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【步步高】2015届高考数学二轮复习 专题突破训练九 第2讲 数形结合思想 理(含2014年高考真题)


第2讲

数形结合思想

1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为 两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目 的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来 阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的 几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出 现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一 种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行 几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否 有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准 确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时 发挥着奇特功效, 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练, 以提高解题能力和速度. 具 体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法, 值得注意的 是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整,以便于作 图),然后作出两个函数的图象,由图求解.
1

热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014·山东)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相 )

等的实根,则实数 k 的取值范围是( 1 A.(0, ) 2 C.(1,2) 答案 B

1 B.( ,1) 2 D.(2,+∞)

解析 先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象,如图所示,当直线

g(x)=kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时
1 1 斜率为 ,故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为( , 2 2 1). 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、 根式、 三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法, 其基本思想是先把方程两边的代 数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然 后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
? ?x +bx+c,x≤0, 设函数 f(x)=? ?2, x>0, ?
2

若 f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则关于 x

的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 C.3 答案 C

) B.2 D.4

解析 由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
? ?x +4x+2,x≤0, 解得 b=4,c=2,∴f(x)=? ?2, x>0. ?
2

作出函数 y=f(x)及 y=x 的函数图象如图所示,

由图可得交点有 3 个.

2

热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2 (1)已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若 f(1)

=0,则满足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 1 (2)若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 2 答案 (1)(-1,0)∪(0,1) 1? ? (2)?-∞, ? 2? ? 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可, 由图可知 x·f(x)<0 的

x 的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
1 (2)作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图,依题意知应有 2a≤2-2a, 2 1 故 a≤ . 2 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选 择适当的两个(或多个)函数, 利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决问题, 往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. (1)设 A={(x,y)|x +(y-1) =1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使 A? B 成立 的实数 m 的取值范围是__________. (2)若不等式 9-x ≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k=________. 答案 (1)[ 2-1,+∞) (2) 2 解析 (1)集合 A 是一个圆 x +(y-1) =1 上的点的集合,集合 B 是一个 不等式 x+y+m≥0 表示的平面区域内的点的集合, 要使 A? B,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线 x+y+m=0 应与 |m+1| 圆相切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有 =1,又 m>0, 2 所以 m= 2-1, 故 m 的取值范围是 m≥ 2-1. (2)令 y1= 9-x ,
2 2 2 2 2 2

y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标系中作出其图象,因 9-x2≤k(x+
2)- 2的解集为[a,b]且 b-a=2. 结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 又因为点(-2,- 2)在直线上, 2 2+ 2 所以 k= = 2. 1+2
3

热点三 利用数形结合思想解最值问题 例3 (1)已知 P 是直线 l:3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x +y -2x-2y+1=0 的
2 2

两条切线,A、B 是切点,C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为________.
? ?x-2y+1≥0, (2)已知点 P(x, y)的坐标 x, y 满足? ? ?|x|-y-1≤0,

则 x +y -6x+9 的取值范围是(

2

2

)

A.[2,4] C.[4,10] 答案 (1)2 2 (2)B

B.[2,16] D.[4,16]

解析 (1)从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左 上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC = 1 2

1 |PA|·|AC|= |PA|越来越大, 从而 S 四边形 PACB 也越来越大; 当点 P 从左 2 上、右下两个方向向中间运动时,S
四边形 PACB

变小,显然,当点 P 到达一个最特殊的位置,即

CP 垂直直线 l 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值,
|3×1+4×1+8| 此时|PC|= =3, 2 2 3 +4 从而|PA|= |PC| -|AC| =2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min =2× ×|PA|×|AC|=2 2. 2 (2)画出可行域如图, 所求的 x +y -6x+9=(x-3) +y 是点 Q(3,0)到可 行域上的点的距离的平方, 由图形知最小值为 Q 到射线 x-y-1=0(x≥0) 的距离 d 的平方,最大值为|QA| =16. ∵d =(
2 2 2 2 2 2 2 2

|3-0-1| 1+ -
2

2

) =( 2) =2.

2

2

∴取值范围是[2,16]. 思维升华 (1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转

换,快速求得最值. (2)如果(不)等式、 代数式的结构蕴含着明显的几何特征, 就要考虑用数形结合的思想方法来 解题,即所谓的几何法求解. (1)(2013·重庆)设 P 是圆(x-3) +(y+1) =4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上 的动点,则|PQ|的最小值为( A.6 B.4 C.3 D.2 )
2 2

4

x-y+1≤0, ? ? (2)若实数 x、y 满足?x>0, ? ?y≤2,
答案 (1)B (2)2

则 的最小值是____.

y x

解析 (1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为 2,|PQ|的最小值为圆心到直 线 x=-3 的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选 B. (2)可行域如图所示. 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小. 联立?
?x-y+1=0, ? ?y=2, ?

y x

得 A(1,2),

2-0 y 所以 kOA= =2.所以 的最小值为 2. 1-0 x

1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的 几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图 形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通 过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的 模、复数的模);点到直线的距离公式等.

真题感悟 1.(2013·重庆)已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别 是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 答案 A 解析 设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′| +|PC2|≥|C1′C2|= -
2 2 2 2 2

)

B. 17-1 D. 17

+ -3 -

2

=5 2.
5

而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4. 2.(2014·江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的 圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π 答案 A 解析 ∵∠AOB=90°,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D, 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. |2×0+0-4| 4 又|OD|= = , 5 5 ∴圆 C 的最小半径为 2 , 5 2 4 2 )= π. 5 5
2

)

3 B. π 4 5 D. π 4

∴圆 C 面积的最小值为 π (

? ?-x +2x,x≤0, 3.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=? ? x+ ,x>0. ?

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值

范围是(

) B.(-∞,1] D.[-2,0]

A.(-∞,0] C.[-2,1] 答案 D

解析 函数 y=|f(x)|的图象如图. ①当 a=0 时,|f(x)|≥ax 显然成立. ②当 a>0 时,只需在 x>0 时, ln(x+1)≥ax 成立. 比较对数函数与一次函数 y=ax 的增长速度. 显然不存在 a>0 使 ln(x+1)≥ax 在 x>0 上恒成立. ③当 a<0 时,只需在 x<0 时,x -2x≥ax 成立. 即 a≥x-2 成立,所以 a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0.故选 D. 4.(2014·天津)已知函数 f(x)=|x +3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异
6
2 2

的实数根,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 设 y1=f(x)=|x +3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x +3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示. 错误!未找到引用源。 由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x +3x|与 y2=a|x-1|的图象 有 4 个不同的交点.当 4 个交点横坐标都小于 1 时,
? ?y=-x -3x, ? ?y=a -x ?
2 2 2 2 2

有两组不同解 x1,x2,
2

消 y 得 x +(3-a)x+a=0,故 Δ =a -10a+9>0, 且 x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1,联立可得 0<a<1. 当 4 个交点横坐标有两个小于 1,两个大于 1 时,
? ?y=x +3x, ? ?y=a x- ?
2 2

有两组不同解 x3,x4.
2

消去 y 得 x +(3-a)x+a=0,故 Δ =a -10a+9>0, 且 x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1,联立可得 a>9, 综上知,0<a<1 或 a>9. 押题精练 1.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a +1>1. 而 y=|x -2x|的图象如图, ∴y=|x -2x|的图象与 y=a +1 的图象总有两个交点. 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 A
2 2 2 2 2 2 2

)

)

7

-4 x<- , ? ? -3≤x 解析 f(x) = |x + 3| - |x - 1| = ?2x+2 ? x ?4



画出

函数 f(x)的图象,如图,可以看出函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a - 3a≥4 即可,解得 a≤-1 或 a≥4.正确选项为 A. 3.经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直 线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. π 3π 答案 [-1,1] [0, ]∪[ ,π ) 4 4 解析 如图所示, 结合图形: 为使 l 与线段 AB 总有公共点, 则 kPA≤k≤kPB, 而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时,α =0,k>0 时, α 为锐角. -2- - 又 kPA= 1-0 =-1,

2

kPB=

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α ≤ ; 4 3π π 3π 当-1≤k<0 时, ≤α <π .故倾斜角 α 的取值范围为 α ∈[0, ]∪[ ,π ). 4 4 4 2x+3y-6≤0, ? ? 4.(2013·山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?y≥0 域上一动点,则|OM|的最小值是________. 答案 2

所表示的区

解析 由题意知原点 O 到直线 x+y-2=0 的距离为|OM|的最小值. 所以|OM|的最小值为 2 = 2. 2
2

5.(2013·江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率为________. 答案 - 3 3

1 1 1 解析 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ . 2 2 2 π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2
8

此时 O 到 AB 的距离 d=

2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),即 kx-y- 2k=0. 由 d= | 2k|
2

2 3 = 得 k=- . 3 k +1 2
3 2

6.设函数 f(x)=ax -3ax,g(x)=bx -ln x(a,b∈R),已知它们在 x=1 处的切线互相平 行. (1)求 b 的值; (2)若函数 F(x)=? 围. 解 函数 g(x)=bx -ln x 的定义域为(0,+∞), (1)f′(x)=3ax -3a? f′(1)=0,
2 2

? ?f ?g ?

x ,x≤0, x ,x>0,

且方程 F(x)=a 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范

2

g′(x)=2bx- ? g′(1)=2b-1, x
1 依题意得 2b-1=0,所以 b= . 2 1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0,即 g(x)在(0,1)上单调递减,

1

x

x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0,即 g(x)在(1,+∞)上单调递增, x
1 所以当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ; 2 当 a=0 时,方程 F(x)=a 不可能有四个解; 当 a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即 f(x)在(-∞,-1)上单调递减,
2

1

x∈(-1,0)时,f′(x)>0,
即 f(x)在(-1,0)上单调递增, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a, 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(1)所示, 从图象可以看出 F(x)=a 不可能有四个解. 当 a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-1)上单调递增,
2

x∈(-1,0)时,f′(x)<0,
即 f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a.

9

又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(2)所示, 1 2 2 从图(2)看出,若方程 F(x)=a 有四个解,则 <a <2a, 2 所以,实数 a 的取值范围是?

? 2 ? ,2?. ?2 ?

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