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武汉艺术生文化课华英艺考高三数学百日提百分:专题训练二十四-函数与方程思想


高考专题训练二十四 函数与方程思想 班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分_______ 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是( ) A.a<-1 B.a>1

C.-1<a<1 D.0≤a<1 解析:令 f(x)=2ax2-x-1,要使 f(x)在(0,1)内恰有一解,结合图形,则必有 f(0)f(1)<0. 答案:B 2.已知函数 y=(x∈R,且 a≠0)的值域为[-1,4],则 a,b 的值为( ) A.a=4,b=3 B.a=-4,b=3 C.a=±4,b=3 D.a=4,b=±3 解析:因为函数的值域为[-1,4],所以对任意的 y∈[-1,4],必有 x∈R,使 y=成立,所以 关于 x 的方程 y(x2+1)=ax+b 有实数根,即方程 yx2-ax+(y-b)=0,若 y=0,则 x=-∈ R.若 y≠0,则Δ =a2-4(y-b)y≥0,即 4y2-4by-a2≤0,而-1≤y≤4. 所以方程 4y2-4by-a2=0 的两根为-1,4.由根与系数的关系, 得 b=3, a2=16, 故 a=±4, b=3. 答案:C 点评:求解本题关键是构造出关于 x 的一元二次方程后,借助判别式解决问题,它是方程思 想的一个体现,用判别式解题,关键在于构造适当的一元二次方程,让研究的量处于方程系 数的位置上. 3.关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 有两个实数解,则实数 a 的取值范围是( ) A.a>0 B.a<-8 C.a>0 或 a<-8 D.a≥0 或 a≤-8 解析:令 t=3x,问题等价于方程 t2+(4+a)t+4=0 在(0,+∞)上有两个实根.令 f(t)=t2 +(4+a)t+4,则有解得 a<-8,故选 B. 答案:B 点评: 解答本题要注意等价转化, 把方程问题转化为函数零点问题解决, 注意转化的等价性. 4.设函数 y=x3 与 y=x-2 的图象交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:根据函数与方程的关系,两函数的交点即转化为求函数 f(x)=x3-x-2 的零点所在的 区间.由于 f(1)=1-2<0,f(2)=8-1>0,所以 x0∈(1,2). 答案:B 点评:由于函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,所以在研究方程的有关问题时,如比 较方程根的大小,确定方程根的分布,证明根的存在,借助函数零点,结合函数图象加以解 决. 5.(2009·高考福建卷理)函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=-对称.据此可推 测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0 的解集不 可能是( ) A.{1,2} B.{1,4} C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}

解析:令 f(x)=t,则方程有解,则 t 有解(至多有两解).对于 f(x)=t,若 x 存在,则关于 x =- 对称(有两根或四根).选项 A、B、C 均有可能,选项 D 由对称性可知不成立. 答案:D 6.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R 且 k≠-1)的根的个数( ) A.不可能有三个 B.最少有一个,最多有四个 C.最少有一个,最多有三个 D.最少有二个,最多有四个 解析:y=kx+k+1 过定点(-1,1),结合 y=f(x)的图象(连续),当 k=-1 时,在 x∈[-1,0] 有无数个解,又 k≠-1,故选 B. 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 7.对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p,使不等式 x2+px>4x+p-3 成立的 x 的取值范围是 ________. 解析:设 f(p)=p(x-1)+x2-4x+3,f(p)为关于 p 的一次函数,要使 f(p)>0 对 p∈[0,4]恒成 立,则解得 x>3 或 x<-1. 答案:x>3 或 x<-1 8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x) =m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 解析: 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-4)=f(-x).由 f(x)为奇函数,所 以函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在[0,2]上是增函数,所以 f(x)在[-2,0]上也是增函数,如图所 示, 那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1, x2, x3, x4.不妨设 x1<x2<x3<x4, 由对称性知,x1+x2=-12,x3+x4=4.所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案:-8 9. 设 F1 是椭圆+=1 的左焦点, 弦 AB 过椭圆的右焦点 F2, 则△F1AB 面积的最大值为________. 解析: 如图所示,由椭圆方程可知,a2=3,b2=2,c=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 S△F1AB= |F1F2|·|y1-y2|=|y1-y2|.设直线 AB 的方程为 x=my+1,代入椭圆方程,化简得(2m2 +3)y2+4my-4=0. 由根与系数的关系,得|y1-y2|===. 令 t=≥1,则 S△F1AB=. ∵f(t)=2t+在[1,+∞)上是增函数, ∴f(t)min=f(1)=3. ∴(S△F1AB)max=,此时 t=1,即 m=0. 答案: 点评:利用函数的单调性求最值,是常用的求最值方法.本题求解是先设 AB 的方程,与椭 圆方程联立,化为一元二次方程,再由根与系数的关系,将三角形的面积表示出来,建立函 数关系式,然后由函数的单调性求最值.

10.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立 方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比, 药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y=t-a(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1) 从药物释放开始,每立方米空气中含药量 y( 毫克) 与时间 t( 小时 ) 之间的函数关系式为 ______________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进入教室,那么 从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回教室. 解析: (1)由图象知函数应为分段函数, 当 0≤t≤0.1, 设解析式为 y=kt, 由于图象过(0.1,1), 代入函数的解析式,得 y=10t;当 t>0.1 时,图象也过(0.1,1),代入 y=t-a 中,得 a=0.1. 所以函数的关系式为 y= (2)由题意得,当空气中每立方米的药含量降到 0.25 毫克以下时,应该满足函数的第二个解 析式,即 t-0.1≤0.25.解得 t≥0.6.即至少有 0.6 小时,学生才能进入教室. 答案:(1)y= (2)0.6 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. (12 分)已知函数α , β 满足α 3-3α 2+5α =1, β 3-3β 2+5β =5, 求α +β 的值. 解:构造函数 f(x)=x3-3x2+5x=(x-1)3+2(x-1)+3, 则有 f(α )=1,f(β )=5. 又 g(t)=t3+2t 在 R 上是单调递增的奇函数,且 g(α -1)=f(α )-3=-2, g(β -1)=f(β )-3=2, 故 g(α -1)=-g(β -1)=g(1-β ),得α -1=1-β ,即α +β =2. 12.(13 分)如图,直线 y=kx+b 与椭圆+y2=1 交于 A,B 两点,记△AOB 的面积为 S.

(1)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (2)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

解:(1)设点 A 的坐标为(x1,b),点 B 的坐标为(x2,b). 由+b2=1,得 x=±2. 所以 S=b|x1-x2|=2b≤b2+1-b2=1, 当且仅当 b=时,S 取到最大值 1. (2)由得 x2+2kbx+b2-1=0, 所以Δ =4k2-b2+1, ① |AB|=|x1-x2|==2. ② 设 O 到 AB 的距离为 d,则 d==1. 又因为 d=,所以 b2=k2+1, 代入②式并整理,得 k4-k2+=0.解得 k2=,b2=.代入①式检验Δ >0. 故直线 AB 的方程是 y=x+或 y=x-或 y=-x+或 y=-x-.


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