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江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试数学文试题 Word版含答案


江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试

文科数学
2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上)

1. 已知集合 A ? {1, 2} , B ? {2, 3} ,则 A ? B ?





2. 若复数 z ?

1 a?2

? ( a ? 4 ) i , ( a ? R ) 是实数,则 a ?
2





3. 已知某一组数据 8, 9,1 1,1 2, x ,若这组数据的平均数为 10,则其方差为





4. 若以连续掷两次骰子得到的点数 m , n 分别作为点 P 的横、纵坐 标,则点 P 在直线 x ? y ? 4 上的概率为 ▲ .

5. 运行如图语句,则输出的结果 T=





T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T

6. 若抛物线 y ? 8 x 的焦点与双曲线
2

x

2

? y ? 1 的右焦点重合,
2

m

则双曲线的离心率为




2 3 2

7. 已知一个圆锥的底面圆的半径为 1, 体积为 8. 将函数 f ( x ) ? 2 s in ( ? x ? 图象,若 y ? g ( x ) 在 [ ?
?
6

? , 则该圆锥的侧面积为
?
3?





?
3 ,

), ( ? ? 0 ) 的图象向左平移

个单位得到函数 y ? g ( x ) 的 ▲ .

?
4

] 上为增函数,则 ? 最大值为

?x ? y ? 2 ? 9. 已知 O 是坐标原点,点 A ( ? 1,1) ,若点 M ( x , y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?

则 O A ?O M 的取值范围是

??? ???? ? ?





2 3 ? ,且 a 1, a 2, a 3 成公 10. 数列 { a n } 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? cn ( c 是常数, n ? 1,,, )

比不为 1 的等比数列,则 { a n } 的通项公式是 11. 若对任意 x ? R ,不等式 3 x ? 2 a x ? x ?
2



. ▲ .

3 4

恒成立,则实数 a 的范围

12. 函数 f ( x ) ? ?

? lo g

4

x, x ? 0

? cos x, x ? 0

的图象上关于原点 O 对称的点有



.对.

13. 在平面直角坐标系 x O y 中,已知点 A 是椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上的一个动点,点 P 在线段

25

9

??? ??? ? ? O A 的延长线上,且 O A ? O P ? 7 2 ,则点 P 横坐标的最大值为
2 | x |?x
3 3





14. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x ) ? ? x 与函数 g ( x ) ?
3

引不是水平方向的切

线 l1 和 l 2 ,两切线 l1 、 l 2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△ OAB 的 面积为 S 1 ,△ OAC 的面积为 S 2 ,则 S 1 + S 2 的最小值为 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分 14 分)
?
2

已知函数 f ( x ) ? 2 3 s in x ? s in ( (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

? x ) ? 2 c o s (? ? x ) ? c o s x ? 2 .

(2)在 ? ABC 中,a , b , c 分别是 ? A、? B、? C 的对边,若 f ( A ) ? 4 ,b ? 1 ,? ABC 的面积为
3 2

,求 a 的值.

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在 直线 A1B 上.

(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1; (2)若 AD
? 3

,AB=BC=2,P 为 AC 中点,求三棱锥 P ? A1 B C 的体积。

17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设, 每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元, 其中用于风景区改 造为 y 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:① 每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加; ②每年改造生态环境总费 用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用 的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 ,b ? 2 .5 ,请你分析能否采用函数模型 y= 改造投资方案; (2)若 a 、b 取正整数,并用函数模型 y= 请你求出 a 、 b 的取值.
1 100 ( x ? 4 x ? 1 6 ) 作为生态环境改造投资方案,
3

1 100

( x ? 4 x ? 1 6 ) 作为生态环境
3

18. (本小题满分 15 分) 椭圆 C 的右焦点为 F ,右准线为 l ,离心率为 为半径的圆与 l 的两个公共点是 B , D . (1)若 ? F B D 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方程; (2)若 A , F , B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距离为 2 ,求椭圆方程.
3 2

,点 A 在椭圆上,以 F 为圆心, F A

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ln x , g ( x ) ? ln x ? (1)求函数 g ( x ) 的极值;
f ( x ) ? f ( x1 ) x ? x1
x1 ? x 2 2

a x

, a ? 0) ( .

(2)已知 x1 ? 0 ,函数 h ( x ) ?

, x ? ( x1 , ? ? ) ,判断并证明 h ( x ) 的单调性;

(3)设 0 ? x1 ? x 2 ,试比较 f (

)与

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ,并加以证明.

20. (本小题满分 16 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a 1 , a 2 , ? ? ?, a n 为 n ( n ? 2, 3, 4, ? ) 阶“期待数列”: ① a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 0 ;② a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 1 . (1)若等比数列 { a n } 为 2 k ( k ? N * )阶“期待数列”,求公比 q ; (2)若一个等差数列 { a n } 既是 2 k ( k ? N * )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项 公式; (3)记 n 阶“期待数列” { a i } 的前 k 项和为 S k ( k (ⅰ)求证: | S k |?
1 2 1 2
? 1, 2, 3, ? , n )



; ,试问数列 { S i } 能否为 n 阶“期待数列”?若

(ⅱ)若存在 m ? {1, 2, 3, ? , n } 使 S m ?

能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

参考答案
2013.05 1. ?1, 2, 3? 2. ? 2 3. 2 4.
1 12

5.625

6.

2 3 3

7. 3 ?

8. 2 11. ? 1 ? a ? 1

9. [0, 2 ] 12.3 13. 1 5

10. a n ? n 2 ? n ? 2

提示:设 O P ? ? O A ( ? ? 1) ,由 O A ? O P ? ? ? O A ? 7 2 ,得 ? ?
xP ? ? ? xA ? 72 xA ? yA
2 2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

72 OA
2


72

? xA =

72 9? 9 25 ? xA ? xA
2 2

? xA = 9?

72 16 25 ? xA
2

? xA =

9 xA

?

16 25


? xA

研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ? x A ? 5 ,
xP ? 72 2? 12 5 ? 1 5 (当且仅当 x A ?
15 4

时取“=”) .

14.8 提示: g ( x ) ?
3

1 x
3

, ( x ? 0 ) ,设两切点分别为 ( m , ? m ) , ( n ,
3
2 2 3

1 n
3

) , m ? 0 ,n ? 0 ) ( ,
3

l1 : y ? m ? ? 3 m ( x ? m ) ,即 y ? ? 3 m x ? 2 m ,令 x ? 0 ,得 y B ? 2 m ;

令 y ? 0 ,得 x ?
l 2 :y ?
1 n
3

2 3

m.
3 n
4

? ? 2 3

3 n
4

(x ? n) , y ? ? 即 4 3 n ,得 m ? 2 n ,

x?

4 n
3

, x ? 0 , yC ? 令 得

4 n
3

; y ? 0, x ? 令 得

4 3

n.

依题意,

m ?

f (n) ? S1 + S 2 =

1 2

(| y B | ? | y C |) ? x A =
2 n
3

1 2
2

(2m ?
3

4 n
3

)?

4 3

n=

8 3

(4n ?
4

1 n
2

),

f '( n ) =

8 3

(1 6 n ?
3

) ,可得当 n ?

时, f ( n ) 有最小值 8.

2

15. 解: (1) f ( x ) ?
?

3 sin 2 x ? 2 co s x ? 2
2

3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 3 ? 2 s in ( 2 x ? 2? 2 ??.

?
6

)?3

······················4 分 ··········· ·········· · ·········· ···········

?T ?

··········· ··········· ·········· ······ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 6 ·········· ··········· ··········· ·····
?
6 ) ? 3 ? 4 ,? sin( 2 A ?

(2)由 f ( A ) ? 4 ,? f ( A ) ? 2 sin( 2 A ?

?
6

)?

1 2

.

又? A 为 ? ABC 的内角,?
? 2A ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 6

? ,

?
6

?

5 6

? ,? A ?

?
3

. ··········· ··········· ········· 分 ··········· ·········· ········· 8 ·········· ··········· ·········

? S ? ABC ?

3 2
2

, b ? 1 ,?

1 2

bc sin A ?

3 2
1 2

,? c ? 2

··········· ····· 分 ··············· 11 ·········· ·····
3 . ··········· ·· 分 ············ 14 ·········· ··

a

2

? b ? c ? 2 b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?
2

? 3 ,? a ?

16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC, ∴A A1⊥BC, ∵AD⊥平面 A1BC, ∴AD⊥BC, ∵A A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, ∴BC⊥平面 ABB1A1, 又∵ B C ? 平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1 ··········· ··········· ·········· ··········· ···· 7 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ·········· ····· (2) 由等积变换得 V P ? A B C ? V A ? P B C ,
1 1

在直角三角形 A1 A B 中,由射影定理( AB ∵ A A1 ? 平 面 P B C , ∴三棱锥的高为 A A1
? 2 3

2

? BD ? BA 1 )知 AA 1 ? 2 3



······························· 10 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ··········

又∵底面积 S ? P B C ? 1 ···································12 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· ∴V P ? A BC ? V A ? PBC =
1 1

1 3

S ? P B C ? A A1 ?

2 3 3

··········· ··········· ·· 分 ······················· 14 ·········· ··········· ··
// A D , P Q ? 1 2 AD

法二:连接 C D ,取 C D 中点 Q ,连接 P Q ,∵P 为 AC 中点,? P Q
? AD ?
3 2

3 ,? P Q ?

,

·································9 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ···········

由(1)AD⊥平面 A1BC,∴ P Q ⊥平面 A1BC, ∴ P Q 为三棱锥 P- A1BC 的高, ····························· 11 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 由(1)BC⊥平面 ABB1A1 ? B C ? B A1 ,? S ? P B C
? V P -A ? 2 3 3

? 4

················ 12 分 ··········· ····· ·········· ······

1B C

,····································· 14 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ·····

17.解: (1)∵ y ' ? ∴函数 y= 设 g (x) ?
y x

1 100

(3 x ? 4 ) ? 0 ,
2

1 100
?

( x ? 4 x ? 1 6 ) 是增函数,满足条件①。 ················· 分 ··········· ····· 3 ·········· ······
3

1 100

(x ? 4 ?
2

16 x

),
2

则 g '( x ) ?

1 100

(2 x ?

16 x
2

) ?

( x ? 2 )( x ? 2 x ? 4 ) 50 x
2



令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( ? ? , 2 ) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( 2, ? ? ) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 2 .5 ,即 x ? [ 2 , 2 .5 ] , g ( x ) 在 [ 2 , 2 .5 ] 上是增函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x ) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 x ? 2 .5 时, g ( x ) 有最大值 0.1665=16.65%<22%, ∴能采用函数模型 y= (2)由(1)知 g ( x ) ?
y x ? 1 100 1 100 (x ? 4 ?
2

( x ? 4 x ? 1 6 ) 作为生态环境改造投资方案。 ········9 分 ········ ·······
3

16 x

),

依题意,当 x ? [ a , b ] , a 、 b ? N * 时, 1 5 % ? g ( x ) ? 2 2 % 恒成立; 下面求 1 5 ? x ? 4 ?
2

16 x

? 2 2 的正整数解。

令 h(x) ? x ? 4 ?
2
*

16 x

, ································· 12 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· ·

由(1)知 x ? N , h ( x ) 在 ( ? ? , 2 ) 上是减函数,在 ( 2, ? ? ) 上是增函数, 又由(1)知,在 x ? 0 时, g ( x ) m in ? g ( 2 ) ,且 g ( 2 ) =16%∈[15%,22%],
? x ? 2 合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈[15%,22%],

而 g ( 4 ) ? [15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 , 由 g ( x ) 单调性知 a ? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2 , b ? 3 均合题意。 ········· 分 ········ 15 ········

18.解:设椭圆的半长轴是 a ,半短轴是 b ,半焦距离是 c ,

由椭圆 C 的离心率为

3 2

,可得椭圆 C 方程是

x

2 2

?

y b

2 2

? 1 , ·············2 分 ··········· ·· ·········· ··

4b

(只要是一个字母,其它形式同样得分, ) 焦点 F ( 3 b , 0 ) ,准线 x ?
4b 3

,设点 A ( x 0 , y 0 ) ,

(1) ? F B D 是边长为 2 的等边三角形, 则圆半径为 2 ,且 F 到直线 l 的距离是 3 , 又 F 到直线 l 的距离是 F M ?
a
2

?c ?

b

2

?

b 3



c

c

所以,

b 3

?

3 ,b ? 3 ,

所以 c ? 3 3 所以,圆的方程是 ( x ? 3 3 ) ? y ? 4 。 ························· 分 ··········· ·········· ··· 6 ·········· ··········· ···
2 2

(2)因为 A , F , B 三点共线,且 F 是圆心,所以 F 是线段 A B 中点,
4b 3
x0 4b
2 2

由 B 点横坐标是

得, x 0 ? 2 c ?

a

2

? 2 3b ?

4 3

3b ?

2 3

3 b , ·········· 8 分 ·········· ··········

c
2

再由

?

y0 b

2

2

? 1 得: y 0 ? b ?
2 2

x0 4

?

2 3

b , y0 ?
2

6 3

b,

6

所以直线 m 斜率 k ?

y0 x0 ? c

b ? ? 3b

? ?

3 3

··········· ·········· · ·········· ··········· 2 ······················10 分

直线 m : y ? ? 2 ( x ? c ) , 2 x ? y ?
2c 3

2 c ? 0 ···················· 12 分 ··········· ········· ·········· ··········

原点 O 到直线 m 的距离 d ?



依题意

2c 3

? 2 ,c ?

6 ,所以 b ?

2 ,

所以椭圆的方程是

x

2

?

y

2

? 1 . ···························· 15 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

8

2

19.解: (1) g '( x ) ?

1 x

?

a x
2

?

x?a x
2

,令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? a .

当 x ? (0 , a ) 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 是减函数; 当 x ? ( a , ? ? ) 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 是增函数. ∴当 x ? a 时, g ( x ) 有极小值 ln a ? 1 , g ( x ) 无极大值.················ 分 ··········· ···· 4 ·········· ·····
f '( x )( x ? x1 ) ? f ( x ) ? f ( x1 ) ( x ? x1 )
2

(2) h '( x ) ?

(1 ?

1 x

)( x ? x1 ) ? x ? ln x ? x 1 ? ln x 1 ( x ? x1 )
x1 x
2

x1

=

=

x

? ln x ? 1 ? ln x1 ( x ? x1 )
2



由(1)知 ? ( x ) ?

? ln x 在 [ x1 , ? ? ) 上是增函数,

当 x ? ( x1 , ? ? ) 时, ? ( x ) ? ? ( x1 ) ,
x1 x ? ln x ? 1 ? ln x1 ,



∴ h '( x ) ? 0 ,即 h ( x ) 在 ( x1 , ? ? ) 上是增函数. ····················· 分 ···················· 10 ·········· ·········· (3) 0 ? x1 ? x ? x 2 ,由(2)知, h ( x ) ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 f ( x ) ? f ( x1 ) x ? x1

f ( x ) ? f ( x1 ) x ? x1

在 ( x1 , ? ? ) 上是增函数,



?



令x ?

x1 ? x 2 2

得, f (

x1 ? x 2 2

)?

1 2

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] . ·················· 分 ················· 16 ·········· ·······

20.解: (1)若 q ? 1 ,则由① a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ? 由②得 a 1 ?
1 2k

a 1 (1 ? q 1? q

2k

)

=0,得 q ? ? 1 ,

或 a1 ? ?

1 2k



若 q ? 1 ,由①得, a 1 ? 2 k ? 0 ,得 a 1 ? 0 ,不可能. 综上所述, q ? ? 1 . (2)设等差数列 a1 , a 2 , a 3 , ? , a 2 k ( k ? 1) 的公差为 d , d >0.

∵ a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ? 0 ,∴ ∴ a1 ? a 2 k ? a k ? a k ? 1 ? 0 ,

2 k ? ( a1 ? a 2 k ) 2

? 0,

∵ d >0,由 a k ? a k ? 1 ? 0 得 a k ? 0 , a k ? 1 ? 0 , 由题中的①、②得 a 1 ? a 2 ? ? ? a k ? ?
1 2 1 2

, ,

a k ?1 ? a k ? 2 ? ? ? a 2 k ?

两式相减得, k ? d ? 1 ,
2

∴d ?
1 2

1 k
2


2k ? 1 2k 1 k
2 2

又 a1 ? k ?

k ( k ? 1) 2

?d ? ?

,得 a 1 ? ?
? ( i ? 1) ?

, .

∴ a i ? a 1 ? ( i ? 1) ? d ? ?

2k ? 1 2k
2

?

?2k ? 1 ? i 2k
2

(3)记 a 1 , a 2 ,…, a n 中非负项和为 A ,负项和为 B , 则 A ? B ? 0 , A ? B ? 1 ,得 A ? (ⅰ) ?
1 2 ? B ? Sk ? A ? 1 2

1 2

,B ? ?
1 2

1 2



,即 | S k |?
1 2



(ⅱ)若存在 m ? {1, 2, 3, ? , n } 使 S m ?

,由前面的证明过程知:

a 1 ? 0 , a 2 ? 0 ,…, a m ? 0 , a m ? 1 ? 0 , a m ? 2 ? 0 ,…, a n ? 0 ,

且 a m ?1 ? a m ? 2 ? … ? a n ? ? 记数列 { S i }

1 2

. 项和为 T k ,

( i ? 1, 2, 3, ? , n ) 的前 k

则由(ⅰ)知, | T k |?

1 2


1 2

∴ T m = S1 ? S 2 ? ? ? S m ?

,而 S m ?

1 2


1 2

∴ S 1 ? S 2 ? ? ? S m ? 1 ? 0 ,从而 a1 ? a 2 ? ? ? a m ? 1 ? 0 , a m ? 又 a m ?1 ? a m ? 2 ? … ? a n ? ? 则 S m ?1 , S m ? 2 , ? , S n ? 0 , ∴ S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ,
1 2





S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 0 与 S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 1 不能同时成立,

所以, 对于有穷数列 a 1 , a 2 , ? ? ?, a n ( n ? 2, 3, 4, ? ) , 若存在 m ? {1, 2, 3, ? , n } 使 S m ? 则数列 { a i } 和数列 { S i }
( i ? 1, 2, 3, ? , n ) 不能为 n

1 2



阶“期待数列”.

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