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一轮复习 第八章 平面解析几何


第 1 课时 直线及其方程

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

1.直线的倾斜角和斜率 (1)在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x

轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫作直线

l 的倾斜角,当直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为 0°.通常倾斜角用 α 表示,倾斜角的取值范围为 0°≤α <180°.
(2)当直线 l 经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)时,直线斜率可以表示为 k= 2.直线的方程

y2-y1 ,其中 x1≠x2. x2-x1

名称 点斜式

方程的形式

常数的几何意义 (x0, y0)是直线上一定 点,k 是斜率

适用范围 不垂直于 x 轴

y-y0=k(x-x0)

斜截式

y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b

k 是斜率, b 是直线在 y 轴上的截距
(x1,y1),(x2,y2) 是 直线上两定点

不垂直于 x 轴

两点式

不垂直于 x 轴和 y 轴

a 是直线在 x 轴上的
截距式 非零截距,b 是直线 在 y 轴上的非零截距

不垂直于 x 轴和 y 轴, 且不过原点

A、B 都不为零时,斜
一般式

Ax+By+C=0(A,B
不同时为零)

率为- , 在 x 轴上的 截距为- , 在轴上的

A B

任何位置的直线

C A

1

截距为- 3.过 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1. (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1. (3)若 x1≠x2,且 y1≠y2 时,方程为 4.线段的中点坐标公式

C B

y-y1 x-x1 = . y2-y1 x2-x1

x +x x= ? ? 2 , 若点 P 、P 的坐标分别为(x ,y )、(x ,y ),线段 P P 的中点 M 的坐标为(x,y),则? y +y y= ? ? 2 ,
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

[基础自测] 1.(教材改编题)直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为 ( 2 A. 3 2 C.- 3 解析:k= 答案:C 2.已知直线 l 的倾斜角为 α ,且 0°≤α <120°,则直线 l 的斜率 k 的范围是( A.- 3<k≤0 B.k>- 3 C.k≥0 或 k<- 3 D.k≥0 或 k<- 3 3 ) B. 3 2 )

3 D.- 2

y2-y1 0-2 2 = =- . x2-x1 3-0 3

解析:0°≤α <90°时,k≥0;90°<α <180°时,k<0;90°<α <120°时,k<- 3. 答案:C 3.过两点(0,3),(2,1)的直线方程为( A.x-y-3=0 C.x+y+3=0 解析:直线的两点式方程为 答案:B
2

) B.x+y-3=0 D.x-y+3=0

y-3 x-0

= ,即 x+y-3=0. 1-3 2-0

4.(2016?长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 解析:∵A,B,C 三点共线, ∴kAC=kAB,

a-3 5-3 即 = .解得 a=4. 5-4 6-4
答案:4 5.(2016?广东佛山模拟)在 y 轴上的截距为-6,且与 y 轴相交成 45°角的直线方程是________. 解析:如图,满足条件的直线有 l1 与 l2 两种情况,其中 l1 的倾斜角为 45°,l2 的倾斜角为 135°,所以,它们的方程分别为 y=x-6,y =-x-6.

答案:y=x-6 或 y=-x-6

考点一 直线的倾斜角与斜率

? ?π π ?? [例 1] 直线 2xcos α -y-3=0?α ∈? , ??的倾斜角的变化范围是( ? ? 6 3 ??
A.? C.?

)

?π ,π ? ? ?6 3? ?π ,π ? ? ?4 2?

B.? D.?

?π ,π ? ? ?4 3? ?π ,2π ? ? 3 ? ?4

审题视点 先求斜率的范围,再求倾斜角的范围. 1 3 ?π π ? 解析 直线 2xcos α -y-3=0 的斜率 k=2cos α ,由于 α ∈? , ?,所以 ≤cos α ≤ ,因此 k=2cos α ∈[1, 3].设直线的倾 2 2 ?6 3?

?π π ? ?π π ? 斜角为 θ ,则有 tan θ ∈[1, 3],由于 θ ∈[0,π ),所以 θ ∈? , ?,即倾斜角的变化范围是? , ?.故选 B. ?4 3? ?4 3?
答案 B
3

求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函数 y=tan α 的单调性 求 k 的范围,数形结合是解析几何中的重要方法.

1.(2016?开封调研)设 A(-1,2),B(3,1),若直线 y=kx 与线段 AB 没有公共点,则 k 的取值范围是(

)

?1 ? A.(-∞,-2)∪? ,+∞? ?3 ?
1? ? C.?-2, ? 3 ? ?

1? ? B.?-∞, ?∪(2,+∞) 3? ?

?1 ? D.? ,2? ?3 ?

1 解析:如图所示,直线 y=kx 过定点 O(0,0),kOA=-2,kOB= . 3

1? ? 若直线 y=kx 与线段 AB 没有公共点,则直线 OA 逆时针旋转(斜率增大)到 OB 都是满足条件的直线.数形结合得 k∈?-2, ?.故选 C. 3? ? 答案:C

?π ? ?π ? 2.(2016?成都七中模拟)已知函数 f(x)=asin x-b?cos x,若 f? -x?=f? +x?,则直线 ax-by+c=0 的倾斜角为( ?4 ? ?4 ?
π A. 4 2π C. 3 解析:由 f? B. D. π 3 3π 4

)

?π -x?=f?π +x?知函数 f(x)的图像关于直线 x=π 对称,所以 f(0)=f?π ?,所以-b=a,则直线 ax-by+c=0 的斜率为a= ? ?4 ? ?2? 4 b ?4 ? ? ? ? ?

3π -1,又倾角范围为[0,π ),故其倾斜角为 ,选 D. 4 答案:D 考点二 求直线方程
4

[例 2] (1)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; 3 (2)过点 A(8,6)引三条直线 l1,l2,l3,它们的倾斜角之比为 1∶2∶4,若直线 l2 的方程是 y= x,求直线 l1,l3 的方程; 4 (3)若一直线被直线 4x+y+6=0 和 3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点,求这条直线的方程. 审题视点 根据已知条件,选择合适的直线方程的形式,(1)题采用待定系数法求解,(2)(3)题可采用直接法求解. 解 2 (1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为 y=kx,将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=- , 5

2 此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0. 5 ②当横截距、纵截距都不是零时, 设所求直线方程为 + =1, 2a a 1 将(-5,2)代入所设方程,解得 a=- ,此时, 2 直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. 3 (2)设直线 l2 的倾斜角为 α ,则 tan α = . 4 2 3 于是 tan α = = . α 4 2 1-tan 2 α 2 2 令 tan =m,则 8m=3(1-m ),即 3m +8m-3=0, 2 1 α 1 解得 m= 或 m=-3(舍),∴tan = , 3 2 3 3 2? 4 2tan α 24 tan 2α = = = , 2 1-tan α 3 ? ?2 7 1-? ? ?4? 所以所求直线 l1 的方程为 2tan

x

y

a

y-6= (x-8),即 x-3y+10=0, l3 的方程为 y-6= (x-8),即 24x-7y-150=0.
(3)设所求直线与直线 4x+y+6=0 相交于 A,与直线 3x-5y-6=0 相交于 B, 设 A(a,-4a-6),则由中点坐标公式知 B(-a,4a+6), 将 B(-a,4a+6)代入 3x-5y-6=0 得. 24 7

1 3

5

36 3(-a)-5(4a+6)-6=0,得 a=- , 23 6? ? 36 6 ? ?36 从而求得 A?- , ?,B? ,- ?, 23 23 23 23 ? ? ? ? 1 所以所求直线方程为 y=- x. 6

求直线方程时,首先分析具备什么样的条件;然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程.要注意若不能断定直线具有斜率时,应 对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时,应先判断截距是否为 0.若不确定,则需分类讨论.

1.(2016?合肥调研)过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________. 4 4 x y 解析:(1)若直线过原点,则 k=- ,∴y=- x,即 4x+3y=0.(2)若直线不过原点,设 + =1,即 x+y=a. 3 3 a a ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0. 答案:x+y+1=0 或 4x+3y=0 2.求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- 倍; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5; 解:(1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1,

x y a a

a a

∴a=5,即 l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 1 3 (2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=- ?3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4
6

即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1.
?x=1, ? 解方程组? ? ?2x+y-6=0,

求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),

?2x+y-6=0, ? 解方程组? ? ?y+1=k?x-1?.

k+7 x= ? ? k+2, 得两直线交点为? 4k-2 y= ? ? k+2 ,

(k≠-2,否则与已知直线平行). 则 B 点坐标为? ∴?

?k+7,4k-2?. ? ?k+2 k+2 ?

?k+7-1?2+?4k-2+1?2=52, ? ? ? ?k+2 ? ? k+2 ?

3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1),即 3x+4y+1=0. 4 4 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

考点三 直线方程的应用 [例 3] 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.

审题视点 先设出 AB 所在的直线方程,再求 A、B 两点的坐标,写出表示△ABO 的面积的表达式,最后利用相关的数学知识求出最值. 解 法一:由题可设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线 l 的方程 + =1,

x y a b

3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴ + =1,

a b

2a b= 且 a>3,b>2. a-3 1 1 2a a 从而 S△ABO= a?b= a? = . 2 2 a-3 a-3 ?a-3? +6?a-3?+9 故有 S△ABO= a-3
2 2

7

=(a-3)+

9

a-3

+6≥2 9 , a-3

?a-3??

9

a-3

+6=12,

当且仅当 a-3=

2?6 即 a=6 时,(S△ABO)min=12,此时 b= =4, 6-3 ∴此时直线 l 的方程为 + =1,即 2x+3y-12=0. 6 4

x y

x y 3 2 法二:由题可设直线方程为 + =1(a>0,b>0),代入 P(3,2),得 + =1≥2 a b a b
1 得 ab≥24,从而 S△ABO= ab≥12, 2 3 2 当且仅当 = 时,等号成立,S△ABO 取最小值 12,

6

ab



a b

b 2 此时 k=- =- , a 3
∴此时直线 l 的方程为 2x+3y-12=0. 法三:依题意知,直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k<0),

? 2 ? 则有 A?3- ,0?,B(0,2-3k), ?
k

?

1 ? 2? ∴S△ABO= (2-3k)?3- ? 2 ? k? 4 ? 1? = ?12+?-9k?+ ? ?-k?? 2? 1? ≥ ?12+2 2? ?-9k?? 4 ? 1 ?= (12+12)=12, ?-k?? 2

4 2 当且仅当-9k= ,即 k=- 时,等号成立,S△ABO 取最小值 12.此时,直线 l 的方程为 2x+3y-12=0. -k 3

法四:如图所示,过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,垂足分别为 M,N.

8

? π? 设 θ =∠PAM=∠BPN 显然 θ ∈?0, ?, 2? ?
则 S△ABO=S△PBN+S 四边形 NPMO+S△PMA 1 1 1 = ?3?3?tan θ +6+ ?2?2? 2 2 tan θ 9 2 =6+ tan θ + ≥6+2 2 tan θ 9 2 当且仅当 tan θ = , 2 tan θ 2 即 tan θ = 时,S△ABO 取最小值 12, 3 2 此时直线 l 的斜率为- , 3 其方程为 2x+3y-12=0. 9 2 tan θ ? =12, 2 tan θ

(1)利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式:一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式; 已知截距选择截距式. (2)以直线为载体的面积、距离的最值问题,一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决.

3π 1.(2015?福州模拟)已知直线 l1 的倾斜角为 ,直线 l2 经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1 与 l2 垂直,则 a 等于( 4 A.-4 C.0 3π 解析:依题意知:直线 l1 的斜率 k1=tan =-1, 4 B.-2 D.2

)

9

2+1 2+1 又因为直线 l1 与直线 l2 垂直,直线 l2 的斜率 k2= ,所以 k2= =1,解得 a=0. 3-a 3-a 答案:C 2. 为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用,经测量 AB=100 m,BC=80 m,

AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?

解:如图所示,建立平面直角坐标系,则 E(30,0)、F(0,20),

∴直线 EF 的方程为 + =1(0≤x≤30). 30 20 易知当矩形草坪的一个顶点在 EF 上时,可取最大值, 在线段 EF 上取点 P(m,n),作 PQ⊥BC 于点 Q,

x

y

PR⊥CD 于点 R,设矩形 PQCR 的面积为 S,
则 S=|PQ|?|PR|=(100-m)(80-n). 又

m n 2 + =1(0≤m≤30),∴n=20- m. 30 20 3

2 ? ? ∴S=(100-m)?80-20+ m? 3 ? ? 2 18 050 2 =- (m-5) + (0≤m≤30). 3 3 |EP| ∴当 m=5 时,S 有最大值,这时 =5∶1. |PF| 所以当草坪矩形的两边在 BC、CD 上,一个顶点在线段 EF 上,且这个顶点分有向线段 EF 成 5∶1 时,草坪面积最大.

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与直线方程有关的创新命题 [典例] 在平面直角坐标系中,若 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 解题指南 存在性问题,只需举出一种成立情况即可,恒成立问题应根据推理论证后才能成立;注意数形结合,特例的取得与一般性的检 验应根据命题的特点选择合适的情形. 解析 ①正确. 例如 y= 3x+ 2, 当 x 是整数时, y 是无理数, (x, y)不是整点; ②不正确, 如 y= 2x- 2过整点(1,0); ③设 y=kx(k≠0) 是过原点的直线,若此直线过两个整点(x1,y1),(x2,y2),则有 y1=kx1,y2=kx2,两式相减得 y1-y2=k(x1-x2),则点(x1-x2,y1-y2)也在直 线 y=kx 上,通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点,通过上下平移 y=kx 知对于 y=kx+b 也成立,所以③正确;④不正确,如 y= 1 1 x+ ,当 x 为整数时,y 不是整数,此直线不经过无穷多个整点;⑤正确,如直线 y= 3x,只经过整点(0,0). 3 2 答案 ①③⑤ 阅卷点评 本题呈现形式比较新颖,以斜截式方程为载体,但实质上还是考查了整点的概念.此类新概念题目经常会从几个不同的角度

考查学生对知识或新信息的理解和把握,进而考查学生学习和应用新知识并结合原有知识解题的能力. 创新点评 本题有三处创新点:

(1)本题为新定义问题,题目的结构形式、设问方式都有创新; (2)考查内容的创新,在考查直线的斜率、倾斜角、充要 条件等知识的基础上,还考查了学生的发散思维,思维方向与习惯思维不同; (3)考查方式的创新,对直线方程的考查,由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式. 备考建议 解决与直线方程有关的创新问题时,要注意以下几点:

(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义; (2)掌握确定直线的两个条件; (3)注意数形结合的运用,在平时的学习和解题中,多思考一些题目的几何意义; (4)注意逆向思维、发散思维的训练.

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◆一条规律 求斜率可用 k=tan α (α ≠90°),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90°是分界, 遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. ◆两个注意 (1)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率,则应对斜率存在与不存在加以讨论. (2)在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016?秦皇岛模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是( π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6 3 3 5π ,设倾斜角为 α ,则 tan α =- ,又 α ∈[0,π ),所以 α = . 3 3 6 )

解析:由直线的方程得直线的斜率为 k=- 答案:D

2.(2016?江门模拟)如果 A?C<0,且 B?C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 C.第三象限 解析:由题意知 A?B?C≠0, 直线方程变为 y=- x- . ∵A?C<0,B?C<0,∴A?B>0, ∴其斜率 k=- <0, 又 y 轴上的截距 b=- >0, ∴直线过第一、二、四象限. 答案:C B.第二象限 D.第四象限

)

A B

C B

A B

C B

3.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程为( A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

)

解析:因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x

12

-1). 答案:D 4.不论 k 为何实数,直线(k-1)x+y-k+1=0 恒过定点________. 解析:将直线方程整理得 k(x-1)+y-x+1=0 ∵k∈R,∴?
? ?x-1=0, ? ?y-x+1=0,

即?

? ?x=1, ? ?y=0.

答案:(1,0) 5.(2014?高考广东卷)曲线 y=e 解析:因为 y′=e
-5x -5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.
-5x

(-5x)′=-5e

,所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-5(x-0),即 5x+y-3=0.

答案:5x+y-3=0 1? ? ?1 ? 6.(2016?常州模拟)若 ab<0,则过点 P?0,- ?与 Q? ,0?的直线 PQ 的倾斜角的取值范围是________.

?

b?

?a

?

1 - -0 b a ?π ? 解析:kPQ= = <0,又倾斜角的取值范围为[0,π ),故直线 PQ 的倾斜角的取值范围为? ,π ?. 2 1 b ? ? 0-

a

答案:?

?π ,π ? ? ?2 ?

7.(2016?孝感模拟)在△ABC 中,已知点 A(5,-2),B(7,3),且边 AC 的中点 M 在 y 轴上,边 BC 的中点 N 在 x 轴上. (1)求点 C 的坐标; (2)求直线 MN 的方程. 解:(1)设 C(x,y). ∵AC 的中点 M 在 y 轴上,∴

x+5
2

=0 得 x=-5, =0 得 y=-3.

又∵BC 的中点 N 在 x 轴上,∴ ∴C(-5,-3).

y+3
2

5? ? (2)由(1)知 C(-5,-3),∴M?0,- ?,N(1,0). 2? ? 由截距式得 MN 的方程为 + =1 即 5x-2y-5=0. 1 5 - 2 8. (2016?青岛模拟)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

x

y

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1,
13

当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= π (2)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?- ∴k=

1 (x+1), m+1

? ?

3 ? ,0?∪(0, 3], 3 ?

1 ? 3 ? ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

∴α ∈?

?π ,π ?∪?π ,2π ?. ? ? 3 ? ?6 2? ?2 ?

?π 2π ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈? , ?. 3 ? ?6
[B 级 能力突破] 1.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图像可能是(

x y a b

x y b a

)

解析:取特殊值法或排除法,可知 A 正确. 答案:A 2.直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) )

? π ? ?3π ? B.?0, ?∪? ,π ? 4? ? 4 ? ? ? π ? ?π ? D.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?

? π? C.?0, ? 4? ?
解析:设倾斜角为 θ ,则有 tan θ =-sin α , 其中 sin α ∈[-1,1]. 又 θ ∈[0,π ), π 3π ∴0≤θ ≤ 或 ≤θ <π . 4 4 答案:B

3.已知点 A(-1,0),B(cos α ,sin α ),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为(

)
14

A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 B.y= 3 3 3 3 x+ 或 y=- x- 3 3 3 3

C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 解析:|AB|= ?cos α +1? +sin α = 2+2cos α = 3, 1 3 所以 cos α = ,sin α =± , 2 2 所以 kAB=± 答案:B π 2π 4.若过点 P(- 3,1)和 Q(0,a)的直线的倾斜角的取值范围为 ≤α ≤ ,则实数 a 的取值范围是________. 3 3 解析:过点 P(- 3,1)和 Q(0,a)的直线的斜率 3 3 3 3 3 3 ,即直线 AB 的方程为 y=± (x+1),所以直线 AB 的方程为 y= x+ 或 y=- x- ,选 B. 3 3 3 3 3 3
2 2

k=

= 0+ 3

a-1

a-1
3



π 2π 又直线的倾斜角的取值范围是 ≤α ≤ , 3 3 所以 k=

a-1
3

≥ 3或 k=

a-1
3

≤- 3,

解得:a≥4 或 a≤-2. 答案:(-∞,-2]∪[4,+∞) 5.已知直线 l 的倾斜角 α 满足 3sin α =cos α ,且它在 x 轴上的截距为 2,则直线 l 的方程是____________. sin α 1 解析:∵kl=tan α = = ,且过点(2,0), cos α 3 1 ∴直线方程为 y= (x-2) 3 即 x-3y-2=0. 答案:x-3y-2=0 6.(2015?苏州模拟)直线 xcos θ + 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. 解析:由题知 k=- 3 3 3? 3? 3 ? ? ? ? ? π? cos θ ,故 k∈?- , ?,结合正切函数的图像,当 k∈?0, ?时,直线倾斜角 α ∈?0, ?,当 k∈?- ,0? 6? 3 ? 3? 3? ? 3 ? ? 3 ?

?5 ? ? π ? ?5 ? 时,直线倾斜角 α ∈? π ,π ?,故直线的倾斜角的范围是:?0, ?∪? π ,π ?. 6 ? ?6 ?6 ? ? ? ? π ? ?5 ? 答案:?0, ?∪? π ,π ? 6 ? ?6 ? ?

15

7.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA| +|MB| 取得最小值时,直线 l 的方程. 解:(1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
2 2

x y 1 1 设直线 l 的方程为 + =1,则 + =1, a b a b a b ?1 1? 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2 a b ? =4,当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. b a

?a b?

b a

1?2 ? 1 ? ? 2 2 2 2 (2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0,直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),则 A?1- ,0?,B(0,1-k),所以|MA| +|MB| =?1-1+ ? +1 +1

?

k

?

?

k?

1 2 2 +(1-1+k) =2+k + 2≥2+2

k

k2? 2=4,当且仅当 k2= 2,即 k=-1 时,|MA|2+|MB|2 取得最小值 4,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. k k
第 2 课时 两条直线的位置关系

1

1

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

1.两条直线平行与垂直的判定 (1)设两条直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,倾斜角分别为 α 1、α 2,则 l1∥l2 时,α 1=α 2,从而有 l1∥l2?k1=k2.这是对于不重合的直线

l1,l2 而言的.如果 l1 与 l2 是否重合不能确定时,k1=k2 时,可以得到 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.
(2)若两条直线都有斜率,且 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,则 l1⊥l2?k1?k2=-1.若 l1 的斜率为 0,当 l1⊥l2 时,l2 的斜率不存在,其倾斜 角为 90°. 2.两条直线的交点坐标 已知两条直线: l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 当满足条件 A1B2-A2B1≠0 时, l1 与 l2 相交, 其交点可由方程组? 求得,若方程组有一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线平行;若方程组有无数解,则两直线重合. 3.距离公式 (1)两点间距离公式 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式是|P1P2|= ?x2-x1? +?y2-y1? . (2)点到直线的距离
2 2

? ?A1x+B1y+C1=0 ?A2x+B2y+C2=0 ?

16

|Ax0+By0+C| ①点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d= . A2+B2 ②点 P(x0,y0)到 x 轴的距离为 d=|y0|;点 P(x0,y0)到 y 轴的距离为 d=|x0|;点 P(x0,y0)到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离是 d=|y0-a|; 点 P(x0,y0)到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离是 d=|x0-b|. (3)两条平行线间的距离 |C1-C2| 两平行线 l1:Ax+By+C1=0 和 l2:Ax+By+C2=0 间的距离为 d= 2 . A +B2 [基础自测] 1.(教材改编题)直线 ax+2y-1=0 与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 a 的值为( A.-3 4 B.- 3 C.2 D.3 )

解析:由 2a+2?(-3)=0,得 a=3. 答案:D 2.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( A.1 C.2 解析:d= 答案:D 3.(2016?铜川月考)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0 ) |-5| 1 +2
2 2

) B. 3 D. 5

= 5.

解析:设所求直线方程为 x-2y+m=0,将(1,0)点代入得 1+m=0 解得 m=-1.故所求直线方程为 x-2y-1=0. 答案:A 4.平行线:l1:3x-2y-5=0 与 l2:6x-4y+3=0 之间的距离为________. 3 解:6x-4y+3=0?3x-2y+ =0, 2

∴d=

?-5-3? ? 2? ? ?
3 +2 13 2
2 2



13 2

13 = . 2 13

答案:

5.(2016?合肥调研)斜率为 2,且与直线 2x+y-4=0 的交点恰好在 x 轴上的直线方程是________. 解析:∵2x+y-4=0 与 x 轴的交点坐标为(2,0). ∴所求直线的方程为 y=2(x-2)即 2x-y-4=0. 答案:2x-y-4=0
17

18

考点一 两条直线的平行与垂直 [例 1] 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 审题视点 根据两条直线的位置关系列方程(组)求解. 解 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在,

∴k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1,∵l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 又∵l1 过点(-3,-1), ∴-3a+b+4=0,即 b=3a-4(与上述结论矛盾). ∴此种情况不存在,即 k2≠0. 若 k2≠0,即 k1、k2 都存在, ∵k2=1-a,k1= ,l1⊥l2, ∴k1k2=-1,即 (1-a)=-1.① 又∵l1 过点(-3,-1), ∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在,

a b

a b

a k1=k2,即 =1-a.③ b
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2, 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b,④

b

?a=2, ? 联立③④解得? ?b=-2 ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3

19

在运用直线的斜截式 y=kx+b 时,要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式 Ax+By+C=0 时,要特别注意 A、B 为零 时的特殊情况. 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率 不存在的情况,可考虑用数形结合的方法研究.

1.(2015?高考广东卷)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 解析:∵所求直线与直线 2x+y+1=0 平行, ∴设所求的直线方程为 2x+y+m=0. 又所求直线与圆 x +y =5 相切, ∴ |m| = 5, 1+4
2 2

2

2

)

解得 m=±5. 即所求的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 答案:A 2.(2016?河南天一联考)已知 a≠0,直线 ax+(b+2)y+4=0 与直线 ax+(b-2)y-3=0 互相垂直,则 ab 的最大值为( A.0 C.4 B.2 D. 2 )

a 3 4 a 3 解析:若 b=2,两直线方程为 y=- x-1 和 x= ,此时两直线相交但不垂直.若 b=-2,两直线方程为 x=- 和 y= x- ,此时两直 4 a a 4 4
线相交但不垂直.若 b≠±2,此时,两直线方程为 y=- ??- ?=-1 得 a +b =4. b+2 ? b-2?
2 2

a

b+2

x-

4 a 3 a a 和 y=- x+ ,此时两直线的斜率分别为- ,- ,由- b+2 b-2 b-2 b+2 b-2

a

?

a ?
2

因为 a +b =4≥2ab, 所以 ab≤2, 即 ab 的最大值是 2,当且仅当 a=b= 2时取等号.所以选 B.

2

20

答案:B 考点二 两条直线的交点与距离问题 7 [例 2] 已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0 和 l3:x+y-1=0,且 l1 与 l2 的距离是 5. 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点; 1 ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 ; 2 ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5. 若能,求 P 点坐标;若不能,说明理由. 审题视点 (1)由 l1 与 l2 的距离及两平行线之间的距离公式,可得关于 a 的方程,解方程即可得出 a 的值; (2)由点 P(x0,y0)满足②③条件可得出关于 x0、y0 的方程组,解方程组,即可求出点 P 的坐标,注意验证是否适合条件①. 解 1 (1)l2 即 2x-y- =0, 2

∴l1 与 l2 的距离 d=

?a-?-1?? ? ? 2?? ? ? ??
2

7 5 = , 10 2 +?-1?
2



?a+1? ? 2? ? ? 7 5
5 =

? 1? 7 ,∴?a+ ?= . 10 ? 2? 2

∵a>0,∴a=3. (2)设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l′:2x-y+C=0 上, |C-3| 1? 且 = 2 5

?C+1? ? 2? ?

13 11 ,即 C= 或 C= , 2 6 5

13 11 ∴2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0; 2 6 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, |2x0-y0+3| 2 |x0+y0-1| 有 = ? , 5 5 2 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0; 由于 P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0, 2

21

x0=-3, ? ? 解得? 1 y0= , ? 2 ?

应舍去;

11 ? ?2x0-y0+ =0, 6 由? ? ?x0-2y0+4=0,

1 x= , ? ? 9 解得? 37 y= . ? ? 18
0 0

?1 37? ∴P? , ?即为同时满足三个条件的点. ?9 18?

(1)挖掘题目的隐含条件,题目隐含 l1∥l2,故第(2)问中满足②的条件转化为“P 点在直线 l′:2x-y+C=0”上; (2)第(2)问属存在型开放问题,解决的方法可概括为“假设——推理——否定(肯定)假设——得出结论”,即假设存在型开放问题的结论 成立,以此为基础进行演绎推理,若出现矛盾,则否定假设,得出相反结论;若推出合理结果,说明假设正确.

1.(2016?湖南衡阳模拟)若 a,b,p(a≠0,b≠0,p>0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离,则下列关系式成立的 是( ) 1 1 1 A. 2+ 2= 2

a a

b p

p b

1 1 1 B. 2- 2= 2

a

b

p

1 1 1 C. 2+ 2= 2 解析:由题意设直线方程为 + =1,则 p =

D.

1

a2p2 b2



1

x y a b

2

1 1
2

a
1 1 1 ∴ 2+ 2= 2,故选 A.



1
2



b

a

b

p

答案:A 2.(2016?山西忻州检测)已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,若 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则 a +b=________.

a+b?a-1?=0, ? ? |b| 解析:由题意,得? 4 = 2 2 2 ? ?a-1? +1 ? a +b

.

22

?a=2, ? 解得? ?b=-2 ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

经检验,两种情况均符合题意, 8 ∴a+b 的值为 0 或 . 3 8 答案:0 或 3 考点三 对称问题 [例 3] 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 审题视点 借助平面几何知识找出代数关系.



y+2 2 ? ?x+1?3=-1, (1)设 A′(x,y),由已知? x-1 y-2 2? -3? +1=0, ? ? 2 2

33 x=- , ? ? 13 解得? 4 ? ?y=13,

? 33 4 ? ∴A′?- , ?. ? 13 13?

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则

?a+2?-3??b+0?+1=0, ? ? ? 2 ? ?2?? ? 2 ? ? ? ?b-0 2 ? ?a-2?3=-1,
得 M′?

? 6 ,30?. ? ?13 13?

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
? ?2x-3y+1=0, 由? ?3x-2y-6=0, ?

得 N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. (3)法一:在 l:2x-3y+1=0 上任取两点,
23

如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A(-1,-2)的对称点 M′,N′均在直线 l′上, 易得 M′(-3,-5),N′(-6,-7), 再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0. 法二:∵l∥l′,∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C| |-2+6+1| = , 2 2 2 2 2 +3 2 +3

解得 C=-9,∴l′的方程为 2x-3y-9=0. 法三:设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为

P′(-2-x,-4-y),
∵点 P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.

求直线 m 关于 l 的对称直线 m′时,因 m 与 l 相交,先求交点,除了交点之外,我们可以再在 m 上任选一点,求出其关于 l 的对称点,利 用两点式求出直线 m′的方程;若 m 与 l 平行,我们必须在 m 上任取两点,求出其关于直线 l 的对称点,用两点式求出直线 m′的方程,也可利 用 m∥l∥m′这一性质,求出一个对称点的坐标,用点斜式求出 m′的方程.

1.(2016?秦皇岛检测)直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程为________. 解析:由?
? ?y=2x+3, ?y=x+1 ?

解得直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1),

∴可设直线 l2 的方程为 y+1=k(x+2),即

kx-y+2k-1=0.
在直线 l 上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线 l1,l2 的距离相等,由点到直线的距离公式得 |k-2+2k-1| |2-2+3| 1 = ,解得 k= (k=2 舍去), 2 2 2 k +1 2 +1 ∴直线 l2 的方程为 x-2y=0. 答案:x-2y=0 2.(2016?北京东城期末)如图所示,已知 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点经 BC 反射后,再经 AC 反射,落到线段 AE 上(不含端点),则直线 FD 的斜率的取值范围是________.

24

解析:如图所示,从特殊位置考虑.∵点 A(-2,0)关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 A1(2,4),∴直线 A1F 的斜率 kA1F=4.∵点 E(-1,0) 关于直线 AC: y=x+2 的对称点为 E1(-2,1),点 E1(-2,1)关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 E2(1,4),此时直线 E2F 的斜率不存在,∴kA1F<kFD, 即 kFD∈(4,+∞).

答案:(4,+∞)

新定义下的直线方程问题 [典例] 在平面直角坐标系中,设点 P(x,y),定义[OP]=|x|+|y|,其中 O 为坐标原点. 对于以下结论:①符合[OP]=1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2; ②设 P 为直线 5x+2y-2=0 上任意一点,则[OP]的最小值为 1; 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号). 解题指南 ①根据新定义,讨论 x 的取值,得到 y 与 x 的分段函数关系式,画出分段函数的图像,即可求出该图形的面积;②认真观察直 线方程,可举一个反例,得到[OP]的最小值为 1 是假命题.

解析 ①由[OP]=1,根据新定义得:|x|+|y|=1,上式可化为:y=-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x≤0),y=x+1(-1≤x≤0),y =x-1(0≤x≤1),画出图像如图所示:

25

根据图形得到:四边形 ABCD 为边长是 2的正方形,所以面积等于 2,故①正确; ②当点 P 为? 2 ? 2 ,0? ?时,[OP]=|x|+|y|= +0<1, ? 5 ? 5

所以[OP]的最小值不为 1,故②错误; 所以正确的结论有:①. 答案 ① 创新点评 (1)考查内容的创新,对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查.

(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新,本题考查了学生的发散思维,思维方向与习惯思维有所不同. 备考建议 解决新概念、新定义的创新问题时,要注意以下几点:

(1)充分理解概念、定理的内涵与外延; (2)对于新概念、新结论要具体化,举几个具体的例子,代入几个特殊值; (3)注意新概念、新结论正用怎样,逆用又将如何,变形将会如何.

◆一条规律 在判断两直线的位置关系时,也可利用直线方程的一般式,由系数间的关系直接做出结论. 设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. (1)l1∥l2??
? ?A1B2=A2B1, ?A1C2≠A2C1. ?

(2)l1 与 l2 相交?A1B2≠A2B1. (3)l1 与 l2 重合??
? ?A1B2=A2B1, ?A1C2=A2C1. ?

(4)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. ◆三种对称 (1)点关于点的对称. 点 P(x0,y0)关于 A(a,b)的对称点为 P′(2a-x0,2b-y0). (2)点关于直线的对称 设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点 P′(x′,y′),

y′-y ? ?x′-x ?k=-1, 则有? y′+y x′+x ? 2 =k? 2 +b, ?
0 0 0 0

可求出 x′,y′.

(3)直线关于直线的对称

26

①若已知直线 l1 与对称轴 l 相交,则交点必在与 l1 对称的直线 l2 上,然后再求出 l1 上任一个已知点 P1 关于对称轴 l 对称的点 P2,那么经 过交点及点 P2 的直线就是 l2;②若已知直线 l1 与对称轴 l 平行,则与 l1 对称的直线和 l1 分别到直线 l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线 间的距离即可求出 l1 的对称直线.

课时规范训练 A 级 基础演练] 1.(2016?株洲模拟)点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( 1 A. 2 3 2 C. 2 B. D. 3 2 2 2 |1+1+1| 1+?-1? = 3 2 . 2 )

解析:由点到直线的距离公式得距离为 答案:C

2

2.(2016?枣庄三中月考)若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取值最多有( A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.6 个

)

1 解析:三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若 l1∥l2,则 m=4;若 l1∥l3,则 m=- ;若 l2∥l3, 6 2 则 m 的值不存在;若三条直线相交于同一点,则 m=-1 或 ,故实数 m 的取值最多有 4 个. 3 答案:C 3.(2016?宁夏银川模拟)已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a 等于( A.3 C.-1 解析:由题意知,l1∥l2? 答案:C 4.(2015?黄石模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) B.(-3,0) D.(0,3) ) B.1 D.3 或-1 1 a 6 = ≠ ,即 a=-1.故选 C. a-2 3 2a )

y-1 解析:∵点 P 在 y 轴上,∴设 P(0,y),又∵kl1=2,l1∥l2,∴kl2= =y-1=2,∴y=3,∴P(0,3). 0-?-1?
答案:D 5.(2016?武汉模拟)已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,当 l1 与 l2 相交于点 P(m,-1)时,m,n 的值分别为________、

27

________. 解析:∵m -8+n=0,2m-m-1=0,∴m=1,n=7. 答案:1 7
2

6.(2014?高考四川卷)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|?|PB|的最大 值是________. 解析:求出定点 A,B 的坐标,并注意已知两直线互相垂直. ∵直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 分别过定点 A,B, ∴A(0,0),B(1,3). 当点 P 与点 A(或 B)重合时,|PA|?|PB|为零; 当点 P 与点 A,B 均不重合时,∵P 为直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 的交点,且易知此两直线垂直, ∴△APB 为直角三角形,∴|AP| +|BP| =|AB| =10, |PA| +|PB| 10 ∴|PA|?|PB|≤ = =5,当且仅当|PA|=|PB|时,上式等号成立. 2 2 答案:5 7.已知直线 l1 经过点 A(2,a),B(a-1,3),直线 l2 经过点 C(1,2),D(-3,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1⊥l2,求 a 的值. 3 解:设直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,若 a=3,则 k1 不存在,k2=- ,则 l1 与 l2 既不平行,也不垂直. 4
2 2 2 2 2

a-3 a+2-2 a 因此 a≠3,k1= =-1,k2= =- . 3-a -3-1 4
(1)∵l1∥l2,∴k1=k2. ∴-1=- .∴a=4. 4 (2)∵l1⊥l2,∴k1k2=-1. ∴(-1)?- ?=-1. ? 4? ∴a=-4. 8.过点 P(-1,2)引一直线,两点 A(2,3),B(-4,5)到该直线的距离相等,求这条直线的方程. 解:法一:当斜率不存在时,过点 P(-1,2)的直线方程为:x=-1,A(2,3)到 x=-1 的距离等于 3,且 B(-4,5)到 x=-1 的距离也等于 3,符合题意; 当直线的斜率存在时,设斜率为 k,过点 P(-1,2)的直线方程为:y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0, |2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 1 依题设知: = ,解上式得:k=- ,所以,所求直线方程为:x+3y-5=0; 2 2 3 k +1 k +1 综上可知,所求直线方程为 x=-1 或 x+3y-5=0. 法二:依题设知:符合题意的直线共有两条,一条是过点 P(-1,2)与 AB 平行的直线,另一条是过点 P 及 AB 中点的直线.
28

a

? a?

3-5 1 因为 A(2,3),B(-4,5),所以 kAB= =- , 2+4 3 因此,过点 P 与 AB 平行的直线的方程为:

y-2=- (x+1),即 x+3y-5=0;
又因为 A(2,3),B(-4,5)的中点坐标 D(-1,4), 所以过点 P 及 AB 中点的直线方程为 x=-1; 综上可知,所求直线方程为 x=-1 或 x+3y-5=0. [B 级 能力突破] 1.(2016?浙江台州中学质检)已知 b>0,直线(b +1)x+ay+2=0 与直线 x-b y-1=0 互相垂直,则 ab 的最小值为( A.1 C.2 2
2 2 2

1 3

)

B.2 D.2 3
2 2 2

解析:由已知两直线垂直得(b +1)-ab =0,即 ab =b +1.两边同除以 b,得 ab= 且仅当 b=1 时等号成立,故选 B. 答案:B 2.(2016?泉州模拟)若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m +n 的最小值是( A.2 C.4 解析:法一:数形结合法 B.2 2 D.2 3
2 2

b2+1 1 1 =b+ .由基本不等式,得 b+ ≥2 b b b

b? =2 当 b

1

)

(1)m +n =(m-0) +(n-0) 表示点(m,n)与(0,0)距离的平方,∴ m +n 表示点(m,n)与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离.

2

2

2

2

2

2

当过原点的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为 d= (2)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,

|-10| 4 +3
2 2

=2,∴m +n 的最小值为 4.

2

2

?5 ? ? 10? 直线与两坐标轴交于 A? ,0?,B?0, ?, 3? ?2 ? ?
5 10 直角三角形 OAB 中,OA= ,OB= , 2 3

29

斜边 AB=

?5?2+?10?2=25, ?2? ? 3 ? 6 ? ? ? ?
2 2

斜边上的高 h 即为所求 m +n 的算术平方根, 1 1 ∴S△OAB= ?OA?OB= AB?h, 2 2 5 10 ? OA?OB 2 3 ∴h= = =2, AB 25 6 ∴m +n 的最小值为 h =4. 法二:函数法 因点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上, 10-3n ∴4m+3n-10=0,∴m= , 4 ∴m +n =?
2 2 2 2 2

?10-3n?2+n2=100-60n+25n . ? 16 ? 4 ?

2

6 2 2 当 n= 时,m +n 的最小值为 4. 5 答案:C 3.(2016?武汉模拟)若点 A(3,5)关于直线 l:y=kx 的对称点在 x 轴上,则 k 是( -1± 5 A. 2 -1± 30 C. 4 B.± 3 -3± 34 5 5-0 1 ? ?3-x =-k, 0),依题意得? 5+0 3+x ? 2 =k? 2 , ?
0 0

)

D.

解析:由题设点 A(3,5)关于直线 l:y=kx 的对称点为 B(x0,

-3± 34 解得 k= . 5 答案:D 4.(2016?河南郑州一中月考)点 P 为 x 轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是________. 解析:点 A(1,1)关于 x 轴的对称点 A′(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值是线段 A′B 的长= 5 +2 = 29. 答案: 29 5.(2014?高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+ 2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________.
30
2 2 2

b x

解析:y=ax + 的导数为 y′=2ax- 2, 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2

2

b x

b x

b ? ?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ? ?4a-4=-2,
答案:-3

解得?

? ?a=-1, ?b=-2, ?

则 a+b=-3.

6.已知方程 mx+ny-m-2n=0 对任意不同时为 0 的 m,n 恒成立,则

n2

m2+n2

的最大值为________.
? ?x-1=0, ?y-2=0, ?

解析:由已知方程 mx+ny-m-2n=0 表示一条直线 l,整理得 m(x-1)+n(y-2)=0,由等式恒成立的条件,可知?
?x=1, ? ? ?y=2, ?

解得

即直线 l 恒过点 P(1,2).

取点 A(1,-1),则点 A 到直线 l 的距离

d=

|m-n-m-2n| 3|n| = 2 . 2 2 m +n m +n2
2 2

因为直线 l 恒过点 P(1,2), 所以点 A 到直线 l 的距离的最大值等于|AP|= ?1-1? +?-1-2? =3, 即

3|n|

m +n

2

2

的最大值为 3, 所以

|n|

m2+n2

的最大值为 1,即 答案:1

n2
2

m +n2

的最大值为 1.

7.(2016?广东中山检测)已知点 A(2,-1), (1)求过点 A 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过点 A 且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求最大距离; (3)是否存在过点 A 且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程,若不存在,请说明理由. 解:(1)过点 A 的直线 l 与原点距离为 2,而点 A 的坐标为(2,-1),当斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=2,此时,原点到直线 l 的距离 为 2,符合题意; 当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k= , 2 4 k +1 此时直线 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

31

(2)过点 A 且与原点 O 距离最大的直线是过点 A 与 OA 垂直的直线,由 l⊥OA,得 k1kOA=-1,所以 k1=- 由直线的点斜式方程得 y+1=2(x-2), |OA|= ?2-0? +?-1-0? = 5. 即 2x-y-5=0,即直线 2x-y-5=0 是过点 A 且与原点距离最大的直线 l 的方程,且最大距离为 5.
2 2

1

kOA

=2,

(3)不存在,由②可知,过点 A 不存在到原点距离超过 5的直线,因此不存在过点 A 且与原点距离为 6 的直线.

第 3 课时

圆的方程

掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.

1.圆的概念及圆的标准方程 (1)圆:平面上,到一定点 O 的距离等于定长 r(r>0)的点 P 的集合(轨迹)叫作圆.其特征是|PO|=r(r>0),其中 O 叫圆心,r 叫半径.圆 心决定圆的位置,半径决定圆的大小. (2)圆的标准方程是(x-a) +(y-b) =r (r>0),圆心是(a,b),确定圆的标准方程,只需知道圆心和半径即可,常采用的方法是待定系 数法. (3)点和圆的位置关系有三种:点在圆上,满足的条件是点到圆心的距离等于半径;点在圆内,满足的条件是点到圆心的距离小于半径;点 在圆外,满足的条件是点到圆心的距离大于半径. 2.圆的一般方程
2 2 2

D E? D2+E2-4F ? - ,- (1)圆的一般方程是 x +y +Dx+Ey+F=0,其应满足的条件是 D +E -4F>0,圆心坐标是? ,半径为 r= . 2? 2 ? 2 ?
2 2 2 2

(2)对于方程 x +y +Dx+Ey+F=0,当 D +E -4F=0 时,不表示圆,而表示一个点?- ,- ?,当 D +E -4F<0 时,不表示任何图形. 2? ? 2
2 2 2 2 2 2

? D

E?

(3)当已知圆心坐标和半径求圆的方程时, 一般设为标准方程(x-a) +(y-b) =r (r>0), 当已知圆上三点时一般设为一般方程 x +y +Dx +Ey+F=0(D +E -4F>0),当已知圆的直径的两个端点时,一般设为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)?(y-y2)=0. 3.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a) +(y0-b) =r ;
32
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

(2)点在圆外:(x0-a) +(y0-b) >r ; (3)点在圆内:(x0-a) +(y0-b) <r . [基础自测] 1.圆 x +y -2x+2y+1=0 的圆心到直线 x-y+1=0 的距离是( 1 A. 2 C. 2 2 B. D. 3 2 3 2 2
2 2 2 2 2

2

2

2

)

|1+1+1| 3 2 2 2 解析:配方得(x-1) +(y+1) =1,圆心(1,-1)到直线的距离 d= = ,故选 D. 2 2 答案:D 2.若原点(0,0)在圆(x-m) +(y+m) =2 的内部,则实数 m 的取值范围是( A.(0,1) C.(- 2, 2)
2 2 2 2

)

B.(-1,1) D.[-1,1]
2

解析:∵(0,0)在圆(x-m) +(y+m) =2 的内部,∴2m <2,解得-1<m<1. 答案:B 3.(教材改编题)圆心为点(0,1),半径为 2 的圆的标准方程为 ( A.(x-1) +y =4 C.x +(y-1) =4
2 2 2 2 2 2 2

)

B.x +(y-1) =2 D.(x-1) +y =2
2 2

2

2

解析:设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,由题意知 a=0,b=1,r=2,故选 C. 答案:C 4.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为________. 解析:设圆心坐标为(a,0),易知 ?a-5? +?-1? = ?a-1? +?-3? ,解得 a=2,∴圆 C 为(2,0),半径为 10,∴圆心的方 程为(x-2) +y =10. 答案:(x-2) +y =10 5.过点 O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程为________. 解析:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

F=0, ? ? 则?1+1+D+E+F=0, ? ?16+4+4D+2E+F=0,
2 2

D=-8, ? ? 解得?E=6, ? ?F=0,

故圆的方程为 x +y -8x+6y=0. 答案:x +y -8x+6y=0
2 2

33

考点一 圆的方程的求法 [例 1] 根据下列条件求圆的方程 已知圆的半径为 10,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2. 审题视点 可先确定圆心和半径,然后写出圆的方程,也可利用待定系数法求解. 解 法一:设圆的方程为(x-a) +(y-b) =10.
2 2

由圆心在直线 y=2x 上,得 b=2a.① 由圆在直线 x-y=0 上截得的弦长为 4 2, 将 y=x 代入(x-a) +(y-b) =10, 整理得 2x -2(a+b)x+a +b -10=0. 由弦长公式得 2 ?a+b? -2?a +b -10?=4 2, 化简得 a-b=±2.② 解①②得 a=2,b=4 或 a=-2,b=-4. ∴所求圆的方程为(x-2) +(y-4) =10 或(x+2) +(y+4) =10.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

法二:根据图形的几何性质:半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形.如图,由勾股定理,可得弦心距

d=

r2-?

?4 2?2 ? = 10-8= 2. ? 2 ?

∵弦心距等于圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离, |a-b| ∴d= = 2.③ 2 又已知 b=2a.④ 解③④得 a=2,b=4 或 a=-2,b=-4. ∴所求圆的方程是(x-2) +(y-4) =10 或(x+2) +(y+4) =10.
2 2 2 2

34

(1)从题组求解可以看出,确定一个圆的方程,需要三个独立的条件;“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方 法,即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. (2)解答与圆有关的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.

1.(2015?高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( A.(x-1) +(y-1) =1 B.(x+1) +(y+1) =1 C.(x+1) +(y+1) =2 D.(x-1) +(y-1) =2 解析:由题意得圆的半径 r= ?1-0? +?1-0? = 2,圆心坐标为(1,1),所以圆的标准方程为(x-1) +(y-1) =2. 答案:D 2.(2015?高考课标卷Ⅱ)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A.2 6 C.4 6 解析:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

)

B.8 D.10

D+3E+F+10=0, ? ? 则?4D+2E+F+20=0, ? ?D-7E+F+50=0.
2 2

D=-2, ? ? 解得?E=4, ? ?F=-20.

∴圆的方程为 x +y -2x+4y-20=0. 令 x=0,得 y=-2+2 6或 y=-2-2 6, ∴M(0,-2+2 6),N(0,-2-2 6)或 M(0,-2-2 6),N(0,-2+2 6),∴|MN|=4 6,故选 C. 答案:C

考点二 与圆有关的最值问题 [例 2] 已知点(x,y)在圆(x-2) +(y+3) =1 上. (1)求 x+y 的最大值和最小值;
2 2

35

(2)求 的最大值和最小值; (3)求 x +y +2x-4y+5的最大值和最小值. 审题视点 根据代数式的几何意义,借助平面几何知识,数形结合求解. 解 (1)设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为直线 y=-x+t 的纵截距,所以 x+y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距
2 2

y x

的最大值和最小值,即直线与圆相切时的纵截距. 由直线与圆相切得:圆心到直线的距离等于半径,即 解之得,t= 2-1 或 t=- 2-1, 所以 x+y 的最大值为 2-1,最小值为- 2-1. (2) 可视为点(x,y)与原点连线的斜率, 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切 |2k-?-3?| 时的斜率.设过原点的直线的方程为 y=kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即 =1, 2 1+ k 2 3 2 3 解之得,k=-2+ 或 k=-2- . 3 3 |2+?-3?-t| =1, 2

y x

y x

y 2 3 2 3 所以 的最大值为-2+ ,最小值为-2- . x 3 3
(3) x +y +2x-4y+5 即为 [x-?-1?] +?y-2? ,可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和 或差.又因为圆心到定点(-1,2)的距离为 34,所以 x +y +2x-4y+5的最大值为 34+1,最小值为 34-1.
2 2 2 2 2 2

与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:①形如 μ =

y-b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 形 x-a
2

式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a) +(y-b) 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

2

1.(2016?合肥模拟)已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1) +(y+1) =1 上的动点,则|MN|的最小值是( 9 A. 5 4 C. 5 B.1 D. 13 5

2

2

)

|-3-4-2| 9 4 解析: 圆心(-1, -1)到点 M 的距离的最小值为点(-1, -1)到直线的距离 d= = , 故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5 5 5
36

答案:C 2.(2016?河南豫西五校联考)已知 M 为圆 C:x +y -4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若 M(m,n),求
2 2 2

n-3 的最大值和最小值. m+2
2

解析:(1)由 C:x +y -4x-14y+45=0,可得 (x-2) +(y-7) =8, ∴圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|= ?2+2? +?7-3? =4 2. ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. (2)因为
2 2 2 2

n-3 表示直线 MQ 的斜率, m+2

所以设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则

n-3 =k. m+2

由题意知直线 MQ 与圆 C 有交点, |2k-7+2k+3| 所以 ≤2 2. 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以

n-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

考点三 圆的综合应用 [例 3] 已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 审题视点 利用垂直列出坐标之间的关系,再化为 m 的方程求解. 解 将 x=3-2y, 代入方程 x +y +x-6y+m=0, 得 5y -20y+12+m=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 y1、y2 满足条件:
2 2 2 2 2

y1+y2=4,y1y2=

12+m . 5

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2.
37

-27+4m ∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= . 5 -27+4m 12+m 故 + =0,解得 m=3, 5 5 5 ? 1 ? 此时 Δ >0,圆心坐标为?- ,3?,半径 r= . 2 ? 2 ?

在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.

1.(2016?杭州一模)设圆 C:(x-k) +(y-2k+1) =1,则圆 C 的圆心的轨迹方程是________,若直线 l:3x+ty-1=0 被圆 C 所截得的 弦长与 k 无关,则 t=________. 解析:设圆心 C(x,y),则 x=k,y=2k-1,消去 k 可得 y=2x-1;直线 l:3x+ty-1=0 被圆 C 所截得的弦长与 k 无关,则圆心到直线 3 3 的距离为定值,∴直线 l:3x+ty-1=0 与 y=2x-1 平行,∴- =2,∴t=- . t 2 3 答案:y=2x-1 - 2 2.(2015?高考广东卷)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y -6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. 解:(1)把圆 C1 的方程化为标准方程得(x-3) +y =4,∴圆 C1 的圆心坐标为 C1(3,0). (2)设 M(x,y),∵A,B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点,且 M 为 AB 的中点, → → ∴由圆的性质知:MC1⊥MO,∴MC1?MO=0. → → 又∵MC1=(3-x,-y),MO=(-x,-y), ∴由向量的数量积公式得 x -3x+y =0. 易知直线 l 的斜率存在,∴设直线 l 的方程为 y=mx, 当直线 l 与圆 C1 相切时,d= 2 5 解得 m=± . 5 5 2 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得 9x -30x+25=0,解得 x= . 3 当直线 l 经过圆 C1 的圆心时,M 的坐标为(3,0).
38
2 2 2 2 2 2

2

2

|3m-0| =2, m2+1

又∵直线 l 与圆 C1 交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点, 5 ∴ <x≤3. 3 5 2 2 ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 x -3x+y =0,其中 <x≤3,其轨迹为一段圆弧. 3

选择方程不当或计算失误 [典例] 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 解题指南 (1)可先求出曲线与坐标轴的交点坐标,再求圆的方程; → → (2)直线与圆的方程联立,由OA?OB=0,即可求出 a 的值. 【规范解答】 (1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2,0).2 分 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 3 +(t-1) =(2 2) +t , 解得 t=1.则圆 C 的半径为 3 +?t-1? =3. 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9.4 分 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
? ?x-y+a=0, ? 2 2 ??x-3? +?y-1? =9. ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

消去 y,得到方程 2x +(2a-8)x+a -2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ =56-16a-4a >0.6 分 从而 x1+x2=4-a,x1x2=
2

2

2

a2-2a+1
2

.

①8 分

由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0. ②10 分 由①,②得 a=-1, 满足 Δ >0,故 a=-1.12 分 阅卷点评 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程,通常选用圆的标准方程;若已知条件为圆经过三点,一般采
39
2

用一般式,但已知点的坐标较复杂时,采用一般式计算过繁,可以采用标准式. 失分警示 (1)受思维习惯的制约,只求出与 x 轴的两个交点坐标,忽视与 y 轴的交点坐标,从而无法进行下去;

(2)直接求出 a 的值,没有验证判别式是否大于零. 备考建议 解决与圆的方程有关的问题时,要注意以下几点:

(1)根据题设条件,合理选择圆的方程的形状(是标准方程还是一般方程); (2)凡是涉及一元二次方程解的问题,一定要注意方程的判别式是否大于或者等于零,即方程是否有解.

◆一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. ◆三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.若方程 a x +(a+2)y +2ax+a=0 表示圆,则 a 的值是( A.-1 C.-1 或 2
2 2 2 2 2 2

)

B.2 D.1

解析:当方程 a x +(a+2)y +2ax+a=0 表示圆时,a≠0. ∴方程可转化为 x + ∴若方程表示圆,
2

a+2 2 2 1 y + x+ =0. a2 a a

a+2 ? ? a =1, 则有? 4 4 D +E -4F= - >0, ? ? a a
2 2 2 2

40

得?

?a=-1或a=2, ? ?a<1且a≠0, ?

即 a=-1 时表示圆. 答案:A 2.将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 B.x+y+3=0 D.x-y+3=0
2 2

)

解析:圆的圆心为(1,2).直线 x-y+1=0 过圆心.故选 C. 答案:C 3.已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 C.30 6 B.20 6 D.40 6
2 2

)

1 2 2 2 2 2 解析:圆的标准方程为(x-3) +(y-4) =5 ,由题意得|AC|=2?5=10,|BD|=2 5 -1 =4 6,且 AC⊥BD,四边形 ABCD 的面积 S= 2 1 |AC|?|BD|= ?10?4 6=20 6.故选 B. 2 答案:B 4.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________. 解 析:因为 圆的弦的 垂直 平分线必 过圆心且 圆经 过点 (0,0) 和 (4,0) ,所 以设圆心 为 (2 , m) .又 因为圆与 直线 y = 1 相 切,所以 3 ? 3?2 25 2 2 2 2 2 ?4-2? +?0-m? =|1-m|,所以 m +4=m -2m+1,解得 m=- ,所以圆 C 的方程为(x-2) +?y+ ? = . 2 ? 2? 4

? 3?2 25 2 答案:(x-2) +?y+ ? = ? 2? 4
5.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,则 a=________. 解析:由于弦 AB 的长为 2 3,则圆心(1,2)到直线 ax-y+3=0 的距离等于 1,即 答案:0 6.(2015?高考课标卷Ⅰ)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________. 16 4 解析:由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2), 3 m= , ? ? 2 解得? 25 r= . ? ? 4
2 2 2

|a-2+3| =1,解得 a=0. a2+1

x2

y2

(0, -2), (4,0)三点. 设圆的标准方程为(x-m) +y =r (0<m<4, r>0), 则?

2

2

2

?m +4=r , ? ? ??4-m? =r ,
2 2

2

2

? 3? 所以圆的标准方程为?x- ? ? 2?

2

25 2 +y = . 4
41

? 3?2 2 25 答案:?x- ? +y = 4 ? 2?
7.已知实数 x,y 满足方程 x +y -4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值; (3)求 x +y 的最大值和最小值. 解:(1)原方程化为(x-2) +y =3,表示以点(2,0)为圆心,半径为 3的圆.
2 2 2 2 2 2

y x

y |2k-0| 设 =k,即 y=kx,当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或最小值,此时有 = 3,解得 k=± 3. x k2+1
故 的最大值为 3,最小值为- 3. (2)设 y-x=b,即 y=x+b,当 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 |2-0+b| = 3, 2 即 b=-2± 6. 故(y-x)max=-2+ 6,(y-x)min=-2- 6. (3)x +y 表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处 x +y 取得最大值或最小值. 又圆心到原点的距离为 2, 故(x +y )max=(2+ 3) =7+4 3, (x +y )min=(2- 3) =7-4 3. 8.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解:(1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2), ∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y x

a+b-3=0.①
又直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1) +b =40② 由①②解得?
?a=-3 ? ? ?b=6
2 2

或?

?a=5 ? ? ?b=-2

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2),

42

∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或(x-5) +(y+2) =40. [B 级 能力突破] 1.(2016?内蒙古呼伦贝尔一模)已知⊙M 的圆心在抛物线 x =4y 上,且⊙M 与 y 轴及抛物线的准线都相切,则⊙M 的方程是( A.x +y ±4x-2y+1=0 B.x +y ±4x-2y-1=0 C.x +y ±4x-2y+4=0 D.x +y ±4x-2y-4=0
? ?|x0|=y0+1, 2 2 解析:抛物线 x =4y 的准线为 y=-1,设圆心 M 的坐标为(x0,y0)(y0>0),则|x0|=y0+1,又 x0=4y0,所以联立? 2 ?x0=4y0, ? ?x0=±2, ? ? ? ?y0=1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

)

解得

因此圆 M 的方程为(x±2) +(y-1) =2 ,展开整理得 x +y ±4x-2y+1=0,故选 A.

2

2

2

2

2

答案:A 2.已知圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是( A.(x- 10) +y =5 C.(x+ 10) +y =5
2 2 2 2

)

B.(x+ 5) +y =5 D.x +(y+ 10) =5
2 2

2

2

|a| 解析:设圆心为(a,0)(a<0),则 = 5, 2 ∴a=- 10,∴圆 O 的方程为(x+ 10) +y =5,故选 C. 答案:C → → ? 1 ? 3. (2016?天津模拟)圆心为 C?- ,3?的圆与直线 l: x+2y-3=0 交于 P、 Q 两点, O 为坐标原点, 且满足OP?OQ=0, 则圆 C 的方程为( ? 2 ? 5 ? 1?2 2 A.?x- ? +(y-3) = 2 ? 2? 5 ? 1?2 2 B.?x- ? +(y+3) = 2 ? 2? 5 ? 1?2 2 C.?x+ ? +(y-3) = 2 ? 2? 25 ? 1?2 2 D.?x+ ? +(y+3) = 4 ? 2? )
2 2

? 1 ? 解析:∵圆心为 C?- ,3?, ? 2 ? ? 1?2 2 2 ∴设圆的方程为?x+ ? +(y-3) =r , ? 2?
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的. 5 ? 1?2 2 即?x+ ? +(y-3) = ,故选 C. 2 ? 2?
43

答案:C 4.(2016?湖北八校联考)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧,弧长比为 1∶2,则圆 C 的标准方程为________. 2 π 解析:由已知得圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π ,设圆心坐标为(0,a),半径为 r,则 rsin =1, 3 3

rcos =|a|,解得 r=

π 3

2

4 3 2 ,即 r = ,|a|= , 3 3 3

即 a=±
2

3 3?2 4 ? 2 ,故圆 C 的方程为 x +?y± ? = . 3 3? 3 ?

答案:x +?y±

? ?

3?2 4 ?= 3? 3
2 2

5.(2016?天津四校联考)已知实数 x,y 满足 x +y -4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( A.5- 5 C. 5-1
2 2

)

B.4- 5 D.5 5
2 2

解析:将 x +y -4x+6y+12=0 化为(x-2) +(y+3) =1,|2x-y-2|= 5?

|2x-y-2| 2 ,从几何意义上讲,上式表示在圆(x-2) +(y 5

|2x-y-2| ?|2x-y-2|? 2 +3) =1 上的点到直线 2x-y-2=0 的距离的 5倍,要使其值最小,只需 最小即可.由直线和圆的位置关系可知? ?min= 5 ? ? 5 |2?2+3-2| -1= 5-1,所以|2x-y-2|的最小值为 5?( 5-1)=5- 5. 5 答案:A 6.(2015?高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的 标准方程为________. 解析:直线 mx-y-2m-1=0 经过定点(2,-1). 当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r =(1-2) +(0+1) =2. 答案:(x-1) +y =2 7.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求|QM|的最小值. 解:(1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ?x+3? +y =2 ?x-3? +y . 化简可得(x-5) +y =16,此即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图,由直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ| -|CM| = |CQ| -16,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

44

当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值, |5+3| |CQ|= =4 2, 2 此时|QM|的最小值为 32-16=4.

第 4 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 5.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,会推导空间两点间的距离公式.

1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0),圆:(x-a) +(y-b) =r (r>0),d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后 得到的一元二次方程的判别式为 Δ .
2 2 2 2 2

方法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系

几何法

代数法 Δ >0 Δ =0 Δ <0

d<r d=r d>r

45

[基础自测] 1.(教材改编题)已知圆(x-1) +(y+2) =6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离
2 2

)

|2-2-5| 解析:圆心(1,-2)到直线的距离为 = 5< 6=r 且 2?1+(-2)-5≠0,∴直线与圆相交但不过圆心. 2 2 +1 答案:B 2.(2016?东北三校联考)圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( A.相离 C.外切
2 2 2 2 2

)

B.相交 D.内切

解析:∵|r1-r2|=1<|O1O2|= 1+2 = 5<3=r1+r2.∴两圆相交. 答案:B 5 2 2 3.过坐标原点且与圆 x +y -4x+2y+ =0 相切的直线方程为( 2 1 A.y=-3x 或 y= x 3 1 C.y=-3x 或 y=- x 3 )

1 B.y=3x 或 y=- x 3 1 D.y=3x 或 y= x 3

5 10 |2k+1| 10 2 2 解析:圆的标准方程为(x-2) +(y+1) = ,圆心坐标为(2,-1),半径为 ,设切线方程为 y=kx 即 kx-y=0,由 = ,解 2 2 2 2 k +1 1 得 k=-3 或 k= ,故选 A. 3 答案:A 4.(2016?沈阳月考)直线 x-2y+5=0 与圆 x +y =8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 解析:∵圆心(0,0)到直线 x-2y+5=0 的距离为 ∴|AB|=2 r -d =2 8-5=2 3. 答案:2 3 5.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x +y -2x+4y+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围是________.
2 2 2 2 2 2

5 5

= 5,

46

|3-8+m| 2 2 解析:圆的标准方程为(x-1) +(y+2) =1,圆心坐标为(1,-2),半径为 1.∵直线与圆无公共点,∴ >1,解得 m<0 或 m>10. 2 2 3 +4

答案:(-∞,0)∪(10,+∞)

考点一 直线与圆的位置关系 [例 1] (1)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是( A.相离 C.相交但直线不过圆心
2 2 2 2

)

B.相切 D.相交且直线过圆心

(2)若经过点 A(4,0)的直线 l 与圆(x-2) +y =1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为________. 审题视点 (1)利用 d 与 r 的大小关系或者分析直线所过的定点与圆的关系. (2)斜率是存在的直线,利用 d≤r,待定斜率 k. |0-0+1| 1 2 2 解析 (1)x +y =2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离 d= = ≤1,又∵r= 2, 2 2 1+k 1+k ∴0<d<r.∴直线与圆相交但直线不过圆心. 另法:直线 y=kx+1 过定点(0,1),在圆内,圆心为(0,0)不在直线上,故选 C. (2)由题可设直线方程为 y=k(x-4),即:kx-y-4k=0,因为直线与圆有公共点,所以,圆心到直线的距离小于或等于半径,即:d= |2k-0-4k| 3 3 ≤1,解得:- ≤k≤ . 2 3 3 k +1 答案 (1)C (2)?-

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

(1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达 较繁琐,则用代数法. (2)解决直线与圆的位置关系的应用问题,常常借助几何性质结合数形结合思想解题.

1.(2016?福建泉州四校联考)已知 m=(2cos α ,2sin α ),n=(3cos β ,3sin β ),若 m 与 n 的夹角为 60°,则直线 xcos α -ysin α 1 1 2 2 + =0 与圆(x-cos β ) +(y+sin β ) = 的位置关系是( 2 2 )

47

A.相交 C.相切

B.相交且过圆心 D.相离

m?n 1 解析:由向量的夹角公式得 cos 〈m,n〉= =cos α cos β +sin α sin β =cos(α -β )= ,圆心(cos β ,-sin β )到直线的 |m||n| 2

距离 d=

?cos β cos α +sin β sin α +1? ? 2? ? ?
cos α +sin α
2 2

=1>

2 ,∴直线与圆相离. 2

答案:D 2.(2015?高考山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4
2 2

)

解析:由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射 |-3k-2-2k-3| 光线所在直线的斜率为 k, 则反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x-2), 即 kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切, 则有 d= k2+1 4 3 =1,解得 k=- 或 k=- ,故选 D. 3 4 答案:D

考点二 圆与圆的位置关系 [例 2] 已知两圆 x +y -2x-6y-1=0 和 x +y -10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切; (2)m 取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么? (3)求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 审题视点 (1)两圆外切则有两圆圆心距等于两圆半径之和;(2)两圆内切则有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值,公切线为两圆的方 程之差所得的直线方程;(3)两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得直线方程,弦长可用几何法求解. 解 两圆的标准方程为:(x-1) +(y-3) =11
2 2 2 2 2 2 2 2

(x-5) +(y-6) =61-m,圆心分别为 M(1,3)、N(5,6),半径分别为 11、 61-m. (1)当两圆外切时, ?5-1? +?6-3? = 11+ 61-m,解得:m=25+10 11. (2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆的圆心距 5, 6-3 3 4 4 因此,有 61-m- 11=5,解得:m=25-10 11;因为 kMN= = ,所以两圆公切线的斜率一定为- ,设切线方程为 y=- x+b,则 5-1 4 3 3 有
2 2

48

?4?1+3-b? ?3 ? 13 5 ? ? = 11,解得:b= ± 11. 3 3 ?4?2+1 ?3? ? ?
13 5 4 13 5 容易验证当 b= + 11时,直线与后一圆相交,故所求公切线方程为 y=- x+ - 11,即 4x+3y+5 11-13=0. 3 3 3 3 3 (3)两圆的公共弦所在直线的方程为: (x +y -2x-6y-1)-(x +y -10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0,所以公共弦长为: 2 ? 11? -?
2 2 2 2 2

?|4+3?3-23|?2 ? =2 7. 2 2 4 +3 ? ?

(1)两圆的公切线条数为:①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线. (2)判断两圆的位置关系可根据圆心距与圆的半径的关系式去求解.求两圆的公切线时,要注意两圆的位置关系,可结合图形判断求解.

1.(2016?张家界四校联考)与圆 C1:x +y +2x-6y-26=0,C2:x +y -4x+2y+4=0 都相切的直线有( A.1 条 C.3 条
2

2

2

2

2

)

B.2 条 D.4 条
2 2 2 2 2

解析: 将已知圆化为圆的标准形式, C1: (x+1) +(y-3) =36, C2: (x-2) +(y+1) =1, 两圆圆心距|C1C2|= ?-1-2? +[3-?-1?] =5,两圆圆心距等于两圆半径之差,故两圆相内切,它们只有一条公切线. 答案:A 2.(2016?江西赣县中学月考)已知圆 C1:(x-a) +(y+2) =4 与圆 C2:(x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的最大值为( A. 6 2 B. 3 2
2 2 2 2

)

9 C. 4

D.2 3
2 2

解析:根据题意两圆的圆心坐标,半径分别为 C1(a,-2),r1=2,C2(-b,-2),r2=1,两圆外切,所以|C1C2|= ?a+b? +?-2+2?

9 2 2 2 2 2 2 =2+1,化简为 a +b +2ab=9.由 a +b ≥2ab(当且仅当“a=b”时取“=”),得 a +b +2ab≥2ab+2ab,即 9≥4ab,所以 ab≤ (当且仅当 4 “a=b”时取“=”),故选 C. 答案:C 考点三 直线与圆的综合问题

49

[例 3] 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 审题视点 (1)设出斜率,利用圆心到直线的距离等于半径求解,注意斜率不存在的情况;(2)利用圆心到直线的距离等于半径求参数;(3) 利用关系? ? =r -d 求 a. ?2?
2 2

2

2

?l?2



(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,当直线的斜率不存在时,方程为 x=3.

由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时, 设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| (2)由题意有 =2, a2+1 4 解得 a=0 或 a= . 3 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 ∴? 3 ?|a+2|?2 ?2 3?2 ? +? ? =4,解得 a=-4. 2 ? a +1? ? 2 ? |a+2|

a2+1



求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点;若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜式方程, 用待定系数法求解.注意,需考虑无斜率的情况.求弦长问题,要充分运用圆的几何性质.

1.(2015?高考重庆卷)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切 点为 B,则|AB|=( A.2 C.6 ) B.4 2 D.2 10

2

2

50

解析:由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴,∴圆心 C(2,1)在直线 x+ay-1=0 上,∴2+a-1=0,∴a=-1, ∴A(-4,-1). ∴|AC| =36+4=40.又 r=2,∴|AB| =40-4=36. ∴|AB|=6. 答案:C 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1、C2 的方程分别为(x+3) +(y-1) =4 和(x-4) +(y-5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无数多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长 与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3,所以 d |1-k?-3-4?| 7 2 2 = 2 -? 3? =1,由点到直线的距离公式得:d= ,从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- ,故直线 l 的方程为 y 2 24 1+k =0 或 7x+24y-28=0. 1 (2)设点 P(a,b)满足条件,由题不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a)(k≠0),则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a),因为圆 C1 和圆 C2
2 2 2 2 2 2

2

2

k

的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相

等,即

?5+1?4-a?-b? ? k ? |1-k?-3-a?-b| ? ?
1+k
2



1+

1



k2

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk. 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值有无穷多个, 所以?
?a+b-2=0 ? ? ?b-a+3=0

或?

?a-b+8=0, ? ? ?a+b-5=0,

5 a= ? ? 2 解得:? 1 b=- ? ? 2

3 a=- , ? ? 2 或? 13 b= , ? ? 2

1? ?5 ? 3 13? 这样的点 P 只可能是点 P1? ,- ?或 P2?- , ?,当 k=0 时,对于 P1 点,P2 点经验证符合题意. 2? ?2 ? 2 2? 1? ? 3 13? ?5 综上可得:P 点的坐标为? ,- ?或?- , ?. 2 2? ? 2 2 ? ?

51

数形结合求解直线与圆的位置关系问题 [典例] 过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60°,则点 P 的坐标是________. 解题指南 利用数形结合求解. 解析 直线与圆的位置关系如图所示,设 P(x,y),则∠APO=30°,且 OA=1.在直角三角形 APO 中,OA=1,∠APO=30°,则 OP=2,即
2 2

x2+y2=4.又 x+y-2 2=0,联立解得 x=y= 2,即 P( 2, 2).

答案 ( 2, 2) 快做点拨 失分警示 数形结合,减少了繁复的运算. (1)不能运用数形结合,运算复杂,而导致计算错误.

(2)思路不清晰,转化方向不明确,导致无从下手. 备考建议 (1)根据题设条件,合理选择利用代数方法,还是几何方法是解答这类题目的关键.

(2)注重圆的几何性质在解题中的应用.

◆一个指导 解决直线与圆的位置关系的有关问题,要充分利用平面几何中圆的性质使问题简化. 一般要求圆心到直线的距离与半径. ◆两点防范 (1)注意利用圆的性质解题,可以简化计算.例如,求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离,利用两点的距离减去或加圆半径就 很简便.

52

(2)过圆外一点引圆的切线,应有两条,易漏掉斜率不存在的直线.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016?随州模拟)过坐标原点且与圆 x -4x+y +2=0 相切的直线方程为( A.x+y=0 C.x-y=0 B.x+y=0 或 x-y=0 D.x+ 3y=0 或 x- 3y=0
2 2

)

解析:当斜率 k 不存在时,过原点的直线方程为 x=0,因为圆心(2,0)到此直线的距离 2> 2(圆的半径),此时不合题意;当斜率 k 存在 时,过原点的直线方程为 kx-y=0,要使该直线与圆相切,则有 所以,切线方程为 x+y=0 或 x-y=0. 答案:B 2.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m=( A.21 C.9
2 2 2 2 2

|2k|

k2+1

= 2,解得 k=±1,

)

B.19 D.-11
2

解析:圆 C2 的标准方程为(x-3) +(y-4) =25-m. 又圆 C1:x +y =1, ∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9. 答案:C 3.(2016?桂林中学月考)若直线 + =1(a>0,b>0)始终平分圆 x +y -4x-2y-8=0 的周长,则 ab 的取值范围是( 1? ? A.?-∞, ? 8? ? C.(0,8]
2 2 2 2

x y a b

2

2

)

? 1? B.?0, ? ? 8?
D.[8,+∞)
2 2

解析:由 x +y -4x-2y-8=0 配方得(x-2) +(y-1) =13,所以圆心坐标为(2,1).若直线 + =1(a>0,b>0)始终平分圆的周长,则直

x y a b

x y 2 1 2 1 线 + =1(a>0,b>0)必经过点(2,1),所以 + =1.所以 1= + ≥2 a b a b a b
取值范围是[8,+∞). 答案:D

2

ab

2 1 1 ,即 ab≥8,当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时取等号.故 ab 的 a b 2

4.已知点 A 是圆 C:x +y +ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+2y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则实数 a=________. 解析:依题意知直线 x+2y-1=0 过圆心 C?- ,-2?, ? 2 ?

2

2

? a

?

53

∴- -4-1=0,即 a=-10. 2 答案:-10 5.(2016?西安模拟)已知点 P 是圆 C:x +y +4x-6y-3=0 上的一点,直线 l:3x-4y-5=0.若点 P 到直线 l 的距离为 2,则符合题意 的点 P 有________个. 解析:由题意知圆的标准方程为(x+2) +(y-3) =4 , ∴圆心到直线 l 的距离 d= |-6-12-5| 23 = >4, 5 5
2 2 2 2 2

a

故直线与圆相离,则满足题意的点 P 有 2 个. 答案:2 6.(2014?高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) +(y+1) =4 截得的弦长为________. 解析:圆心为(2,-1),半径 r=2. |2+2??-1?-3| 3 5 圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r -d =2 2 55 答案: 5 7.已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切. |4+2a| 3 则有 =2.解得 a=- . 2 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 -?
2

?3 5?2 2 55 ?= 5 . ? 5 ?

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2.
|4+2a| |CD|= 2 , a +1
2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 8.(2016?如皋模拟)已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点 A、B;
2 2

54

(2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线? → → (3)若定点 P(1,1)分弦 AB 为PB=2AP,求直线 l 的方程. 解:(1)证明:圆心 C(0,1),半径 r= 5,则圆心到直线 l 的距离 d= |-m| 1+m
2

<1,

∴d<r,∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(或此直线恒过一个定点,且这个定点在圆内). (2)设中点 M(x,y),因为 l:m(x-1)-(y-1)=0 恒过定点 P(1,1), → → ∴CM?MP=0,∴(x,y-1)?(1-x,1-y)=0, 整理得:x +y -x-2y+1=0, 1 1 ? 1?2 ?1 ? 2 即:?x- ? +(y-1) = ,表示圆心坐标是? ,1?,半径是 的圆, 2 2 4 2 ? ? ? ? (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组? 得(1+m )x -2m x+m -5=0, 2m ∴x1+x2= 2① 1+m → → 又PB=2AP,∴(x2-1,y2-1)=2(1-x1,1-y1), 即:2x1+x2=3② 3+m ?m+1? 联立①②解得:x1= , 2,则 y1= 2 1+m 1+m 即 A?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ?mx-y+1-m=0 ?x +?y-1? =5 ?
2 2

?3+m2,?m+1? ?. 2 1+m ? ?1+m ?

2

2

将 A 点的坐标代入圆的方程得:m=±1, ∴直线 l 的方程为 x-y=0,x+y-2=0. [B 级 能力突破] 1.(2016?洛阳三校联考)已知圆 C:(x+1) +(y-1) =1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切与 B 点,设劣弧 AB 的中点为 M,则过点 M 的圆 C 的 切线方程是( ) B.y=x+1- 1 2
2 2

A.y=x+2- 2 C.y=x-2+ 2

D.y=x+1- 2 2 2 2 ? 2 ? -1,- +1?,所以切线斜率为 1,故切线方程为 y+ -1=x- +1,即 y 2 2 2 2 ? ?

解析:由已知得 A(-1,0),B(0,1),则易得 kAB=1,M? =x+2- 2. 答案:A

2.(2014?高考江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C
55

面积的最小值为 ( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 )

解析:∵∠AOB=90°,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D,则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. |2?0+0-4| 4 2 又|OD|= = ,∴圆 C 的最小半径为 , 5 5 5 ∴圆 C 面积的最小值为 π ? 答案:A 3.已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,N,M 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最 小值为( ) B. 17-1 D. 17
′ 2 2 ′ 2 2 2 2

? 2 ?2 4 ?= π. ? 5? 5

A.5 2-4 C.6-2 2

解析:作圆 C1 关于 x 轴的对称圆 C1 :(x-2) +(y+3) =1,则|PM|+|PN|=|PM|+|PN′|,由图可知当 C2,M,P,N′,C1 在同一直线上 时,|PM|+|PN|=|PM|+|PN′|取得最小值,即为|C1 C2|-1-3=5 2-4.故选 A.


答案:A 4.(2016?山东青岛期中检测)已知点 P(-2,-3),圆 C:(x-4) +(y-2) =9,过 P 点作圆 C 的两条切线,切点分别为 A,B,过 P,A,
2 2

C 三点的圆的方程为________.
1? ? 解析:圆 C 的圆心 C(4,2),∵PA⊥AC,PB⊥BC,∴P,A,B,C 四点共圆,所求圆的圆心 O′在 PC 的中点,即 O′?1,- ?,所求圆的半径 2? ?

r′=

? 1 ?2 2 ?1+2? +?- +3? = ? 2 ?

61 ? 1?2 61 2 ,∴过 P,A,B 三点的圆的方程为(x-1) +?y+ ? = . 4 ? 2? 4

56

? 1?2 61 2 答案:(x-1) +?y+ ? = ? 2? 4
5.(2014?高考湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 a +b =________. 解析:作出图像,数形结合解答. 依题意,不妨设直线 y=x+a 与单位圆相交于 A,B 两点,则∠AOB=90°.如图,此时 a=1,b=-1,满足题意,所以 a +b =2.
2 2 2 2 2 2

答案:2 → → 2 2 6.(2015?高考山东卷)过点 P(1, 3)作圆 x +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则PA?PB=________. → → 解析:如图所示,可知 OA⊥AP,OB⊥BP,OP= 1+3=2,又 OA=OB=1,可以求得 AP=BP= 3,∠APB=60°,故PA?PB= 3? 3?cos 3 60°= . 2

3 答案: 2 7.已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x +(y-3) =4 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N.
2 2

(1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3)探索AM?AN是否与直线 l 的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 1 解:(1)证明:∵l 与 m 垂直,且 km=- ,∴kl=3, 3 故直线 l 的方程为 y=3(x+1)即 3x-y+3=0
57

∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 的方程, ∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意, ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 即 kx-y+k=0,∵PQ=2 3,∴CM= 4-3=1, |-3+k| 4 则由 CM= ,得 k= ,∴直线 l:4x-3y+4=0, 2 3 k +1 故直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. → → → → → (3)∵CM⊥MN,∴AM?AN=(AC+CM)?AN → → → → → → =AC?AN+CM?AN=AC?AN. 5? ? ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 N?-1,- ?, 3? ? → 5? ? 则AN=?0,- ?, 3? ? → → → → → 又AC=(1,3),∴AM?AN=AC?AN=-5. ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 则由?
?y=k?x+1?, ? ? ?x+3y+6=0,

得 N?

?-3k-6, -5k ?, ? ? 1+3k 1+3k?

→ ? -5 , -5k ?, 则AN=? ? ?1+3k 1+3k? → → → → -5 -15k ∴AM?AN=AC?AN= + =-5. 1+3k 1+3k → → → → 综上所述,AM?AN与直线 l 的倾斜角无关,且AM?AN=-5.

第 5 课时

椭圆

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用,了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

58

1.椭圆的定义 (1)定义:平面内两定点为 F1、F2,当动点 P 满足条件点 P 到点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)时,P 点的轨迹为椭圆;F1、F2 是椭 圆的两个焦点. (2)定义的数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (3)在定义中,“定值大于|F1F2|”(即 2a>2c)是必要条件.当 2a=2c 时,动点轨迹是两焦点的连线段;而当 2a<2c 时,动点轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程与几何性质

[基础自测] 1.(2016?合肥月考)设 P 是椭圆 A.4 B.5 + =1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 D.10

x2

y2

)

C.8

解析:由椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2?5=10. 答案:D 2.(教材改编题)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为( A. + =1 9 16 )

x2

y2

B.

+ =1 25 16

x2

y2

59

C.

+ =1 或 + =1 25 16 16 25
2 2

x2

y2

x2

y2

D.以上都不对
2

解析:∵2a+2b=18,∴a+b=9,又∵2c=6,∴c=3.由 c =a -b =9 得 a-b=1,从而可得 a=5,b=4.∴椭圆方程为 + =1 或 + 25 16 16 =1. 25 答案:C

x2

y2

x2

y2

x y 4 3.(2016?渭南五校联考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5
A.-21 19 C.- 或 21 25
2

2

2

)

B.21 D. 19 或 21 25 5-k 4 19 2 = ,解得 k=- .当 9<4+k 即 k>5 时 a= 4+k,c =k-5. 3 5 25

解析:当 9>4+k 即 k<5 时 a=3,c =9-(4+k)=5-k,∴ ∴

k-5 4 = ,解得 k=21,故选 C. 4+k 5

答案:C 4 4.已知椭圆的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为________. 5 解析:因为椭圆的短轴长为 6,所以 b=3① 4 c 4 又因为离心率为 ,所以 = ② 5 a 5 又因为 a =b +c ③ 解①②③组成的方程组得:
2 2 2

a=5,c=4.
所以,焦点到长轴端点的距离为:

a+c=9 或 a-c=1.
答案:9 或 1 5. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为 3 , 且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12, 则椭圆 G 的方程为________. 2 3 x y 2 2 2 ,故 c=3 3,∴b =a -c =36-27=9.∴椭圆标准方程为 + =1. 2 36 9
2 2

解析:设椭圆的长半轴长为 a,由 2a=12 知 a=6.又 e= =

c a

60

答案: + =1 36 9

x2

y2

考点一 椭圆的定义及标准方程 [例 1] (1)已知 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________; 25 9 (2)设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直 线 l 的距离为 2 3. ①求椭圆 C 的焦距; → → ②如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 审题视点 (1)由|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|,再结合题设可得出结论; (2)画出草图观察易知 3C=2 3,可求出焦距;找出关于 a,b 的方程,结合 c =a -b 可求 C 的方程. 解 (1)由椭圆的定义及椭圆的标准方程得:
2 2 2

x2

y2

x2 y2 a b

|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10, 又已知|F2A|+|F2B|=12, 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. (2)①设椭圆 C 的焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3,故 c=2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0, 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

? ?y= 3?x-2? 联立?x2 y2 2+ 2=1 ? ?a b
2

,得(3a +b )y +4 3b y-3b =0.

2

2

2

2

4

- 3b ?2+2a? - 3b ?2-2a? 解得 y1= ,y2= . 2 2 2 2 3a +b 3a +b → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2. 即 3b ?2+2a? - 3b ?2-2a? =2? , 2 2 2 2 3a +b 3a +b
2 2 2 2

2

得 a=3.而 a -b =4,所以 b= 5, 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5
61

x2 y2

答案 (1)8 (2) + =1 9 5

x2 y2

(1)在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时,经常联想到椭圆的定义,即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于 2a 求解; (2)在求椭圆方程时,若已知椭圆上的点到两焦点的距离,可先求出椭圆长轴长,再想法求短轴长,从而得出方程;若已知点的坐标,可先 设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求解; (3)当椭圆的焦点不确定时,应考虑焦点在 x 轴、在 y 轴两种情形,无论哪种情形,始终有 a>b>0.

1.(2016?豫东、豫北十校联考)椭圆 C: 2+y =1(a>0)的左右焦点分别为 F1、F2、P 为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2 的中点分别 为 M,N.O 为坐标原点,四边形 OMPN 的周长为 2 3,则△PF1F2 的周长是( A.2( 2+ 3) C. 2+ 3 B. 2+2 3 D.4+2 3 )

x2 a

2

1 1 解析:因为 O,M 分别为 F1F2 和 PF1 的中点,所以 OM∥PF2,且|OM|= |PF2|,同理,ON∥PF1,且|ON|= |PF1|,所以四边形 OMPN 为平行四 2 2 边形, 由题意知, |OM|+|ON|= 3, 故|PF1|+|PF2|=2 3, 即 2a=2 3, a= 3 , 由 a =b +c 知 c =a -b =2, c= 2 , 所以|F1F2|=2c=2 2, 故△PF1F2 的周长为 2a+2c=2 3+2 2,选 A. 答案:A 2. (2016?黑龙江大庆一模)如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 5,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4, 则椭圆 C 的方程为( A. C. + =1 25 5 + =1 30 10 ) B. D. + =1 36 16 + =1 45 25
2 2 2 2 2 2

x2 x2

y2

x2 x2

y2 y2

y2

62

x2 y2 解析:设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),焦距为 2c,右焦点为 F′,连接 PF′,如图所示.因为 F(-2 5,0)为 C 的左焦点,所以 c a b
=2 5.由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,

∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°,知∠FPO+∠OPF′=90°,即 FP⊥PF′.在 Rt△PFF′中,由勾股 定理得,|PF′|= |FF′| -|PF| = ?4 5? -4 =8.由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而 a=6,得 a =36,于是 b =a -
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 c2=36-(2 5)2=16,所以椭圆的方程为 + =1.
36 16 答案:B 考点二 椭圆的几何性质及应用 [例 2] 如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2 =60°.

x2 y2 a b

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 审题视点 (1)由△AF1F2 为等边三角形可求 e. (2)直线与椭圆联立方程组先求得|AB|,再由 S△AF1B=40 3列方程求 a,b.或利用椭圆定义求 a,b. 解 (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,

1 所以 e= . 2

63

3 3 ? ?8 2 2 2 2 2 2 2 (2)法一:a =4c ,b =3c ,直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c),将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 B? c,- c?, 5 ? ?5

?8 ? 16 所以|AB|= 1+3?? c-0?= c. ?5 ? 5
1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|?|AB|?sin∠F1AB= a? c? = a =40 3,解得 a=10,b=5 3. 2 2 5 2 5 法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60° 8 可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a? a? = a =40 3知, 2 5 2 5
2 2 2

a=10,b=5 3.

x2 y2 (1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆 2+ 2=1,有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在求与椭圆有关的一些量的范围, a b
或者求这些量的最大值或最小值时,经常用到这些不等关系. (2)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴 等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系. (3)求椭圆离心率问题, 应先将 e 用有关的一些量表示出来, 再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式, 从而求出 e 的值或范围. 离 心率 e 与 a、b 的关系:e = 2=
2

c2 a2-b2 b2 b 2 =1- 2? = 1-e . 2 a a a a

1.(2015?高考广东卷)已知椭圆 + 2=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m=( 25 m A.2 B.3 C.4 D.9
2

x2

y2

)

解析:由左焦点为 F1(-4,0)知 c=4.又 a=5,∴25-m =16,解得 m=3 或-3.又 m>0,故 m=3. 答案:B → → x2 y2 2.(2016?辽宁五校联考)椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且|PF1|?|PF2|的最大值的取值

a

b

范围是[2c 3c ],其中 c= a -b .则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是(

2,

2

2

2

)

64

A.? C.?

2? ? 3 , ? 2? ?3

B.?

? 2 ? ,1? ?2 ?

? 3 ? ,1? ?3 ?

?1 1? D.? , ? ?3 2?
2 ?|PF1|+|PF2|?2=?2a?2=a2,∴2c2≤a2≤3c2,∴2≤a ≤3,∴1≤e2≤1,解得 3≤e≤ 2. ? ? ? 2 c2 3 2 3 2 ? ? ?2?

解析:∵|PF1||PF2|≤? 答案:A

考点三 直线与椭圆的位置关系 [例 3] 已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 审题视点 (1)根据标准方程可求出焦点坐标和离心率; (2)先讨论切线 l 斜率不存在时的两种情况,当斜率存在时,联立切线方程与椭圆方程,利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|,再 求|AB|的最大值. 解 (1)由已知得 a=2,b=1,
2 2

x2

2

2

2

所以 c= a -b = 3, 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), 离心率为 e= =

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别 为?1,

? ?

3? ? 3? ?,?1,- ?,此时|AB|= 3; 2? ? 2?

当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3; 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

y=k?x-m? ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?4
得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 又由 l 与圆 x +y =1 相切, 得 |km|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

k2+1

=1,
2

即 m k =k +1.

65

所以|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? = ?1+k ?[?x2+x1? -4x1x2] =
2 2

2

2

4?? ? ?64k m2?2-4?4k m - ?1+k ?? 2 ? 1+4k ??1+4k ? ?
2

4 2

2 2

4 3|m| = 2 . m +3 由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 4 3 |m|>1 时,|AB|= 2 = ≤2, m +3 3 |m|+ |m | 当且仅当 m=± 3时,|AB|=2. 所以|AB|的最大值为 2.

(1)直线与椭圆位置关系的判断. 将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程组的实数解的组数来确定,即用消元后的关于 x(或 y)的一元 二次方程的判断式 Δ 的符号来确定:当 Δ >0 时,直线和椭圆相交;当 Δ =0 时,直线和椭圆相切;当 Δ <0 时,直线和椭圆相离. (2)直线和椭圆相交的弦长公式: |AB|= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2] 或|AB|=
2 2

?1+ 12?[?y +y ?2-4y y ] ? k? 1 2 1 2 ? ?

(3)直线与椭圆相交时的常见处理方法. 当直线与椭圆相交时,涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的 轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用“差分法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互 转化.

1.(2015?高考福建卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若 4 |AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( 5 A.?0, )

x2 y2 a b

? ?

3? ? 2?

? 3? B.?0, ? ? 4?

66

C.?

? 3 ? ,1? ?2 ?

?3 ? D.? ,1? ?4 ?
|3?0-4?b| 3 +?-4?
2 2

解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A,B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以 a=2.又 d= 4 c ≥ ,所以 1≤b<2,所以 e= = 5 a 答案:A

1- 2=

b2 a

b 3 1- .因为 1≤b<2,所以 0<e≤ ,故选 A. 4 2

2

2.(2015?高考课标卷Ⅱ)已知椭圆 C:9x +y =m (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点 为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

2

2

2

? ? (2)若 l 过点? ,m?,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. ?3 ?
m
解:(1)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 9x +y =m , 得(k +9)x +2kbx+b -m =0, 故 xM=
2 2 2 2 2 2 2

x1+x2
2



-kb 9b ,yM=kxM+b= 2 . 2 k +9 k +9

yM 9 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- , xM k
即 kOM?k=-9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形 OAPB 能为平行四边形.

? ? 因为直线 l 过点? ,m?,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3. ?3 ?
m
9 由(1)得 OM 的方程为 y=- x.

k

设点 P 的横坐标为 xP. 9 ? ?y=- x, k 由? 2 ? ?9x +y2=m2,

km ±km 2 得 xP= 2 ,即 xP= . 2 9k +81 3 k +9

2 2

? ? 将点? ,m?的坐标代入直线 l 的方程得 ?3 ?
m m?3-k? b= ,
3 因此 xM=

k?k-3?m . 2 3?k +9?

四边形 OAPB 为平行四边形,当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM.
67

±km k?k-3?m 于是 =2? ,解得 2 2 3?k +9? 3 k +9

k1=4- 7,k2=4+ 7.
因为 ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当直线 l 的斜率为 4- 7或 4+ 7时,四边形 OAPB 为平行四边形.

直线与椭圆综合问题的规范解答 [典例] 已知椭圆 C1: +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直线 AB 的方程. 解题指南 (1)由离心率相同列方程求解. → → → → (2)先由OB=2OA判断,O、A、B 三点共线后,设 AB 的方程,联立直线 AB 与 C1,C2 的方程后,解得 A、B 点坐标,最后根据OB=2OA求斜率.

x2

2

y2 x2 【解】 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2),2 分 a 4
3 a -4 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4, 2 a 2
2

故椭圆 C2 的方程为 + =1.4 分 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,

y2

x2

因此可设直线 AB 的方程 y=kx.6 分

68

x 4 2 2 2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4,所以 xA= 2,8 分 4 1+4k
16 2 2 2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k )x =16,所以 xB= 2,10 分 16 4 4+k → → 2 2 又由OB=2OA,得 xB=4xA, 即 16 16 2= 2, 4+k 1+4k

2

y2

x2

解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.12 分 法二:A、B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,

因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.6 分 4 2 2 2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4,所以 xA= 2,8 分 4 1+4k
2 → → 16 16k 2 2 由OB=2OA,得 xB= 2,yB= 2,10 分 1+4k 1+4k

x2

4+k 将 xB,yB代入 + =1 中,得 2=1, 16 4 1+4k
2 2

y2

x2

2

即 4+k =1+4k , 解得 k=±1,

2

2

故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.12 分 【思维流程】

设出 C2 的方程.

列方程求参数. → → 由OB=2OA判断三点共线,设出直线方程.

直线与 C1 的方程联立求 A 点坐标.
69

直线与 C2 的方程联立求 B 点坐标. → → 由OB=2OA列方程求 k. 失分警示 → → (1)不能由OB=2OA判断出 O,A,B 三点共线而设直线方程为 y=kx+b,求不出直线方程.

→ → (2)不会利用OB=2OA列方程求 k. 备考建议 解决直线与椭圆的综合问题时,要注意以下几点:

(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件; (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

◆一条规律 求椭圆标准方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定位,后定形,再定参). 椭圆的标准方程有两种形式,所谓“标准”,就是椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上.焦点 F1,F2 的位置决定椭圆标准方程的类型,是 椭圆的定位条件;参数 a,b 决定椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件.对于方程 轴上;若 0<m<n,则椭圆的焦点在 y 轴上.焦点位置不明确时,要注意分类讨论. ◆两个三角形 (1)椭圆上的点与焦点构成一个三角形,该三角形称为曲线的焦点三角形,与该三角形有关的问题常常借助于正弦定理、余弦定理及比例的 性质进行处理.

x2 y2 + =1(m>0,n>0),若 m>n>0,则椭圆的焦点在 x m n

(2)椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2(如右图),它的三边长分别为 a、b、c.易见 c =a -b ,且若记∠OF1B2=θ ,则 cos θ = =e. ◆三个条件 椭圆方程中的 a、b、c、e 与坐标系无关,而焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件,两个定形条件:a、b; 一个定位条件:焦点坐标.

2

2

2

c a

70

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2014?高考大纲全国卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 的周长为 4 3,则 C 的方程为( A. + =1 3 2 C. + =1 12 8 ) B. +y =1 3 D. + =1 12 4

x2 y2 a b

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 3

x2 y2 x2

x2

2

y2

x2

y2

解析:利用椭圆的定义及性质列式求解. 由 e= 3 c 3 x 2 2 2 得 = ①.又△AF1B 的周长为 4 3,由椭圆定义,得 4a=4 3,得 a= 3,代入①得 c=1,∴b =a -c =2,故 C 的方程为 + 3 a 3 3
2

y2
2

=1. 答案:A 2.(2016?贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1,则椭圆长轴长的最小值为( A.1 C.2 B. 2 D.2 2 )

1 解析:设 a,b,c 分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,依题意知,当三角形的高为 b 时面积最大,所以 ?2cb=1,bc=1,而 2a 2 =2 b +c ≥2 2bc=2 2(当且仅当 b=c=1 时取等号),故选 D. 答案:D
2 2

x2 y2 1 3.(2016?四川成都一诊)已知 F 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,PF⊥x 轴.若|PF|= |AF|,则该椭圆 a b 4
的离心率是( 1 A. 4 1 C. 2 ) B. D. 3 4 3 2
2 2

b 1 b 1 c 3 2 2 解析:Rt△PFA 中,|FA|=a+c,|PF|= ,由|PF|= |AF|,即 = (a+c),得 4c +ac-3a =0,∴e= = ,故选 B. a 4 a 4 a 4
答案:B 1 x y 4.(2014?高考江西卷)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 2 a b
71
2 2

的离心率等于________.

x y ? ?a +b =1, 解析:设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? x y ? ?a +b =1,
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ∴ + =0, 2 2

a

b

∴ ∵

y1-y2 b2 x1+x2 =- 2? . x1-x2 a y1+y2 y1-y2 1 =- ,x1+x2=2,y1+y2=2, x1-x2 2

b2 1 ∴- 2=- , a 2
∴a =2b .又∵b =a -c , ∴a =2(a -c ),∴a =2c ,∴ = 答案: 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c a

2 . 2

5.(2016?佛山模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,则椭圆 C: + =1 的离心率为________. 解析:由题意得 a4=10,设公差为 d,则 a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20-3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,

x2 y2 a6 a5

a6=a4+2d=16>a5,∴e=
答案: 3 4

16-13 3 = . 4 4

6.(2014?高考安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,

2

y2 b

AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________.
解析:设点 B 的坐标为(x0,y0).∵x + 2=1, ∴F1(- 1-b ,0),F2( 1-b ,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b ,b ). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b ,-b )=3(x0+ 1-b ,y0). 5 ∴x0=- 3 1-b ,y0=- . 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2 b

b2

72

? 5 ∴点 B 的坐标为?- ? 3 ? 5 将 B?- ? 3
2

b 2 1-b ,- ? . 3? ?
2

2

b y 2 2 2 2 1-b ,- ? 代入 x + 2=1,得 b = . 3? b 3 ?

3 2 2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y =1. 2 3 2 2 答案:x + y =1 2

x2 y2 2 7.(2015?高考陕西卷) 如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 A(0,-1),且离心率为 . a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. 解:(1)由题设知 =
2 2 2

c a

2 ,b=1, 2

结合 a =b +c ,解得 a= 2. 所以椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)证明:由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代入 +y =1,得(1+2k )x -4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 2 由已知 Δ >0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 4k?k-1? 2k?k-2? 则 x1+x2= ,x1x2= . 2 2 1+2k 1+2k 从而直线 AP , AQ 的斜率之和 kAP + kAQ =

x2

2

x2

2

2

2

y1+1 y2+1 kx1+2-k kx2+2-k x1+x2 ?1 1? + = + = 2k + (2 - k) ? + ? = 2k + (2 - k) = 2k + (2 - x1 x2 x1 x2 x1x2 ?x1 x2?

k)

4k?k-1? =2k-2(k-1)=2. 2k?k-2? 8.如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都是 e,直线 l⊥MN,l 与

C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

73

1 (1)设 e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2 (2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 解:(1)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设 C1: 2+ 2=1,C2: 设直线 l:x=t(|t|<a),分别与 C1,C2 的方程联立,求得 A?t,

x2 y2 a b

b2y2 x2 + =1(a>b>0). a4 a2

? ?

a 2 2? ? b 2 2? a -t ?,B?t, a -t ?. b ? ? a ?
2

1 3 2|yB| b 3 当 e= 时,b= a,分别用 yA,yB 表示 A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|= = 2= . 2 2 2|yA| a 4

b 2 2 a 2 2 a -t a -t a b ab2 (2)t=0 时,l 不符合题意.t≠0 时,BO∥AN,当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即 = ,解得 t=- 2 =- t t-a a -b2
1-e
2

e

2

?a.
2

1-e 2 因为|t|<a,又 0<e<1,所以 2 <1,解得 <e<1, e 2 所以当 0<e≤ 2 2 时,不存在直线 l,使得 BO∥AN;当 <e<1 时,存在直线 l,使得 BO∥AN. 2 2 [B 级 能力突破] 1.(2016?山西运城一模)已知椭圆 + =1 以及椭圆内一点 P(4,2),则以 P 为中点的弦所在的直线斜率为( 36 9 1 A. 2 C.2 1 B.- 2 D.-2

x2

y2

)

解析:设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=8,

y1+y2=4,



? ? ?x y ? ?36+ 9 =1
+ =1 36 9
2 2 2 2

x2 1

2 y1

两式相减,得

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0 36 9

74

2?x1-x2? 4?y1-y2? ∴ =- 9 9 ∴k=

y1-y2 1 =- x1-x2 2

答案:B

x2 y2 2.(2016?甘肃兰州联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB a b
的距离为 2 2 2 3 6 |F1F2|,则椭圆 C 的离心率 e=( 6 B. 3 2 3 3 )

A.

C.

D.

解析:设椭圆 C 的焦距为 2c(c<a),由于直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0,所以由题意知 2 ,故选 A. 2

ab 6 2 2 2 4 2 2 = c,又 b =a -c ,所以 3a -7a c + 2 2 3 a +b

2c =0,解得 a =2c 或 3a =c (舍),所以 e= 答案:A

4

2

2

2

2

→ → x2 2 3.(2016?武汉模拟)若点 F1,F2 为椭圆 +y =1 的焦点,P 为椭圆上的点,当△F1PF2 的面积为 1 时,PF1?PF2的值是( 4 A.0 C.3 B.1 D.6

)

解析:△F1PF2 的面积为 1,设 P(x1,y1), 1 则有 ?|2c|?|y1|=1,即 3|y1|=1, 2 ∴y1=± 3 2 6 ,代入椭圆方程得:x1=± , 3 3 3? ?2 6 , ?,又∴F1(- 3,0),F2( 3,0), 3 3 ? ?

∴不妨令点 P 为?

→ 2 6 3? → ? 2 6 3? ? ∴PF1=?- 3- ,- ?,PF2=? 3- ,- ? 3 3 3 3 ? ? ? ? → → ? 2 6?2 ? 3? 2 2 ∴PF1?PF2=?- ? -( 3) +? ? 3 ? ? ?3? 8 1 = -3+ =0. 3 3 答案:A

75

→ → x2 y2 2 2 4.(2016?苏锡常镇调研)已知 A 为椭圆 + =1 上的动点,MN 为圆(x-1) +y =1 的一条直径,则AM?AN的最大值为________. 9 5 5 2 4 2 2 2 2 2 2 2 解析:记圆(x-1) +y =1 的圆心为 C(1,0),设 A(x,y),x∈[-3,3],则|AC| =(x-1) +y =(x-1) +5- x = x -2x+6,当 x=-3 9 9 → → → → → → → → → → → 2 2 2 2 时,(|AC| )max=4+6+6=16.AM?AN=(AC+CM)?(AC-CM)=|AC| -|CM| =|AC| -1≤15,故AM?AN的最大值为 15. 答案:15 → → x2 y2 1 5. (2016?合肥质检)如图, 焦点在 x 轴上的椭圆 + 2=1 的离心率 e= , F, A 分别是椭圆的一个焦点和顶点, P 是椭圆上任意一点. 则PF?PA 4 b 2 的最大值为________.

解析:设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2,

c 1 2 2 2 ∵e= = ,c=1,∴b =a -c =3. a 2
故所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. → ∵F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0), →

x2 y2

PA=(2-x0,-y0),
→ → 1 2 2 2 ∴PF?PA=x0-x0-2+y0= x0-x0+1 4 1 2 = (x0-2) . 4 → → 即当 x0=-2 时,PF?PA取得最大值 4. 答案:4 6.(2014?高考辽宁卷)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上, 9 4 则|AN|+|BN|=________. 解析:椭圆 + =1 中,a=3. 9 4

x2 y2

x2 y2

76

如图,设 MN 的中点为 D,则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 答案:12

x2 y2 7.(2016?潍坊市模拟)椭圆 C: 2+ 2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l1:x+my= 3恒过椭圆 C 的右焦点 F2 且与椭圆交于 P,Q 两 a b
点,已知△F1PQ 的周长为 8,点 O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)设直线 l:y=kx+t 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,以线段 OM,ON 为邻边作平行四边形 OMGN,其中点 G 在椭圆 C 上,当 ≤|t|≤1 时,求 2 |OG|的取值范围. 解:(1)∵直线 x+my= 3恒过定点( 3,0),所以 F2( 3,0), ∴c= 3. ∵△F1PQ 的周长为 8,∴4a=8,解得 a=2, ∴b =a -c =1, ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 4
2 2 2

x2

2

y=kx+t, ? ? 2 (2)联立?x 2 +y =1, ? ?4
2 2 2

消去 y 并整理得

(1+4k )x +8ktx+4t -4=0, 由 Δ =64k t -4(1+4k )(4t -4)>0,可得 4k +1>t . 8kt 设 M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),则 x1+x2=- 2, 1+4k ∵四边形 OMGN 是平行四边形, 8kt ∴x0=x1+x2=- 2, 1+4k
2 2 2 2 2 2

y0=y1+y2=k(x1+x2)+2t=kx0+2t=

2t 2, 1+4k

77

? 8kt 2, 2t 2?. 可得 G?- ? ? 1+4k 1+4k ? ?- 8kt 2?2 ? 1+4k ? ? ? ? 2t ?2 ∵点 G 在椭圆 C 上,∴ +? 2? =1, 4 ?1+4k ?
整理得 4t (4k +1)=(4k +1) ,∴4t =4k +1, ∴|OG| =x0+y0=?-
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 8kt 2?2+? 2t 2?2=4t ?16k +1?=16t -3=4- 3 , ? ? ? 2 2 2 2 ?1+4k ? 4t 4t ? 1+4k ? ?1+4k ?

2

2

2

1 1 2 ∵ ≤|t|≤1,∴ ≤t ≤1, 2 4 3 13 ∴4- 2∈[1, ], 4t 4 ∴|OG|的取值范围是?1,

? ?

13? ?. 2 ?

第 6 课时

抛物线

1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的简单应用,了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.这个定点 F 叫作抛物线的焦点,这条定直线 l 叫作抛物线 的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程

y2=2px (p>0)

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴

O(0,0) y=0 x =0
78

焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径 [基础自测]

?p ? F? ,0? ?2 ?

? p ? F?- ,0? ? 2 ?
e=1

? p? F? 0, ? ?
2?

p? ? F?0,- ?

?

2?

p x=-
2

p x=
2

p y=-
2

p y=
2

x≥0,y∈R
向右 |PF|=x0+ 2

x≤0,y∈R
向左

y≥0,x∈R
向上

y≤0,x∈R
向下

p

|PF|=-x0+ 2

p

|PF|=y0+ 2

p

|PF|=-y0+ 2

p

1.(教材改编题)抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A.1
2

2

) D.8

B.2

C.4

解析:∵y =8x,∴2p=8,∴p=4 即焦点到准线的距离. 答案:C 2.(2016?金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是( A.x =-12y C.y =-12x
2 2

)

B.x =12y D.y =12x
2

2

解析:∵焦点坐标是(0,-3),∴p=6 ∴抛物线的标准方程为 x =-12y. 答案:A 3.抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( 17 A. 16 7 C. 8 B. 15 16
2 2

)

D.0

1 2 解析:方程可化为 x = y,设 M(x0,y0), 4 1 15 则 y0+ =1,∴y0= . 16 16 答案:B 1 2 4.抛物线 y=- x 的焦点坐标是________. 8 1 2 2 解析:y=- x 化为标准方程得 x =-8y 表示焦点在 y 轴负半轴的抛物线且 2p=8. 8 ∴焦点坐标为(0,-2). 答案:(0,-2)

79

5.(2015?辽宁省五校联考)设抛物线 x =12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点, 则|AF|+|BF|=________. 解析:分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|= |AM|+|BN|=2|PQ|=8.

2

答案:8

考点一 抛物线的定义及其应用 [例 1] 设 P 是曲线 y =4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),点 F 是抛物线的焦点,求|PB|+|PF|的最小值. 审题视点 (1)把到直线的距离转化为到焦点的距离,问题可解决;(2)把到焦点的距离转化为到准线的距离,可解决问题. 解 (1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离.于
2 2

是, 问题转化为: 在曲线上求一点 P, 使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小. 显然, 连结 AF 交曲线于 P, 故最小值为 2 +1 = 5.

(2)如图,自 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于 P1,

此时,|P1Q|=|P1F|, 那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q| =|BQ|=4, 即|PB|+|PF|的最小值为 4.

与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难 度.本题中的两小问有一个共性,都是利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行转化,从而构造出“两点间
80

线段最短”,使问题获解.

1.(2016?湖北八校联考)抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 为抛物线 C 上一点.若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切(O 为坐标原 点),且外接圆的面积为 9π ,则 p=( A.2 C.6 ) B.4 D.8

2

解析:∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆面积为 9π ,∴圆的半径为 3.又∵圆心在 OF 的垂直平分线上,|OF|= ,∴ + =3,∴p=4.故选 B. 2 2 4 答案:B 2.(2016?忻州市高三检测)已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y-4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物 线的准线距离之和的最小值是__________. 解析:由题意知,圆 x +(y-4) =1 的圆心为 C(0,4),半径为 1,抛物线的焦点为 F(1,0).根据抛物线的定义,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17-1. 答案: 17-1 考点二 抛物线的标准方程与几何性质 [例 2] (1)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( A.2 2 C.4 B.2 3 D.2 5 )
2 2 2 2 2

p

p p

(2)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽________米.

审题视点 (1)利用抛物线的定义求解. (2)数形结合法. 解析 (1)由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0),则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3,∴p=2,∴y =4x.∴y0=4?2,∴y0=±2 2, 2 2 ∴|OM|= 4+y0= 4+8=2 3.
2 2

p

p

2

2

81

(2)建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x =-2py(p>0),则 A(2,-2),将其坐标代入 x =-2py 得 p=1. ∴x =-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入 x =-2y 得 x0=6, ∴x0= 6. ∴水面宽|CD|=2 6 (m). 答案 (1)B (2)2 6
2 2 2

2

2

(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有 p,可利用题中已知条件确定 p 的值.注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求 抛物线方程时,需先定位,再定量. (2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征.

1.(2015?高考陕西卷)若抛物线 y =2px(p>0)的准线经过双曲线 x -y =1 的一个焦点,则 p=________. 解析:抛物线的准线方程为 x=- ,p>0,双曲线的焦点为 F1(- 2,0),F2( 2,0),所以- =- 2,p=2 2. 2 2 答案:2 2 2.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的标准方 程是__________.
2

2

2

2

p

p

解析:分别过点 A、B 作准线的垂线 AE、BD 交准线于点 E、D,则|BF|=|BD|, ∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BD|, 3 2 ∴∠BCD=30°,又∵|AE|=|AF|=3,∴|AC|=6,即点 F 为 AC 的中点,根据题意得 p= ,∴抛物线的标准方程为 y =3x. 2 答案:y =3x 考点三 直线与抛物线的位置关系 [例 3] 已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λ OB,求 λ 的值. 审题视点 (1)联立方程组,利用焦点弦公式求解;(2)先求出 A、B 坐标,利用关系式表示出点 C 坐标,再利用点 C 在抛物线上求解.
82
2 2



5p ? p? 2 2 2 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?,与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0,所以 x1+x2= , 4 ? 2?

由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 2 2 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2),又 y3=8x3,即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1,解得 λ =0,或 λ =2.
2 2 2 2 2

本题综合考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识,以及数形结合思想和化归思想.其中直线与圆 锥曲线的相交问题一般是联立方程,设而不求,借助根的判别式及根与系数的关系进行转化.

1.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( A. 2 2 B. 2

2

)

3 2 C. 2

D.2 2

解析:法一:如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,

∴点 A 的横坐标为 2.将 x=2 代入 y =4x 得 y =8,由图知点 A 的纵坐标 y=2 2,∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 联立直线与抛物线的方程? 1 ? ?x=2, 解得? ? ?y=- 2

2

2

?y=2 2?x-1?, ?y2=4x, ?1 ? 由图知 B? ,- 2?, ?2 ?

或?

?x=2, ?y=2 2.

83

1 ∴S△AOB= |OF|?|yA-yB| 2 1 3 = ?1?|2 2+ 2|= 2.故选 C. 2 2 法二:若得出 yA=2 2, ∴由 yA?yB=-p =-4, ∴yB=- 2,
2

S△AOB= |OF|?|yA-yB|=

1 2

3 2. 2

法三:由题意,抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A 点的横坐标为 2,不妨设 A(2,2 2),则 S△OAF= 2,又知 0<S△OBF<S△OAF= 2,故 2<S△AOB<2 2,结合选项知选 C. 答案:C 2.(2015?高考课标卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点. 4 (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解:(1)由题设可得 M(2 a,a),N(-2 a,a), 或 M(-2 a,a),N(2 a,a). 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y-a= a(x-2 a), 2 4 即 ax-y-a=0.

2

x2

x

x2

x2 y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为 y-a=- a(x+2 a),
4 即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点.证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程,得 x -4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2=
2

y1-b y2-b + x1 x2 x1x2 a

2kx1x2+?a-b??x1+x2? k?a+b? = = . 当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意.

84

忽视“判别式”致误 [典例] 已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C:x =4y 是否相切?说明理由. 解题指南 (1)设出点 P 坐标,根据切线特点求出点 P 坐标,从而求出圆的半径,然后写出圆的标准方程;也可根据条件设出圆的方程,然 后根据直线与圆相切的条件列式求解. (2)由 l 的方程求得 l′的方程,将 l′的方程与抛物线 C 的方程联立,得一元二次方程,然后依据对应判别式 Δ 来判定两者能否相切. 【规范解答】 法一:(1)依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m 因为 MP⊥l,所以 ?1=-1. 2-0 解得 m=2,即点 P 坐标为(0,2).2 分 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0? +?0-2? =2 2. 故所求圆的方程为(x-2) +y =8.6 分 (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m,所以直线 l′的方程为 y=-x-m. 由?
?y=-x-m, ? ?x =4y, ?
2 2 2 2 2 2 2

得 x +4x+4m=0.8 分

2

Δ =4 -4?4m=16(1-m). 当 m=1,即 Δ =0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1,即 Δ ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.12 分 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切;当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.13 分 法二:(1)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2) +y =r . 依题意,所求圆与直线 l:y=x+m 相切于点 P(0,m), 4+m =r , ? ? 则?|2-0+m| =r, ? 2 ?
2 2 2 2 2

解得?

?m=2 ?r=2 2
2

4分

所以所求圆的方程为(x-2) +y =8.6 分 (2)同方法一. 易错分析 阅卷点评 遗漏 m≠1 时,Δ ≠0 的讨论. 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判

2

别式,致使有的考生思维定势的原因,任何情况下都没有考虑判别式,导致解题错误.
85

备考建议

解决直线与圆、抛物线的问题时,还有以下几点在备考时应高度关注:

(1)根据题设条件,合理选择圆的方程的形式(是标准方程还是一般方程); (2)直线与抛物线的交点问题,可联立直线与抛物线的方程,消元化成一元二次方程,注意“设而不求”; (3)直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线不一定相切.

1.抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容:可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简. 2.抛物线方程中,字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离, 等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益. 2 3.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线标准方程.

p

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016?重庆渝中区一模)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,双曲线 C 的渐近线与抛物线 y =2px(p>0)交于 A,B 两点,△

x2 y2 a b

2

OAB(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为(
A.y =8x C.y =2x
2 2

)

B.y =4x D.y =4 3x
2

2

解析:∵双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,∴双曲线 C 为等轴双曲线,即 a=b,∴双曲线的渐近线方程为 y=±x.又∵双曲 线 C 的渐近线与抛物线 y =2px 交于 A,B 两点,如图所示,设点 A(x,y),∴|OM|=x,|AM|=y.又∵△OAB 的面积为 xy=4,∴x=2,y=2. 又∵点 A 在抛物线上,∴2 =2p?2.解得 p=1,∴抛物线的方程为 y =2x.故选 C.
2 2 2

x2 y2 a b

答案:C 1 2 2.(2015?高考课标卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y =8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 2 的两个交点,则|AB|=( A.3 C.9
2

) B.6 D.12

解析:抛物线 y =8x 的焦点为(2,0),∴椭圆中 c=2,

c 1 2 2 2 又 = ,∴a=4,b =a -c =12, a 2

86

从而椭圆方程为 + =1. 16 12 ∵抛物线 y =8x 的准线为 x=-2, ∴xA=xB=-2, 将 xA=-2 代入椭圆方程可得|yA|=3, 由椭圆性质可知|AB|=2|yA|=6.故选 B. 答案:B 3.(2016?武汉质检)已知抛物线 y =4x 的准线与双曲线 2-y =1(a>0)交于 A,B 两点,F 为抛物线的焦点,若△FAB 为直角三角形,则双 曲线的离心率是( A. 3 C.2 ) B. 6 D.3 6 5 = 6. 1 5
2 2

x2

y2

x2 a

2

1 1 2 解析: 依题意可知抛物线的准线为 x=-1, 焦点为 F(1,0), 由题意得(-1,2)在双曲线上, 即 2-4=1, 解得 a = , 所以 e= a 5 故选 B. 答案:B 4.(2014?高考上海卷)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________. 9 5 解析:∵c =9-5=4,∴c=2.∴椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),∴ =2,即 p=4.∴抛物线的准线方程为 x=-2. 9 5 2 答案:x=-2 5.动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆圆心的轨迹方程为__________.
2 2

x2 y2

x2 y2

p

解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程 为 y =4x. 答案:y =4x 6.(2014?高考湖南卷)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b),原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y =2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =________.
2 2 2

b a

解析:∵正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b,O 为 AD 的中点,

87

? ? ? ? ∴C? ,-a?,F? +b,b?. ?2 ? ?2 ?
a a
又∵点 C,F 在抛物线 y =2px(p>0)上,
2

a =pa, ? ? ∴? 2 ?a ? b =2p? +b?, ? ?2 ? ?
答案: 2+1

2

解得 = 2+1.

b a

7.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4,且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直 于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程; (2)若过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; 解:(1)抛物线 y =2px 的准线为 x=- ,于是 4+ =5,∴p=2,∴抛物线方程为 y =4x. 2 2 (2)∵点 A 的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4)、M(0,2). 4 又 F(1,0),∴kAF= . 3 3 ∵MN⊥FA,∴kMN=- 4 4 故 FA 的方程为 y= (x-1),① 3
2

2

p

p

2

MN 的方程为 y-2=- x,②
8 4 联立方程①②,解得 x= ,y= . 5 5

3 4

?8 4? ∴N 的坐标为? , ?. ?5 5?
5 2 8.(2014?高考大纲全国卷)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 2 解:(1)设 Q(x0,4),代入 y =2px 得 x0= .

p

8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p

p 8 5 8 由题设得 + = ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 2 p 4 p

88

所以 C 的方程为 y =4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y =4x,得 y -4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m +1,2m),|AB|= m +1|y1-y2|=4(m +1). 1 2 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m +3.
2 2 2 2 2

2

m

4 2 2 2 将上式代入 y =4x,并整理得 y + y-4(2m +3)=0.

m

4 2 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m +3).

m

2? 2 ?2 故 MN 的中点为 E? 2+2m +3,- ?,

?m

m?

|MN|=

4?m +1? 2m +1 1+ 2|y3-y4|= . 2 1

2

2

m

m

2?2 ? 2 1 1 1 ? ? 2 2 2 2 2 由于 MN 垂直平分 AB, 故 A, M, B, N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 从而 |AB| +|DE| = |MN| , 即 4(m +1) +?2m+ ? +? 2+2? m? ?m 2 4 4 ? ?
2

4?m +1? ?2m +1? 2 = ,化简得 m -1=0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 4

2

2

2

m

[B 级 能力突破] 1.(2015?高考四川卷)设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5) +y =r (r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这 样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( A.(1,3) C.(2,3) 解析:如图, )
2 2 2 2

B.(1,4) D.(2,4)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则? 两式相减得, (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).

?y1=4x1, ? ? ?y2=4x2,
2

2

当 l 的斜率 k 不存在时,符合条件的直线 l 必有两条.

89

当 k 存在时,x1≠x2,则有 由 CM⊥AB 得 k?
2

y1+y2 y1-y2 ? =2,又 y1+y2=2y0,所以 y0k=2. 2 x1-x2

y0-0 =-1,即 y0k=5-x0,因此 2=5-x0,x0=3,即 M 必在直线 x=3 上. x0-5
2 2 2 2 2 2

将 x=3 代入 y =4x 得 y =12,则有-2 3<y0<2 3.因为点 M 在圆上,所以(x0-5) +y0=r ,故 r =y0+4<12+4=16. 又 y0+4>4(为保证有 4 条,在 k 存在时,y0≠0), 所以 4<r <16,即 2<r<4,选 D. 答案:D 2.(2016?日照模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线 4 5 上,且|AK|= 2|AF|,则 A 点的横坐标为( A.2 2 C.2 3 B.3 D.4 )
2 2 2

x2 y2

? ? 2 解析:抛物线的焦点为? ,0?,准线为 x=- ,双曲线的右焦点为(3,0),所以 =3,所以 p=6,所以 y =12x,过 A 作准线的垂线,垂足 2 2 ?2 ?
p p p
为 M,图略,则|AK|= 2|AF|= 2|AM|,所以在 Rt△AMK 中,|KM|=|AM|,设 A(x,y),则 y=x+3,将其代入 y =12x,解得 x=3.故选 B. 答案:B 1 2 3.已知抛物线 C 的方程为 x = y,过点 A(0,-1)和点(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( 2 A.(-∞,-1)∪(1,∞) B.(-∞,- 2 2 )∪( ,+∞) 2 2 )
2

C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 1 1 1 2 2 解析:如图,设过 A 的直线方程为 y=kx-1,与抛物线方程联立得 x - kx+ =0,Δ = k -2=0,k=±2 2,求得过 A 的抛物线的切线 2 2 4 与 y=3 的交点为(± 2, 3), 则当过点 A(0, -1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点, 实数 t 的取值范围是(-∞, - 2)∪( 2, +∞), 故选 D.

答案:D 4.已知抛物线 y =4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 C、D,则|AC|+|BD|的最小值 为__________.
2

90

解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知 当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 答案:2 5.(2016?武汉模拟)过抛物线 y=8x 的焦点作直线交抛物线于 A,B 两点,线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 2,则线段 AB 的长为________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4. 1 1 1 2 2 又∵y=8x 即 x = y,∴2p= ,p= , 8 8 16 65 ∴|AB|=y1+y2+p= . 16 65 答案: 16
2 →+2→ →|+2|→ 6.(2016?厦门模拟)设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A、B 为该抛物线上两点,若FA FB=0,则|FA FB|=________. 2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由焦点弦性质,y1y2=-p (*),由题→ FA+2→ FB=0,得(x1-1,y1)+2(x2-1,y2)=(0,0),∴y1+2y2=0, 2

代入(*)式得- =-p , 2

y2 1

2

p 2 2 →|=x +p=3, ∴y1=2p ,∴x1= =2,∴|FA 1 2 2
→|=2|→ →|=3, 又∵|FA FB|,∴2|FB →|=6. ∴|→ FA|+2|FB 答案:6 7.如图,过抛物线 x =4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A、B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点.
2

2

→=λ → →-λ → (1)设点 P 满足AP PB(λ 为实数),证明:→ QP⊥(QA QB); (2)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程. 解:(1)证明:依题意,可设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入抛物线方程 x =4y,得:x -4kx-4m=0① 设 A、B 两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两根,
2 2

x1+λ x2 x1 →=λ → 所以,x1x2=-4m.由点 P 满足AP PB(λ 为实数,λ ≠-1),得 =0,即 λ =- . 1+λ x2
→=(0,2m). 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,-m),从而QP → QA-λ ?→ QB=(x1,y1+m)-λ (x2,y2+m)=(x1-λ x2,y1-λ y2+(1-λ )m).

91

→ →-λ → QP?(QA QB)=2m[y1-λ y2+(1-λ )m]

?x1 x1 x2 ? x1? ? =2m? + ? +?1+ ?m? ? 4 x2 4 ? x2? ?
=2m(x1+x2)?

2

2

x1x2+4m -4m+4m →⊥(QA →-λ → =2m(x1+x2)? =0,所以QP QB). 4x2 4x2
得点 A、B 的坐标分别是(6,9),

(2)由?

?x-2y+12=0 ? ?x =4y ?
2

(-4,4). 由 x =4y, 1 2 1 得 y= x ,y′= x, 4 2 所以,抛物线 x =4y 在点 A 处切线的斜率为 y′|x=6=3. 设圆 C 的方程是(x-a) +(y-b) =r ,
2 2 2 2 2

b-9 1 ? ? =- a - 6 3 则? ? ??a-6?2+?b-9?2=?a+4?2+?b-4?2
3 23 解得:a=- ,b= , 2 2

r2=(a+4)2+(b-4)2=
所以,圆 C 的方程是

125 . 2

?x+3?2+?y-23?2=125. ? 2? ? 2? 2 ? ? ? ?

第 7 课时

双曲线

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用,了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

1.双曲线的概念
92

把平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点 间的距离叫焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

性 质

范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 实虚轴

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点

a、b、c 的关系
[基础自测] 1.(教材改编题)双曲线 - =1 的焦距为( 10 2 A.3 2 C.3 3
2 2 2 2

A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫 做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴 长,b 叫做双曲线的虚半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

x2

y2

)

B.4 2 D.4 3
2

解析:∵a =10,b =2,∴c =a +b =12,∴c=2 3, ∴2c=4 3. 答案:D 2.若双曲线 - =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则点 P 到点(-5,0)的距离是( 16 9 A.7 C.5 或 25 B.23 D.7 或 23

x2

y2

)

解析:设 F1(-5,0),F2(5,0),若 P 在左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|-8=15-8=7;若 P 在右支上,则|PF1|-|PF2|

93

=2a=8,所以|PF1|=|PF2|+8=15+8=23.故点 P 到点(-5,0)的距离是 7 或 23. 答案:D 3.(2016?银川质检)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( A.y=± 2x C.y=± 2 x 2 B.y=±2x 1 D.y=± x 2 2 x. 2

x2 y2 a b

)

解析:由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2,故双曲线的渐近线方程为 y=± 答案:C 4.“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的________条件. 解析:若 ab<0,c=0,则方程不表示双曲线. 答案:必要不充分 5.与双曲线 x - =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________. 4
2 2 2

y2

解析:依题意设双曲线的方程为 x - =λ (λ ≠0),将点(2,2)代入求得 λ =3,所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 4 3 12

2

y2

x2

y2

答案: - =1 3 12

x2

y2

考点一 双曲线的定义及标准方程 [例 1] (1)已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( 1 A. 4 3 C. 4 3 B. 5 D. 4 5 )
2 2

)

(2)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( A. C. - =1 20 5 - =1 80 20

x2 y2 a b

x2 x2

y2

B. - =1 5 20 D. - =1 20 80

x2

y2

y2

x2

y2

审题视点 (1)利用双曲线的定义及余弦定理求解. (2)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
94

解析 (1)由 x -y =2 知,a =2,b =2,c =a +b =4,∴a= 2,c=2. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2. ?4 2? +?2 2? -4 3 又∵|F1F2|=2c=4,∴由余弦定理得 cos∠F1PF2= = . 4 2?4 2?2 2 (2)∵ 2- 2=1 的焦距为 10,∴c=5= a +b .① 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, 2b ∴ =1,即 a=2b.②
2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

x2 y2 a b

2

2

b a

a

由①②解得 a=2 5,b= 5,故应选 A. 答案 (1)C (2)A

(1)涉及双曲线上的点与两焦点的距离或两焦点的距离之差的问题,优先考虑运用双曲线的定义;焦点三角形问题,涉及边 F1F2 的对角问题 优先考虑余弦定理. (2)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,求方程时应分类讨论,或者将方程设为 mx +ny =1(mn<0). (3)已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b x -a y =λ (λ ≠0).根据其他条件确定 λ 的值.若求得 λ >0,则焦点在 x 轴上;若求得 λ <0,则焦点在 y 轴上.
2 2 2 2 2 2

1.(2016?陕西师大附中模拟)设过双曲线 x -y =9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P,Q,F2 为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△

2

2

F2PQ 的周长为(
A.19 C.43

) B.26 D.50

解析:如图,由双曲线的定义

可得?

?|PF2|-|PF1|=2a,① ? ? ?|QF2|-|QF1|=2a,②

①+②得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a, ∴△F2PQ 的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|

95

=4a+|PQ|+|PQ|=4?3+2?7=26. 答案:B 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)过点(2,-2)且与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线.
2 2

x y y x c 5 2 2 2 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0).由题意知 2b=12, = 且 c =a +b , a b a b a 4
∴b=6,c=10,a=8, ∴双曲线方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)设双曲线方程为 - =λ (λ ≠0). 4 9 9 2 当 λ >0 时,4λ =a ,∴2a=2 4λ =6,∴λ = ; 4 当 λ <0 时,a =-9λ , ∴2a=2 -9λ =6,∴λ =-1. ∴双曲线方程为 - =1 或 - =1. 9 81 9 4 4 (3)设与 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y =k(k≠0),将(2,-2)代入得 k=-2, 2 2 ∴双曲线方程为 - =1. 2 4 考点二 双曲线的几何性质 → → x2 y2 5 [例 2] (1)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率是 ,且PF1?PF2=0,若△PF1F2 的面积为 9, a b 4 则 a+b 的值为( A.5 C.7 ) B.6 D.8
2

2

2

2

2

x2

y2

y2

x2

x2 y2

x2

y2

y2 x2

x2

2

x2

2

y2 x2

(2)F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点.若△ABF2 是等边 三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 C. 13 ) B. 7 D. 15
96

x2 y2 a b

→ → 5 审题视点 (1)利用PF1 ?PF2=0 及 e= 转化为 a,b 的方程组. 4 (2)利用双曲线定义及余弦定理求 a 与 c 的关系. → → → → 解析 (1)由PF1?PF2=0,得PF1⊥PF2, → → ?a=4, ? 1 c 5 2 2 2 设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设 m>n,则 m +n =4c ,m-n=2a, mn=9, = ,解得? 2 a 4 ?c=5, ? ∴b=3,∴a+b=7,故选 C. (2)如图,由双曲线定义得, |BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a,因为△ABF2 是正三角形,所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且∠F1AF2=120°,在△

F1AF2 中,4c2=4a2+16a2+2?2a?4a? =28a2,所以 e= 7,故选 B.

1 2

答案 (1)C (2)B

(1)求双曲线的离心率,就是求 c 与 a 的比值,一般不需要具体求出 a,c 的值,只需列出关于 a,b,c 的方程或不等式解决即可. (2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,二者之间可以互求.

1.(2015?高考安徽卷)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C.x - =1 2
2 2

)

y

2

B. -y =1 4 D. -y =1 2

x

2 2

y2

x2

2

解析:法一:由渐近线方程为 y=±2x,可得 =±x,所以双曲线的标准方程可以为 2
2 y2 ? y 2 ? x2- =1?或 -x =1,舍去?.

y

4

? 4

?

1 2 法二:A 中的渐近线方程为 y=±2x;B 中的渐近线方程为 y=± x;C 中的渐近线方程为 y=± 2x;D 中的渐近线方程为 y=± x.故选 2 2 A. 答案:A

97

2.(2015?高考湖南卷)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( A. 7 3 5 B. 4 5 D. 3
2 2 2

x2 y2 a b

)

4 C. 3

b 4 b 16 c -a 16 2 2 2 解析:由双曲线的渐近线过点(3,-4)知 = ,∴ 2= .又 b =c -a ,∴ 2 = , a 3 a 9 a 9
16 25 5 2 2 即 e -1= ,∴e = ,∴e= . 9 9 3 答案:D

考点三 直线与双曲线的位置关系 [例 3] 已知双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴交点为 P,且PA= PB,求 a 的值. 12 审题视点 (1)将直线方程代入双曲线方程消去 y,整理成关于 x 的一元二次方程,得 a 的范围,利用 a 的取值范围求解; (2)设出 A,B 的坐标,利用(1)中一元二次方程的根与系数的关系求解.

x2 a

2

x ? ? 2-y2=1 解 (1)由双曲线 C 与直线相交于两个不同的点,知方程组?a ? ?x+y=1
? ?1-a ≠0, ∴? 4 2 2 ?Δ =4a +8a ?1-a ?>0, ?
2

2

有两个不同的解,消去 y 并整理得:(1-a )x +2a x-2a =0①,

2

2

2

2

解得 0<a< 2且 a≠1, 双曲线的离心率 e= 1+a
2

a



1

a2

+1.

∵0<a< 2且 a≠1, ∴e> 6 且 e≠ 2, 2

即离心率 e 的取值范围为?

? 6 ? , 2?∪( 2,+∞). ?2 ?

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),

98

→ 5→ ∵PA= PB, 12 5 ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1), 12 5 得 x1= x2, 12 由于 x1,x2 是方程①的两个根, 2a 2a 17 2a 5 2 2a ∴x1+x2=- x2=- x2=- 2,x1x2=- 2即 2, 2,消去 x2, 1-a 1-a 12 1-a 12 1-a 2a 289 17 得- ,解得 a= . 2= 1-a 60 13
2 2 2 2 2

解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程, 然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组, 消元后转化成关于 x(或 y)的一元 二次方程,利用根与系数的关系,整体代入的思想解题.设直线与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为 k,则|AB|= 1+k |x1 -x2|.
2

1.设 a,b 是关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过 A(a,a ),B(b,b )两点的直线与双曲线 2 - 2 =1 的公 cos θ sin θ 共点的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3
2

2

2

2

x2

y2

解析:由根与系数的关系,得 a+b=-tan θ ,ab=0,则 a,b 中必有一个为 0,另一个为-tan θ .不妨设 A(0,0),B(-tan θ ,tan θ ), 则直线 AB 的方程为 y=-xtan θ .根据双曲线的标准方程,得双曲线的渐近线方程为 y=±xtan θ ,显然直线 AB 是双曲线的一条渐近线,所 以直线与双曲线没有公共点. 答案:A

x2 y2 2.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. a b
(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= → → → 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使OM+ON=tOD,求 t 的值及点 D 的坐标. 3

解:(1)由题意知 a=2 3, ∴一条渐近线为 y= 即 bx-2 3y=0.

b
2 3

x.

99


2

|bc|

b2+12

= 3.

∴b =3,∴双曲线的方程为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x -16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12.
2

x2

y2

x 4 3 ? ?y = 3 , ∴? x y ? ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0

∴?

?x0=4 3, ?y0=3.

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

直线与双曲线解答题的规范解答 [典例] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x -y =1. (1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点.若|MF|=2 2,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k(|k|< 2)的直线 l 交 C 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:OP⊥OQ. 解题指南 (1)设出 M 点坐标,利用|MF|=2 2列方程求解. (2)先求出平行四边形的顶点坐标,然后求面积. → → (3)设出直线方程,与双曲线方程联立,利用根与系数的关系及OP?OQ结合整体代入可证.
2 2 2 2

x 6 ? ? 2 【规范解答】 (1)双曲线 C: -y =1,左焦点 F?- ,0?.2 分 1 ? 2 ? 2
2

设 M(x,y),则|MF| =?x+
2

? ?

6? 2 2?2 ? 2 ? +y =? 3x+ ? , 2? 2 ? ? 2 , 2

由 M 点是右支上一点,知 x≥ 所以|MF|= 3x+ 2 =2 2, 2

100

得 x=

6 ? 6 ? ,所以 M? ,± 2?.5 分 2 ?2 ?

(2)左顶点 A?-

? ?

2 ? ,0?,渐近线方程:y=± 2x.7 分 2 ?

过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为

y= 2?x+

? ?

2? ?,即 y= 2x+1. 2? 2 ? ?x=- 4 , 得? 1 y= . ? ? 2 2 .10 分 4 |b|

解方程组?

?y=- 2x, ?y= 2x+1,

所求平行四边形的面积为 S=|OA||y|=

(3)证明:设直线 PQ 的方程是 y=kx+b.因直线 PQ 与已知圆相切,故
? ?y=kx+b, ?2x -y =1, ?
2 2

k2+1

=1,即 b =k +1(*).12 分

2

2

由?

得(2-k )x -2kbx-b -1=0.

2

2

2

2kb x +x = , ? ? 2-k 设 P(x ,y )、Q(x ,y ),则? -1-b xx= . ? ? 2-k
1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2

14 分

又 y1y2=(kx1+b)(kx2+b),
2 2 2 2 2 2 → → ?1+k ??-1-b ? 2k b -1+b -k 2 2 2 所以OP?OQ=x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = + + b = . 2 2 2 2-k 2-k 2-k

→ → 由(*)知,OP?OQ=0,所以 OP⊥OQ.16 分 【思维流程】 用 M 点的坐标表示出|MF|. 由 M 点在右支上解出 M 点坐标. 求双曲线的渐近线方程及过左顶点与渐近线平行的直线方程. 求出平行四边形的顶点坐标并数形结合求面积. 设出 PQ 的方程,并由相切得到参数间的关系. 联立方程组消元,得到根与系数的关系. → → 利用OP?OQ=0?OP⊥OQ 整体代入证明 OP⊥OQ.

101

阅卷点评

对于直线与双曲线问题的处理,多结合图形分析其几何特征,对不确定问题要注意分类讨论,同时,注意整体代入,设而不

求等方法的应用. 失分警示 (1)第(1)问中易忽略 M 点在右支上的应用而致误.

(2)第(2)问中没有数形结合发现平行四边形的面积 S=|OA||y|,而造成计算繁杂. (3)第(3)问中思路不清,只想把所有参数值一一求出解不能整体代入简化计算,致使得不到正确结论. 备考建议 (1)熟练掌握判断直线和双曲线的位置关系的常用方法;(2)注意运算能力的培养和技巧的训练.

◆两种方法 (1)若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为:mx +ny =1(mn<0). (2)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 y=± x 可变形为 =± ,即 2- 2=0,所以双曲线的渐近线方程可以看作是把其标准方程 中的 1 换成 0 得来的. ◆三个防范 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a =b +c ,而在双曲线中 c =a +b . (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). (3)直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直 线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

b a

x a

y b

x2 y2 a b

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2014?高考广东卷)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 B.实半轴长相等 D.离心率相等

x2

y2

x2

y2

)

解析: 因为 0<k<9, 所以两条曲线都表示双曲线. 双曲线 - =1 的实半轴长为 5, 虚半轴长为 9-k, 焦距为 2 25+?9-k?=2 34-k, 25 9-k 离心率为 34-k x y 34-k .双曲线 - =1 的实半轴长为 25-k,虚半轴长为 3,焦距为 2 ?25-k?+9=2 34-k,离心率为 ,故两曲线 5 25-k 9 25-k
2 2

x2

y2

只有焦距相等.故选 A. 答案:A 2.(2016?广东惠州调研)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线的斜率为( A.±2 1 C.± 2 B.± 2 D.± 2 2
102

x2 y2 a b

)

解析:∵双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,∴e= = 答案:B

x2 y2 a b

c a

1+ 2= 3,解得 = 2,∴其渐近线的斜率为± 2,故选 B.

b2 a

b a

3.(2015?高考四川卷)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( 3 4 3 A. 3 C.6 B.2 3 D.4 3

2

y2

)

解析:设 A,B 两点的坐标分别为(x,yA),(x,yB),将 x=c=2 代入渐近线方程 y=± 3x 得到 yA,yB,进而求|AB|. 由题意知,双曲线

x - =1 的渐近线方程为 y=± 3x,将 x=c=2 代入得 y=±2 3,即 A,B 两点的坐标分别为(2,2 3),(2,-2 3),所以|AB|=4 3.
3 答案:D 1 4.(2015?高考课标卷Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方程为________. 2 1 解析:法一:∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 ∴可设双曲线的方程为 x -4y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4, 3), ∴λ =16-4?( 3) =4, ∴双曲线的标准方程为 -y =1. 4 1 法二:∵渐近线 y= x 过点(4,2),而 3<2, 2 1 1 ∴点(4, 3)在渐近线 y= x 的下方,在 y=- x 的上方(如图). 2 2
2 2 2

2

y2

x2

2

∴双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线方程为

x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2
由已知条件可得

103

b 1 ? ?a=2, ?16 3 ? ? a -b =1,
2 2

?a =4, ? 解得? 2 ?b =1. ?

2

∴双曲线的标准方程为 -y =1. 4 答案: -y =1 4 5.(2015?高考北京卷)已知(2,0)是双曲线 x - 2=1(b>0)的一个焦点,则 b=________. 解析:由题意得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=2.根据双曲线的标准方程,可知 a =1.又 c =a +b ,所以 b =3.又 b>0,所以 b= 3. 答案: 3 6.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为________. 4 9 ? ?a -b =1, 解析:由题意可得? 2c=4, ? ?a +b =c ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

y2 b

x2 y2 a b

?a=1, 解之得?b= 3, ?c=2,

c 2 所以所求离心率 e= = =2. a 1

答案:2 7.(2016?黄冈模拟)点 P 是以 F1,F2 为焦点的双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上的一点,已知 PF1⊥PF2,|PF1|=2|PF2|,O 为坐标原点. (1)求双曲线的离心率 e; → ?OP → =-27,2PP → +PP → =0,求双曲线 E 的方程. (2)过点 P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1,P2 两点,且OP 1 2 1 2 4 解:(1)∵|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. ∵PF1⊥PF2,∴(4a) +(2a) =(2c) ,即 5a =c , ∴e= 5.
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 (2)由(1)知双曲线的方程可设为 2- 2=1,渐近线方程为 y=±2x. a 4a
设 P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y), → ?OP → =-3x x =-27? x x =9, ∵OP 1 2 1 2 1 2 4 4

104

2x +x x= ? ? 3 → +PP → =0? ∵2PP ? 2?2x -x ? ? ?y= 3
1 2 1 2 1 2

∵点 P 在双曲线上, ?2x1+x2? ?2x1-x2? ∴ - =1 2 2 9a 9a 9a 化简得 x1x2= , 8 9a 9 2 ∴ = ? a =2, 8 4 ∴双曲线方程为 - =1. 2 8 8.(2014?高考江西卷)如图,已知双曲线 C: 2-y =1(a>0)的右焦点为 F.点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).
2 2 2 2

x2 y2

x2 a

2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 为定值,并求此定值. 1 1 2 解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a +1,直线 OB 方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),

x0x 3 |MF| -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒 a2 2 |NF|

a

a

? ? 解得 B? ,- ?. 2a? ?2
c c
1 又直线 OA 的方程为 y= x,

a

105

c ? c? -?- ? a ? 2a? 3 c? ? 则 A?c, ?,kAB= = . c a ? a? c-
2 3 ? 1? 2 又因为 AB⊥OB,所以 ??- ?=-1,解得 a =3,

a ? a?
2

故双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 (2)证明:由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为

x2

x0x
3

-y0y=1(y0≠0),即 y=

x0x-3 . 3y0

? 2x0-3?; 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点 M?2, ? 3y0 ? ? ? 3x0-3? 3 ?. 直线 l 与直线 x= 的交点为 N?3 2 ? , ? 2 3y0 ? ?2
?2x0-3? 2 2 2 ?3y0? |MF| ?2x0-3? 则 = 2 2= |NF| ?3x0-3?2 9y0+9?x0-2?2 ? ? 4 4 1 ?2 ? + 2 4 ?3y0? 4 ?2x0-3? = ? 2 2. 3 3y0+3?x0-2? 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y0=1,代入上式得 3 |MF| 4 ?2x0-3? 2= ? 2 2 |NF| 3 x0-3+3?x0-2? 4 ?2x0-3? 4 = ? 2 = , 3 4x0-12x0+9 3 |MF| 2 2 3 所求定值为 = = . |NF| 3 3 [B 级 能力突破] 1.(2014?高考大纲全国卷)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( 1 A. 4 C. 2 4 B. D. 1 3 2 3 )
2 2 2 2 2

x2 0

2

解析:由 e= =2 得,c=2a,如图,由双曲线的定义得

c a

106

|F1A|-|F2A|=2a, 又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,|F2A|=2a, ∴cos∠AF2F1= ?4a? +?2a? -?4a? 1 = . 2?4a?2a 4 答案:A 2.(2015?高考湖北卷)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲 线 C2,则( )
2 2 2

A.对任意的 a,b,e1<e2 B.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 解析:由题意 e1= 离心率 e2= 因为

a2+b2 = a2
2

1+? ? ;双曲线 C2 的实半轴长为 a+m,虚半轴长为 b+m, a
2

?b?2 ? ?

?a+m? +?b+m? = 2 ?a+m?

1+?

?b+m?2. ? ?a+m?

b+m b m?a-b? - = ,且 a>0,b>0,m>0,a≠b, a+m a a?a+m? m?a-b? b+m b >0,即 > . a?a+m? a+m a

所以当 a>b 时, 又

b+m b >0, >0, a+m a

所以由不等式的性质依次可得?

?b+m?2>?b?2,1+?b+m?2>1+?b?2,所以 ? ? ? ?a+m? ?a? ?a+m? ?a? ? ? ? ?

1+?

?b+m?2> ? ?a+m?

1+? ? ,即 e2>e1;同理,当 a<b 时, a

?b?2 ? ?

m?a-b? <0, a?a+m?

可推得 e2<e1.综上,当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2. 答案:B

x2 y2 3.(2015?高考重庆卷)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别 a b
作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D,若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ a +b ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(- 2,0)∪(0, 2) 解析:由题作出图像如图所示.
107
2 2

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

由 2- 2=1 可知 A(a,0),F(c,0). 易得 B?c, ?,C?c,- ?. a a

x2 y2 a b

? ?

b2?

?

? ?

b2?

?

∵kAB= ∴kCD=

b2 , c-a a?c-a?


b a

2

a?a-c? . b2 b2 , a-c a?a-c?


∵kAC=

b2 a

∴kBD=-

a?a-c? . b2 b2 a a?a-c? a?a-c? ac?a-c? b2 b2 a?a-c? a?a-c? ac?a-c? (x-c),即 y=- x+ + ,lCD:y+ = (x-c),即 y= x- 2 2 2 b b b a a b2 b2 b2

∴lBD:y- =-

b2 b4 - .∴xD=c+ 2 . a a ?a-c? b b ? ?.∴ 2 2 ∴点 D 到 BC 的距离为? 2 <a+ a +b =a+c, ? ?a ?a-c?? a2?c-a?
∴b <a (c -a )=a b ,∴a >b , ∴0< 2<1.∴0< <1 或-1< <0. 答案:A 4.(2015?高考课标卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C:x - =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).当△APF 周长最小时,该三角形的面 8 积为________. 解析:
2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4

b2 a

b a

b a

y2

108

由双曲线方程 x - =1 可知,a=1,c=3,故 F(3,0),F1(-3,0).当点 P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,所 8 以|PF|=|PF1|+2,从而△APF 的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|. 因为|AF|= 3 +?6 6? =15 为定值,所以当(|AP|+|PF1|)最小时,△APF 的周长最小,由图像可知,此时点 P 在线段 AF1 与双曲线的 交点处(如图所示). 由题意可知直线 AF1 的方程为 y=2 6x+6 6,
2 2

2

y2

? ?y=2 6x+6 6, 由? 2 y2 x - =1, ? 8 ?

得 y +6 6y-96=0,

2

解得 y=2 6或 y=-8 6(舍去), 所以 S△APF=S△AF1F-S△PF1F 1 1 = ?6?6 6- ?6?2 6=12 6. 2 2 答案:12 6

x 2 →+PB →=0 时,直线 l 的方程为________. 5.已知双曲线为 -y =1,和点 P(-3,-1),过 P 作直线 l,交曲线于 A、B 两点,当PA 4
解析:设交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则?
?x1-4y1=4 ? ? ?x -4y =4
2 2 2 2 2 2

2

① ②

①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. →+PB →=0,可知,P 为 AB 的中点, 由PA ∴x1+x2=-6,y1+y2=-2 ∴l 的斜率 k=

y1-y2 3 = , x1-x2 4

3 3 5 ∴l 的方程为 y+1= (x+3),即 y= x+ , 4 4 4 答案:3x-4y+5=0
109

→|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上 6.以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若|→ PA|-|PB →=1(→ 一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若OP OA+→ OB),则动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的 2 离心率;④双曲线 - =1 与椭圆 +y =1 有相同的焦点. 25 9 35 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 解析:①错误,当 k>0 且 k<|AB|,表示以 A、B 为焦点的双曲线的一支;当 k>0 且 k=|AB|时表示一条射线;当 k>0 且 k>|AB|时,不 1 表示任何图形;当 k<0 时;类似同上.②错误,P 是 AB 中点,且 P 到圆心与 A 的距离的平方和为定值.故 P 的轨迹应为圆.③方程两根为 和 2 2,可以 作为椭圆和双曲线的离心率,故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(± 34,0),故正确. 答案:③④

x2

y2

x2

2

x2 y2 2 2 2 7.如图所示,已知双曲线 2- 2=1(b>a>0)且 a∈[1,2],它的左、右焦点分别为 F1、F2,左、右顶点分别为 A、B.过 F2 作圆 x +y =a a b
的切线,切点为 T,交双曲线于 P,Q 两点. (1)求证:直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直; (2)若 M 为 PF2 的中点,O 为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ |AB|,求实数 λ 的取值范围.

x2 y2 b 2 2 解:(1)证明:双曲线 2- 2=1(b>a>0)的渐近线为 y=± x,设直线 PQ 的方程为 y=k(x-c)(不妨设 k<0),由于直线 PQ 与圆 x +y = a b a a2 相切,
∴ |kc| =a,即 k = 2,直线 PQ 的斜率 k=- . b b k2+1
2

a2

a

因为第一、三象限的渐近线的斜率为 , ∴- ? =-1. 所以直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直.

b a

a b b a

y=k?x-c?, ? ? 2 2 (2)由?x y 2- 2=1, ? ?a b
得(b -a k )x +2a k cx-a k c -a b =0.
110
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2), -2a k c x +x = , ? ? b -a k 则? -a k c -a b xx= , ? ? b -a k
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2

所以|PQ|= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2] 2ab ?1+k ? 2ab = = 2 . 2 2 2 |b -a k | b -a2 1 1 因为|OM|= |PF1|,|F2M|= |PF2|, 2 2 1 ∴|F2M|-|OM|= (|PF2|-|PF1|)=a, 2 |OM|-|MT|=1, 代入上式得|F2M|-|MT|=a+1. 又|F2M|-|MT|=|F2T|= c -a =b,所以 b=a+1. 因为|AB|=2a,|PQ|= 2ab , b2-a2
2 2 2 2 2 2 2

2

2

?a+1? a λ = 2 = = +1. b -a2 2a+1 2a+1 令 t=2a+1,则 a=

b2

2

t-1
2

,t∈[3,5],

1? 1 ? 1 所以 λ = ?t+ -2?+1,设 y=t+ , 4? t ? t 1 ?4 9? 因为 t+ 在[3,5]上为增函数,所以 λ ∈? , ?. t ?3 5?

第 8 课时

曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系:

111

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般方法(五步法) (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.圆锥曲线的共同特征 共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离 之比为定值 e. 4.曲线的交点 设曲线 C1: f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0,P0(x0,y0)是 C1 与 C2 的公共点?? 的实数解. [基础自测] 1.如果曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解,那么以下说法正确的是( A.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点有些不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0 的解 D.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 解析:由题意可知,曲线 C 上的所有点构成的集合是方程 F(x,y)=0 的解构成的集合的子集,它包含两种情形①真子集;②相等.据以上 可知,A、B、C 都是不正确的,只有 D 是正确的. 答案:D 2.(教材习题改编)不论 θ 为何值,方程 x +2sin θ ?y =1 所表示的曲线必不是( A.抛物线 C.圆
2 2 2

e 的值或范围
0<e<1

圆锥曲线 椭圆 抛物线 双曲线

e=1 e>1

?f1?x0,y0?=0 ? ? ?f2?x0,y0?=0

, 故求曲线交点即求方程组?

?f1?x,y?=0 ? ? ?f2?x,y?=0

)

)

B.双曲线 D.直线
2

解析:因为不论 θ 为何值,方程 x +2sin θ ?y =1 都不会同时既有一次项,又有二次项,所以其方程所表示的曲线必不是抛物线. 答案:A 3.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足条件|PA|=2|PB|,则动点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于( A.9π B.8π
112

)

C.4π

D.π
2 2 2 2 2 2

解析:设 P(x,y),由|PA|=2|PB|,知 ?x+2? +y =2 ?x-1? +y ,化简整理,得(x-2) +y =4,所以,动点 P 的轨迹是圆心为 (2,0),半径为 2 的圆,此圆的面积为 4π . 答案:C 4.方程 x +xy=x 所表示的曲线是________. 解析:因为方程 x +xy=x 可化为:x(x+y-1)=0,所以 x=0 或 x+y-1=0,它们表示两条直线,因此方程 x +xy=x 表示的曲线为两 条直线. 答案:两条直线 5.(2016?南阳调研)已知定点 A(2,0),它与抛物线 y =x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程是________. 解析:设 P 点坐标为(x0,y0),M 点坐标为(x,y), 由中点坐标公式得 x=
2 2 2 2

x0+2
2

,y= , 2

y0

1 2 2 ∴x0=2x-2,y0=2y,代入 y =x 得,y = (x-1). 2 1 2 答案:y = (x-1) 2

考点一 直接法求轨迹方程 [例 1] 已知直角坐标平面上的点 Q(2,0)和圆 C: x +y =1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ (λ >0), 求动点 M 的轨迹方程. 审题视点 可设出动点 M 的坐标,依据动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ (λ >0)即可得出方程. 解 设直线 MN 切圆 C 于 N 点,则动点 M 的集合为:
2 2

P={M||MN|=λ |MQ|},因为圆 C 的半径|CN|=1,
所以|MN| =|MC| -|CN| =|MC| -1, 设点 M 的坐标为 M(x,y),则 ?x +y ?-1=λ 化简整理得: (λ -1)(x +y )-4λ x+1+4λ =0(λ >0).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?x-2? +y ,

2

2

求解轨迹方程时,一定要注意检验,以防增根或漏解.

113

→ → → → 1.(2016?深圳调研)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且QP?QF=FP?FQ,则动 点 P 的轨迹 C 的方程为( A.x =4y C.x =2y
2 2

) B.y =3x D.y =4x
2 2

解析:设点 P(x,y),则 Q(x,-1). → → → → ∵QP?QF=FP?FQ, ∴(0,y+1)?(-x,2)=(x,y-1)?(x,-2),即 2(y+1)=x -2(y-1),整理得
2

x2=4y,∴动点 P 的轨迹方程为 x2=4y.
答案:A 2.设点 F(2,0),动点 P 到 y 轴的距离为 d,求满足条件|PF|-d=2 的点 P 的轨迹方程. 解:法一:设 P 点坐标为(x,y), 由|PF|=2+d, 得 ?x-2? +y =2+|x|, 即(x-2) +y =(2+|x|) . ∴y =4|x|+4x. 当 x≥0 时,y =8x; 当 x<0 时,y =0,即 y=0. 故所求轨迹方程为 y =8x(x≥0)和 y=0(x<0). 法二:设 P 点坐标为(x,y), 由题意|PF|=2+d, 当 P 在 y 轴右侧时,可转化为|PF|=x+2,即点 P 到定点 F 的距离等于到定直线 l:x=-2 的距离,∴点 P 在抛物线 y =8x 上. 当 P 在 y 轴左侧时,|PF|=2-x, 即点 P 到 F(2,0)的距离等于 P 到直线 x=2 的距离, 从而有 y=0(x<0), 综上可知所求轨迹方程为 y =8x(x≥0)和 y=0(x<0). 考点二 定义法求轨迹方程 [例 2] 如图所示,一动圆与圆 x +y +6x+5=0 外切,同时与圆 x +y -6x-91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样 的曲线.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

审题视点 利用已知条件,结合圆锥曲线的定义寻找动点满足的关系
114



法一:设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,将圆的方程分别配方得:
2 2 2 2

(x+3) +y =4,(x-3) +y =100, 当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R+2,① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10-R,② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12, 即 ?x+3? +y + ?x-3? +y =12,③ 化简整理得 + =1, 36 27 所以,动圆圆心的轨迹方程是 + =1,轨迹是椭圆. 36 27 法二: 由方法一可得|O1M|+|O2M|=12 可知, 动圆圆心 M(x, y)到点 O1(-3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(- 3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6, ∴b =36-9=27, ∴圆心轨迹方程为 + =1. 36 27
2 2 2 2 2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程,若所求轨迹是某种圆 锥曲线上的特定点的轨迹,则利用圆锥曲线的定义列出等式,化简求得方程,同时注意变量范围.

1.与 y 轴相切并与圆 C:x +y -6x=0 也相切的圆的圆心的轨迹方程为__________. 解析:当动圆在 y 轴右侧时,如图,动圆圆心 P 到(3,0)的距离等于 P 到定直线 x=-3 的距离(3+r), 所以 P 点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线. 其方程为 y =12x(x>0). 当动圆在 y 轴左侧时,其圆心在 x 轴的负半轴上,其方程为 y=0(x<0).
2

2

2

答案:y =12x(x>0)或 y=0(x<0) 2.(2016?沈阳模拟)已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则动点 P 的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的 充要条件为 k∈__________. 解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2,则 b= c -a =1,∴P 点的轨迹方程为 x -y =1(x>0),其一条渐近
2 2 2 2

2

115

线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点,则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)

考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程 4 2 2 [例 3] 如图,设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线 l 被 C 所截线段的长度. 5 审题视点 (1)动点 M 通过点 P 与已知圆相联系,所以把点 P 的坐标用点 M 的坐标表示,然后代入已知圆的方程即可,(2)将直线方程与椭 圆方程组成方程组,结合两点的距离公式计算. 解 (1)设点 M 的坐标是(x,y),点 P 的坐标是(xP,yP),

4 5 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|,所以 xP=x,且 yP= y. 5 4

?5 ?2 2 2 2 ∵P 在圆 y +y =25 上,∴x +? y? =25,整理得 ?4 ?
+ =1,即 C 的方程是 + =1. 25 16 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线 l 的方程是 y= (x-3), 5 5 设此直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 x y 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程 + =1 得: 5 25 16 ?x-3? 2 + =1,化简得 x -3x-8=0, 25 25 3- 41 3+ 41 2 2 ∴x1= ,x2= ,所以线段 AB 的长度是|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2? = 2 2 41 段的长度是 . 5
2 2

x2

y2

x2

y2

x2

2

?1+16??x -x ?2= ? 25? 1 2 ? ?

41 41 ?41= ,即所截线 25 5

在上述问题中, 动点 C(主动点)在已知曲线上运动, 动点 M(被动点)依赖点 P 的运动而运动, 这种求轨迹问题所应用的方法称为“相关点法”. 其基本步骤为:
116

(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1); (2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
?x1=f?x,y?, ? ? ? ?y1=g?x,y?;

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.

→ → → → 1.(2016?聊城模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点 C 满足OC=OA+t(OB-OA),其中 t∈R,则点 C 的轨迹 方程是__________. → → → → ? ?x=t+1, 解析:设 C(x,y),则OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以? ?y=2t, ? 答案:y=2x-2 → → 2 2.如图,设 λ >0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x 上运动,点 Q 满足BQ=λ OA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 → → 消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y=2x-2.

P 满足QM=λ MP,求点 P 的轨迹方程.

→ → 2 2 2 解:由QM=λ MP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x ),则 x -y0=λ (y-x ),即 y0=(1+ λ )x -λ y.① → → ?x1=?1+λ ?x-λ , ? 再设 B(x1,y1),由BQ=λ QA,即(x-x1,y0-y1)=λ (1-x,1-y0),解得? ? ?y1=?1+λ ?y0-λ . 将①式代入②式,消去 y0,得
? ?x1=?1+λ ?x-λ , ? 2 2 ?y1=?1+λ ? x -λ ?1+λ ?y-λ . ?
2 2 2




2 2 2 2

又点 B 在抛物线 y=x 上,所以 y1=x1,再将③式代入 y1=x1,则(1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =[(1+λ )x-λ ] , (1+λ ) x -λ (1+λ )y-λ =(1+λ ) x -2λ (1+λ )x+λ , 2λ (1+λ )x-λ (1+λ )y-λ (1+λ )=0. 因 λ >0,两边同除以 λ (1+λ ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1.
2 2 2 2 2

117

曲线方程类型中分类讨论思想的运用 [典例] 平面内与两定点 A1(-a,0) 、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加上 A1、A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、 椭圆或双曲线. 求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系. 解题指南 直接法求出曲线方程后,讨论 m 的范围确定曲线形状. 【规范解答】 设动点为 M,其坐标为(x,y), 当 x≠±a 时,由条件可得

y y y2 kMA1?kMA2= ? = 2 =m2 分 x-a x+a x -a2
即 mx -y =ma (x≠±a), 又 A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足 mx -y =ma ,4 分 故依题意,曲线 C 的方程为 mx -y =ma . 当 m<-1 时,曲线 C 的方程为 2+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 =1,C 是焦点在 y 轴上的椭圆;7 分 a -ma2
2 2

当 m=-1 时,曲线 C 的方程为 x +y =a ,C 是圆心在原点的圆;8 分 当-1<m<0 时,曲线 C 的方程为 2+ 当 m>0 时,曲线 C 的方程为 2- 阅卷点评

x2 y2 =1,C 是焦点在 x 轴上的椭圆;10 分 a -ma2

x2 y2 =1,C 是焦点在 x 轴上的双曲线.12 分 a ma2

由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下,分类标准的确立有两点:一是二次项系数为 0 时的参

数值,二是二次项系数相等时的参数值,然后确定分类标准进行讨论,讨论时注意表述准确. 失分警示 (1)讨论不全面,漏掉 m<-1,m=-1,-1<m<0,m>0 时的某种情况.

(2)求轨迹方程后,遗漏的点(±a,0)没有补上. 备考建议 (1)熟练掌握常用的求轨迹方程的各

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