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6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者:阿曼古.卡地尔 指导老师:买买提明


编号

学士学位论文
事件的独立性与随机变量的 独立性
学生姓名: 学 系 专 年 号: 部: 业: 级: 阿曼古·卡地尔 20060101011 数学系 数学与应用数学 2006-3 班 买买提依明·热扎克 2011 年 5 月 10 日

指导教师: 完成日期:

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/>BACHELOR ’S THESIS

中文摘要
事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一. 本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研 究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性. 关键词:独立事件;概率;随机变量

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中文摘要 .................................................................................................................... 1 引言 ............................................................................................................................ 2 1. 事件的独立性 ...................................................................................................... 2 1.1 两个事件的独立性 ............................................. 2 1.2 三个事件的独立性 ............................................. 6 1.3 多个事件的独立性 ............................................. 8 2.随机变量的独立性 .............................................................................................. 11 2.1 离散型随机变量的独立性 ......................................13 2.2 连续型随机变量的独立性 ......................................14 总结 .......................................................................................................................... 19 参考文献 .................................................................................................................. 20 致谢 .......................................................................................................................... 21

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引言
对于事件的独立性,即有直观的描述,又有严格的数学定义,它们在不同的 场合各有用处, 独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的 发展, 概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事 实上是以事件的独立性为基础的概念.

1. 事件的独立性
在已知事件 A 发生的条件下, B 发生的可能性为条件概率
P( B | A) ? P( AB) P( A)

并且由此可以得到一般的概率乘法公式
P( AB) ? P( A) P( B | A)

现在可以提出一个问题, 如果事件 B 发生与否不受事件 A 是否发生的影响, 那么会出现什么样的情况呢?为此,需要把“事件 B 发生与否不受事件 A 是否 发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上,事件 B 发生与否不受事件 A 的 影响,也就是意味着有
P( B) ? P( B | A)

这时乘法公式就有了更自然的形式
P( AB) ? P( A) ? P( B)

由此启示我们引入下述定义.

1.1 两个事件的独立性
定义 1 对任意的两个事件 A , B ,若
P( AB) ? P( A) P( B)

成立,则称事件 A , B 是相互独立的,简称为独立的. 例 1:分别掷两枚均匀的硬币,令

2

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? ? ? 硬币甲出现正面 ? ? ? 硬币乙出现正面

? ?

验证事件 A,B 是相互独立的 证明: 这是样本空间 (正,反)(反,正)(反 ,反 ) , , ? ? ? (正,正),

?

共含有 4 个基本事件,它们是等可能的 ,各有概率 1/4,而 , ? ? ? (正,正)(正,反 ) , ? ? ? (正,正)(反,正)

?

?

?? ? ? (正,正)
由此知
? ( ? ) ? ? ( ?) ? 1 2

?

这是有
?( ??) ? 1 ? ?( ?)?(?) 4

成立,所以 A,B 是相互独立的 例 2: 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令
A ? { 一个家庭中既有男孩又有女孩 } B ? { 一个家庭中最多有一个女孩 }

对下述两种情形,讨论 A 与 B 的独立性: (1) 家庭中有两个小孩; (2) 家庭中有三个小孩; 解:(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为
? ? {(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},

它有 4 个基本事件,由等可能性知概率各为
A ? {(男,女),(女,男)}
3

1 ,这时 4

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B ? {(男,男),(男,女),(女,男)} AB ? {(男,女),(女,男)}

于是
P( A) ? 1 3 1 , P( B) ? , P( AB) ? 2 4 2

由此可知
P( AB) ? P( A) P( B)

所以事件 A , B 不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,样本空间为
? ? {(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),

(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)} 1 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ,这时 8 A 中含有 6 基本事件,
B 中含有 4 基本事件, AB 中含有 3 基本事件,

于是
P ( A) ? 6 3 4 1 3 ? , p( B) ? ? , p( AB) ? 8 4 8 2 8

显然有
3 ? P( A) P( B) 8 成立,从而事件 A 与 B 是相互独立的. p( AB) ?

定理 1 若果事件 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互 立. 证明: ? 事件 A 与 B 相互独立 ? P( AB) ? P( A) P( B)

__

__

__

__

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(1) P( A B) ? P( A ? B) ? P( A ? AB) A ? AB P ( A) ? P ( AB) ? P ( A) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) ?1 ? P ( B ) ? ? P ( A) P ( B )
__

__

因此 A 与 B 相互独立.

__

(2) P( AB) ? P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B)

? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? [1 ? P( A)][1 ? P( B)] ? P ( A) P ( B )
(3) P( AB) ? P( B ? A) ? P( B ? AB)

B ? AB P( B) ? P( AB)
? P ( B ) ? P ( B ) P ( A) ? P ( B )[1 ? P ( A)] ? P ( B ) P ( A) ? P ( A) P ( B )
因此 A 与 B , A 与 B 也是相互独立. 命题 不可能事件与任意 A 事件是相互独立. 证明 设 ? 是不可能事件
P( A? ) ? P(? ) ? P( A) ? 0 ? P( A) P(? )
? A 与 ? 是相互独立.

命题 必然事件与任意 A 事件是相互独立. 证明 设 ? 是必然事件
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P( A?) ? P(?) ? P( A) ?1 ? P( A) ? P(?)
? A 与 ? 是相互独立.

例 3: 甲,乙两个人分别猜一个谜,猜对的概率分别是 0.7,0.6,求下列 事件的概率. (1) “两个都猜对” (3) “恰有一个人猜对” (2) “两个人都猜错” (4) “至少有一个人猜对”

解:设 A ? “甲猜对” , B ? “乙猜对”

? 两个人分别猜谜

? A 与 B 是相互独立

P( A) ? 0.7 , P( B) ? 0.6 ? P( A) ? 0.3 , P( B) ? 0.4

P(1) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.42 P(2) ? P( AB ) ? P( A) P( B ) ? 0.3 ? 0.4 ? 0.12
P(3) ? P( AB ? AB) ? P( AB) ? P( AB)
? P( A) P( B ) ? P( A) P( B) ? 0.7 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.46
P(4) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.88



P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( AB ) ?1 ? 0.12 ? 0.88

1.2 三个事件的独立性
定义 2 设 三 事件 A, B, C ,如果

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P( AB) ? P( A) P( B) P( AC ) ? P( A) P(C ) P( BC ) ? P( B) P(C ) P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C )
则称 A, B, C 相互独立. 只满足前 3 式,称 A, B, C 为两两独立.
A, B, C 相互独立,则一定两两独立;但是两两独立,则三个事件不一定相

互独立. 例 4: 设样本空间 ? ? ??1, ?2 , ?3 , ?4 ? 含有等可能的四个基本事件,又

A ? ??1, ?2? ; B ? ??1, ?3? ;C ? ??1, ?4?
解:显然有 P ? A ? ? P ? B ? ? P ? C ? ? 由此有
P ? AB ? ? P ? A ? ? ? B ? ; ? ? ?C ? ? ? ? B ? ? ? C ? ; ? ? AC ? ? P ? A ? ? ? C ? ; 1 1 ? ? ABC ? ? ; ? ? A ? ? ? B ? ? ? C ? ? 4 8 ? P ? ABC ? ? P ? A ? ? ? B ? ? ? C ? 这说明A,B,C两两独立,但是P ? ABC ? ? P ? A ? ? ? B ? ? ? C ? 故A,B,C不相互独立。
1 2

例 5:设 4 张同样的卡片,1 张涂上红色,1 张涂上绿色,1 张涂上红,黄, 绿三种颜色, 从这 4 张卡片, A,B,C 分别表示事件 用 “取出的卡片上涂有红色” , “ 取出的卡片上涂有黄色”“ 取出的卡片上涂有绿色” , 问:A,B,C 是否独立? 解:据题设有
?( A) ? ?( B) ? ?(C ) ? 1 4
7

1 2

?( AB) ? ?( BC ) ? ?( AC ) ? ?( ABC )

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从而

?( AB) ? ?( A)( B) ; ?( BC ) ? ?( B)(C ) ; ?( AC ) ? ?( A)(C ) ;

所以三个事件 A,B,C 是两两相互独立的,然而

? ? ABC ? ? ? ? A? ? ? B? ? ?C ?
故三个事件 A,B,C 不是相互独立的. 下面讨论对多个事件的独立性.

1.3 多个事件的独立性
定 义 3 设 有 n 个 事 件 A , A2 ,?, An , (n ? 2) , 如 果 对 任 意 正 整 数 1
k ( 2 ? k ? n) ,

i1 , i2 ,?ik (1 ? i1 ? i2 ? ? ? ik ? n) 均都有

P( Ai1 , Ai2 ,?, Aik ) ? P( Ai1 )P( Ai2 )?P( Aik )
则称事件 A , A2 ,?, An 相互独立. 1 (1)如果 n 个事件 A , A2 ,?, An 相互独立,则对其中的任意 m(1 ? m ? n) 1 个 . 事件改为相应的对立事件,形成的 n 个事件仍然相互独立. (2)若 A , A2 ,?, An 相互独立,则它们其中任意 m(1 ? m ? n) 个事件也是 1 一定独立;特别若 A , A2 ,?, An 独立,则它们中任意两个事件都相互独立. 1 反之也未必成立, n 个事件 A , A2 ,?, An 两两独立不一定它们相互独立. 1 (3)如果 n 个事件 A , A2 ,?, An 相互独立,则有 1
P(? Ai ) ? 1 ? ? P( Ai ) ? 1 ? ? (1 ? P( Ai ))
i ?1 i ?1 i ?1 n n __ n

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证明:
n

P( A) ? 1 ? P( A)
_______ n i ?1
n

__

P(? Ai ) ? 1 ? P( ? Ai ) ? 1 ? P(? Ai )
i ?1
i ?1

? 1 ? P( A1 ) P( A2 )? P( An ) ? 1 ? ? ?1 ? P( Ai )? .
i ?1

___

___

___

n

1 1 1 例 6: 3 人独立破译密码,他们单独能破译的概率分别为 , , ,试求此 5 3 4 密码能被破译出的概率:

解:设 Ai ? ? 第 i 个人能破译密码

?

?i ? 1, 2,3?


? = ? 该密码被破译

? .由于 B ? A1 A2 A3

?( B) ? 1 ? ? A1 A2 A3 ? 1 ? ? A1 ? A2 ? A3
1 1 1 3 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 5 3 4 5

?

?

? ? ? ? ? ?

例 7:甲,乙,丙三人在不同位置同时向某一个目标进行一次射击,假设他 们每人的命中概率分别为 0.6,0.7,0.8,计算下列事件的概率: (1)恰好有一个人击中目标; (2)至少有一个人击中目标; (3)恰好有两个人击中目标; 解: 设事件 A , B , C 分别表示甲,乙,丙击中目标,事件 Ai 为“有人击中目 标” i ? 1,2,3,依题意 A0 , A1 , A2 , A3 构成一个完备事件,且 A , B , C 相 互独立.

P( A) ? 0.6

P( B) ? 0.7

P(C) ? 0.8

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(1) P( A1 ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( A) P( B ) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B ) P(C ) ? 0.6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.7 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.8 ? 0.1888;

(2) P( A0 ) ? P( ABC ) ? P( A) P( B ) P(C ) 0.4 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.024;
(3) P( A3 ) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? 0.6 ? 0.7 ? 0.8 ? 0.336; P ( A2 ) ? 1 ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? 1 ? 0.024 ? 0.188 ? 0.336 ? 0.452 ?

例 8:某种仪器上装有大,中,小三个不同功率的灯泡,已知当三个灯泡 完好时,仪器发生故障的概率仅为 1%,当烧坏一个灯泡时,仪器发生故障的概 率为 25%,当烧坏两个或三个灯泡时,仪器发生故障的概率分别为 65%,90%, 设有个灯泡被烧坏与否互不影响, 并且它们被烧坏的概率分别为 0.1, 0.2, 0.3, 求仪器发生故障的概率. 解:仪器发生故障与否三个灯泡的完好情况有密切关系,我们应该把三个 灯泡烧坏的数量视为导致一起发生故障的重要因素来考虑,记事件 Ai 为“仪器 上三个灯泡中有 i 个灯泡被烧坏” i ? 1, 3; B 为 , 2, “仪器发生故障” 易见 A0 , ,

A1 , A2 , A3 是一个完备组,并且有
P(B A0 ) ? 0.01 P( B A1 ) ? 0.25 P(B A2 ) ? 0.65 P(B A3 ) ? 0.90

由于各灯泡寿命相互独立,所以有
P ( A0 ) ? 0.9 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.504; P ( A1 ) ? 0.1? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.398; P ( A3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.3 ? 0.006; P ( A2 ) ? 1 ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? 0.092;

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应用全概率公式,有

P( B) ? ? P( Ai ) P( B Ai )
i ?0

3

? 0.504 ? 0.01? 0.398 ? 0.25 ? 0.092 ? 0.65 ? 0.006 ? 0.90 ? 0.1697 ?

2.随机变量的独立性
上面讨论的事件的独立性是概率论中的一个重要的概念,随机变量的独立 性是事件的独立性的推广,也是一个重要概念它的独立性也是概率论与数理统 计中的一个重要概念.概率论与数理统计中的很多很多内容都是独立的前提下 讨论的,所以下面在事件独立性的基础上讨论随机变量的独立性. 定义 4 设 X , Y 为两个随机变量,若对任意实数 x, y
p( X ? x, Y ? y)? p( X ? x) p(Y ? y)

则称 X , Y 相互独立. 它的意义是 ( X ? x) 与事件 (Y ? y) 相互独立. 定义 4 ? 若 F ( x, y) 及

FX ( x), FY ( y) 分别是二维随机变量 ( x, y ) 的分布

函数及边缘分布函数.若对于所有 x, y 有

p ? X ? x, Y ? y? ? p( X ? x) p(Y ? y ) F ( x, y) ? FX ( x) FY ( y)
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的. 定义 5 设二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布函数为 F ( x, y) ,又 ? 与? 的分 布函数为 F? ( x), F? ( y) ,若对任意的 ( x, y ) 有

F ( x, y) ? F? ( x) ? F? ( y)
成立,则称随机变量 ? 与? 是相互独立的.
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定义 6 设 X1 , X 2 ,?, X n 为 n 个 随机变量对任意实数 x1 , x2 ,?, xn 有

p( X1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn ) ? p( X1 ? x1 ) p( X 2 ? x2 )? p( X n ? xn )
则称 X1 , X 2 ,?, X n 相互独立. 定义 7 设 x1 , x2 ,?, xn 为 n 个 随机变量 F ( x1 , x2 ,?, xn ) 是 n 个一元连续 函数,若 F ( x1, x2 ,?, xn ) ? F ( x1 ) F ( x2 )?F ( xn ) ,则 x1 , x2 ,?, xn 是相互独立. 定理 2 设随机变量 X , Y 相互独立,又 g1 ( x), g2 ( x) 是两个一元连续函 数,则 g1 ( X ), g2 (Y ) 也是相互独立的随机变量. 证明 令 ? ? g1 ( X ),? ? g2 (Y ) ,对任意 x, y 记
D1 ? ?t | g1 (t ) ? x? x
2 Dy ? ?t | g 2 (t ) ? y?


p ?? ? x, ? ? y? ? p ? g1 ( X ) ? x, g 2 (Y ) ? y?
2 ? p ? X ? D1 , Y ? Dy ? x 2 ? p ? X ? D1 ? p ?Y ? Dy ? x

? p ?? ? x? p ?? ? y?

由定义 4 知 ? 与 ? 独立.

定理 3 设 X1 , X 2 ,?, X n 相互独立, g1 ( x), g2 ( x),?, gn ( x) 是 n 个一远连续
函数,则 g1 ( X1 ), g2 ( X 2 ),?, gn ( X n ) 也相互独立. 下面分离散型和连续型两种情况讨论随机变量的独立性。

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2.1 离散型随机变量的独立性
定理 4 设

? X ,Y ?

为离散型随机变量,则 X 与 Y 相互独立的充要条件为

对 ? X , Y ? 的所有可能值 ? xi , y j ? 都有
p ? X ? xi , Y ? y j ? ? p ? X ? xi ? p ?Y ? y j ? 或 pij ? pi. p. j

?i, j ? 1,2,?? ? .

定理 5 设 X1 , X 2 ,?, X n 是 n 个离散型随机变量, X1 , X 2 ,?, X n 相互独立的充 则 要条件是对任一组可能值 x1 , x2 ,?, xn 都有

p ? X1 ? x1, X 2 ? x2 ,?, X n ? xn ? ? p ? X1 ? x1 ? p ? X 2 ? x2 ?? p ? X n ? xn ?
成立. 例 9: 设两个独立随机变量 X 与 Y 的分布率分别为
X 1
X

3

Y

2
Y

4

P
解: 于是
Y X

0.3 0.7

P

0.6 0.4

求 随机变量 Z ? X ? Y 的分布 .

?

X 与 Y 相互独立, ?

P( X , Y ) ? pX pY
Z ? X ?Y 3 5 5 7

P

( X ,Y ) (1, 2) (1, 4) (3, 2) (3, 4)

1 3

2 0.18 0.42

4 0.12 0.28

0.18 0.12 0.42 0.28

Z ? X ?Y 3 P 0.18

5 0.54

7 0.28

.

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例 10: 随机变量 X 和 Y 的联合分布律为
X Y

0

1 2 9 2 9 0

2 1 9 0 0

1 9 2 1 9 1 2 9 0
判断 X 和 Y 是否独立. 解: 关于 X 的边缘分布为
X pi. 0 4 9 1 4 9

2 1 9

关于 Y 的边缘分布为
Y p. j
p( X ? 0) p(Y ? 0) ?

0 4 9

1 4 9

2 1 9

4 4 4 1 ? ? ? 0 ? p( X ? 0, Y ? 0) ? 9 9 81 9 所以 X 和 Y 不是相互独立的.

因为

2.2 连续型随机变量的独立性
定理 6 设

? X ,Y ?

是连续型随机变量, 其概率密度 f ? x, y ? , 关于 X 和 Y

的边缘概率密度为

f X ? x ? 及 fY ? y ? , 则 X 与 Y 相 互 独 立 的 充 要 条 件 是

f ? x, y ? ? f X ? x ? fY ? y ? (在 f ? x, y ? , f X ? x ? , fY ? y ? 的一切连续点等式都成立).
证明 (充分性) 设 f ? x, y ? ? f X ? x ? fY ? y ? ,则 ? X , Y ? 的分布函数 F ? x, y ? 对任意的 x 和 y
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F ( x, y ) ? ? ??
x ??

fX

? FX ? x ? FY ? y ?

? f ? u, v ?dudv ? u ?du ? f ? v ?dv
x y ?? ?? y ?? Y

由 F ? x, y ? ? FX ? x ? FY ? y ? 得 X 与 Y 相互独立. (必要性) 设 X , Y 相互独立,则有

? ? f ?u, v ?dudv ? F ? x ? F ? y ? ? ? f ? u ?du ? f ? v ?dv ? ? ? f (u ) f (? )dud?
x y ?? ?? x X Y y ?? x X y ?? Y Y ?? ?? X

由于上式对任意的 x, y 都成立.于是对于 f ? x, y ? , f X ? x ? , fY ? y ? 的所有连 续点,在上式两端对 x, y 求二阶混合偏导数,即得 f ? x, y ? ? f X ? x ? fY ? y ? . 如果 (? ,? ) 是二维连续型随机变量,则 ? 与? 也都是连续型随机变量,他 们的密度函数分别为 p? ( x) 及 p? ( y) .这时容易验证 ? 与? 独立的条件为

p? ( x). p? ( y) 是 (? ,? ) 的密度函数
由此可知, 要判断连续型随机变量 ? 与? 是否独立?只要验证 p? ( x). p? ( y) 是否是 (? ,? ) 的密度函数就可以了,一般说来,这是比较容易的. 联合分布决定边际分布, 再一次说明了边际分布不能一决定联合分布.还值 得一提的是,两个边际分布都是正态分布的二维随机变量,它们的联合分布不 仅是不唯一确定的,而且还可以不是一个二维的正态分布,下面就是这样的一 个例子.
2 例 11 若二维随机变量 (? ,? ) 服从 N (a1, a2 ,?12 ,? 2 ,0) 分布.

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问 ? 与? 是否独立? 解: 这时 (? ,? ) 有密度函数

p ( x, y ) ?
这时

1 2?? 1? 2

?

e

1 ? ( x ? a1 )2 ( y ? a2 ) 2 ? ? ? ? 2 2 2 ? ?1 ?2 ? ? ?

p? ( x) ?

?

?

??

p( x, y )dy ?

? 1 e 2?? 1

( x ? a1 )2
2 2?1

p? ( y ) ?

?

?

??

p( x, y )dx ?

? 1 e 2?? 2

( y ? a2 )2
2 2? 2

显然这时 p? ( x) ? p? ( y) ? p( x, y) 成立,所以 ? 与? 相互独立.反过来,若 ? 与
2 ? 独立, 则必有 p ? 0 .所以对二维正态随机变量 N (a1, a2 ,?12 , ? 2 , p) 来说,p ? 0 是

它们相互独立的重要条件. 例 12 设连续型随机变量 X 和 Y 的联合密度函数为

?4 xy 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 f ? x, y ? ? ? 其他 ?0
判断 X 和 Y 是否独立.

f X ( x) ? ?

??

??

? 1 4 xydy ? 2 x ? f ( x, y)dy ? ??0 ?0 ?

0 ? x ?1 其他
1? y ?1 其他

fY ( y) ? ?

??

??

? 1 4 xydx ? 2 y ? f ( x, y)dx ? ??0 ?0 ?

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?4 xy f X ( x ) fY ( y ) ? ? ?0

0 ? x ?1 , 0 ? y ?1 其他

与 f ( x, y) 相等,所以 X 和 Y 独立. 例 13 设(X,Y)的联合密度函数为

?6 f ? x, y ? ? ? ?0

0 ? x ?1 其他

x2 ? y ? x

求边缘密度函数 f x ? x ? 与 f y ? y ? ,并判断 X,Y 是否相互独立。 解

f x ? x? ? ?

??

??

? x 6d y? 6 ( x 2x ) ? ? f? , x ? y ? ??x2 dy ?0 ?
? y 6 d y? 6 ( y ? ? f? , x ? y ? ? ?y dy ?0 ? y)

? ? 0 x 其他
? ? 0 y 其他

1

f y ? y? ? ?

??

1

??

由于 f ? x, y ? ? f x ? x ? f y ? y ? ,故 X 与 Y 不是互相独立。 例 14

?4 xy ( x, y) ? ? ? ?0其他
?1 ? p ( x, y ) ? ? ? ?0 ?

设二维随机变量 (? ,? ) 有分布密度

x2 ? y 2 ? 1 其它
(2) ? 与 ? 是否相互独立.
2 1 ? x2
y ?1 2



(1) C?? (? ,? ) ? ?
1? x 2
2

解: p? ( x) ? ? 同理

1

? 1? x

?

dy ?

?

x ?1

p? ( y ) ?
? ??

2

?

1? y2
1 ?1

E? ? ? xp( x) dx ? ? x

?

1 ? x 2 dx ? 0

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同理

E? ? 0
?

E ??? ? ? ?

?? ??

?

?

xy p ? x, y ?dxdy ?

? 2 ? y 2 ?1

??

1 xy dxdy ? 0

?

? C?? (? ,?) ? E ??? ? ? E? ? E? ? 0
但是 p ? x, y ? ? p( x) p( y)

? ? 与 ? 是不相互独立.
说明 不相关,但不一定独立;独立一定不相关. 定 理 7 设 ( X1 , X 2 ,?, X n ) 为 连 续 型 随 机 变 量 , 概 率 密 度 为

f ( x1 , x2 ,?, xn ), X1 , X 2 ,?, X n 的概率密度分别为 f X1 ( x2 ), f X2 ( x2 ),?, f X n ( xn ) ,则 X1 , X 2 ,?, X n 相互独立的充要条件是 f ( x1, x2 ,?, xn ) ? f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 )? f X n ( xn )
(在 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 及 f Xi ( xi )

(i ? 1, 2,?, n) 一切连续点等式成立).

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总结
本论文中通过进述事件独立性与它的若干性质,随机变量的独立性与 它的若干性质, 加深了读者有关事件的独立性和随机事件的独立性的理解, 提高思维能力和兴趣. 事件的独立性是概率论中特有的概念.它的引进大大推进概率的发展. 随机变量的独立性与事件的独立性一样, 它的独立性也是概率论与数理统计 中的一个重要概念.概率论与数理统计中的很多很多内容都是独立的前提下 讨论的.应该注意到,在实际应用中,对于事件的独立性和随机变量的独立 性,我们往往不是根据定义来判断,根据实际背景判断事件的独立性并不困 难.

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参考文献

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致谢
在喀什师范学院的教育下经过五年的学习,使我在做人做事各个方面得到 了很提高. 在买买提依明老师的指导下我的毕业论文顺利通过,他帮我批阅了好多次, 提供了这方面的资料和很好的意见,非常感谢他的帮助,在老师耐心的指导下, 我学会了论文的三步骤 怎么样开头,怎么样继续,怎么样结束. 非常感谢指导老师,也非常感谢我系的各位老师,再他们的教育下,使我在 各方面得到了很大的提高,为以后工作打下了良好的基础. 此致

敬礼 阿曼古.卡地尔 2011 年 5 月 10 日

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