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数学必修二第一章空间几何体测试题


第一章空间几何体检测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题正确的是( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 2.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3.给出四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱;④长方体一定是正四棱柱. 其中正确命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.如图 1?1 是一幅电热水壶的主视图,它的俯视图是( )

图 1?1 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 6.两个球的体积之和为 12π ,且这两个球的大圆周长之和为 6π ,那么这两球半径之差是( ) 1 A. B.1 C.2 D.3 2 7.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧且相距是 1,那么这个球的 半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 8.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现又沿该正方体的一些棱将 正方体剪开、外面朝上展平,得到如图 1?2 所示的平面图形,则标“△”的面的方位是( ) A.南 B.北 C.西 D.下 9.图 1?3 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(

)

图 1?3

图 1?2

A.32π B.16π C.12π D.8π 图 1?4 10.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,如图 1?4.若将△ABC 绕 BC 旋转一周,则所形成的旋 转体的体积是( ) 9 7 5 3 A. π B. π C. π D. π 2 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.正三棱柱的底面边长为 2,高为 2,则它的体积为__________. 12.圆台的高是 12 cm,上、下两个底面半径分别为 4 cm 和 9 cm,则圆台的侧面积是__________. 13.已知四棱锥 P?ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=8,则该四棱锥的体 积是________. 14.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间内,若两个 正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为__________.
1

三、解答题(共 80 分) 15.(12 分)圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD,求圆柱的侧面上从 A 到 C 的最短距离.

16.(12 分)如图 1?5,设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是 0.85 m,底面的边长是 1.5 m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到 0.1 m2)?

图 1?5 17.(14 分)如图 1?6 是一个奖杯的三视图.求这个奖杯的体积(精确到 0.01 cm3).

图 1?6 18.(14 分)如图 1?7,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA1=8.若侧面 AA1B1B 水平放置时,液面恰 好过 AC,BC,A1C1 的中点,则当底面 ABC 水平放置时,液面的高为多少?

图 1?7 19.(14 分)如图 1?8,已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

图 1?8

20.(14 分)如图 1?9,在正四棱台内,以小底为底面,大底面中心为顶点作一内接棱锥.已知棱台小底 面边长为 b,大底面边长为 a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高,并指出 有解的条件. 图 1?9

2

第一章自主检测 1.D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 解析:如图 D60,设球的半径是 r,则 π ·BD2=5π ,π ·AC2=8π ,∴BD2=5, AC2=8.又 AB=1,设 OA=x.∴x2+8=r2,(x+1)2+5=r2.解得 r=3. 8.B 9.C 1 5 10 . D 解析: 旋转体 的体积就是一个大 圆锥 体积减去一个小圆 锥的 体积, ·π ·( 3)2× - 3 2 1 3 2 ·π ·( 3) ×1= π . 3 2 11.2 3 12.169π cm 13.96 14.1∶8 15.解:如图 D61,由圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形,知:圆柱高 CD 为 5 cm,底面半径为 2.5 cm, 底面周长为 5π cm,则 AD 为 2.5π cm,圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离即是矩形 ABCD 的对角线长为 5 52+ π 2= π 2+4 (cm). 2 ?1 2 2? 16.解:SE= 0.852+0.752.所需铁板面积为 S=4×? ×1.5× 0.85 +0.75 ?≈3.4(m2). ?2 ? 17.解:由三视图可以得到奖杯的结构,底座是一个正四棱台,杯身是一个长方体,顶部是球体. 1 V 正四棱台= ×5×(152+15×11+112)≈851.667(cm3),V 长方体=18×8×8=1152(cm3), 3 4 V 球= π ×33≈113.097(cm3),所以,这个奖杯的体积为 V=V 正四棱台+V 长方体+V 球≈2116.76(cm3). 3 1 3 3 18.解:当侧面 AA1B1B 水平放置时,纵截面中水液面积占 1- = ,所以水液体积与三棱柱体积比为 . 4 4 4 3 当底面 ABC 水平放置时,液面高度为 8× =6. 4 19.解:(1)设内接圆柱底面半径为 r.其轴截面如图 D62. r H-x R S 圆柱侧=2π r·x. ①∵ = ,∴r= (H-x). ②
2

H H R 2π R ②代入①,得 S 圆柱侧=2π x· (H-x)= (-x2+Hx)(0<x<H). H H H?2 H2? 2π R 2π R? ? 2 (2)S 圆柱侧= (-x +Hx)= ?-?x-2? + 4 ?, H H ? ? ? ? H π RH ∴x= 时,S 圆柱侧最大= .
2 2

R

20.解:如图 D63,过高 OO1 和 AD 的中点 E 作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高 EE1 和棱锥的斜高 EO1. 设 OO1=h,所以 1 S 锥侧= ·4b·EO1=2bEO1, 2 1 S 台侧= (4a+4b)·EE1=2(a+b)·EE1.所以 2bEO1=2(a+b)EE1. ① 2 由于 OO1E1E 是直角梯形,其中 OE= ,O1E1= . 2 2
2 2 2 2 2 由勾股定理,有 EE2 1=h +? - ? ,EO1=h +? ? . ?2 2? ?2?

b

a

?a b?

?b?



①式两边平方,把②代入,得 b2?h + ?=(a+b)2?h2+? - ?2?. 4? ? ? ?2 2 ? ?
2

?

b2?

?

?a b ? ?

b2-a2 1 a b2-a2 ,所以 h= . a+2b 2 a+2b 显然,由于 a>0,b>0,所以此题当且仅当 a< 2b 时才有解.
解得 h =
2

a

3


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