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高二数学学业水平测试题


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1.已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程;

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(Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 y 轴相切于 (0,3) 点,求圆 C 的方程.

2 .( 本 小 题 满 分

12

分 )

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 ,

?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? ,
PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 .

(1)求证: CE ∥平面 PAB ;

(2)求四面体 PACE 的体积.

试卷第 1 页,总 6 页

3.已知数列 {an } 与 {bn } ,若 a1 ? 3 且对任意正整数 n 满足 an ?1 ? an ? 2, 数列 {bn } 的 前 n 项和 S n ? n 2 ? an .

(1)求数列 {an }{ (5 分) (2)求数列 ? , bn } 的通项公式;

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . (7 分) ? bn bn ?1 ?

4.已知圆 M: (x﹣1) +(y﹣1) =4,直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A,B 两点, 且|AB|=2 ,求直线 l 的方程.

2

2

5. (本题满分 12 分) 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , ?ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , , 分别为 B1 A, C1C , BC 的中点, AB ? AA 1 ? 2 D,E,F
A1 B1 D E C1
?BAC ? 900

,且

A B

F

C

(1)求证: DE //平面 ABC ; (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (3)求点 E 到平面 AB1 F 的距离。

试卷第 2 页,总 6 页

6. (本小题共 13 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且 f ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 ?

?π? ? ? 4. ?6?

π π ? x ? 时,求函数 f ? x ? 的值域. 4 3

7. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 经过坐标原点, 且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切,切点为

A? 2, 4? .
(1)求圆 C 的方程; (2)若斜率为 ?1 的直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 M、N , 求 AM ? AN 的取值范围..

8.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)若 E , F 分别为 PC , BD 中点,求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: PA ? CD ; (Ⅲ)若 PA ? PD ?

2 AD ,求证:平面 PAB ? 平面 PCD . 2
P

B

E F

A

C

D

试卷第 3 页,总 6 页

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=49,a4 和 a8 的等差中项为 2. (1)求 an 及 Sn; (2)证明:当 n≥2 时,有

1 1 1 7 ? ? ... ? ? . S1 S2 Sn 4

10.已知圆 C 与 x 轴的交点分别为 A(﹣1,0) ,B(3,0) ,且圆心在直线 2x﹣y=0 上. (I)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求与圆 C 相切于点 B(3,0)的切线方程; (Ⅲ)若圆 C 与直线 y=x+m 有公共点,求实数 m 的取值范围.

11. (本题满分 10 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E , F 分别是 AD, DD1 的中点,

AB ? BC ? 2 , A1 A ? 2 2 .
(Ⅰ)求证: EF //平面 A1 BC1 ; (Ⅱ)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A1 P 与 C1 D 垂直, 如果存在,求线段 A1 P 的长,如果不存在,请说明理由. D A
1 1

C B1 F
1

E A

D B

C

试卷第 4 页,总 6 页

12. (本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 满足 (a n ?1 ? 1)(a n ? 1) ? 3(a n ? a n ?1 ) , a1 ? 2 , 令 bn ?

1 . an ? 1

(Ⅰ)证明:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式.

13.已知圆 C 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,点 A(2, 2) . (1)直线 l1 过点 A ,且与圆 C 相交所得弦长最大,求直线 l1 的方程; (2)直线 l2 过点 A ,与圆 C 相切分别交 x 轴, y 轴于 D, E ,求 ?ODE 的面积.

14.已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (Ⅰ)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (Ⅱ)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB= 2 2 ,求直线 l 的方程.

2

2

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15.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 5t ? 0 ,直线 l : x ? 3 y ? 15 ? 0 . (1)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 10 ,求实数 t 的值; (2)当 t ? 1 时,由直线 l 上的动点 P 引圆 C 的两条切线,若切点分别为 A , B ,则在 直线 AB 上是否存在一个定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

试卷第 6 页,总 6 页


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