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高一数学必修二


一、平面的特点:
(1)“平”;(2)“无限延展”; (3) “无厚薄”;(4)“无大小”;(5) “无宽窄”

二:平面的表示
记作:平面? 平面 ABCD

D A

?

C B

平面AC或平面BD

三、空间中几种位置关系

/>1、点与直线的位置关系
(1)点A在直线l上: (2)点A在直线l外:

A?l

A?l

记作:

2、点与平面的位置关系
点A在平面 ? 内: 记作 A ? ? . 点B在平面 ?外: 记作B ? ? .

3、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 平行直线

按平面基本性质分
不同在任何一个平面内: 异面直线

按公共点个数分

有一个公共点: 相交直线
无 公 共 点 平行直线

异面直线

4、直线与平面的位置关系
直线a在平面?内
有无数个公共点

?

a a

a ?α
a? α ? A

直线a 与平面α相交
有且只有一个公共点

A ?

直线a与平面α平行
没有公共点

a

?

a //α

其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

5、两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交

有一条公共直线
α∩β=a

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这 条直线在此平面内。 作用:判定直线是否在平面内.

公理2
推论1 推论2 推论3 公理3

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平 面. 作用:确定平面的主要依据.
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有 一个平面。 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们有且只有一条过该点的公共直线.

作用:(1)判断两个平面相交的依据; (2)判断点在直线上。

1.如果三个平面两两相交,那么它们的 交线有多少条?画出图形表示你的结论。

答:有可能1条,也有可能3条交线。

( 1)

( 2)

2、 3个平面把空间分成几部分?

( 1)

4

( 2)

6

( 3)

6

( 4)

7

( 5)

8

1.异面直线: 证明异面直线时常用反证法。
定义:不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.

2.判断直线与平面平行的方法: (1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行 a ??? ? b ? ? ? ? a / /?
a / /b ? ?

? 线面平行);
b

a

?

3. 直线与平面平行的性质定理:线面平行 β
? ? ? ? ? b? ? ? a / /b ? a / /? ? a ??

线线平行 a b

α

4. 判断平面与平面平行的方法: 关键是找平行线

法一:三角形的中位线定理; 法二:平行四边形的平行关系。
(1)定义法:平面与平面没有公共点则面面平行;

(2)判定定理:线线平行?线面平行?面面平行

a ? ? ,b ? ? ? ? a?b ? P ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?

b
?
P

a

?

5. 平面与平面平行的性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行. ? / / ? , a ? a ? a / / ?

⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线平行. ? / / ? ,? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a / /b
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么 它也和另一个平面相交. ? / / ? , a ? ? ? A ? a ? ? ? B ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等。

?
?

?
?

a
b

a

?

6. 直线与平面垂直的方法:

(1)定义法:直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直。

(2)判定定理:线线垂直?线面垂直

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

l

b

?

A

a

(3)例 1.a / /b, a ? ? ? b ? ?

7. 直线与平面垂直的性质:

β
a b

a ??? ? ? a / /b b ???

α

8. 判断平面与平面垂直的方法: (1)定义法:两个平面相交,如果它们所成的二面 角是直二面角。 (2)判定定理:线线垂直?线面垂直?面面垂直

a?? a ? 面?

β

?? ? ?
α

a A

8. 平面与平面垂直的性质定理: 面面垂直?线面垂直

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ?? a?? ? ? a?l ?

β

a ??
α

a

l

A

例1.? ? ? , a ? ? , a ? ? ? a / /?

1.异面直线所成角:范围
求异面直线所成的角的步骤是:

(0?,90?]

一作(找):作(或找)平行线; 二证:证明所作的角为所求的异面直线所成的角; 三求:在一恰当的三角形中求出角。

2. 直线与平面所成角:范围


[0?,90?]

?

A ? O

注:已知角,要求角, 关键找射影。

3. 二面角:范围
α
A

[0?,180?]

l
β
B

∠AOB即为二面 角α-l-β的平面角。

O

八、补充: 公理4:
等角定理:

在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.

空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补.
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。

等角定理 的推论:


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