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2014年高考数学总复习教案:第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换


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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 6 课时 简单的三角恒等变换(对应学 生用书(文)、(理)51~52 页)

考情分析 灵活掌握公式间的关系,能运用它们进行三 角函数式的化简、求值及恒等式证明.

考点新知 能运用三角函数各种公式进行恒等变换 以及解决综合性问题.

1. (必修 4P115 复习题 7(2)改编)函数 y= 3cos4x+sin4x 的最小正周期为________. π 答案: 2 解 析 : y = 3 cos4x + sin4x = 2( 2π π π 2cos?4x- ?,故 T= = . 4 2 6? ? 4 5 2. 在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC=________. 5 13 16 答案: 65 4 5 π 解析:在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,cosA= >0,cosB= >0,得 0<A< ,0 5 13 2 π 3 12 <B< ,从而 sinA= ,sinB= ,所以 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinA· sinB- 2 5 13 3 12 4 5 16 cosA· cosB= × - × = . 5 13 5 13 65 4 θ 3. (必修 4P113 练习 3(2)改编)已知 cosθ = ,且 270°<θ<360°,则 sin =________, 5 2 θ cos =________. 2 答案: 10 10 3 10 - 10 4 1- 5 10 θ = ;cos =- 2 10 2 π π 3 1 cos4x + sin4x) = 2 ?cos cos4x+sin sin4x? = 2 2 6 ? 6 ?

解析:∵ 270°<θ<360°, θ θ ∴ 135°< <180°.∴ sin = 2 2 4 1+ 5 3 10 =- . 2 10 1-cosθ = 2 1+cosθ 2

=-

3 4. (必修 4P115 复习题 5 改编)已知 sinα = ,α 是第二象限角,且 tan(α+β)=1,则 tan2 5
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β =________. 7 答案:- 24 3 3 解析:由 sinα= 且 α 是第二象限角,得 tanα=- , 5 4 ∵ ∴ ∴ (α+β)-α=β, tanβ=tan[(α+β)-α]= tan(α+β)-tanα =7. 1+tan(α+β)tanα

2tanβ 7 tan2β= =- . 24 1-tan2β π 5 ,且 α∈?0, ?,则 sin4α -cos4α = 5 4? ?

5. (必修 4P115 复习题 1(1)改编)已知 sin2α = ________. 2 5 答案:- 5 解析:sin4α-cos4α=sin2α-cos2α= 2 5 -cos2α=- 1-sin22α=- . 5

三角函数的最值问题 (1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y=asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ),其中 cosφ = a b . 2,sinφ = 2 a +b a +b2
2

② y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 可先降次,整理转化为上一种形式. ③ y= acosx+b? asinx+b? 或y= 可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式或 sinx= ? ccosx +d? csinx+d? ?

f(y)(cosx=f(y))的形式,由正、余弦函数的有界性求解. (2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y=asin2x+bcosx+c 可转化为 cosx 的二次函数式. ② y=asinx+ c c (a、b、c>0),令 sinx=t,则转化为求 y=at+ (-1≤t≤1)的最值, bsinx bt

一般可用基本不等式或单调性求解. [备课札记]

题型 1 三角形中的恒等变换 C C 例 1 已知△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2sin2 +cos = 2, 2 2

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求角 C 的大小. C C 解:由 2sin2 +cos = 2, 2 2 C C 1-cos2 ?+cos = 2, 得 2? 2 ? ? 2 C C 2cos -1?=0. 整理得 cos ? 2 ? 2? C π 因为在△ABC 中,0<C<π,所以 0< < . 2 2 C C 2 舍去cos =0?, 所以 cos = ? 2 ? 2 2? π C π 从而 = ,即 C= . 2 4 2 备选变式(教师专享) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b .求角 A 的大 小. π 解:由已知,得 2sinAsinB= 3sinB,且 B∈?0, ?, 2? ? π π 3 ,且 A∈?0, ?,∴ A= . 2 3 2? ? 题型 2 角的构造技巧与公式的灵活运用 ∴ sinB≠0,∴ sinA= 例 2 求 sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值. 解:(解法 1)因为 40°=30°+10°,于是原式=sin210°+cos2(30°+10°)+sin10° cos(30°+10°)=sin210°+?
2 3 1 3 1 ? cos10°- sin10° +sin10°·( 2 cos10°-2sin10°)= 2 ?2 ?

3 2 3 (sin 10°+cos210°)= . 4 4 (解法 2)设 x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,y=cos210°+sin240°+cos10° sin40°.则 x+y=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+sin50°=2+cos40°,x-y 1 1 1 3 3 =cos80°-cos20°- =-sin50°- =-cos40°- .因此 2x= ,故 x= . 2 2 2 2 4 变式训练 求 sin220°+cos280°+ 3sin20°cos80°的值. 1 解:sin220°+cos280°+ 3sin20°cos80°= (1-cos40°)+ 2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos(60°+20°) 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 2 2 3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) 1 1 3 3 3 =1- cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 2 4 4 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= . 4 4 4

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题型 3 三角函数的综合问题 例 3 函数 f(x)=sin? π (1) 求 f? ?的值; ?6? A? (2) 在△ABC 中,若 f? ? 2 ?=1,求 sinB+sinC 的最大值. 解:(1) f(x)=sin? π ? ?π ? ? 4 +x?sin? 4 -x?+ 3sinxcosx= π ? ?π ? ? 4 +x?sin? 4 -x?+ 3sinxcosx(x∈R).

π 1 3 cos2x+ sin2x=sin?2x+ ?, 2 2 6? ? π 所以 f? ?=1. ?6? A? ?A+π?=1. (2) 因为 f? = 1 ,所以 sin ?2? 6? ? π π π 因为 0<A<π,所以 A+ = ,即 A= . 6 2 3 sinB+sinC=sinB+sin? 2π ? ? 3 -B?

π 3 3 = sinB+ cosB= 3sin?B+ ?. 2 2 6? ? 2π π π 5π 因为 0<B< ,所以 <B+ < , 3 6 6 6 π 1 所以 <sin?B+ ?≤1, 2 6? ? 所以 sinB+sinC 的最大值为 3. 备选变式(教师专享) 已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设 f(x)=a· b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期; π (2) 当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 2? ? 解:(1) f(x)=a· b =(cosx+sinx)· (cosx-sinx)+sinx· 2cosx 2 2 =cos x-sin x+2sinxcosx =cos2x+sin2x= 2? π? = 2sin? ?2x+4?. ∴f(x)的最小正周期 T=π. π π π 5π (2) ∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 π π π π 5π π ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2;当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最小值 4 2 8 4 4 2 -1.
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2 2 ? cos2x+ sin2x 2 ?2 ?

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4 1. (2013· 苏州期末)已知 θ 为锐角,sin(θ +15°)= ,则 cos(2θ-15°)=________. 5 17 2 答案: 50 4 2 3 解析:因为 θ 为锐角,且 sin(θ+15°)= ∈? , ?,所以 θ+15°∈(45°,60°), 5 ?2 2? 4?2 7 2θ+30°∈(90°,120°),所以 cos(2θ+30°)=1-2sin2(θ+15°)=1-2×? ?5? =-25, 从而 sin(2θ+30°)= 1-cos2(2θ+30°)= 24 ,所以 cos(2θ-15°)=cos[(2θ+30°)- 25

7 2 24 2 17 2 45°]=cos(2θ+30°)cos45°+sin(2θ+30°)sin45°=- × + × = . 25 2 25 2 50 π π 2. 函数 f(x)=cos?x+ ?·cos(x+ )的最小正周期为________. 6 2 ? ? 答案:π 解析:∵ f(x)=-sinx·( 3 1 cosx- sinx)= 2 2

π? 1 1 ? - sin ,∴ T=π. 4 2 ?2x+ 6 ? sin47°-sin17° cos30° 3. 计算: =________. cos17° 1 答案: 2 sin47°-sin17° cos30° 解析: cos17° = = = sin(30° +17° )-sin17° cos30° cos17° sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° cos17° sin30° cos17° 1 =sin30° = . cos17° 2

5 α 1 4. 设 α、β∈(0,π ),且 sin(α+β)= ,tan = ,则 cosβ =________. 13 2 2 16 答案:- 65 α 1 解析: ∵ tan = , ∴ 2 2 α 1 2× 2 2 π π 4 tanα= = 而 α∈(0, π), ∴ α∈? , ?. 2= , 3 4 2? 1 ? α ? 1-? 1-tan2 ?2? 2 2tan

sinα 4 4 3 5 2 由 tanα= = 及 sin2α+cos2α=1 得 sinα= , cosα= ; 又 sin(α+β)= < , ∴ α 5 5 13 2 cosα 3
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3π 12 +β∈( ,π),cos(α+β)=- . 4 13 ∴ 12 3 5 4 16 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- × + × =- . 13 5 13 5 65

x x x 1 1. 已知函数 f(x)=sin cos +cos2 - . 2 2 2 2 (1) 若 f(α)= 2 ,α ∈(0,π ),求 α 的值; 4

π ? (2) 求函数 f(x)在? ?-4,π ?上最大值和最小值. 1+cosx 1 1 π 1 2 2 x+ ? . 由题意知: f(α) = 解 : (1) f(x) = sinx + - = (sinx + cosx) = sin ? ? 4? 2 2 2 2 2 2 π? 2 π ?π 5π? π 5π ? π? 1 sin? ?α+4?= 4 ,即 sin?α+4?=2.∵α∈(0,π),即 α+4∈?4, 4 ?,∴α+4= 6 ,即 α 7π = . 12 π? π π 5π 2 1 (2) ∵ - ≤α≤π, 即 0≤α+ ≤ ,∴f(x)max=f? ?4?= 2 ,f(x)min=f(π)=-2. 4 4 4 2. 已知 ω>0, a=(2sinωx+cosωx, 2sinω x-cosωx), b=(sinωx, cosω x). f(x)=a· b.f(x) π 图象上相邻的两个对称轴的距离是 . 2 (1) 求 ω 的值; π (2) 求函数 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? 解:f(x)=a· b =(2sinωx+cosωx)sinωx+(2sinωx-cosωx)cosωx =2sin2ωx+3sinωxcosωx-cos2ωx 3 1 =1-cos2ωx+ sin2ωx- (1+cos2ωx) 2 2 π 1 3 1 3 2 ? = (sin2ωx-cos2ωx)+ = sin?2ωx-4? ?+2. 2 2 2 π (1) 因为函数 f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是 ,所以函数 f(x)的最小正周期 2 T=π,则 ω=1. π 1 3 2 ? (2) ω=1,f(x)= sin?2x-4? ?+2. 2 π π π 3π ∴ x∈?0, ?,∴ 2x- ∈?- , ?, 4 ? 4 2? 4 ? ? π π 则当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值-1; 4 4

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3 2+1 π π 3π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 . 4 2 8 2 2π 3. 设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ω x(ω>0)的最小正周期为 . 3 (1) 求 ω 的最小正周期; π (2) 若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的 2 单调增区间. 解:(1) f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx π? =sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin? ?2ωx+4?+2, 2π 2π 3 依题意得 = ,故 ω 的最小正周期为 . 2ω 3 2 π π x- ?+ ? +2 (2) 依题意得 g(x)= 2sin?3? 2? 4? ? ? 5π? = 2sin? ?3x- 4 ?+2, π 5π π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 2 π 2 7π 得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z), 3 4 3 12 2 π 2 7π kπ+ , kπ+ ?(k∈Z). 故 y=g(x)的单调增区间为? 4 3 12? ?3 4. 设函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2x+a. (1) 写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; 3 π π (2) 当 x∈?- , ?时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 ? 6 3? 解: (1) f(x)= 1+cos2x π? 3 1 π π 3π sin2x+ +a=sin? ∴ T=π.由 +2kπ≤2x+ ≤ ?2x+6?+a+2, 2 2 2 6 2

π +2kπ,得 +kx≤x≤ 6 2π 2π π +kπ.故函数 f(x)的单调递减区间是? +kπ, +kπ?(k∈Z). 3 3 ?6 ? π π π π π 5π 1 π π 2x+ ?≤1.当 x∈?- , ?时,原 (2) ∵ - ≤x≤ ,∴ - ≤2x+ ≤ .∴ - ≤sin? 6 ? ? 6 3 6 6 6 2 ? 6 3? 1? ? 1 1? 3 函数的最大值与最小值的和为? ?1+a+2?+?-2+a+2?=2, ∴ a=0.

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1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切 化弦,更易通分、约分. (2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手: (1) 看角:分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化. (2) 看函数:统一函数,向结果中的函数转化.

请使用课时训练(A)第 6 课时(见活页).

[备课札记]

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