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2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节双曲线教师用书文北师大版


第七节
[考纲传真]

双曲线

1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题

中的作用.2.了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程, 知道它的简单的几何性质.3.理解数 形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用.

1.双曲线的定义 (1)平面内到两定点 F1、 F2

的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集 合叫作双曲线,定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. (2)集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c, 其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. ①当 2a<|F1F2|时,M 点的轨迹是双曲线; ②当 2a=|F1F2|时,M 点的轨迹是两条射线; ③当 2a>|F1F2|时,M 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质

1

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1) 平面内到点 F1(0,4) , F2(0 ,- 4) 距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( ) )

x2 y2 (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( m n x2 m y2 n

(3) 双曲线方程 2 - 2 = λ (m>0 , n>0 , λ ≠0)的渐近线方程是 2 - 2 = 0 ,即 ± = 0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( [答案] (1)? (2)? (3)√ (4)√ 2.(教材改编)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 C. 5 2 B. 6 2 )

x2 m

y2 n

x m

y n

x2 y2

)

D.1

c a2+3 D [依题意,e= = =2, a a
∴ a +3=2a,则 a =1,a=1.]
2 2

2

3.(2017?福州质检)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲 9 16 线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) 【导学号:66482406】 A.11 C.5 B B.9 D.3

x2

y2

[由题意知 a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a

=6,∴|PF2|=9.] 4.(2016?全国卷Ⅰ)已知方程 距离为 4,则 n 的取值范围是( A.(-1,3) C.(0,3) A

y2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的 m2+n 3m2-n


x2

) B.(-1, 3) D.(0, 3)

[∵原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为 4.
2 2

? ?m +n+3m -n=4, ∴? 2 2 ??m +n??3m -n?>0, ?

? ?m =1, 则? 2 2 ?-m <n<3m , ?

2

因此-1<n<3.] 5.(2016?北京高考改编)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0, 一个焦点为( 5,0),则双曲线的方程为__________.

x2 y2 a b

x2 y2 x - =1 [由于 2x+y=0 是 2- 2=1 的一条渐近线, 4 a b
2

y2

∴ =2,即 b=2a,① 又∵双曲线的一个焦点为( 5,0),则 c= 5, 由 a +b =c ,得 a +b =5,② 联立①②得 a =1,b =4. ∴所求双曲线的方程为 x - =1.] 4
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

y2

双曲线的定义及应用

3

(2017?哈尔滨质检)已知双曲线 x - =1 的两个焦点为 F1,F2,P 24 4 为双曲线右支上一点.若|PF1|= |PF2|,则△F1PF2 的面积为( 3 A.48 C.12 B [由双曲线的定义可得 B.24 D.6 )

2

y2

1 |PF1|-|PF2|= |PF2|=2a=2, 3 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10, 1 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形,因此 S△PF1F2= |PF1|?|PF2|=24.] 2 [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题: 在双曲线的定义中, 要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件, 即“到两定点(焦点) 的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对 值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用. 2.在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将||PF1|-|PF2||=2a 平方,建 立|PF1|?|PF2|间的联系. [变式训练 1] 已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F1, F2, 点 A 在 C 上. 若|F1A|=2|F2A|, 则 cos∠AF2F1=( A. C. 1 4 2 4 ) 1 B. 3 D. 2 3

A

[由 e= =2 得 c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a.

c a

又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a, |F2A|=2a, ?4a? +?2a? -?4a? 1 ∴cos∠AF2F1= = .] 2?4a?2a 4 双曲线的标准方程
2 2 2

4

x y 5 (1)(2017?广州模拟)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 a b 4 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为(
) 【导学号:66482407】 A. - =1 4 3 C. - =1 16 9

2

2

x2 y2 x2

B. - =1 9 16 D. - =1 3 4

x2

y2

y2

x2 y2

x2 y2 (2)(2016?天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且双曲线的一条 a b
渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( A. -y =1 4 C. 3x 3y - =1 20 5 (2)A
2 2

)

x2

2

B.x - =1 4 3x 3y D. - =1 5 20 [(1)由焦点 F2(5,0)知 c=5.
2 2

2

y2

(1)C

c 5 2 2 2 又 e= = ,得 a=4,b =c -a =9. a 4
∴双曲线 C 的标准方程为 - =1. 16 9

x2

y2

b 1 (2)由焦距为 2 5得 c= 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, 所以 = . a 2
又 c =a +b ,解得 a=2,b=1, 所以双曲线的方程为 -y =1. 4 [ 规律方法 ] 1. 确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件,两个“定量”条
2 2 2

x2

2

件.“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定 a,b 的值,常用待定系数 法.若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为 Ax +By =1(AB<0). 2.对于共焦点、共渐近线的双曲线方程,可灵活设出恰当的形式求解.若已知渐近线 方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m x -n y =λ (λ ≠0). 1 [变式训练 2] (1)(2015?全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3), 且渐近线方程为 y=± 2
2 2 2 2 2 2

x,则该双曲线的标准方程为________________.
5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为______.

x x y 1 2 (1) -y =1 (2) - =1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 4 16 9 2
5

2

2

2

∴可设双曲线的方程为 x -4y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4, 3), ∴λ =16-4?( 3) =4, ∴双曲线的标准方程为 -y =1. 4 (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1| -|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1,即 - =1.] 4 3 16 9
2

2

2

x2

2

x2 y2

x2

y2

双曲线的简单几何性质 (1)(2016?全国卷Ⅱ)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左、右焦 1 点,点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( 3 A. 2 C. 3 3 B. 2 D.2 )

x2 y2 a b

(2)(2017?石家庄调研)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别 是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线为 __________. 【导学号:66482408】

x a

2

y b

2

b2 (1)A (2)x±y=0 [(1)如图,因为 MF1⊥x 轴,所以|MF1|= . a
1 在 Rt△MF1F2 中,由 sin∠MF2F1= 得 3 tan∠MF2F1= 2 . 4
2 2 2

|MF1| 2 b 2 c -a 2 所以 = ,即 = ,即 = , 2c 4 2ac 4 2ac 4
6

整理得 c -

2

2 ac-a2=0, 2
2 2

两边同除以 a 得 e -

2 e-1=0. 2

解得 e= 2(负值舍去). (2)由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B?c, ?,C?c,- ?. 因为 A1B⊥A2C,

? ?

b2? a?

? ?

b2? a?

b2 a 所以 ? =-1,整理得 a=b. c+a c-a
- 因此该双曲线的渐近线为 y=± x,即 x±y=0.] [规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线, 要注意双曲线焦点位置的影响; (2)求离心率的 关键是确定含 a,b,c 的齐次方程,但一定注意 e>1 这一条件. 2.双曲线中 c =a +b ,可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系 = e -1?e= ?.
2 2 2 2

b2 a

b a

b a

? ?

c? a?

抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”,研究 a,b,c,e 间相互关系及转化, 简化解题过程. [变式训练 3] (2015?全国卷Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上, △ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 C. 3 D B.2 D. 2 )

[不妨取点 M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|BM|

x2 y2 a b

=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°, ∴M 点的坐标为(2a, 3a).
2 2

4a 3a ∵M 点在双曲线上,∴ 2 - 2 =1,a=b,

a

b

∴c= 2a,e= = 2.故选 D.]

c a

7

[思想与方法] 1.求双曲线标准方程的主要方法: (1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出 a ,b ,得双曲线方程. (2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论 或恰当设置简化讨论. ①若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为 Ax +By =1(AB<0). ②当已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b x -
2 2 2 2 2 2

a2y2=λ (λ ≠0).
③与双曲线 2- 2=1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0). 2. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程, 只需将双曲线的标准方程中“1”改 为“0”即可. [易错与防范] 1.区分双曲线中 a,b,c 的关系与椭圆中 a,b,c 的关系,在椭圆中 a =b +c ,在双 曲线中 c =a +b . 2.双曲线的离心率大于 1,椭圆的离心率 e∈(0,1).求它们的离心率,不要忽视这一 前提条件,否则会产生增解或扩大取值范围. 3.直线与双曲线有一个公共点时,不一定相切,也可能直线与渐近线平行.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

8


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