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§4.1.1圆的标准方程


§4.1.1圆的标准方程

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§4.1.1圆的标准方程

在平面直角坐标系中,两点确定一条直线, 一点和倾斜角也能确定一条直线.

在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?

2013-8-15

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§4.1.1圆的标准方程

平面内到定点的距离等于定长的点的集合.

C

·

r

定点 定长

圆心 半径

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§4.1.1圆的标准方程

当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定 了.因此一个圆最基本要素是圆心和半径.

如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用 坐标(a,b)表示,半径 r 的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离.

y

M(x,y)

O

C

x

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§4.1.1圆的标准方程

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

标准方程
特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2
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§4.1.1圆的标准方程

圆的标准方程

已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解:设点M (x,y)为圆C上任一点, y 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O

M(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

C

x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2
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§4.1.1圆的标准方程

在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,如何判断点M在圆外、圆上、 圆内? y 1.点M在圆外,|MC|>r M (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; 2.点M在圆上,|MC|=r

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
3.点M在圆内,|MC|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
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O

C

x

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§4.1.1圆的标准方程

例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方程, 5 ,?1) 并判断点 , 1 (5,?7) M 2 (? 是否在这个圆上. M

圆心是 程是 解:

A,半径长等于5的圆的标准方 (2,?3) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

把 M 1的坐标代入圆的方程,左右两边相等,点 (5,?7) 的坐标适合圆的方程,所以点 在这个圆上; M1 M1 把点 的坐标代入方程,左右两边不相等, M 2 (? 5 ,?1) 点 的坐标不适合圆的方程,所以点 不在这个 圆 上. M2 M2

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例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) ,求它的外接圆的方程. 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足圆的方程,于是
?(5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? ( 7 ? a ) 2 ? ( ?3 ? b ) 2 ? r 2 ? ?(2 ? a ) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
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§4.1.1圆的标准方程

解此方程组,得
?a ? 2, ? ?b ? 3, ?r 2 ? 25 . ?

? 的外接圆的方程是 所以, ABC
( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

结论:在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标可以确定一个圆的方程

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例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆 心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C 的圆的标准方 程. 分析:如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半径 大小.圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆 心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线 上.又圆心C 在直线l 上,因此圆心C l' 是直线 l 与直线 的交点,半径长等于|CA|或|CB|. l'

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解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点 3 1 D的坐标 ( ,? ) ,直线AB的斜率
2 2

k AB

? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1
'

y

l A

因此线段AB 的垂直平分线 l 的方程是

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y ? 3 ? 0

C

o
B

x

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§4.1.1圆的标准方程

圆心C 的坐标是方程组
?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0

? x ? ?3, 的解.解此方程组,得 ? ? y ? ?2 .

所以圆心C 的坐标是 (?3,?2) 圆心为C 的圆的半径长
r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5

所以,圆心为C 的圆的标准方程是
( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25
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§4.1.1圆的标准方程

小结
1.圆的标准方程的结构特点.

2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法.

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§4.1.1圆的标准方程

书面作业
<<教材>> P.120-121 练习:1,2,3,4

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