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2018高考数学异构异模复习第十二章概率与统计12.2.2离散型随机变量及其分布列均值与方差撬题理


2018 高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 12.2.2 离 散型随机变量及其分布列、均值与方差撬题 理
1.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3),从乙 盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξ i(i=1,2); (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2). 则( ) A.p1>p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) B.p1<p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) C.p1>p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) D.p1<p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) 答案 A 解析 当 i=1 时, 若从乙盒中抽取的 1 个球为红球, 记从甲盒中取 1 个球是红球的事件 为 A1,则 P(A1)=

m

m+n

.

1 若从乙盒中抽取的 1 个球为蓝球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 A2,则 P(A2)= 2 ×

n n n+2m = , 而 A1 与 A2 互斥, 则 p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= .此时, ξ m+n 2?m+n? 2?m+n?

1

的取值为 1 或 2, P(ξ 1=1)=

n m n m n+2m , P(ξ 1=2)= , 则 E(ξ 1)=1× +2× = . m+n m+ n m+n m+n m+n

当 i=2 时,若从乙盒中抽取的 2 个球都为红球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B1, 则 P(B1)= Cm 2 . Cm+n
1 1 2

若从乙盒中抽取的 2 个球为 1 个红球和 1 个蓝球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 2 CmCn B2,则 P(B2)= × 2 . 3 Cm+n 若从乙盒中抽取的 2 个球都是蓝球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B3,则 P(B3) 1 Cn 3Cm+2CmCn+Cn = × 2 .因为 B1, B2, B3 互斥, 则 p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)= = 2 3 Cm+n 3Cm+n 3m -3m+4mn+n -n ?n+3m??m+n-1? 3m+n n = = .则 p1-p2= >0, 即有 3?m+n??m+n-1? 3?m+n??m+n-1? 3?m+n? 6?m+n?
2 2 2 2 1 1 2

p1>p2.此时, ξ 2 的取值为 1,2,3.P(ξ 2=1)=
2 1 1 2 2 1 1

Cn CmCn Cm , P(ξ 2=2)= 2 , P(ξ 2=3)= 2 , 则 E(ξ 2) 2 Cm+n Cm+n Cm+n

2

1 1

2

=1×

Cn CmCn Cm Cn+2CmCn+3Cm n+3m = =3p2= , 则有 E(ξ 1)<E(ξ 2), 综上, p1>p2, 2 +2× 2 +3× 2 2 Cm+n Cm+n Cm+n Cm+n n+m

2

E(ξ 1)<E(ξ 2),故选 A.
1 2.随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1,则 D(ξ )=________. 5

1

答案

2 5

4 1 ?4 ? 解析 设 P(ξ =1)=p,则 P(ξ =2)= -p,从而由 E(ξ )=0× +1×p+2×? -p?= 5 5 ?5 ? 3 1 3 1 2 2 2 2 1,得 p= .故 D(ξ )=(0-1) × +(1-1) × +(2-1) × = . 5 5 5 5 5 3.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量 为 100 的样本进行统计,结果如下:

T(分钟)
频数(次) (1)求 T 的分布列与数学期望 E(T);

25 20

30 30

35 40

40 10

(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校 区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 解 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为

T(分钟)
频率 以频率估计概率得 T 的分布列为

25 0.2 25 0.2 30 0.3

30 0.3 35 0.4

35 0.4 40 0.1

40 0.1

T P

从而 E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟). (2)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.设 事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”, 由于讲座时间为 50 分钟, 所以事件 A 对应 于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”. 解法一: P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25, T2≤45)+P(T1=30, T2≤40)+P(T1=35, T2≤35) +P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. 解法二:P( A )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2 =40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故 P(A)=1-P( A )=0.91. 4.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自 甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手, 且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解 (1)由已知,有 C2C3+C3C3 6 = . 4 C8 35 6 . 35
2
2 2 2 2

P(A)=

所以,事件 A 发生的概率为

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

P(X=k)=

C5C3 4 (k=1,2,3,4). C8

k 4-k

所以,随机变量 X 的分布列为

X P

1 1 14

2 3 7

3 3 7

4 1 14

1 3 3 1 5 随机变量 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 14 7 7 14 2 5.已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件 产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望). 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, A2A3 3 , 2 = A5 10 A2 A5
3 2 1 1

P(A)=

(2)X 的可能取值为 200,300,400.

P(X=200)= 2= , P(X=300)=
A3+C2C3A2 3 = , 3 A5 10 1 10 3 6 10 10
1 1 2

1 10

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1- - = .
故 X 的分布列为

X P
1 10 3 10

200 1 10 6 10

300 3 10

400 6 10

E(X)=200× +300× +400× =350.
6.李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立): 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 投篮次数 22 15 12 23 24 命中次数 12 12 8 8 20 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5 投篮次数 18 13 21 18 25 命中次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一

3

场不超过 0.6 的概率; (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这 场比赛中的命中次数,比较 E(X)与 x 的大小.(只需写出结论) 解 (1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,

分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”, 事件 B 为 “在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一 个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6”. 则 C=A B ∪ A B,A,B 独立. 3 2 根据投篮统计数据,P(A)= ,P(B)= . 5 5

P(C)=P(A B )+P( A B)= × + × = .
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不 13 超过 0.6 的概率为 . 25 (3)E(X)= x . 7.设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4, 各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 解 设 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2,

3 3 2 5 5 5

2 13 5 25

B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:丁需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2·B+A2· B ·C.
2 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci 2×0.5 ,i=0,1,2,

所以 P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2· B ·C) =P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2· B ·C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( B )P(C) =0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,其分布列为

P(X=0)=P( B ·A0· C )=P( B )P(A0)P( C )=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06, P(X=1)=P(B·A0· C + B ·A0·C+ B ·A1· C )

4

=P(B)P(A0)P( C )+P( B )P(A0)P(C)+P( B )P(A1)P( C ) = 0.6×0.5 ×(1 - 0.4) + (1 - 0.6)×0.5 ×0.4 + (1 - 0.6)×2×0.5 ×(1 - 0.4) = 0.25,
2 2 2

P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38, 数学期望 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)= 0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2. 8.盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随 机变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数.求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 解
2 4 2 3 2 9

(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,所以 P=
2

C +C +C2 6+3+1 5 = = . C 36 18 (2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4, C4 1 {X=4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)= 4= ; C9 126 {X=3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球,或 3 个黄球 C4C5+C3C6 20+6 13 和 1 个其他颜色的球”,故 P(X=3)= = = ; 4 C9 126 63 13 1 11 于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1- - = . 63 126 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表:
3 1 3 1 4

X P

2 11 14

3 13 63

4 1 126

11 13 1 20 因此随机变量 X 的数学期望 E(X)=2× +3× +4× = . 14 63 126 9 9.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客 从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客 所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元, 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由.
5



(1)设顾客所获的奖励额为 X.
1 1

C1C3 1 ①依题意,得 P(X=60)= 2 = , C4 2 1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 . 2 ②依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 2 C3 C4
2

P(X=60)= ,P(X=20)= 2= ,
即 X 的分布列为

1 2

X P

20 0.5

60 0.5

所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以,先寻找期望为 60 元的可能 方案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面 值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面 值之和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方 案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为

X1 P
1 6

20 1 6 2 3 1 6

60 2 3

100 1 6

X1 的期望为 E(X1)=20× +60× +100× =60, X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2× +(60-60)2× +(100-60)2× =
1 6 2 3 1 6 1600 . 3

对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为

X2 P
1 6

40 1 6 2 3 1 6

60 2 3

80 1 6

X2 的期望为 E(X2)=40× +60× +80× =60, X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2× +(60-60)2× +(80-60)2× =
1 6 2 3 1 6 400 . 3

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以 应该选择方案 2. 10.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水

6

库年入流量 X(年入流量: 一年内上游来水与库区降水之和, 单位: 亿立方米)都在 40 以上. 其 中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 解 10 35 (1)依题意, p1=P(40<X<80)= =0.2, p2=P(80≤X≤120)= =0.7, p3=P(X>120) 50 50 40<X<80 80≤X≤120

X>120

5 = =0.1. 50 由二项分布, 在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p=C4(1-p3) +C4(1
0 4 1

? 9 ?4 ? 9 ?3 1 3 -p3) p3=? ? +4×? ? × =0.9477. 10 ? ? ?10? 10
(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故 1 台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5000,

E(Y)=5000×1=5000.
②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,1 台发电机运行,此时 Y=5000-800=4200,因此 P(Y=4200) =P(40<X<80) =p1=0.2; 当 X≥80 时,2 台发电机运行,此时 Y=5000×2=10000,因此 P(Y=10000)=P(X≥80) =p2+p3=0.8;由此得 Y 的分布列如下:

Y P
③安装 3 台发电机的情形.

4200 0.2

10000 0.8

所以 ,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. 依题意,当 40<X<80 时,1 台发电机运行,此时 Y=5000-1600=3400,因此 P(Y=3400) =P(40<X<80)=p1=0.2; 当 80≤X≤120 时, 2 台发电机运行, 此时 Y=5000×2-800=9200, 因此 P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7; 当 X>120 时, 3 台发电机运行, 此时 Y=5000×3 =15000,因此 P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得 Y 的分布列如下

Y P

3400 0.2

9200 0.7

15000 0.1

所以,E(Y) =3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台.

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