题 进一 步领 会

即线段 ST 的中点为 讲解
1 Q ? 3, ) . ( 2

说明 图 8-2

主动 求解

同理,求出线段 SQ 的
3 5 9 1 中点 P ( ? , ) ,线段 QT 的中点 R ? , ? ) . ( 2 4 2 4 3 5 1 9 1 故所求的分点分别为 P ? , ) Q ? 3, ) R ? , ? ) 、( 、( . ( 2 4 2 2 4

例 3 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(1,0) 、B(?2,1) 、 (0,3) , C 试求 BC 边上的中线 AD 的长度. 解
C (0,3) 得

注意 观察 引领 分析 观察

设 BC 的中点 D 的坐标为 ( xD , yD ) ,则由 B(?2,1) 、
(?2) ? 0 1? 3 xD ? ? ?1 , yD ? ? 2, 2 2
2 2

学生 是否 理解 知识 65



| AD |? (?1 ? 1) ? (2 ? 0) ? 2 2,

说明 思考 求解



即 BC 边上的中线 AD 的长度为 2 2 . *运用知识 强化练习 1.已知点 A(2,3) 和点 B(8, ?3) ,求线段 AB 中点的坐标. 2. 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2, 2) 、B(?4,6) 、C (?3, ?2) , 求 AB 边上的中线 CD 的长度. 3.已知点 Q(4, n) 是点 P(m,2) 和点 R(3,8) 连线的中点,求 m 与 n 的值. 提问 巡视 指导 启发 引导

思考 了解 进一 步领 动手 求解 会知 识点 75

- 58 -

教 过 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题:

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

两点间的距离公式、线段的中点坐标公式? 结论: 设平面直角坐标系内任意两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) , 1 质疑 则 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的距离为(证明略) 1
| P P2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 . 1

回答

及时 了解 学生 知识

设 P ( x1 , y1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点, 则线段 P P2 1 1 中点 P ( x0 , y0 ) 的坐标为 0
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2

归纳 强调

掌握 情况

80

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 已知点 M (0, ?2) ,点 N (?2, 2) ,求线段 MN 的长度,并写 出线段 MN 的中点 P 的坐标. 巡视 指导 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 86 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业: 教材习题 8. A 组 1 (必做) 教材习题 8. ; 1 B 组(选做) (3)实践调查:编写一道关于求中点坐标的问题并求解. 90 【教师教学后记】 项目
- 59 -

引导

回忆

说明

记录

分层 次要 求

反思点

学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】8.2
【教学目标】 知识目标: (1)了解直线与方程的关系;

直线的方程(二)

(2)掌握直线的点斜式方程、斜截式方程,理解直线的一般式方程. 能力目标: 培养学生解决问题的能力与计算能力. 【教学重点】 直线方程的点斜式、斜截式方程. 【教学难点】 根据已知条件,选择直线方程的适当形式求直线方程. 【教学设计】
- 60 -

采用“问题——分析——联系方程”的步骤,从学生熟知的一次函数图像入手,分析图 像上的坐标与函数解析式的关系, 把函数的解析式看作方程, 图像是具有某种特征的平面点 集(轨迹) .很自然地建立直线和方程的关系,把函数的解析式看作方程是理解概念的关键. 导出直线的点斜式方程过程, 是从直线与方程的关系中的两个方面进行的. 首先是直线 上的任意一点的坐标都是方程的解,然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上. 直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例. 直线的斜截式方程与一次函数的解析式 具有相同的形式.要强调公式中 b 的意义. 直线的一般式方程的介绍,分两个层次来处理也是唯一的.首先,以问题的形式提出前 面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式.然后按照二元一次方程
Ax ? By ? C ? 0 的系数的不同取值,进行讨论.对 y ? ?

C C 与 x ? ? 只是数形结合的进行说 B A

明.这种方式比较适合学生的认知特征. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 8.2 直线的方程(二) *创设情境 兴趣导入 【问题】 我们知道,方程 x ? y ? 1 ? 0 的图像是一条直线,那么方程 的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢? 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 已知直线的倾角为 45? ,并且经过点 P0 (0,1) ,由此可以确 定一条直线 l.设点 P( x, y ) 为直线 l 上不与点 P0 (0,1) 重合的 任意一点(图 8-6) . 讲解 思考 引导 分析 介绍 了解 启发 学生 思考 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

质疑

思考

- 61 -

教 过

学 程

教师 行为 说明

学生 行为

教学 意图

时 间

带领 学生 分析 图 8-6
y ?1 , k ? tan 45? ? x?0

引领 分析

理解



x ? y ?1 ? 0 .

这说明直线上任意一点的坐标都是方程 x ? y ? 1 ? 0 的解. 设 点 P ( x1 , y1 ) 的 坐 标 为 方 程 x ? y ? 1 ? 0 的 解 , 即 1
x1 ? y1 ? 1 ? 0 ,则

y1 ? 1 ? k ? tan 45? , x1 ? 0

已知直线的倾角为 45? ,并且经过点 P0 (0,1) ,只可以确定 一条直线 l.这说明点 P ( x1 , y1 ) 在经过点 P0 (0,1) 且倾角为 45? 1 的直线上. 思考 一般地,如果直线(或曲线)L 与方程 F ( x, y) ? 0 满足下 列关系: ⑴ 直线(或曲线) L 上的点的坐标都是二元方程
F ( x, y) ? 0 的解;

⑵ 以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都在直线(或曲线)

L 上.
那么,直线(或曲线) L 叫做二元方程 F ( x, y) ? 0 的直线 (或曲线) ,方程 F ( x, y) ? 0 叫做直线(或曲线) L 的方程. 记

仔细 分析 讲解

- 62 -

教 过

学 程

教师 行为 关键 词语

学生 行为

教学 意图

时 间

作曲线 L : F ( x, y) ? 0 或者曲线 F ( x, y) ? 0 . 例 如 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 , 可 以 记 作 直 线
l : x ? y ? 1 ? 0 ,也可以记作直线 x ? y ? 1 ? 0 .

下面求经过点 P ( x0 , y0 ) , 且斜率为 k 的直线 l 的方程 (如 0 图 8-7) . 理解

图 8-7 在直线 l 上任取点 P( x, y ) (不同于 P0 点) ,由斜率公式可 得

引导 式启 发学 生得 出结 果

y ? y0 k? , x ? x0
y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .
显然,点 P ( x0 , y0 ) 的坐标也满足上面的方程. 0 方程



y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

(8.4)

记忆

叫做直线的点斜式方程. 其中点 P ( x0 , y0 ) 为直线上的点, 为 k 0 直线的斜率. 【说明】 当直线经过点 P ( x0 , y0 ) 且斜率不存在时,直线的倾角为 0

- 63 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

90°,此时直线与 x 轴垂直,直线上所有的点横坐标都是 x0 , 因此其方程为 x ? x0 . *巩固知识 典型例题 例 2 在下列各条件下,分别求出直线的方程: (1)直线经过点 P0 (1, 2) ,倾角为 45? ; (2)直线经过点 P (3, 2) , P2 (?1, ?1) . 1 引领 解 (1)由于 ? ? 45? ,故斜率为
k ? tan ? ? tan 45? ? 1 ,

20

说明 强调

观察 通过 例题 思考 进一 步领 会

讲解 又因为直线经过点 P0 (1, 2) ,所以直线方程为
y ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) ,

主动 求解

说明



x ? y ?1 ? 0 .

(2)直线过点 P (3, 2) , P2 (?1, ?1) ,由斜率公式得 1 引领
?1 ? 2 3 k? ? . ?1 ? 3 4

思考

注意 观察 学生

故直线的方程为
3 y ? 2 ? ( x ? 3) , 4

是否 讲解 说明 主动 求解 理解 知识 点

即 【想一想】

3x ? 4 y ? 1 ? 0 .

例 2(2)题中,如果利用点 P2 (?1, ?1) 和 k ? 方程,结果是否一样,为什么? *动脑思考 探索新知

3 写出的直线 4

30

- 64 -

教 过 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

如图 8-8 所示,设直线 l 与 x 轴交于点 A(a, 0) ,与 y 轴 交于点 B(0, b) .则 a 叫做直线 l 在 x 轴上的截距(或横截距) ; . b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距(或纵截距) 【想一想】 直线在 x 轴及 y 轴上的截距有 可能是负数吗? 带领 学生 总结 总结 归纳 思考 归纳

图 8-8 仔细 【新知识】 设直线在 y 轴上的截距是 b,即直线经过点 B(0, b) ,且斜 率为 k .则这条直线的方程为 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆

y ? b ? k ( x ? 0) ,
即 方程
y ? kx ? b .

y ? kx ? b

(8. 5)

叫做直线的斜截式方程.其中 k 为直线的斜率, b 为直线在 y 40 轴的截距. *巩固知识 典型例题 例 3 设直线 l 的倾角为 60°,并且经过点 P(2,3) .

- 65 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

(1)写出直线 l 的方程; (2)求直线 l 在 y 轴的截距. 解 (1)由于直线 l 的倾角为 60°,故其斜率为
k ? tan 60? ? 3 .

引领 分析

观察

通过 例题 进一

又直线经过点 P(2,3) ,由公式(8.4)得知直线的方程为 思考
y ? 3 ? 3( x ? 2) .

步领 会 讲解 说明 主动 求解

(2)将上面的方程整理为
y ? 3x ? 2 3 ? 3 .

这是直线的斜截式方程, 由公式(8.4)知直线 l 的在 y 轴的 截距为 3 ? 2 3 . 【想一想】 例 3 2) 求直线在 y 轴的截距还有其他的方法吗? ( 中, *运用知识 强化练习 1.作出 y ? 中的点. 提问 2.设点 P(a,1) 在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上,求 a 的值. 3.根据下列各直线满足的条件,写出直线的方程: (1)过点 (5, 2) ,斜率为 3; 距为 5,斜率为 4. 4.分别求出直线 y ? 8 ? 5( x ? 1) 在 x 轴及 y 轴上的截距. 60 (2)在 y 轴上的截 巡视 指导 思考 求解
1 x 的图像,并判断点 P(?2,3) 、Q(4, 2) 是否为图像 2

50

及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况

- 66 -

教 过 *创设情境 兴趣导入 【问题】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

质疑

思考

引导 启发 学生

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 可 化 为 kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0 ;

y ? kx ? b 可化为 kx ? y ? b ? 0 ,由此看到,直线的点斜式方
程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式

引导 分析

参与 分析

思考

Ax ? By ? C ? 0 .
那么,能不能说,一般形式的二元一次方程

65

Ax ? By ? C ? 0 就是直线的方程呢?
*动脑思考 探索新知 【新知识】 (1)当 A ? 0 ,B ? 0 时,二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 可 化为 y ? ? 线. (2)当 A ? 0 , B ? 0 时,方程为 y ? ?
C ,表示经过点 B A C A C x ? .表示斜率为 k ? ? ,纵截距 b ? ? 的直 B B B B

总结 归纳

思考 归纳

C? ? . P ? 0, ? ? 且平行于 x 轴的直线(如图 8-9) B? ?

带领 学生 理解 记忆 总结

(3)当 A ? 0 , B ? 0 时,方程为 x ? ?

C ,表示经过点 A 仔细
分析 讲解 关键 词语

? C ? P ? ? , 0 ? 且平行于 y 轴的直线(如图 8-10) . ? A ?
所以,二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不全为 零)表示一条直线.

72

- 67 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

图 8-9 方程

图 8-10

Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不全为零)
叫做直线的一般式方程. *巩固知识 典型例题 例 4 将方程 y ? 2 ?

(8.6)

说明 1 ( x ? 1) 化为直线的一般式方程,并分别 2 强调

观察

求出该直线在 x 轴与 y 轴上的截距. 解 由 y?2 ?

1 ( x ? 2) 得 2

引领

思考

通过 例题

3x ? 2 y ? 6 ? 0 .
这就是直线的一般式方程.在方程中令 y ? 0 ,则 x ? ?2 , 故直线在 x 轴上的截距为 ?2 ;令 x ? 0 ,则 y ? 3 ,故直线在 y 轴上的截距为 3. 【说明】 本教材中,如果不作特殊说明,作为结果,直线的方程都 要求写成一般式方程. 主动 求解

进一 步领 讲解 说明 会

74 *运用知识 强化练习 1.将下列直线方程化为一般方程: 启发 思考 可以

- 68 -

教 过 (1) y ?

学 程 (2) y ? 2 ? ?

教师 行为 引导 3 ( x ? 1) . 4

学生 行为 了解

教学 意图 交给 学生 自我

时 间

1 x?2; 2

2.已知 ?ABC 的三个顶点分别为 A(?3, 0) , B(2, ?1) ,

提问 巡视 指导

动手 求解

发现 归纳 78

C (?2,3) ,求 AC 边上的中线所在直线的方程.

*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 直线的点斜式方程、斜截式方程、一般式方程? 结论: 方程

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 叫做直线的点斜式方程.其

质疑

回答

及时 了解 学生

中点 P ( x0 , y0 ) 为直线上的点, k 为直线的斜率. 0 方程

y ? kx ? b

叫做直线的斜截式方 归纳 强调

知识 掌握 情况

程.其中 k 为直线的斜率, b 为直线在 y 轴上的截距. 方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不全为零) 叫做直线 的一般式方程.

82 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 求直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 在 x 轴、y 轴上的截距及斜率. 巡视 指导 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 说明 记录 分层 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 87 引导 回忆 85

- 69 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 次要 求

时 间

(2)书面作业:教材习题 8.2 A 组(必做) ;8.2 B 组(选 做) (3)实践调查:编写一道关于直线方程的问题并求解

90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】8.3
【教学目标】 知识目标:

两条直线的位置关系(二)

- 70 -

(1)掌握两条直线平行的条件; (2)能应用点到直线的距离公式解题. 能力目标: 培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力. 【教学重点】 两条直线的位置关系,点到直线的距离公式. 【教学难点】 两条直线的位置关系的判断及应用. 【教学设计】 与倾角的定义相类似, 本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上. 两条 直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角. 同时规定, 两条直线平行或重合时两条 直线的夹角为零角,这样两条直线的夹角的范围是 ?0,90? ? . ? ? 教材采用 “数形结合” 看图说话” 、 “ 的方法, 导入两条直线垂直的条件, 过程简单易懂. 两 条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为 90? .运用垂直条件时,要注意斜率不存在的情 况. 例 4 是巩固性题目.属于基础性题.首先将直线的方程化为斜截式方程,再根据斜率判 断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法. 例 5 是利用垂直条件求直线的方程的题目, 属于基础性题. 首先利用垂直条件求出直线 的斜率,然后写出直线的点斜式方程,最后将方程化为一般式方程.这一系列解题程序,蕴 含着“解析法”的思想方法. 需要强调,点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 8.3 两条直线的位置关系(二) *创设情境 兴趣导入
- 71 -

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

介绍

了解

0

教 过 【问题】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交.如何求交 点的坐标呢? 质疑 思考 启发 学生 思考

引导 分析 5

图 8-12 *动脑思考 探索新知 如图 8-12 所示,两条相交直线的交点 P0 ,既在 l1 上,又 在 l 2 上. 所以 P0 的坐标 ( x0 , y0 ) 是两条直线的方程的公共解. 因 此解两条直线的方程所组成的方程组,就可以得到两条直线交 点的坐标. 观察图 8-13,直线 l1 、 l2 相交于点 P,如果不研究终边 相同的角,共形成四个正角,分别为 ?1 、 ? 2 、 ? 3 、 ? 4 ,其中

讲解 说明

思考

带领 学生 分析

?1 与 ? 3 , ? 2 与 ? 4 为对顶角,而且 ?1 +? 2 ? 1800 .

讲解 说明

思考 带领 学生 分析

- 72 -

教 过

学 程 图 8-13

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的 夹角,记作 ? . 规定, 当两条直线平行或重合时, 两条直线的夹角为零角, 引领 因此,两条直线夹角的取值范围为 [ 90? ] . 0, 显然,在图 8-13 中, ?1 (或 ? 3 )是直线 l1 、 l2 的夹角, 即 ? ? ?1 . 当直线 l1 与直线 l2 的夹角为直角时称直线 l1 与直线 l2 垂 直,记做 l1 ? l2 .观察图 8-14,显然,平行于 x 轴的直线 l1 与 平行于 y 轴的直线 l2 垂直,即斜率为零的直线与斜率不存在的 直线垂直. 分析 理解

仔细 分析 讲解 关键 词语 图 8-14 思考 引导 式启 发学 生得 出结 果 理解 记忆 *创设情境 兴趣导入 【问题】 如果两条直线的斜率都存在且不为零,如何判断这两条直 线垂直呢?
- 73 -

20

带领 质疑 思考 学生 分析 25

教 过 *动脑思考 探索新知 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

设直线 l1 与直线 l2 的斜率分别为 k1 和 k 2(如图 8-15) ,若

l1 ? l2 ,则
讲解 说明
l2
l1

思考

带领 学生 分析

引领 8-15 分析

理解

k1 ? tan ?1 ?

BC , AB AB . BC

k2 ? tan ? 2 ? tan(180? ? ?3 ) ? ? tan ?3 ? ?


k1 ? k2 ? ?1 .
上面的过程可以逆推,即若 k1 ? k2 ? ?1 ,则 l1 ? l2 . 由此得到结论(两条直线垂直的条件) : (1)如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 记忆 引导 式启 发学 生得 出结 果 35

仔细 分析 讲解 关键 词语

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 .
(2)斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直.

*巩固知识 典型例题 例 3 求直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 y ? x ? 2 交点的坐标. 说明 解
? x ? 2 y ? 1 ? 0, 解方程组 ? ? x ? y ? 2 ? 0,

观察

通过 例题 进一 步领 会

强调



- 74 -

教 过

学 程
? x ? 1, ? ? y ? ?1,

教师 行为 引领

学生 行为 思考

教学 意图

时 间

所以两条直线的交点坐标为 (1, ?1) . 【试一试】 已知直线 3x ? 4 y ? a 与直线 2 x ? 5 y ? 10 的交点在 x 轴 上,你是否能确定 a 的值,并求出交点的坐标? 例 4 判断直线 y ? 解 设直线 y ?

讲解 说明

主动 求解

2 x 与直线 6x ? 4 y ? 1 ? 0 是否垂直. 3

说明 强调 观察 通过 例题 引领 思考 进一 步领 会

2 x 的斜率为 k1 ,则 3
k1 ? 2 . 3

直线 6x ? 4 y ? 1 ? 0 的斜率为 k 2 .由 6x ? 4 y ? 1 ? 0 有

3 1 y?? x? , 2 4


讲解 说明 主动 求解

3 k2 ? ? . 2
由于 k1k2 ? ?1 ,所以 l1 与 l2 垂直. 【试一试】 请你判断,直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 1 是否垂直? 【知识巩固】 例 5 已 知 直 线 l 经 过 点 M (2, ?1) , 且 垂 直 于 直 线

2 x ? y ? 1 ? 0 ,求直线 l 方程.



设直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 k1 ,则 k1 ? ?2 .设直线

引领 思考 注意 观察 学生 是否

l 的斜率为 k .由于 l1 ? l2 ,故 k1k ? ?1 ,即

?2k ? ?1 ,
由此得

- 75 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为 主动 求解

教学 意图 理解 知识 点

时 间

k?

1 . 2

讲解 说明

又直线 l 过点 M (2, ?1) ,故其方程为

1 y ? 1 ? ( x ? 2) , 2
即 *运用知识 强化练习 1.判断下列各对直线是否相交,若相交,求出交点坐标: (1) l1 : x ? 2 y ? 0 ,与 l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ; 提问 (2) l1 : y ? ? x ? 1 ,与 l2 : x ? y ? 4 ? 0 ;
4 (3) l1 : ? 3x ? 2 y ,与 l2 : y ? x ? 1 . 3

x – 2y – 4 = 0.

45

及时 思考 求解 了解 学生 知识 掌握 得情 况

巡视 指导

2. 已 知 直 线 l 经 过 点 M (?2, 2) , 且 垂 直 于 直 线
x ? y ? 2 ? 0 ,求直线 l 方程.

50 *创设情境 兴趣导入 【问题】 观察图 8-16, 过点 P0 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q, 称线段 P0Q 质疑 的长度为点 P0 到直线 l 的距离,记作 d.如何求出一个已知点 到一条已知直线的距离呢? 思考 引导 分析 启发 学生 思考 55

- 76 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

图 8-16 *动脑思考 探索新知 【新知识】 可以证明 (证明略)点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : ? By ? C ? 0 , Ax 的距离公式为
d? Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

总结 归纳

理解 记忆

带领 学生 总结

(8.7)

【注意】 58 应用公式(8.7)时,直线的方程必须是一般式方程. *巩固知识 典型例题 例6 求点 P0 (2, ?3) 到直线 y ? ? x ?
1 的距离. 2

分析 求点到直线的距离时,首先要检查直线方程是否为 一般式方程,若不是,则应先将直线的方程化为一般式方程, 然后利用公式(8.7)进行计算. 解 直线方程 y ? ? x ?
1 化成一般式方程为 2

引领

思考

2x ? 2 y ? 1 ? 0 .

讲解 说明

主动 求解 通过 例题

由公式(8.6)有
d? 2 ? 2 ? 2 ? (?3) ? 1 22 ? 22 ? 3 2 . 4

进一 步领 会

例 7 试求两条平行直线 3x ? 4 y ? 0 与 3x ? 4 y ? 1 ? 0 之间

- 77 -

教 过 的距离. 分析

学 程

教师 行为 引领

学生 行为 思考

教学 意图

时 间

由平面几何的知识知道,两条平行线间的距离,是

其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离.为运算方 便,尽量选择坐标的数值比较简单的点. 解 点 O(0,0) 是 直 线 3x ? 4 y ? 0 上 的 点 , 点 O 到 直 线 讲解 说明 主动 求解

3x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离为
d? ?1 3 ?4
2 2

?

1 , 5

1 故这两条平行直线之间的距离为 . 5

说明 强调

观察

*例 8

设△ABC 的顶点坐标为 A(6,3)、 (0, ?1)、 (?1,1) , B C

求三角形的面积 S . 分析 如图 8-17 所示,首先求出任意一条边的边长及直 线的方程, 然后求出这条边上的高, 再利用面积公式进行计算.

思考

图 8-17 解 由点 A(6,3) 、 B(0, ?1) 可得
AB ? (6 ? 0) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 2 13 ,

引领 分析

主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解

直线 AB 的斜率为 直线 AB 的方程为 即

k?

?1 ? 3 2 ? , 0?6 3

2 y ? ( ?1) ? ( x ? 0) , 3

2x ? 3 y ? 3 ? 0 ,

- 78 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 知识

时 间

又 AB 边上的高为点 C 到直线 AB 的距离
d? 2 ? (?1) ? 3 ? 1 ? 3 2 ?3
2 2

?

8 13



点 68

故三角形面积为
S? 1 8 ? 2 13 ? ? 8. 2 13

【试一试】 用其他的边求 ?ABC 的面积. *运用知识 强化练习 根据下列条件求点 P0 到直线 l 的距离: (1) P0 (1,0) ,直线 ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (2) P0 (?2,1) ,直线 2x ? 3 y ? 0 ; (3) P0 (2, ?3) ,直线 y ? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 两条直线垂直的条件?点到直线的距离公式? 结论: 两条直线垂直的条件: (1)如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 回答 质疑 及时 了解 学生 知识 掌握 (2)斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 归纳 点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

及时 了解 提问 巡视 指导 思考 求解 学生 知识 掌握 得情 况 73

1 3 x? . 2 2

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 .

情况

强调

78

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 引导 回忆

- 79 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间 83

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 巡视 指导 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.3 A 组(必做) ;8.3 B 组(选 做) (3)实践调查:编写一道两条平行直线的距离的问题并求 解 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践; 90 说明 记录 分层 次要 求 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 88

- 80 -

在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】8.4 圆(一) 【教学目标】 知识目标: (1)了解圆的定义; (2)掌握圆的标准方程和一般方程. 能力目标: 培养学生解决问题的能力与计算能力. 【教学重点】 圆的标准方程和一般方程的理解与应用. 【教学难点】 对圆的标准方程和一般方程的正确认识. 【教学设计】 用 “解析法” 推导圆的标准方程的过程, 学生比较容易掌握, 可以引导学生自己完成. 要 强 化 对 圆 的 标 准 方 程 ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 的 认 识 , 其 中 半 径 为 r , 圆 心 坐 标 为
2 2 2

O? ? a, b ? .经常容易发生错误的地方是认为半径是 r 2 ,圆心坐标为 O? ? ?a, ?b ? .教学中应
予以强调,反复强化. 例 1 和例 2 是圆的标准方程的知识巩固性题目,属于基础性题目.可以由学生自己完 成.通过例题,进一步熟悉圆的标准方程. 再介绍圆的一般方程时,教材首先将圆的标准方程展开,分析系数特点,然后将方程配 方成圆的标准方程.这一系列的过程,不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系,还显 示出用代数的方法研究几何问题的魅力. 例 3 是圆的方程巩固性题目.题中的两种解法,都是经常使用的方法.特别是解法 1, 通常采用配方法,将方程化为标准方程,求出圆心坐标与半径.这类题目的训练,有助于学 生数学运算能力的提高. 求圆的方程,基本有两种基本方法.一种是根据已知条件求出圆心和半径,然后写出圆 的标准方程,例 4 就是这种类型的基础性题目;另一种是,设出圆的方程,然后,利用待定 系数法确定相应的常数,例 5 就是这种类型的基础性题目. 【教学备品】
- 81 -

教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 8.4 圆(一) *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹,定点叫做圆 心,定长叫做半径.如图 8-18 所示,将圆规的两只脚张开一 定的角度后,把其中一只脚放在固定点 O,另一只脚紧贴点所 在平面上,然后转动圆规一周(圆规的两只脚张开的角度不 变) ,画出的图形就是圆. 启发 学生 思考 质疑 思考 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

引导 分析 10

图 8-18 【说明】 圆心和半径是圆的两个要素. *动脑思考 探索新知 【新知识】 下面我们在直角坐标系中研究圆的方程. 讲解 说明 思考

- 82 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

带领 学生 分析 引领 图 8-19 设圆心的坐标为 C (a, b) , 半径为 r, M ( x, y ) 为圆上的任 点 意一点(如图 8-19) ,则 25
MC ? r ,

理解 记忆

分析

由公式(8.1) ,得 将上式两边平方,得

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r ,

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

(8.8)

这个方程叫做以点 C (a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的标准 方程. 特别地,当圆心为坐标原点 O(0,0) 时,半径为 r 的圆的标准方 程为
x2 ? y 2 ? r 2

(8.9)

*巩固知识 典型例题 例 1 求以点 C (?2,0) 为圆心, r ? 3 为半径的圆的标准方 程. 解 因为 a ? ?2, b ? 0, r ? 3 , 故所求圆的标准方程为
( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 .

说明 强调

观察

通过 例题

例 2 写出圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 的圆心的坐标及半径.
2 2

引领

思考

进一 步领



方程

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5

- 83 -

教 过 可化为 所以

学 程
( x ? 2)2 ? ? y ? (?1)? ? ( 5)2 ,
2

教师 行为

学生 行为

教学 意图 会

时 间

讲解 说明

主动 求解

a ? 2, b ? ?1,

r? 5,

故,圆心的坐标为 C (2, ?1) ,半径为 r ? 5 . 【说明】 使用公式(8.8)求圆心的坐标时,要注意公式中两个括号 内都是“-”号. 30 *运用知识 强化练习 1.根据下面条件,求出圆的标准方程,并画出图形. (1)圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 2 ; (2)圆心 C (0, ?3) ,半径 r ? 3 . 2.根据下列圆的标准方程,分别求出圆心的坐标与半径, 并画出图形. (1) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ; (2) x 2 ? ( y ? 2)2 ? 3 . *创设情境 兴趣导入 【观察】 将圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开并整理,可得
x ? y ? (?2a) x ? (?2b) y ? (a ? b ? r ) ? 0 .
2 2 2 2 2

及时 了解 学生 提问 巡视 指导 思考 求解 知识 掌握 得情 况 35

质疑



D ? ?2a ,

E ? ?2b ,

F ? a 2 ? b2 ? r 2

, 则 思考 启发 学生 思考 引导 分析 40

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

(1)

这是一个二元二次方程.观察方程(1) ,可以发现它具有 下列特点: ⑴ 含 x 项的系数与含 y 项的系数都是 1; ⑵ 方程不含 xy 项. 那么,具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程 吗?
2
2

- 84 -

教 过 *动脑思考 探索新知

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

将方程(1)配方整理得
D? ? E? D2 ? E 2 ? 4F ? x? ? ??y? ? ? , ? 2? ? 2? 4 ?
2 2

讲解 (2) 说明

思考 引导 式启 发学 理解

当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程(2)为是圆的标准方程,其 圆心在 (? 方程
x 2 ? y 2 ? Dx ? E y ? F ? 0

D ? E ? 4F D E . , ? ) ,半径为 2 2 2
2 2

引领 分析 )

生得 出结 果

( 其 中

D2 ? E 2 ? 4 F ? 0

(8.10) 仔细 分析 叫做圆的一般方程.其中 D、E、F 均为常数. 讲解 关键 【想一想】 为什么必须有 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 的条件? *巩固知识 典型例题 例 3 判断方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 3 ? 0 是否为圆的方程, 如果是,求出圆心的坐标和半径. 解 1 将原方程左边配方,有
x ? 4x ? 2 ? 2 ? y ? 6 y ? 3 ? 3 ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

记忆

词语

45

说明 强调

观察 通过 例题 进一 思考



( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 42 .

所以方程表示圆心为 (?2, ,半径为 4 的一个圆. 3) 解 2 与圆的一般方程相比较, D ? 4, E ? ?6, F ? ?3 . 知 故 引领

步领 会

D2 ? E 2 ? 4F ? 16 ? 36 ? 4 ? (?3) ? 64 ? 0 ,

所以方程为圆的一般方程,由
D E D2 ? E 2 ? 4F ? 2, ? ?3, ?4 2 2 2

讲解 说明

主动 求解

知,圆心的坐标为 (?2,3) ,半径为 4. 55

- 85 -

教 过 【说明】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

给出方程求圆心和半径时,经常通过配方法将圆的一般方 程化为圆的标准方程.解 1 是经常使用的方法. *运用知识 强化练习 1.判断方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 是否表示圆.如果是, 提问 指出圆心和半径. 2. 已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 求圆心的坐标和半径. 3. 已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 0 , 求圆心的坐标和半径. *动脑思考 探索新知 观察圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 和圆的一般方程
x ? y ? Dx ? E y ? F ? 0 ,可以发现:这两个方程中分别含有
2 2

了解 思考 求解 学生 知识 掌握 情况 60

巡视 指导

介绍

了解 带领 学生

三个字母系数 a, b, r 或 D, E, F .确定了这三个字母系数, 圆的方程也就确定了.因此,求圆的方程时,关键是确定字母 系数 a, b, r (或 D, E, F )的值. *巩固知识 典型例题 例4 根据下面所给的条件,分别求出圆的方程:

讲解 说明

思考

分析 65

(1) 以点 (?2,5) 为圆心,并且过点 (3, ?7) ; (2) 设点 A(4,3) 、 B(6, ?1) ,以线段 AB 为直径; ( 3 ) 经 过 点 P(?2, 4) 和 点 Q(0, 2) , 并 且 圆 心 在 直 线
x ? y ? 0 上.

说明 强调

观察

分析

根据已知条件求出圆心的坐标和半径,从而确定字

母系数 a、b、r,得到圆的标准方程.这是求圆的方程的常用 方法. 解 ⑴ 由于点(?2,5)与点(3,?7)间的距离就是半 通过 例题
r ? (3 ? 2)2 ? (?7 ? 5) 2 ? 13 ,

径,所以半径为

进一 引领 思考 步领 会

故所求方程为
( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 169 .
- 86 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

(2) 设所求圆的圆心为 C,则 C 为线段 AB 的中点,即
? 4 ? 6 3 ?1? C? , ? .半径为线段 AB 的长度的一半,即 2 ? ? 2 1 1 r? (4 ? 6)2 ? (3 ? 1)2 ? 20 ? 5 , 2 2

故所求圆的方程为
( x ? 5)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 .

讲解 说明

主动 求解

(3) 由于圆心在直线 x? y?0 上,故设圆心为
C ( x0 , ? x0 ) ,于是有
CP ? CQ ,


( x0 ? 2) 2 ? (? x0 ? 4) 2 ? ( x0 ? 0) 2 ? (? x0 ? 2) 2 ,

解得

x0 ? ?2 .

因此,圆心为(-2,2).半径为
r ? (?2 ? 0)2 ? (2 ? 2) 2 ? 2 ,

故所求方程为
( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .

【想一想】 例 4(3)是否还有其它解法? 【知识巩固】 例 5 求经过三点 O(0,0) ,A(1,1) ,B(4, 2) 的圆的方程 (图 8-20) . 引领 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点

图 8-20

讲解

主动

- 87 -

教 过 解

学 程

教师 行为 说明

学生 行为 求解

教学 意图

时 间

设所求圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? E y ? F ? 0 , 将

点O(0,0) ,A(1,1) ,B(4,2)的坐标分别代入方程,得
? 02 ? 02 ? D? 0 ? E ?0 ? F ? 0, ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? D? 1 ? E ?1 ? F ? 0, ? 2 2 ? 4 ? 2 ? D? 4 ? E ?2 ? F ? 0, ?


? F ? 0, ? ? D ? E ? F ? ?2, ?4 D ? 2 E ? F ? ?20, ?

解得

D ? ?8 , E ? 6 , F ? 0 .
75

故所求圆的一般方程为
x2 ? y 2 ? 8 x ? 6 y ? 0 .

【试一试】 例 5 的解法中, 如果设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 是 否可以?比较一下哪种方法简单? *运用知识 强化练习 1.求以点 (4, ?1) 为圆心,半径为 1 的圆的方程. 2.求经过直线 x ? 3 y ? 7 ? 0 与 3x ? 2 y ? 12 ? 0 的交点,圆 心为 C(?1,1) 的圆的方程. 3.求经过三点 O(0,0) , M (1,0) , N (0, 2) 的圆的方程. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 圆的标准方程及一般方程? 结论
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

了解 提问 巡视 指导 思考 求解 学生 知识 掌握 得情 况 80

质疑 及时 了解 学生 回答

这个方程叫做以点 C (a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的标准 方程. 归纳

知识 掌握 情况

- 88 -

教 过

学 程

教师 行为 强调

学生 行为

教学 意图

时 间

x 2 ? y 2 ? Dx ? E y ? F ? 0 (其中 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )

85 叫做圆的一般方程.其中 D、E、F 均为常数. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 判 断 方 程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 8 ? 0 是 圆 的 方 程 吗 ? 为 什 么? 巡视 指导 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 88 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.4 A 组(必做) ;8.4 B 组(选 做) (3)实践调查:对任意二元二次方程,判断是否是圆的方 程 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 90 说明 记录 分层 次要 求 引导 回忆

- 89 -

学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.1

平面的基本性质

【教学目标】 知识目标: (1)了解平面的概念、平面的基本性质; (2)掌握平面的表示法与画法. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】 平面的表示法与画法. 【教学难点】 对平面的概念及平面的基本性质的理解. 【教学设计】 教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等,引入平面的概念,并介绍了平 面的表示法与画法.注意,平面是原始概念,原始概念是不能定义的,教材是用“光滑并 且可以无限延展的图形”来描述平面.在教学中要着重指出,平面在空间是可以无限延展 的. 在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出: (1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面,需要时可以把它延展出去; (2) 有时根据需要也可用其他平面图形,如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面, 故加上“通常”两字;

- 90 -

(3) 画表示水平平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成 45 °,横边画成邻边的 2 倍.但在实际画图时,也不一定非按上述规定画不可;在画直立的平面时,要使平行四边 形的一组对边画成铅垂线;在画其他位置的平面时,只要画成平行四边形就可以了; (4) 画两个相交平面,一定要画出交线; (5) 当用字母表示平面时,通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内,并 且不被其他平面遮住的地方; (6) 在立体几何中,被遮住部分的线段要画成虚线或不画. “确定一个平面”包含两层意思,一是存在性,即“存在一个平面” ;二是唯一性,即 “只存在一个平面” .故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.

【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 9.1 *创设情境 兴趣导入 观察平静的湖面 (图 9?1 (1))窗户的玻璃面 、 (图 9?1 (2)) 、 黑板面、课桌面、墙面等,发现它们都有一个共同的特征:平 坦、光滑,给我们以平面的形象,但是它们都是有限的. 质疑 思考 启发 学生 思考 平面的基本性质 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

(1) 图9?1

(2)

引导 分析 8

- 91 -

教 过 *动脑思考 探索新知 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

平面的概念就是从这些场景中抽象出来的.数学中的平面 是指光滑并且可以无限延展的图形. 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等, 都是平面的一部分. 我们知道,直线是可以无限延伸的,通常画出直线的一部 分来表示直线.同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平 面. 引领 通常用平行四边形表示平面,并用小写的希腊字母 如图9?2, 记作平面 ?、 平面 ?. ?、?、? 、 来表示不同的平面. ? 也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字 母来命名,如图9?2(1)中的平面 ? 也可以记作平面ABCD, 平面AC或平面BD. 【说明】 根据具体情况, 有时也用其他的平面图形表示平面, 如圆、 三角形等. 当平面水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成 45°, 横边画成邻边的 2 倍长(如图 9?2(1).当平面正对我们竖直 ) 放置的时候,通常把平面画成矩形(如图 9?2(2). ) D C B (1) 图 9?2 *巩固知识 典型例题 仔细 分析 关键 语句 记忆 分析 理解 带领 学生 分析 讲解 说明 思考

?
A

?
(2) 20

- 92 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

例 1 表示出正方体 ABCD ? A1B1C1D1 (如图 9?3)的 6 个 面. 【说明】 如 图 9?3 所 示 的 正 方 体 一 般 写 作 正 方 体
ABCD ? A1B1C1D1 ,也可以简记作正方体 A1C .
3

说明 强调

观察

通过 例题 引领 思考 进一 步领 会 讲解 主动 求解

图 9?3 解 这 6 个面可以分别表示为:平面 AC 、平面 A1C1 、平

说明

面 AB1 、平面 BC1 、平面 CD1 、平面 DA1 . 【试一试】 请换一种方法表示这 6 个面. *运用知识 强化练习 1.举出生活中平面的实例. 2.画出一个平面,写出字母并表述出来. *创设情境 兴趣导入 【实验】 把一根铅笔平放在桌面上,发现铅笔的一边就紧贴在桌面 上.也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上(如 图 9?4) . 引导 铅 笔 分析 桌 子 思考 质疑 启发 学生 思考 提问 指导 思考 口答 领会 知识 32 27

- 93 -

教 过 A

学 程 B

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

37

图 9?4 *动脑思考 探索新知 【新知识】 直线与平面都可以看做点的集合.点 A、B 在直线 l 上, 记作 A ? l、B ? l; A、B 在平面 α 内,记作 A ??、B ??. 点 (如 图 9?5) 由上述实验和大量类似的事实中,归纳出平面的性质 1: 如果直线 l 上的两个点都在平面 α 内,那么直线 l 上的所有点 都在平面 α 内. 此时称直线 l 在平面 α 内或平面 α 经过直线 l. 记作 l ? ? . 画直线 l 在平面 α 内的图形表示时,要将直线画在平行四 边形的内部(如图 9?5) . 引领 分析 理解 带领 学生 分析 讲解 说明 思考

图 9?5 *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共 点,可以发现,除这个点外两个墙面还有其他的公共点,并且 这些公共点的集合就是这两个墙面的交线. 带领 质疑 思考 学生 分析

42

45

- 94 -

教 过 *动脑思考 探索新知 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

由上述观察和大量类似的事实中,归纳出平面的性质 2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,并且 所有公共点的集合是过这个点的一条直线(如图 9?6) . 此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线 l 叫 做两个平面的交线.平面 ? 与平面 ? 相交,交线为 l ,记作 讲解 说明 带领 学生 分析 理解 引领 不重合的两条直线. 分析 思考

? ?? ?l .
【说明】 本章中的两个平面是指不重合的两个平面,两条直线是指

仔细 图9?6 分析 讲解 关键 词语 引导 式启 发学 生得 出结 图9?7 画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形 中被遮住部分的线段,要画成虚线(如图 9?7(1),或者不画 ) (如图 9?7(2) ). 【试一试】 55 果 记忆

- 95 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

请画出两个相交的平面,并标注字母. *创设情境 兴趣导入 【实验】 在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉,是否能将一块硬 纸板架起?如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉,那么结果会 怎样? *动脑思考 探索新知 【新知识】 由上述实验和大量类似的事实中,归纳出平面的性质 3: 不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面(如图 9?8) 讲解 . 【说明】 “确定一个平面”指的是“存在着一个平面,并且只存在 着一个平面” . 带领 学生 分析 图 9?8 利用三角架可以将照相机放稳(图 9?9),就是性质 3 的应用. 引领 分析 理解 说明 思考 60 带领 质疑 思考 学生 分析

仔细 分析 讲解 关键 图 9?9 根据上述性质,可以得出下面的三个结论. 词语 记忆

- 96 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

1. 直线与这条直线外的一点可以确定一个平面 (如图 9?10 (1) ). 2.两条相交直线可以确定一个平面(如图 9?10(2). ) 3.两条平行直线可以确定一个平面(如图 9?10(3) ).

A

?
(1)

?
l (2)2
引领 理解 引导 式启 发学 生得 出结

l2
l1

分析

?
(3) 【试一试】

l



请用平面的性质说明这三个结论. 工人常用两根平行的木条来固定一排物品(如图9?11 (1));营业员用彩带交叉捆扎礼品盒(如图9?11(2)), 都是上述结论的应用. 仔细 分析 讲解 关键 词语 (1) 图9?11 【想一想】 如何用两根细绳来检查一把椅子的 4 条腿的下端是否在同 一个平面内? *巩固知识 典型例题 例2 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 (如图9?12)中,画出由 70 (2) 记忆

- 97 -

教 过

学 程

教师 行为 说明 强调

学生 行为 观察

教学 意图 通过 例题 进一 步领 会

时 间

A 、 C 、 D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线.
分析 画两个相交平面的交线,关键是找出这两个平面的

两个公共点. 解 点 A 、D1 为平面 ? 与平面 ADD1 A1 的公共点, A 、C 点 思考 引领
CC1 D1 D 的公共点,分别将这三个点两两连接,得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方

为平面 ? 与平面 ABCD 的公共点,点 C 、 D1 为平面 ? 与平面

体的表面的交线(如图9?12(2)). 讲解 说明 主动 求解 注意 观察 学生 是否 图 9?12 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线? 理解 知识 点

?

思考 *运用知识 强化练习 1.“平面 ? 与平面 ? 只有一个公共点”的说法正确吗? 2.梯形是平面图形吗?为什么? 3. 已知A、 C是直线l上的三个点, B、 D不是直线l上的点. 判 断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 平面的基本性质? 质疑 及时 了解 提问 巡视 指导 思考 求解 了解 学生 知识 掌握 情况

78

83

- 98 -

教 过 结论:

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 学生

时 间

回答 性质 1:如果直线 l 上的两个点都在平面 α 内,那么直线 l 上的所有点都在平面 α 内. 性质 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他 公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线. 归纳 强调

知识 掌握 情况

86 性质 3: 不在同一条直线上的三个点, 可以确定一个平面. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 画出两个相交平面. 巡视 指导 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 9.1 A 组(必做) ;9.1 B 组(选 做) (3)实践调查:寻找生活中的实例,用平面的性质解释 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生思维情况 学生是否积极思考; 说明 记录 分层 次要 求 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 89 引导 回忆

- 99 -

思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【教学目标】 知识目标: (1)了解两条直线的位置关系; (2)掌握异面直线的概念与画法,直线与直线平行的判定与性质;直线与平面的位置 关系,直线与平面平行的判定与性质;平面与平面的位置关系,平面与平面平行的判定与性 质. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质. 【教学难点】 异面直线的想象与理解. 【教学设计】 本节结合正方体模型,通过观察实验,发现两条直线的位置关系除了相交与平行外, 在空间还有既不相交也不平行,不同在任何一个平面内的位置关系.由此引出了异面直线 的概念.通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力,逐步建立空间的立体观念.

- 100 -

空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 的开始,又是学习后两种位置关系的基础.因此,要让学生树立考虑问题要着眼于空间, 克服只在一个平面内考虑问题的习惯. 通过观察教室里面墙与墙的交线,引出平行直线的性质,在此基础上,提出问题“空 间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角的度数存在着什么关系?请通过演 示进行说明. ”这样安排知识的顺序,有利于学生理解和掌握所学知识. 要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的所有的直线” , 教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识. 平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定 与性质 *创设情境 兴趣导入 观察图 9?13 所示的正方体,可以发现:棱 A1 B1 与 AD 所 在的直线,既不相交又不平行,它们不同在任何一个平面内. 质疑 思考 启发 学生 思考 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

图 9?13 观察教室中的物体,你能否抽象出这种位置关系的两条直 线? *动脑思考 探索新知
- 101 -

引导 分析 2

在同一个平面内的直线,叫做共面直线,平行或相交的两条直 线都是共面直线.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线.图 9-13 所示的正方体中,直线 A1 B1 与直线 AD 就是两 条异面直线. 这样,空间两条直线就有三种位置关系:平行、相交、异 面. 将两支铅笔平放到桌面上(如图 9?14), 抬起一支铅笔的一 端(如 D 端) ,发现此时两支铅笔所在的直线异面. 两 支 铅笔 桌 子 讲解 说明 思考

A D

C

B

带领 学生 引领 图 9 ?14(请画出实物图) 受实验的启发,我们可以利用平面做衬托,画出表示两条 异面直线的图形(如图 9 ?15) . 分析 理解 分析

仔细 分析 关键 (1) 图 9?15 利用铅笔和书本,演示图 9?15(2)的异面直线位置关系. *创设情境 兴趣导入 我们知道,平面内平行于同一条直线的两条直线一定平 行.那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行 呢? 观察教室内相邻两面墙的交线 (如图 9?16) 发现:AA1 ∥ .
- 102 -

记忆 5

(2) 语句

质疑

BB1 , CC1 ∥ BB1 ,并且有 AA1 ∥ CC1 .

启发 思考 学生 思考 引导 分析

图 9?16 *动脑思考 探索新知 由上述观察及大量类似的事实中,归纳出平行线的性质: 平行于同一条直线的两条直线平行. 我们经常利用这个性质来判断两条直线平行. 【想一想】 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 的度数存在着什么关系?请通过演示进行说明. *创设情境 兴趣导入 将平面 ? 内的四边形 ABCD 的两条边 AD 与 DC,沿 着对角线 AC 向上折起, 将点 D 质疑 折 叠 到 D1 的 位 置 ( 如 图 9?17).此时 A、B、C、 D1 四个点不在同一个平面内. 思考 带领 学生 分析 图 9?17 引领 分析 引领 分析 理解 讲解 说明 带领 学生 分析 思考

7

10

13 *动脑思考 探索新知 这时的四边形 AB C D1 叫做空间四边形. 【想一想】 折叠过程中,哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化? *巩固知识 典型例题 讲解 说明 理解 带领 学生 分析 15

- 103 -

例1

已知空间四边形 ABCD 中, E 、 F 、G 、 H 分别为

说明 强调

观察 通过 例题 进一 思考

(如图 9?18) .判断四边形 EFGH AB 、BC 、CD 、DA 的中点 是否为平行四边形? 解 联结 BD .因为 E 、 H 分别为 AB 、 DA 的中点,所

以 EH 为 ?ABD 的中位线.于是

引领

步领 会

EH // BD 且 EH ?

1 BD . 2

1 同理可得 FG // BD 且 FG ? BD . 2

讲解 说明 图 9?18

主动 求解 20

因此

EH // FG 且 EH ? FG .

故四边形 EFGH 是平行四边形.

*运用知识 强化练习 1.结合教室及室内的物品,举出空间两条直线平行的例 子.? 2.把一张矩形的纸对折两次,然后打开(如第 2 题图) 提问 , 说明为什么这些折痕是互相平行的? 巡视 指导 思考 解答 及时 了解 学生 知识 掌握 情况

22

*创设情境 兴趣导入 将铅笔放在桌面上,此时铅笔与桌面有无数多个公共点; 抬起铅笔的一端,此时铅笔与桌面只有 1 个公共点;把铅笔放 到文具盒(文具盒在桌面上)上面, 铅笔与桌面就没有公共点了. *动脑思考 探索新知 在 9.1 中,我们曾经介绍,直线 l 与平面 ? 有无穷多个公 共点时,直线 l 在平面 ? 内,其图形如图 9?19(1)所示. 讲解
- 104 -

引导 质疑 思考 学生 分析 25

如果一条直线与一个平面只有一个公共点,那么就称这条 直线与这个平面相交, 画直线与平面相交的图形时,要把直 线延伸到平行四边形外(如图 9?19(2) ). 如果一条直线与一个平面没有公共点,那么就称这条直线 与这个平面平行. 直线 l 与平面 ? 平行,记作 l ∥ ? .画直线与 平面平行的图形时,要把直线画在平行四边形外,并与平行四 边形的一边平行(如图 9?19(3). )

说明 思考 带领 学生 分析

引领 分析 理解 l

?

l

?
(1) (2) 仔细 l 分析 讲解 记忆

引导 式启 发学 生得 出结 果 30

?
(3) 这样,直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直 线与平面相交、直线与平面平行.直线与平面相交及直线与平 面平行统称为直线在平面外. *创设情境 兴趣导入 在桌面上放一张白纸,在白纸上画出两条平行直线,沿着 其中的一条直线将纸折起(如图 9?20) .观察发现:在折起的 各个位置上,另一条直线始终与桌面保持平行.

关键 词语

引导 质疑 思考 学生 分析

图 9?20

32

- 105 -

*动脑思考 探索新知 从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法: 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 那么这 条直线与这个平面平行. *巩固知识 典型例题 例2 如图9?21,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 DD1 平
4

带领 讲解 说明 理解 记忆 学生 分析 35

行于平面 BCC1B1 吗?为什么?

说明 强调 图9?21 解 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 因为四边形 DCC1 D1 边

观察 通过 例题

引领

思考

进一 步领 会

是长方形,所以DD1∥CC1,又因为CC1在平面BCC1B1内,DD1 在平面BCC1B1外,因此直线 DD1 平行于平面 BCC1B1 . 讲解 说明 *创设情境 兴趣导入 将铅笔放到与桌面平行的位置上, 用矩形硬纸片的面紧 贴铅笔,矩形硬纸片的一边紧贴桌面(如图 9?22) ,观察铅笔 及硬纸片与桌面的交线,发现它们是平行的. 思考 质疑 主动 求解

40 识 点

启发 学生 思考 引导 分析

铅笔 42

4

为了叙述简便起见,将线段 DD1 所在的直线,直接写作直线 DD1 ,本章教材中都采用这种表述方法. - 106 -

图 9?22(请画出实物图) *动脑思考 探索新知 从大量的实验与观察中,归纳出直线与平面平行的性质: 如果一条直线与一个平面平行,并且经过这条直线的一个平 面和这个平面相交,那么这条直线与交线平行. 如图 9?23 所示, 设直线 l 为平面 ? 与平面 ? 的交线, 直线 讲解 说明 思考

m 在平面 ? 内且 m ∥ ? ,则 m ∥ l .
带领 学生 分析 引领 图 9-23 *巩固知识 典型例题 例 3 在如图 9?24 所示的一块木料中,已知 BC ∥平面 要经过平面 A1C1 内的一点 P 与棱 BC 将 A1B1C1 D1 ,BC ∥ B1C1 , 木料锯开,应当怎样画线? 分析 设点P和棱BC确定的平面 ? ,则EF是 ? 与平面 说明 强调 通过 例题 引领
A1B1C1 D1 ,故EF∥BC, B1C1 ∥ BC .所以 EF ∥ B1C1 .

理解 45

分析

观察

A1B1C1 D1 的交线,由于BC∥平面

思考

进一 步领 会



画线的方法是:在平面 图 9?24

讲解 说明

主动 求解 48

A1B1C1 D1 内,过点P作直线 B1C1 的

平行线EF,分别交直线 A1 B1 及直线 D1C1 与点E、F,连接EB和 FC. *运用知识 强化练习 1.试举出一个直线和平面平行的例子. 2.请在黑板上画一条直线与地面平行,并说出所画的直 线与地面平行的理由. 提问 巡视 指导 思考 求解 及时 了解 学生 知识

- 107 -

3.如果一条直线平行于一个平面,那么这条直线是不是 和这个平面内所有的直线都平行? 4.说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由. *创设情境 兴趣导入 教室中的墙壁与地面相交于一条直线,而天花板与地面, 没有公共点. *动脑思考 探索新知 如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平 行.平面 ? 与平面 ? 平行,记做 ? ∥ ? .画两个互相平行平面 的图形时,要使两个平行四边形的对应边分别平行(如图 9?25) . 讲解 说明 思考 质疑 思考

掌握 得情 况 引导 学生 分析 52 50

带领 学生 分析

?
?
图 9?25

引领 分析

理解

55

这样,空间两个平面就有两种位置关系:平行与相交. *创设情境 兴趣导入 进行乒乓球或台球比赛时,必需要保证台面与地面平 行.技术人员利用水准器来进行检测.水准器内的玻璃管装有 水,管内的水柱相当于一条直线,水准器内的水泡在中央,表 示水准器所在的直线与地平面平行.把水准器在平板上交叉放 置两次(如图 9?26) ,如果两次检测,水准器内的水泡都在中 央,就表示台面与地面平行,可以进行比赛,否则就需要进行 调整. 质疑 思考 引导 学生 分析

- 108 -

图 9?26 *动脑思考 探索新知 实例中,技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与 平面平行的方法:如果一个平面内的两条相交直线都与另一个 平面平行,那么这两个平面平行. 【想一想】 如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条 直线 , 那么这两个平面是否一定平行 *巩固知识 典型例题 例4 设平面 ? 内的两条相交直线 m,n 分别平行于另一 说明 强调 通过
k

57

思考 讲解 说明 带领 学生 分析 理解 60

观察

个平面 ? 内的两条直线 k,l(如图 9?27) ,试判断平面 ? , ? 是否平行? 解 因为 m 在 ? 外、l 在 ? 内,且

?
?

A n

m

思考 引领 主动 求解

例题 进一 步领

l
图 9?27

m∥l,所以 直线 m∥平面 ? . 同理可得 直线 n∥平面 ? . 由于 m、 是平面 ? 内两条相交直线, n 故可以判断 ? ∥ ? . *创设情境 兴趣导入 将一本书放在与桌面平行的位置,用作业本靠紧书一边, 绕着这条边移动作业本,观察作业本和书的交线与作业本和桌 面的交线之间的关系(如图 9?28) . 放到不同 位置的本 质疑 思考 讲解 说明

会 65

引导 学生 分析

70

- 109 -

书 桌子

图 9?28(请画出实物图) *动脑思考 探索新知 由大量的观察和实验得到 两个平面平行的性质: 如果一个 平面与两个平行平面相交, 那么 它们的交线平行. 如 图 9?29 所 示 , 如 果 平面 ? 与 ? 、 都相交, ? ∥? , ? 交线分别为 m、n,那么 m∥n. *运用知识 强化练习 1.画出下列各图形: (1)两个水平放置的互相平行的平面. (2)两个竖直放置的互相平行的平面. (3)与两个平行的平面相交的平面. 2.如图所示,? // ? , M 在 ? 与 ? 同侧,过 M 作直线 a 与 及时 提问 巡视 思考 求解 了解 学生 知识 掌握 得情 况 图 9?29 引领 分析 理解 带领 学生 分析 75 讲解 说明 思考

b ,a 分别与 ? 、? 相交于 A 、B ,b 分别与、? 相交于 C 、D . 指导

⑴ 判断直线 AC 与直线 BD 是否平行; ⑵ 如果 MA ? 4 cm, AB ? 5 cm, MC ? 3 cm,求 MD 的 长.

- 110 -

M

? A
? B
a 第 2 题图 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 异面直线的定义? 结论:

C D b

80

及时 质疑 回答 了解 学生 知识 归纳 强调 掌握 情况 83

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何?

引导

回忆 85

提问

反思

检验 学生

设空间中四条直线 a、b、c、d,满足 a//b, b//c, c//d, 巡视 指导 试判断 a 与 d 的关系. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 9.2 A 组(必做) ;9.2 B 组(选 做) (3)实践调查:寻找生活中的线线、线面、面面平行的实 例 说明

动手 求解

学习 效果 87

记录

分层 次要 求

90

【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

- 111 -

学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思;

学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见;
学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

【教学目标】 知识目标: (1)了解两条异面直线所成的角的概念; (2)理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念,二面角及其平面角的概念. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】 异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、 直线与平面所成的角的概念、 二面角 及其平面角的概念. 【教学难点】 两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定. 【教学设计】 两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系,它是本节教学的难 点.学生一般会有疑问:异面直线不相交怎么能成角?教学时要讲清概念.
- 112 -

例 1 是求异面直线所成的角的巩固性题目,一般来说,这类题目要先画出两条异面直 线所成的角,然后再求解. 斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一,是理解直线与平面所成的角的基础.要 讲清这一概念,可采取“一边演示,一边讲解,一边画图”的方法,结合图形讲清斜线、 斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影.要讲清斜 线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别. 两个平面相交时,它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定.教材从观察建筑房 屋、修筑河堤两个实例,结合实验引入二面角的概念,二面角的概念可以与平面几何中的 角的概念对比进行讲解. 二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关,而与平面角的顶点在棱 上的位置无关.因此二面角的大小可以用它的平面角来度量.规定二面角的范围为

[ 0? , 180? ] .
【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 *创设情境 兴趣导入 在图 9?30 所示的长方体中, 直线 BC1 和直线 AD 是异面直 线,度量 ?CBC1 和 ?DAD1 ,发现它们是相等的. 如果在直线 AB 上任选一点 P, 过点 P 分别作与直线 BC1 和 直线 AD 平行的直线, 那么它们所成的角是否与 ?CBC1 相等? 质疑 思考 启发 学生 思考 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

- 113 -

教 过

学 程

教师 行为 引导 分析

学生 行为

教学 意图

时 间

5 图 9?30 *动脑思考 探索新知 我们知道,两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的 最小的正角. 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这 两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角. 如图 9?31(1)所示, m? ∥ m 、 n ? ∥ n ,则 m? 与 n ? 的夹 角 ? 就是异面直线 m 与 n 所成的角.为了简便,经常取一条直 线与过另一条直线的平面的交点作为点 O (如图 9?31(2) ) n 讲解 说明 思考

n?
?

引领

理解 带领 学生 分析

m?
o

分析

m

(1) n

o

m?

m

仔细 分析 关键 语句 记忆

图 9-31(2) *巩固知识 典型例题 例1 如图 9?32 所示的长方体中, ?BAB 1 ? 30? ,求下列
- 114 -

12

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

异面直线所成的角的度数: (1) AB1 与 DC ; (2) AB1 与 CC1 . 说明 强调 通过 例题 引领 思考 进一 步领
?ABB 1 ? 90? , ?BAB 1 ? 30? ,

观察

解 (1) 因为 DC ∥ AB , 所以 ?BAB 1 为异面直线 AB1 与
DC 所成的角.即所求角为 30? .

(2)因为 CC1 ∥ BB1 ,所以 ?AB1B 为异面直线 AB1 与 CC1 所成的角. 在直角△ ABB1 中

会 讲解 主动 求解

所以
?AB 1 B ? 90? ? 30? ? 60? ,

说明

即所求的角为 60? .
D1

C1

A1

B1

17 D A B C

图 9?32

*运用知识 强化练习 在如图所示的正方体中,求下 列各对直线所成的角的度数: (1) DD1 与 BC ; (2) AA1 与 BC1 . 提问 指导 9.3.1 题图
- 115 -

思考 解答

领会 知识

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

21 *创设情境 兴趣导入 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中(图 9?33) ,直线 BB1 与直线

AB 、BC、CD、AD、AC 所成的角各是多少?
可以发现,这些角都是直角. 质疑 启发 思考 学生 思考 引导 分析 26 图 9?33 *动脑思考 探索新知 如果直线 l 和平面 ? 内的任意一条直线都垂直,那么就称 直线 l 与平面 ? 垂直,记作 l ? ? .直线 l 叫做平面 ? 的垂线, 讲解 垂线 l 与平面 ? 的交点叫做垂足. 画表示直线 l 和平面 ? 垂直的图形时, 要把直线 l 画成与平 行四边形的横边垂直(如图 9?34 所示) ,其中交点 A 是垂足. 带领 学生 分析 引领 分析 理解 30 说明 思考

图 9?34 *创设情境 兴趣导入 将一根木棍 PA 直立在地面 ? 上,用细绳依次度量点 P 与 地面上的点 A、B、C、D 的距离(图 9?35) ,发现 PA 最短.
- 116 -

带领 质疑 思考 学生 32

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 分析

时 间

图 9?35 *动脑思考 探索新知 如图 9?35 所示, PA ? ? ,线段 PA 叫做垂线段,垂足 A 叫做点 P 在平面 ? 内的射影. 直线 PB 与平面 ? 相交但不垂直, 则称直线 PB 与平面 ? 斜 交,直线 PB 叫做平面 ? 的斜线,斜线和平面的交点叫做斜 足.点 P 与斜足 B 之间的线段叫做点 P 到这个平面的斜线段. 引领 分析 理解 带领 学生 分析 仔细 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 如图 9?35 中,直线 AB 是斜线 PB 在平面 ? 内的射影. 从上面的实验中可以看到,从平面外一点向这个平面引垂 线段和斜线段,垂线段最短.因此,将从平面外一点 P 到平面 分析 讲解 关键 词语 记忆 40 讲解 说明 思考

? 的垂线段的长叫做点 P 到平面 ? 的距离.
*创设情境 兴趣导入 如图 9?36 所示,炮兵在发射炮弹时,为了击中目标,需 要调整好炮筒与地面的角度. 带领 质疑 思考 学生 分析

- 117 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

42

图 9?36 *动脑思考 探索新知 斜线 l 与它在平面 ? 内的射影 l ? 的夹角,叫做直线 l 与平 面 ? 所成的角. 如图 9?37 所示, PBA 就是直线 PB 与平面 ? ? 所成的角. 规定:当直线与平面垂直时,所成的角是直角;当直线与 平面平行或直线在平面内时,所成的角是零角.显然,直线与 平面所成角的取值范围是 [ 0 , 90 ] . 【想一想】 如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线 一定平行吗? 引领 分析 理解
? ?

讲解 说明

思考

带领 学生 分析

仔细 分析 讲解 关键 词语 图 9?37 *巩固知识 典型例题 例2 如图 9?38 所示, 等腰 ? ABC 的顶点 A 在平面 ? 外, 观察 说明
- 118 -

记忆

47

底边 BC 在平面 ? 内,已知底边长 BC=16,腰长 AB=17,又知 点 A 到平面 ? 的垂线段 AD=10.求

通过 例题

教 过

学 程

教师 行为 强调

学生 行为

教学 意图 进一 步领 会

时 间

(1)等腰 ? ABC 的高 AE 的长; (2) 斜线 AE 和平面 ? 所成的角 的大小(精确到 1?) . 分析 三角形 AEB 是直角

思考

三角形, 知道斜边和一条直角边, 引领 利 用 勾 股 定 理 可 以 求 出 AE 的 长; ?AED 是 AE 和平面 ? 所成 图 9?38

的角,三角形 ADE 是直角三角形,求出 ?AED 的正弦值即可 求出斜线 AE 和平面 ? 所成的角. 解 BE=8. 在 Rt? AEB 中,∠AEB=90°,因此
AE ? AB 2 ? BE 2 ? 172 ? 82 ? 15 .

主动 求解

(1) 在等腰 ? ABC 中, AE ? BC ,故由 BC=16 可得

讲解 注意 观察 学生

(2) 联结 DE.因为 AD 是平面 ? 的垂线, 是 ? 的斜线, 说明 AE 所以 DE 是 AE 在 ? 内的射影.因此 ?AED 是 AE 和平面 ? 所成 的角. 在 Rt? ADE 中,
sin ?AED ? AD 10 2 ? ? , AE 15 3

是否 思考 理解 知识 55

所以

?AED ? 42? .
即斜线 AE 和平面 ? 所成的角约为 42? . 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线? *运用知识 强化练习 长方体ABCD ? A1B1C1 D1 中, 高DD1=4cm, 底面是边长为3cm 的正方形,求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小(精确到 1′). 提问 巡视 思考 求解



及时 了解 学生 知识

- 119 -

教 过

学 程

教师 行为 指导

学生 行为

教学 意图 掌握 得情 况

时 间

60 练习 9.3.2 图 *创设情境 兴趣导入 在建筑房屋时,有时为了美观和排除雨水的方便,需要考 虑屋顶面与地面形成适当的角度(如图 9?39(1);在修筑河 ) 堤时,为使它经济且坚固耐用,需要考虑河堤的斜坡与地面形 成适当的角度(如图 9?39(2). ) 质疑 思考 启发 思考

(1) 图 9?39

引导 (2) 分析

在白纸上画出一条线,沿着这条线将白纸对折,然后打开 进行观察. *动脑思考 探索新知 平面内的一条直线把平面分成两部分,每一部分叫做一个 半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的 面.以直线 l(或 CD)为棱,两个半平面分别为 ?、? 的二面 角,记作二面角 ? ? l ? ? (或 ? ? CD ? ? ) (如图 9?40) . 引领 分析 理解 带领 学生 分析 讲解 说明 思考 63

- 120 -

教 过 D

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

N C C 图 9?41 图 9?40 l o M

?
D

仔细 分析 讲解 关键 词语 记忆

?

过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射 线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角.如图 9?41 所示, 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任意选取一点 O , 以点 O 为垂足,在面 ? 与面 ? 内分别作 OM ? l 、ON ? l ,则 ?MON 就是这个二面角的平面角. *创设情境 兴趣导入 用纸折成一个二面角,在棱上选择不同的点作出二面角的 平面角,度量它们是否相等,想一想是什么原因. *动脑思考 探索新知 二面角的平面角的大小由 ?、? 的相对位置所决定,与顶 点在棱上的位置无关,当二面角给定后,它的平面角的大小也 就随之确定.因此,二面角的大小用它的平面角来度量. 当二面角的两个半平面重合时,规定二面角为零角;当二 面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角为平角.因此 二面角取值范围是 [ 0 , 180 ] . 平面角是直角的二面角叫做直二面角.例如教室的墙壁与 地面就组成直二面角,此时称两个平面垂直.平面 ? 与平面 ? 垂直记作 ? ? ? *巩固知识 典型例题 例 3 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中(如图 9?42) ,求二面 角 D1 ? AD ? B 的大小. 说明 观察
? ?

70

启发 质疑 思考 思考 72

讲解 说明

思考 带领 学生 理解 分析

引领 分析 记忆 76

- 121 -

教 过

学 程

教师 行为 强调

学生 行为

教学 意图

时 间

通过 例题 图 9?42 解 AD 为二面角的棱, AA1 与 AB 是分别在二面角的两 引领 思考 进一 步领 会 个 面 内 并 且 与 棱 AD 垂 直 的 射 线 , 所 以 ?A1 AB 为 二 面 角
D1 ? AD ? B 的平面角.

讲解 因为在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ?A1 AB 是直角.所以 二面角 D1 ? AD ? B 为 90°. 说明 主动 求解

81 *运用知识 强化练习 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,求二面角 A ? DD1 ? B 的大 小. 提问 巡视 指导 思考 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 练习 9.3.3 题 图 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 异面直线所成的角、二面角的平面角的概念? 结论: 质疑 及时 了解 况

86

- 122 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为 回答

教学 意图 学生 知识

时 间

经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这 两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角. 过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射 线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 在正方体 AC1 中,求平面 ABC1 D1 与平面 ABCD 所成的二 面角的大小. 巡视 指导 提问 引导 归纳 强调

掌握 情况 87

回忆

反思 检验 学生 动手 求解 学习 效果

89 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 9.1 A 组(必做) ;9.1 B 组(选 做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生的情感态度 学生是否参与有关活动; 说明 记录 分层 次要 求

- 123 -

在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.4

直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【教学目标】 知识目标: (1)了解空间两条直线垂直的概念; (2)掌握与平面垂直的判定方法与性质,平面与平面垂直的判定方法与性质. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】 直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质. 【教学难点】 判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直. 【教学设计】 在平面内,过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直;在空间中,过一点 作与已知直线垂直的直线,能作无数条. 例 1 是判断异面直线垂直的巩固性题目, 根据异面直线垂直的定义, 只要判断它们所成
- 124 -

的角为 90 即可. 在判定直线与平面垂直时,要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件.可举一些实 例,以加深学生对条件的理解. 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况. 在日常生活和工农业生产中, 两个平面 互相垂直的例子非常多,教学时可以多结合一些实例,以引起学生的兴趣. 例 4 是判断平面与平面垂直的巩固性题目,关键是在平面 B1 AC 内找到一条直线 AC 与 平面 B1BDD1 垂直.例 5 是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 如果空间两条直线所成的角是90?,那么称这两条直线互 相垂直,直线a和b互相垂直,记作a⊥b. 【想一想】 演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位 置关系,并回答问题:经过空间任意一点作与已知直线垂直的 直线,能作几条? *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43,长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断直线AB 和DD1是否垂直. 解 AB和DD1是异面直线,而BB1∥DD1,AB⊥BB1,根 说明 强调 通过 例题 观察 引导 分析 5 质疑 思考 启发 学生 思考 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间

?

据异面直线所成的角的定义,
- 125 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 进一

时 间

可知AB与DD1成直角.因此 AB ? DD1 .

引领

思考

步领 会

讲解 图9-43 说明

主动 求解 10

*运用知识 强化练习 提问 1.垂直于同一条直线的两条直线是否平行? 2.在图 9?43 所示的正方体中,找出与直线 AB 垂直的棱, 并指出它们与直线 AA1 的位置关系. *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概 念.根据定义判断直线与平面垂直, 需要 判定直线与平面内的任意一条直线都垂 直,这是比较困难的.那么,如何判定 直线和平面垂直呢? 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的. 如图 9?44 所示,检验一根圆木柱和板面是否垂直.工人 师傅的做法是,把直角尺的一条直角边放在板面上,看曲尺的 另一条直角边是否和圆木柱吻合,然后把直角尺换个位置,照 样再检查一次(应当注意,直角尺与板面的交线,在两次检查 中不能为同一条直线) .如果两次检查,圆木柱都能和直角尺 的直角边完全吻合,就判定圆木柱和板面垂直. *动脑思考 探索新知 引导 分析 图 9?44 质疑 指导 思考 解答

了解 知识 掌握 情况 14

带领 思考 学生 分析

17

- 126 -

教 过 【新知识】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 带领

时 间

从大量的实践与观察中,归纳出直线与平面垂直的判定方 法:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线与这个平面垂直. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图9?45),直线AA1 与平面ABCD垂直吗?为什么?

讲解 说明 理解

学生 分析 20

说明 强调

观察

通过 图9?45 引领 解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中, 侧面ABB1A1、 1D1D AA 都是长方形, 所以AA1⊥AB, 1⊥AD. AA 且AB和AD是平面ABCD 内的两条相交直线. 由直线与平面垂直的判定定理知, 直线AA1 ⊥平面ABCD. 讲解 说明 主动 求解 例题 思考 进一 步领 会

图9?46 [小提示] 在实际生活中,我们采用如图9?46所示的“合页型折纸” 检验直线与平面垂直,就是直线与平面垂直方法的应用. 【做一做】 25 如果只给一个卷尺,你能否判断操场中立的旗杆与底面垂 直吗???????

- 127 -

教 过 *创设情境 兴趣导入 【观察】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面,并且这 些电线杆是平行的.这一事实启发我们得出直线与平面垂直的 性质. 质疑 启发 思考 学生 思考 引导 分析 28 *动脑思考 探索新知 【新知识】 由大量的实验与观察,归纳出直线和平面垂直的性质:垂 直于同一个平面的两条直线互相平行. 如图 9?47 所示,设 m ? ? , n ? ? ,则 m∥n. n 带领 学生 图 9?47 引领 [想一想] 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条 也垂直于这个平面吗?为什么? *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例3 如图9?48,AB和CD都是平面 ? 的垂线,垂足分别为 B、D,A、C分别在平面 ? 的两侧,AB=4 cm,CD=8 cm, BD=5 cm,求AC的长. 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 32 分析 分析 理解 讲解 说明 思考

m

?

- 128 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 会

时 间

思考

引领 图9?48 解 因为AB⊥ ? ,CD⊥ ? ,所以 AB∥CD.因为BD在 主动 讲解 说明 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 37

平面 ? 内,AB⊥BD,CD⊥BD.设AB与CD确定平面 ? ,在平 面 ? 内,过点A作AE∥BD,直线AE与CD交于点E. 在直角三角形ACE中,因为AE=BD=5 cm, CE=CD+DE=CD+AB=8 + 4 =12(cm), 所以 AC=

AE 2 ? CE 2 =

52 ? 122 =13(cm).

*运用知识 强化练习 1.一根旗杆 AB 高 8 m,它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子, 拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的 C、D 两点,并 使点 C、 与旗杆脚 B 不共线, D 如果 C、 与 B 的距离都是 6 m, 提问 D 那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直,为什么? 2. 如图所示,?ABC 在平面 ? 内, BAC ? 90? , PA ? ? 且 ? 于 A,那么 AC 与 PB 是否垂直?为什么? 巡视 指导 思考 解答 及时 了解 学生 知识 掌握 情况

42

*创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么称这 两个平面互相垂直.平面 ? 与平面 ? 垂直,记作 ? ? ? .

- 129 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

画表示两个互相垂直平面的图形时,一般将两个平行四边 形的一组对边画成垂直的位置,可以把直立的平面画成矩形 (图 9?49 1), ( ) 也可以把直立的平面画成平行四边形 (图 9?49 (2). ) 质疑 观察

?
带领

?
(2) 图 9?49 【做一做】 请动手画出图9?50中的两个图形. [实例] 建筑工人在砌墙时,把线的一端系一个铅锤,另一端用砖 压在墙壁面上(图9?50),观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴 (在铅锤处应有一空隙),即判断所砌墙面是否经过地面的垂 线,以此保证所砌的墙面与地面垂直. 引导 分析 思考

学生 分析

48 图 9?50 *动脑思考 探索新知 【新知识】 这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法:一个平面 经过另一个平面的垂线则两个平面垂直. 如图 9?51 所示,如果 AB ? ? , AB 在 ? 内,那么 ? ? ? . 讲解 说明 带领 学生 理解

- 130 -

教 过

学 程

教师 行为 引领 分析

学生 行为

教学 意图 分析

时 间

图 9?51

52

*巩固知识 典型例题 【知识巩固】 说明 例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1(如图9?52)中,判断平 面B1AC与平面B1BDD1是否垂直. 强调 观察

引领 思考 通过 例题 进一 图9?52 步领 会 解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所 讲解 说明 主动 求解

以BB1⊥AC,在底面正方形ABCD中,BD⊥AC,因此AC⊥平面 BB1D1D, 因为AC在平面B1AC内,所以平面B1AC与平面B1BDD1垂 直. *创设情境 兴趣导入 【实验】 如图 9?53 所示,在正方体 A1C 的侧面 A1 ABB1 中,作

57

质疑 带领

EE1 ? AB ,观察 EE1 与底面 ABCD 的关系.

思考

学生 分析

- 131 -

教 过

学 程

教师 行为 引导

学生 行为

教学 意图

时 间

D1
A1
D E1

C1 B1

分析

C
E 图 9?53

D A

B
60

*动脑思考 探索新知 【新知识】 可以看到,由于 EE1 ? AB ,故 EE1 ∥ BB1 ,又 BB1 ? BC , 讲解 因此 EE1 ? BC . 这样,EE1 就与底面 ABCD 中的两条相交直线 说明 理解 带领 学生 分析 引领 分析 64 记忆

AB、BC 都垂直,所以 EE1 与底面 ABCD 垂直.
由大量的观察与实践,归纳出平面与平面垂直的性质:如 果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例5 如图9?54所示,平面α⊥平面β, AC在平面α内,且 AC⊥AB,BD在平面β内,且BD⊥AB,AC=12 cm,AB=3 cm, BD=4 cm.求CD的长. 说明 强调 观察

通过 例题 进一 步领 会

思考 引领 图9?54 解 在平面 ? 内,连结AD.又由于BD⊥AB,所以在直角 注意

- 132 -

教 过 三角形ABD中,

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 观察

时 间

讲解

AD ? AB ? BD ? 3 ? 4 ? 25 ,
2 2 2 2 2

学生 主动 求解 是否 理解 知识 点

说明



AD=5(cm).

因为 ? ? ? ,AC在平面 ? 内,且AC⊥AB,AB为平面 ? 与

? 的交线,所以AC⊥ ? .
因此CA⊥AD. 在直角三角形ACD中,

CD2 ? AC 2 ? AD2 ? 122 ? 52 ? 169 ,
故 69 CD=13(cm).

*运用知识 强化练习 1.如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,与平面 AB1 垂直的平面有 个,与平面 AB1 垂直的棱有 条. 提问 D A
1 1

及时 了解 思考 求解 学生 知识 掌握 得情 况 巡视 指导

C B
1

D A 第 1 题图

1

C

B 第 2 题图

2.如图所示,检查工件相邻的两个面是否垂直时,只要 用曲尺的一边卡在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面 上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了,为什么? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 直线与平面垂直的判定与性质? 平面与平面垂直的判断与性质? 质疑 及时 了解 学生

78

- 133 -

教 过 结论:

学 程

教师 行为

学生 行为 回答

教学 意图 知识 掌握

时 间

直线与平面垂直的判定方法:如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. 直线和平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线互 相平行. 平面与平面垂直的判定方法:一个平面经过另一个平面的 垂线则两个平面垂直. 归纳 强调

情况

82 平面与平面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平 面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 一根旗杆 AB 高 8 m,它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子,拉 紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的 C、D 两点,并使 巡视 动手 求解 88 提问 反思 检验 学生 学习 效果 引导 回忆

点 C、D 与旗杆脚 B 不共线,如果 C、D 与 B 的距离都是 6 m, 指导 那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直,为什么? *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 9.4 A 组(必做) ;9.4 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的两个平面垂直 的实例 说明

记录

分层 次要 求

90 【教师教学后记】 项目 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题;
- 134 -

反思点 学生是否真正理解有关知识;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)

【教学目标】 知识目标: (1)了解棱柱、棱锥的结构特征; (2)掌握棱柱、棱锥面积和体积计算. 能力目标: 培养学生的观察能力,数值计算能力及计算工具使用技能. 【教学重点】 正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算. 【教学难点】 正棱柱、正棱锥的相关计算. 【教学设计】
- 135 -

教材首先介绍了多面体、旋转体的概念.然后通过观察模型,说明棱柱、棱锥、圆柱、 圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式.正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算 公式经常使用,不要把侧面积、全面积计算公式记混了. 侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱.底面是正方形的四棱柱不一定是 正四棱柱.四棱锥 P-ABCD 中,如果棱锥的侧棱长相等,那么它一定是正四棱锥.如果棱 锥的底面是正方形,那么它不一定是正四棱锥. 例 1 是求正三棱柱的侧面积和体积的题目,例 2 是求正三棱锥的侧面积和体积的题目, 要记住边长为 a 的正三角形的面积为 S ? 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 9.5 柱、锥、球及其简单组合体 【知识回顾】 在九年制义务教育阶段, 我们学习过直棱柱、圆柱、 圆锥、 球等几何体. 质疑 思考 启发 学生 (1) (2) 图 9?55 象直棱柱(图 9?55(1) )那样,由若干个平面多边形围成 的封闭的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的交点叫 做多面体的顶点,不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面 讲解 说明 (3) (4) 思考 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间
3 2 a . 4

- 136 -

教 过 体的对角线.

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

像圆柱(图 9?55(2)、圆锥(图 9?55(3)、球(图 9?55 ) ) (4) )那样的封闭几何体叫做旋转体. *创设情境 兴趣导入 【观察】 引导 分析 思考 引导 学生 分析

图 9?56 观察图 9?56 所示的多面体,可以发现它们具如下特征: (1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形; (2)每相邻两个四边形的公共边互相平行. *动脑思考 探索新知 【新知识】 有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线都互相平行 的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面,叫做棱柱的底面,其 余各面叫做棱柱的侧面.相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱.两个底面间的距离,叫做棱柱的高. 图9?56所示的四个多面体都是棱柱. 表示棱柱时,通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字 母,中间用一条短横线隔开,例如,图9?56(2)所示的棱柱,可 以记作棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,或简记作棱柱 AC1 . 经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱,如图9?56所示 的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱. 侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9?56(2);侧棱 引领
- 137 -

10

讲解 说明

思考

教 过

学 程

教师 行为 分析

学生 行为 理解

教学 意图

时 间

与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,如图9?56(1);底面是正多 边形的直棱柱叫做正棱柱,如图9?56(3)和(4),分别为正 四棱柱和正五棱柱. 正棱柱有下列性质: (1)侧棱垂直于底面,各侧棱长都相等,并且等于正棱 柱的高; (2)两个底面中心的连线是正棱柱的高. [想一想] 如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形,它是不是正四棱 柱?如果四棱柱的底面是正方形,它是不是正四棱柱? 【新知识】 正棱柱所有侧面的面积之和,叫做正棱柱的侧面积.正棱 柱的侧面积与两个底面面积之和,叫做正棱柱的全面积.

带领 学生 分析

仔细 分析 关键 语句 记忆

图9?57 观察正棱柱的表面展开图(图9?57),可以得到正棱柱的 侧面积、全面积计算公式分别为
S正棱柱侧 ? ch S正棱柱全 ? ch ? 2S底

(9.1) (9.2)

其中,c 表示正棱柱底面的周长, h 表示正棱柱的高, S底 表示正 棱柱底面的面积. 可以得到正棱柱的体积计算公式为(公式推导略) 25

- 138 -

教 过
V正棱柱 ? S底h

学 程 (9.3)

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

其中, S 底 表示正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 1 已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm,高为5 cm, 求这个正三棱柱的侧面积和体积. 解 正三棱锥的侧面积为 S侧=ch=3×4×5 = 60( cm2 ). 由于边长为4 cm的正三角形面积为
3 2 ? 4 ? 4 3 ( cm2 ), 4

说明 强调

观察

通过 例题 引领 思考 进一 步领 会 讲解
3 2 a . 4

所以正三棱柱的体积为
V ? S底 h ? 4 3 ? 5 = 20 3 ( cm3 ).

【小提示】 边长为a的正三角形的面积为 S ?

主动 求解

说明

【软件连接】 利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形.方法是: 首先选中所以绘制棱柱的名称(图 9?58) ,然后选择合适的位 置,点击并拖动,即可得到棱柱的直观图形(图 9?59) ,最后 再标注字母.

讲解 说明

思考 理解

带领 学生 思考

- 139 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

图 9?58

35 图 9?59 *创设情境 兴趣导入 观察图 9?60 所示的多面体,可以发现它们具如下特征: 有一个面是多边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有 一个公共顶点. 质疑 启发 思考 学生 思考 引导 分析

- 140 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

40

(3)

图 9?60 *动脑思考 探索新知 【新知识】 具备上述特征的多面体叫做棱锥.多边形叫做棱锥的底面 (简称底) ,有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面 的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的 高.底面是三角形、四边形、??的棱锥分别叫做三棱锥、四 棱锥、??. 通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥. 例如, 图 9?60(2)中的棱锥记作:棱锥 S ? ABCD . 底面是正多边形,其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱 锥叫做正棱锥.图 9?60 中(1)(2)分别表示正三棱锥、正 、 四棱锥. 正棱锥有下列性质: (1)各侧棱的长相等; (2)各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边 上的高都叫做正棱锥的斜高; (3)顶点到底面中心的连线垂直与底面,是正棱锥的高; (4)正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直 角三角形; (5)正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个 直角三角形. 引领 分析 理解 讲解 说明 思考 带领 学生 分析

- 141 -

教 过 【想一想】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

四棱锥P-ABCD中,如果棱锥的侧棱长相等,那么它是不 是正四棱锥?如果棱锥的底面是正方形,那么它是不是正四棱 锥? 【新知识】

讲解 说明

思考 带领 学生 分析

引领 分析

记忆

图9?61 观察正棱锥的表面展开图(图9?61),可以得到正棱锥的 侧面积、全面积(表面积)计算公式分别为

S 正棱锥侧 ? S 正棱锥全

1 ch? 2 1 ? ch? ? S 底 . 2

(9.4) (9.5)

52

其中, c 表示正棱锥底面的周长, h ? 是正棱锥的斜高, S 底 表示 正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高. *创设情境 兴趣导入 【实验】 准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器,将正三棱 锥容器中装满沙子,然后倒入正三棱柱形状的容器中,发现: 连续倒三次正好将正三棱柱容器装满. *动脑思考 探索新知 【新知识】 实验表明,对于同底等高的棱锥与棱柱,棱锥的体积是棱柱体 积的三分之一.即 讲解 说明 理解 带领 学生 57 带领 质疑 思考 学生 分析

- 142 -

教 过

学 程 (9.6)

教师 行为

学生 行为

教学 意图 分析

时 间

V正棱锥 ?

1 S底h . 3

记忆

其中, S 底 表示正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高. 62 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 2 如图9?62,正三棱锥P-ABC中,点O是底面中心, PO=12 cm,斜高PD=13 cm.求它的侧面积、体积(面积精 确到0.1 cm2 ,体积精确到1 cm3 ). 说明 强调 观察

通过 引领 图9?62 解 在正三棱锥P-ABC(图9?62)中,高PO=12 cm,斜 思考 例题 进一 步领 会

高PD=13 cm. 在直角三角形 POD 中, OD= PD2 ? PO2 = 132 ? 122 =5(cm). 讲解 在底面正三角形ABC中, CD=3OD=15(cm). 所以底面边长为 AC=10 所以侧面积与体积分别约为
1 1 S侧 ? ch? ? ? 3 ? 10 3 ? 13 ≈337.7( cm2 ). 2 2 1 1 1 V正棱锥 ? S底h ? ? ? (10 3)2 ? sin 60? ?12 ≈520( cm3 ). 3 3 2

主动 求解

说明

3

cm.

72 *运用知识 强化练习
- 143 -

及时

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 了解

时 间

1. 设正三棱柱的高为 6,底面边长为 4,求它的侧面积、 提问 全面积及体积. 2. 正四棱锥的高是 a,底面的边长是 2a,求它的全面积 与体积. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 正棱柱的侧面积、全面积、体积公式,正棱锥的侧面积、 质疑 全面积、体积公式? 巡视 指导

思考 解答

学生 知识 掌握 情况 80

及时 结论:
S正棱柱侧 ? ch ; V正棱柱 ? S底h ; S正棱柱全 ? ch ? 2S底 ;

回答

了解 学生

归纳 强调

知识 掌握 情况

S 正棱锥侧 ? V正棱锥 ?

1 ch? ; 2

S 正棱锥全 ?

1 ch? ? S 底 ; 2

1 S底h . 3
83

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 设正三棱柱的高为 6,底面边长为 4,求它的侧面积、全 面积及体积. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 9.5 A 组(必做) ;9.5 B 组(选 做) 说明 记录 分层 次要 求 巡视 指导 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 89 引导 回忆

- 144 -

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

(3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的正棱柱实例 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】10.1 计数原理

【教学目标】 知识目标:

- 145 -

掌握分类计数原理和分步计数原理. 能力目标: 培养学生的观察、分析能力. 【教学重点】 掌握分类计数原理和分步计数原理. 【教学难点】 区别与运用分类计数原理和分步计数原理. 【教学设计】 分类计数原理的特点: 各类办法间相互独立, 各类办法中的每种办法都能独立完成这件 事(一步到位) .分步计数原理的特点:一步不能完成,依次完成各步才能完成这件事(一 步不到位) .确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成. 例 1、例 2 及例 3 是巩固性练习,主要是让学生巩固所学的分类计数原理、分步计数原 理. “想一想”中的问题:如果第一步选团支部书记,第二步选班长,计算出的结果与上面 的结果相同吗?答案是相同.因为第一步选团支部书记是从 3 个人中选出 1 个人,共有 3 种结果,对第一步的每种结果,第二步选班长都有 2 种结果.因此共有 3 ? 2 ? 6 种结果. “试一试”中的问题:你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别吗?答案是:确定 适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是看能否一次完成; 能一次完成, 适用分类计数 原理;不能一次完成,适用分步计数原理. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 10.1 计数原理 *创设情境 兴趣导入 【实例】 由太原去北京可以乘火车, 也可乘汽车, 还可以乘飞机. 如 思考
- 146 -

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

介绍

了解

0

质疑

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 启发

时 间

果一天之内火车有 4 个班次,汽车有 17 个班次,飞机有 6 个 班次,那么,每天由太原去北京有多少种不同的方法? 解决这个问题需要分类进行研究.由太原去北京共有三类 方案.第一类是乘火车,有 4 种方法;第二类是乘汽车,有 17 种方法;第三类是乘飞机,有 6 种方法.并且,每一种方法都 能够完成这件事(从太原去北京) .所以每天从太原去北京的 方法共有 . 4 ? 17 ? 6 ? 27 (种) *动脑思考 探索新知 【新知识】 一般地,完成一件事,有 n 类方式.第 1 类方式有 k1 种方 法,第 2 类方式有 k 2 种方法,??,第 n 类方式有 k n 种方法, 那么完成这件事的方法共有 . N ? k1 ? k2 ? ? ? kn(种) 上面的计数原理叫做分类计数原理 .
1

讲解 说明

学生 思考

10

讲解 说明

理解 带领 学生 分析 记忆

(10.1)

引领 分析

20 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 1 三个袋子里分别装有 9 个红色球 2,8 个蓝色球和 10 个 白色球.任取出一个球,共有多少种取法? 解 取出一个球,可能是红色球、蓝色球或白色球. 说明 强调 通过 例题 观察

第一类:取红色球,从 9 个红色球中任意取出一个,有
k1 ? 9 种方法;

第二类:取蓝色球,从 8 个蓝色球中任意取出一个,有

1 2

分类计数原理有些教科书上写作加法原则. 本章中,袋子中的球除了颜色不同外,外形、重量等完全相同。每个球都有编号,任意两个同色球都是 不同的球。 - 147 -

教 过
k2 ? 8 种方法;

学 程

教师 行为 引领

学生 行为 思考

教学 意图 进一 步领 会

时 间

第三类:取白色球,从 10 个白色球中任意取出一个,有
k2 ? 10 种方法.

讲解 说明 主动 求解 了解 提问 巡视 指导 思考 解答 学生 知识 掌握 情况 40 30

由分类计数原理知,不同的取法共有 . N ? 9 ? 8 ? 10 ? 27 (种) *运用知识 强化练习 1.书架上有 7 本数学书,6 本语文书,4 本英语书.如果 从书架上任取一本,共有多少种不同取法? 2.某职业学校电子一班的同学分为三个小组,甲组有 10 人,乙组有 11 人,丙组有 9 人.现要选派 1 人参加学校的技 能活动,有多少种不同的方法? *创设情境 兴趣导入 【问题】 从唐华、张凤、薛贵 3 个候选人中,选出 2 个人分别担任 班长和团支部书记,会有多少种选举结果呢? 解决这个问题需要分步骤进行研究.第一步选出班长,第 二步选出团支部书记.每一步并不能完成选举工作,只有各步 骤都完成,才能完成选举这件事. 如图 10-1 所示,第一步从 3 个人中选出 1 个人,共有 3 种结果,对第一步的每种结果,第二步都有 2 种结果.因此共 有 3 ? 2 ? 6 种结果.

质疑

启发 学生 思考 思考

引导 分析

- 148 -

教 过 第一步选班长

学 程 第二步选团支部书记 张凤

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

唐华 薛贵 唐华 张凤 薛贵 50 唐华 薛贵 张凤 图 10-1 【想一想】 如果第一步选团支部书记,第二步选班长,计算出的结果 与上面的结果相同吗? *动脑思考 探索新知 【新知识】 一般地,如果完成一件事,需要分成 n 个步骤,完成第 1 个步骤有 k1 种方法,完成第 2 个步骤有 k 2 种方法,??,完成 第 n 个步骤有 k n 种方法,并且只有这 n 个步骤都完成后,这件 事才能完成,那么完成这件事的方法共有
N ? k1 ? k2 ? ? ? kn

讲解 说明

思考

引领 分析

理解

带领 学生 分析

(种) .

(10.2)
1

60

上面的计数原理叫做分步计数原理 . *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 说明 例 2 某校电子八班有男生 26 人,女生 20 人,若要选男、女 观察

1

分布计数原理有些教科书上写作乘法原则. - 149 -

教 过

学 程

教师 行为 强调

学生 行为

教学 意图

时 间

生各 1 人作为学生代表参加学校伙食管理委员会,共有多少种 选法? 解 这件事可以分成两个步骤完成:

通过 例题 思考 引领 进一 步领 会

第一步:从 26 名男生

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