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6.3 等比数列及其前n项和


§6.3 等比数列及其前n项和
要点梳理

基础知识 自主学习

1.等比数列的定义 如果一个数列 从第二项起,后项与相邻前项的比是 一个确定的常数(不为零) ,那么这个数 公比 列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 q 通常用字母 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q ,则它的通

n-1 项a n = a1 ·q .



3.等比中项
若 G2=a·b,那么G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质
n-m q (1)通项公式的推广:an=am· ,(n,m∈N*).

( 2 )若 {an} 为等比数列,且 k+l=m+n ,( k , l , m , n∈N*),则ak·al=am·an . ( 3 )若 {an} , {bn} (项数相同 )是等比数列,则

? an ? ? ? 1 2 {? an}( ? ≠0), ? ? ? ? , { an } , { a n · b n } , ? bn ? ? an ? 仍是等比数列.

5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=
a1 (q n ? 1) a1q n a1 ? ? . q ?1 q ?1 q ?1 a1 (1 ? q n ) ? 1? q

6.等比数列前n项和的性质

公比不为 -1 的等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn , n q S -S ,S -S 仍成等比数列,其公比为 .
2n n 3n 2n

基础自测
1.设a1=2,数列{an+1}是以3为公比的等比数列,则a4

的值为
A.80 解析 B.81 C.54 由已知得an+1=(a1+1)·qn-1,

( A )
D.53

即an+1=3·3n-1=3n, ∴an=3n-1,∴a4=34-1=80.

2.等比数列{an}中,a4=4,则a2·a4·a6等于( D ) A.4 B.8 C.32 D.64

解析

∵a4是a2与a6的等比中项,

2 ∴a2 ·a6 = a4 =16.∴a2·a4·a6=64.

3.(2009·广东)已知等比数列{an}的公比为正数,
2 且a3·a9=2a5 ,a2=1,则a1=



C )

A.2

解析

2 D. 1 2 2 设公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即
B. 2 C.

q2=2.因为等比数列{an}的公比为正数,所以q= 2 ,

故a1 =

a2 1 2 ? ? . q 2 2

4. 在等比数列 {an} 中,前n 项和为 Sn ,若 S3=7, S6=63 ,

则公比q的值是
A.2 解析 B.-2 方法一 C.3 依题意,q≠1,



) A
D.-3

a1 (1 ? q 3 ) ∵ =7, 1? q a1 (1 ? q 6 ) =63. 1? q ②÷①得1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.

① ②

方法二

∵(a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,

而a4+a5+a6=S6-S3=56, ∴7·q3=56,q3=8,q=2.

1 5.(2008·浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= , 4 则a1a2+a2a3+…+anan+1等于 ( C )

A.16(1-4-n)

B.16(1-2-n)

C.

32 (1-4-n) 3
a2

D. 32(1-2-n) 3
8 2

解析

∵ a5 ? q 3 ? 1 ,? q ? 1 .

1 n 5-2n 1 n-1 ∴an·an+1=4·( ) ·4·( ) =2 , 2 2 故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1

=23+21+2-1+2-3+…+25-2n 1 8(1 ? n ) 32 4 ? ? (1 ? 4? n ) 1 3 1? 4

题型分类 深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
20 【例 1】已知 {an} 为等比数列, a3=2 , a2+a4= ,求 3 {an}的通项公式.

思维启迪

根据等比数列的定义、通项公式及性

质建立首项,公比的方程组.


a2 = ∴

方法一

设等比数列{an}的公比为 q ,则q≠0,
a4=a3q=2q,

2 解得 q q1 =

a3 2 ? , +2q= q q
1 3

20 . ,3 q2=3.

1 时,a1=18, 3 1 n-1 18 ∴an=18×( ) = n?1 =2×33-n. 3 3 2 ②当q=3时,a1= , 9 2 ∴an= ×3n-1=2×3n-3. 9 综上所述,an=2×33-n或an=2×3n-3.

①当q=

20 方法二 由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4= , 3 20 2 则a2,a4为方程x x+4=0的两根, 3

解得

2 a2 = 3

a2=6

2 a4 = 3

.

a4=6

2 ①当a2= 时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3. 3 1 ②当a2=6时,q= ,an=2×33-n 3 ∴an=2×3n-3或an=2×33-n.

探究提高

(1)等比数列{an}中,an=a1qn-1, Sn=

a1 (1 ? q n ) 中有五个量,可以知三求二;(2)注意分 1? q 类讨论的应用.

知能迁移 1

已知等比数列 {an} 中, a1=2,a3+2 是 a2 和

a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=anlog2an,求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)设数列{an}的公比为q, 由题意知:2(a3+2)=a2+a4, ∴q3-2q2+q-2=0,即(q-2)(q2+1)=0. ∴q=2,即an=2·2n-1=2n.

(2)bn=anlog2an=n·2n, ∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n. ①

2Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1.② ①-②得-Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =-2-(n-1)·2n+1. ∴Sn=2+(n-1)·2n+1.

题型二

等比数列的判定与证明

【例2】 (2008·湖北)已知数列{an}和{bn}满足:
2 an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 ? 为 3 实数,n为正整数.

a1= ? ,an+1=

(1)证明:对任意实数 ? ,数列{an}不是等比数列; (2)证明:当 ? ≠-18时,数列{bn}是等比数列.
2 (2)根据递推关系推出 bn+1=- bn ,用 ? ≠ -18 说明 3 b1≠0,即bn≠0.

思维启迪 (1)可用反证法.

证明

(1)假设存在一个实数 ? ,使{an}是等比数列,

2 则有a2 =a1a3,即 ( 2 ? ? 3) 2 ? ? ( 4 ? ? 4) 3 9 4 4 ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ?9=0,矛盾. 9 9 所以{an}不是等比数列.

(2)bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]
=(-1)n+1(
2 an-2n+14) 3

2 2 n =(-1) ·(an-3n+21)=- bn. 3 3

又 ? ≠-18,所以b1=-( ? +18)≠0.`

bn ?1 2 ? ? 由上式知bn≠0,所以 (n∈N*). bn 3

2 故当 ? ≠-18时,数列{bn}是以-(? +18)为首项, ? 3 为公比的等比数列.

探究提高 证明一个数列是等比数列的主要方法有 an ?1 ?q 两种:一是利用等比数列的定义,即证明 an 2 * a (q≠0,n∈N ),二是利用等比中项法,即证明 n?1
=anan+2≠0 (n∈N*).在解题中,要注意根据欲证明

的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构
造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.

知能迁移2

(2009·全国Ⅱ)设数列{an}的前n项和

为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5, 故b1=a2-2a1=3.

又an+2=Sn+2-Sn+1
=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.

因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)解

由(1)知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2, =3×2n-1,于是

所以an+1-2an

an ?1 an 3 ? n? , n ?1 2 2 4

因此数列 ? ?

an ? 1 3 的等差数列, 是首项为 , 公差为 ? n 2 2 ? ? 4

an 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? ? n ? , n 2 2 4 4 4
所以an=(3n-1)·2n-2.

题型三

等比数列的性质及应用

1 【例3】在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8且 ? a1 1 1 1 1 ? ? ? =2,求a3. a2 a3 a4 a5 思维启迪 ( 1 )由已知条件可得 a1 与公比 q 的方程
组,解出a1、q,再利用通项公式即可得a3. (2)也可利用性质 a3 =a1·a5=a2·a4直接求得a3.
2



方法一

设公比为q,显然q≠1,

1 ? 也是等比数列,公比 ∵{an}是等比数列,∴ ? ? ? ? an ? 为1. q

? a1 (1 ? q 5 ) ? 1? q ? 8 ? 1 1 2 4 由已知条件得 ? 解得a1 q ? 4, ? (1 ? 5 ) q ? a1 ?2 ? 1 1 ? ? q ?
2 ∴ a3 =(a1q2)2=4,∴a3=±2.

方法二

由已知得

1 1 1 1 1 a1 ? a5 a2 ? a4 a3 ? ? ? ? ? ? ? 2 a1 a2 a3 a4 a5 a1a5 a2 a4 a3 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 8 ? ? 2 ? 2. 2 a3 a3
2 ∴ a3 =4.∴a3=±2.

探究提高

在解决等比数列的有关问题时,要注

意挖掘隐含条件 , 利用性质 ,特别是性质 “若 m+n=p+q, 则 am·an=ap·aq” ,可以减少运算量, 提高解题速度. 知能迁移3 (1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,

数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值;
(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16= 8,求a41a42a43a44. 解
2 (1)∵a3a11= a7 =4a7,

∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4,

∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8.

(2)方法一

4 6 a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3= a1 q =1.①

a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
4 = a1 ·q54=8. 54 a4 ? q 1 ②÷①: 4 6 =q48=8?q16=2, a1 ?q 又a41a42a43a44=a1q40a1q41·a1q42·a1q43 4 4 4 = a1 ·q166= a1 ·q6·q160=( a1 ·q6)·(q16)10



=1·210=1 024.
方法二 由性质可知,依次4项的积为等比数列, 设公比为p,设T1=a1·a2·a3·a4=1, T4=a13·a14·a15·a16=8, ∴T4=T1·p3=1·p3=8,∴p=2. ∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·p10=210=1 024.

题型四

等差、等比数列的综合应用

【例 4】 ( 12 分)已知等差数列 {an} 的首项 a1=1, 公
差 d > 0 ,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数 列{bn}的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn

c1 * }对n∈N 均有
010.

b1

?

c2 c ? ? ? n =an+1成 b2 bn

立,求c1+c2+c3+…+c2
思维启迪

( 1 )可用基本量法求解;( 2 )作差

cn an+1-an= . bn



(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, 2分

∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d). 解得d=2(∵d>0).

∴an=1+(n-1)·2=2n-1.
又b2=a2=3,b3=a5=9, ∴数列{bn}的公比为3, ∴bn=3·3n-2=3n-1. (2)由 c1 ? c2 ? ? ? cn ? an?1得 b1 b2 bn c1 c2 cn?1 ? ? ? ? ? an . 当n≥2时, b1 b2 bn?1 c 两式相减得:n≥2时, n =an+1-an=2. bn

3分

5分

8分

∴cn=2bn=2·3n-1 (n≥2).

c1 又当n=1时, =a2,∴c1=3. b1 3 (n=1) ∴c n = 2·3n-1 (n≥2).
∴c1+c2+c3+…+c2
010 010)=32 010.

10分

6 ? 2 ? 32 010 =3+ =3+(-3+32 1? 3
探究提高

12分

在解决等差、等比数列的综合题时,重

点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、 通项公式及前n项和公式.本题第(1)问就是用基本量 公差、公比求解;第(2)问在作差an+1-an时要注意

n≥2.

知能迁移4

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且

(1)设bn=an+1-an (n∈N*),证明:{bn}是等比数
列; (2)求数列{an}的通项公式;

an+1=(1+q)an-qan-1 (n≥2,q≠0).

(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:
对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项. (1)证明 由题设an+1=(1+q)an-qan-1 (n≥2), 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2. 由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q

的等比数列.

(2)解

由(1),

a2-a1=1,a3-a2=q,… an-an-1=qn-2 (n≥2). 将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2 (n≥2),

即an=a1+1+q+…+qn-2 (n≥2).
所以当n≥2时,

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? an ? ? 1? q ?n, ?
(3)解

q ? 1, 上式对n=1显然成立. q ? 1.

等差中项,故q≠1.

由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的

由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得 q3-1=1-q6, ①

整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).
于是q= ? 3 2 . 另一方面,
q n ? 2 ? q n ?1 q n ?1 3 an-an+3= ? (q ? 1), 1? q 1? q n ?1 n ?5 n ?1 q ? q q an+6-an= ? (1 ? q 6 ). 1? q 1? q 由①可得an-an+3=an+6-an,

即2an=an+3+an+6,n∈N*.

所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.等比数列的判定方法有以下几种:

an?1 (1)定义: =q (q是不为零的常数,n∈N*)? an
{an}是等比数列. (2)通项公式:an=cqn (c、q均是不为零的常数, n∈N*)?{an}是等比数列.
2 (3)中项公式: an ?1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,

n∈N*) ?{an}是等比数列.

2.方程观点以及基本量(首项和公比a1,q)思想仍

然是求解等比数列问题的基本方法:在a1,q,n,an,Sn
五个量中,知三求二. 3.分类讨论的思想:当a1>0,q > 1或a1<0,0<q <1时,{an}为递增数列;当a1<0,q>1或a1>0, 0<q<1时,{an}为递减数列;当q<0时,{an} 为摆动数列;当q=1时,{an}为常数列.

失误与防范
1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.

2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数
列,还要验证a1≠0. 3.Sn+m=Sn+qnSm.

定时检测
一、选择题

1.(2009·广东)已知等比数列{an}满足an>0,
n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时, log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= ( C )

A.n(2n-1)
C.n2 解析

B.(n+1)2
D.(n-1)2

由题意知an=2n,log2a2n-1=2n-1,

log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.

2.(2009·辽宁)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若

S6 S =3,则 9 = S3 S6 A.2 B. 7 3
解析

( B )

C.8 D.3 3 a1 (1 ? q 6 ) 1 ? q6 1? q 由题意知 S6 3 ? ? ? 1 ? q ? 3, 3 3 S3 a1 (1 ? q ) 1 ? q 1? q

∴q3=2.
a1 (1 ? q 9 ) S9 1 ? q 9 1 ? ( q 3 )3 1 ? 8 7 1? q ? ? ? ? ? ? . 6 6 3 2 S6 a1 (1 ? q ) 1 ? q 1 ? (q ) 1 ? 4 3 1? q

3.等比数列{an}中,其公比q<0,且a2=1-a1,a4=4-a3,
则a4+a5等于 A.8 解析 B.-8 C.16 ( B ) D.-16

∵a1+a2=1,a3+a4=4=(a1+a2)q2,

又q<0,∴q=-2. ∴a4+a5=(a3+a4)q=4×(-2)=-8.

4.在数列{an}中,an+1=can (c为非零常数),且前n项和 为Sn=3n+k,则实数k的值为 A.0 B.1 C.-1 ( C ) D.2 a 解析 {an}为等比数列的充要条件是Sn= 1 (1 ? q n ), 1? q 由Sn=3n+k知k=-1.

5.等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,并且满足

a99 ? 1 条件 a1>1,a99a100-1>0 , <0. 给出下列结论: a100 ? 1
① 0<q<1 ;② a99·a101-1<0 ;③ T100 的值是 Tn 中最大 的;④使 Tn>1 成立的最大自然数 n 等于 198. 其中正确

的结论是
A.①②④ B.②④


C.①②


D.①②③④

?(a99 ? 1)(a100 ? 1) ? 0 ?a99 ? 1 解析 ①中,? ?? ?a99 ? a100 ? 1 ?0 ? a100 ? 1 ?a ? 1 a100 ? 1 ?q? ? (0,1), a99 ∴①正确.
a99a101=a1002 ②中, 0<a100<1
T100=T99·a100 ③中, 0<a100<1 ?a99·a101<1,∴②正确. ?T100<T99,∴③错误.

④中,T198=a1a2…a198=(a1·a198) … (a2·a197) … (a99·a100)=(a99·a100)99>1,

T199=a1a2…a198·a199=(a1a199)…(a99·a101)
·a100=a100199<1,∴④正确. 答案 A

6. 在 正 项 等 比 数 列 {an} 中 , an+1<an , a2·a8=6 ,
a4+a6=5,则 A. 5 6 解析

a5 等于 ( D ) a7 B. 6 C. 2 D. 3 5 3 2 设公比为q,则由an+1<an知0<q<1,

2 =6. 由a2·a8=6,得 a5

6 ∴a5 = 6 ,a4 +a6 = ? 6q ? 5. q 解得q= 2 ,? a5 ? 12 ? ( 6 ) 2 ? 3 . 6 a7 q 2 2

二、填空题 7.(2009·浙江)设等比数列{an}的公比q= 1 , 2 S4 前n项和为Sn,则 = 15 . a4
4 a ( 1 ? q ) a =a q3 , 解析 ∵S4= 1 , 4 1 1? q 1 1? 4 S4 a1 (1 ? q 4 ) 1 ? q4 2 ? 15. ? ? ? ? a4 a1q3 (1 ? q) q3 (1 ? q) 1 ? 1 23 2

8.(2009·海南)等比数列{an}的公比q>0. 已知 15 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4= 2 .

解析

∵{an}是等比数列,∴an+2+an+1=6an可化

为a1qn+1+a1qn=6a1qn-1,∴q2+q-6=0

1 4 ( 1 ? 2 ) 15 a ( 1 ? q ) ∵q>0,∴q=2,∴S4= 1 ?2 ? 1? q 1? 2 2
4

9.(2009·江苏)设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1, 令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82}中,则6q= 解析

-9 .

由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,

-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,
-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项 为负,∴q<0, 又∵|q|>1,∴{an}的连续四项为一24,36,-54,81. ∴q=
36 3 ?? , ? 24 2

∴6q=-9.

三、解答题 10.等比数列{an}满足:a1+a6=11, a3·a4= 32 ,且公 9 比q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值. (1)∵a3·a4=a1·a6= 32 , 9 32 2 由条件知a1,a6是方程x -11x+ =0的两根, 9 解得x= 1 或x= 32 . 3 3 解

1 32 又0<q<1,∴a1= ,a6 = . 3 3 1 a 1 ∴q5 = 6 ? , 即q= , 2 a1 32 1 ∴an=a6·qn-6= 1 ·( )n-6. 2 3 32 1 [1 ? ( ) n ] 2 =21,得 1 n 1 ,∴n=6. (2)令 3 ( ) ? 1 2 64 1? 2

11.数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的 等比数列,记bn=a2n-1+a2n (n∈N*). (1)求a3,a4,a5,a6的值; (2)求证:{bn}是等比数列. (1)解 ∵{anan+1}是公比为3的等比数列,

∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n,
3 2 2 ? 3 2 ? 3 ∴a3 = =6,a4= =9, a3 a2 4 5 2 ? 3 2 ? 3 a5 = =18,a6= =27. a4 a5

(2)证明

∵{anan+1}是公比为3的等比数列,

∴anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1, ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…与a2,a4,a6,…,a2n,… 都是公比为3的等比数列. ∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1,∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1.
bn?1 5 ? 3n ? ? ? 3, n?1 bn 5 ? 3

故{bn}是以5为首项,3为公比的等比数列.

12. 设函数 f(x) 满足 f(0)=1, 且对任意 x,y∈R ,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2. (1)求f(x)的解析式; (2)若数列{an}满足:an+1=3f(an)-1 (n∈N*),且a1= 1,求数列{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前n项和Sn.



(1)∵f(0)=1,令x=y=0,

得f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2. 再令y=0得f(1)=2=f(x)f(0)-f(0)-x+2, ∴f(x)=x+1,x∈R.

(2)∵f(x)=x+1, ∴an+1=3f(an)-1=3an+2.

∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2,∴数列{an+1}是公比为3的等比数列.

∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.
(3)Sn=a1+a2+…+an =2×(30+31+32+…+3n-1)-n =3n-n-1.
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