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2015年高考数学全国卷I文科试题及答案word


2015 年全国卷 I 文科逐题述评 1.已知集合 A ? {x | x ? 3n ? 2, n ? N} , B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A ? B 中元素的 个数为 (A)5

(B)4

(C)3

(D)2

解析: A ? {2,5,8,11,14,?} , A ? B = {8,14} ,选(D). 点评:集合 A 是等差数列,求交集只需简单的验证,开卷大吉,有利于考生稳定情绪. 2.已知点 A(0,1) , B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC = (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

??? ?

??? ?

解析: AB ? (3,1) , BC ? AC ? AB ? (?7, ?4) ,选(A). 点评:本题考查向量的坐标运算,还可以先求出 C (?4, ?2) ,相对较简单.没有像前几年 通过向量的平行(垂直) 、模、夹角“为难”考生,算是送分到家的题. 3.已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z = (A) ?2 ? i (B) 2 ? i (C) ?2 ? i (D) 2 ? i

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

解析:由 ( z ? 1)i ? 1 ? i 得 z ?

1? i ? 1 ,即 z ? 2 ? i ,选(B). i 1 i

点评: 本题跳出往年考查复数除法的传统直白模式, 套用方程思想, 由考生运用 ? ?i , 不难求出 z .形式简洁(连“ i 是虚数单位”等说明性文字都未出现) ,如果考生在平时的备 考中,能熟练使用模的性质 | z |2 ? z ? z ,则可迅速准确得出结论,为其他题赢得时间. 4.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

解析:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数有 10 种取法: (1, 2,3),(1, 2, 4),?,(3, 4,5) ,其 中能构成一组勾股数的只有(3,4,5) ,所求概率为

1 ,选(C). 10
2 2 2

点评:本题考查古典概型,难度适中(既要验算 a ? b ? c ,还要注意 a ? b ? c 的限 制) , “勾股数”突出了古代数学成就,融入了中国元素. 5.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为

1 2 , E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8x 的焦 2

点重合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 | AB | = (A)3 (B)9 (C)6 (D)12

解析:y 2 ? 8x 的焦点为 (2, 0) , 准线为 x ? ?2 , 则 c ? 2 ,e ?

1 可得 a ? 4 ,b ? 2 3 , 2

AB 是椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦) | ? , | AB

2b2 6 ? ,故选(C). a

点评:本题在对椭圆简单性质考查过程中融合了抛物线的定义、性质,运算量比较大, 思维含量高,考查比较综合,如果能放到第 10 题的位置会更合理. 副产品:椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦) 、双曲线的通径(过焦点垂直于实轴的

2b 2 2b 2 弦)和抛物线的通径(过焦点垂直于对称轴的弦)的长分别是 、 、2p . a a
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米 (如图, 米堆为一个圆锥的四分之一) , 米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛

2? R 16 ? 8 ,圆锥底面半径 R ? ,米堆体积 4 ? 1 320 V V ? ? R2h ? ? 22 ,选(B). ,堆放的米约有 12 3? 1.62
解析: 点评:本题难度适中,取材于古代数学著述,一方面考查了简单几何体的体积,另一方 面体现了数学估算等应用,更是弘扬和发掘了数学史和古代数学文化. 7.已知 ?an ? 是公差为 1 的等差数列,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和.若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? 错误! 未找到引用源。 (A)

17 2

(B) 10

(C)

19 2

(D) 12

解析:公差 d ? 1 , a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 16d ? S4 ? 16 ,

S8 ? S4 ? S4 ? 16 ,所以 2S4 ? 16 , S4 ? 8 , a1 ?

1 19 , a10 ? ,选(C). 2 2 n(n ? 1) d 分析和解决问题的能力. 点评:本题考查运用等差数列基础知识 Sn ? na1 ? 2
8.函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ?

(D) (2k ?

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 解析: 由五点作图知,? , 解得 ?=? ,? = , 所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ? ( 2k ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区间为 4 4

3 1 , 2k ? ) , k ? Z ,故选(D). 4 4

点评:本题虽然考查余弦型函数的图象和性质,但可归结为正弦型函数的图象和性质, 且一反常态图象的周期是 2 k ,不是 2k? ,解答既可由图象先求解析式,再根据解析式求解 函数的单调递减区间,又可先求周期,借助图象的对称性得出 x ?

3 是其中一条对称轴,数 4

形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解,又 能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果 是得分不高. 9.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? (A)5 (B)7 (C)6 (D)8

解析: t ? 0.01 保持不变,初始值 s ? 1, n ? 0, m ?

1 ? 0.5 , 2

执行第 1 次, s ? 0.5, m ? 0.25, n ? 1 , s ? t ,执行循环体; 执行第 2 次, s ? 0.25, m ? 0.125, n ? 2 , s ? t ,执行循环体; 执行第 3 次, s ? 0.125, m ? 0.0625, n ? 3 , s ? t ,执行循环体; 执行第 4 次, s ? 0.0625, m ? 0.03125, n ? 4 , s ? t ,执行循环体; 执行第 5 次, s ? 0.03125, m ? 0.015625, n ? 4 , s ? t ,执行循环 体;执行第 6 次, s ? 0.015625, m ? 0.0078125, n ? 5 , s ? t ,执行循环体; 执行第 7 次, s ? 0.0078125, m ? 0.00390625, n ? 6 , s ? t ,跳出循环体,输出 n ? 7 , 故选(B). 点评:本题通过含循环结构的程序框图,考查学生的读图能力及运算求解能力.但题中 的执行次数有点多, 数据有些复杂, 其实大可执行 3 或 4 次, 数据再简单一些, 效果会更好! 10.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ?1 ? 2,

x ? 1,

?? log 2 ( x ? 1), x ? 1,

且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ?

(A) ?

7 4

(B) ?
x ?1

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

解析:由于 ?2 ? 2

? 2 ? ?1 ,只能 ? log2 (a ? 1) ? ?3 ,解得 a ? 7 ,则

7 f (6 ? 7) ? f (?1) ? 2?1?1 ? 2 ? ? ,故选(A). 4
点评: 本题通过分段函数考查指数与对数的运算与性质, 既能分 a ? 1 或 a ? 1 分类讨论 反解 a 的值,又能从指数函数的性质入手确定只能 ? log 2 ( a ?1) ? ?3 求 a .难度合适,如果 题目和第 5 题互换位置,或许得分应该更好一些. 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体 的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? (A)1(B)4(C)2(D)8 解析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球和半个圆柱的组 合体,圆柱的半径与球的半径都 r ,圆柱的高为 2 r ,其表面积为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r ? 5? r 2 ? 4r 2 ? 16 ? 20? , 解得 2
r ? 2 ,故选(C).
点评:本题考查空间几何体的三视图、圆柱和球的表面积,通过 三视图到直观图的转化考查学生的空间想象能力与化归思想的应用, 通过圆柱和球的表面积计算考查学生的运算求解能力. 本题与 2013 年全国卷Ⅰ(理 8,文 11)非常相似.但由 2013 年的三个视图变成了 2015 年的两个视图,极好的考查了学生的 观察能力和空间想象能力. (2013 年全国卷Ⅰ(理 8,文 11) ) 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 (A) 16 ? 8? (C) 16 ? 16? (B) 8 ? 8? (D) 8 ? 16?

x?a 12. 设函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 2 的图象关于直线

y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ?
(A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 4

解析:函数 y ? f ( x) 的图象上的任意一点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 对称的点 (? y, ? x) 在 函数 y ? 2x?a 的图象上,即 ? x ? 2
? y?a

, ? y ? a ? log2 (? x) ,则 f ( x) ? a ? log2 (?x) ,从而

f (?2) ? f (?4) ? 2a ? 3 ? 1,解得 a ? 2 ,故选(C).
点评:本题以抽象函数问题为背景,通过点关于直线对称(解析几何中的重点)与函数 图象的关系,考查了指数式与对数式的互化,对于学生的发散思维能力要求较高.本题作为 选择题压轴题, 试题难度降低的一步到位, 远比前几年函数小综合题让诸多考生无从下手只 能瞎蒙要好得多,这可以作为今后理科可以借鉴的命题趋势(简单题只要命制合理,一样具 备其区分度与甄别功能,低于 0.25 的通过率的题形同废题). 13.在数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? 解析:等比数列中 a1 ? 2, q ? 2 ,则 Sn ? .

2(1 ? 2n ) ? 126 ,由 2n ? 64 ,得 n ? 6 . 1? 2

点评:本题主要考查了等比数列的判定与前 n 项和公式,考点较为单一,数列在全卷中 只涉及两道题目(第 7 题考点仅涉及等差数列,数列部分的比重略低).本题也给后进生留 下“活路” ,列举数列各项,很容易能算出 n=6. 14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图象在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则
3

?

?

a?

.
2 解析: f ?( x) ? 3ax ? 1 , f ?(1) ? 3a ? 1 ,又 f (1) ? a ? 2 ,切点为(1, a ? 2 ) ,切线

过(2,7) ,则

a?2?7 ? 3a ? 1 ,解得 a ? 1. 1? 2

点评:本题主要考查利用导数的几何意义求函数中的参数,题型常规,利于考生拿分.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z=3x+y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
解析:可行域是以 A(1,1), B(0, 2), C( ?1,0) 为顶点的三 角形区域(含边界,如图中阴影部分所示) ,作出直线 l0 :

.

3x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,当直线 l :z=3x+y 过点 A 时,z
取最大值,由 ?

? x ? y ? 2=0 解得 A(1,1) ,z=3x+y 的最大 ? x ? 2 y ? 1=0

值为 4.. 点评:本题主要考查线性规划的知识,目标式属于截距类型,按部就班可得答案.此题

也会有考生求解出三角形区域的顶点,代入目标式得出答案. 16.已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A(0,6 6) .当 8
.

?APF 周长最小时,该三角形的面积为

解析:设 F ? 是双曲线 C 的左焦点,则 | PF |?| PF ? | ?2 , ?APF 周长为

| PA | ? | PF | ? | AF |?| PA | ? | PF ? | ? | AF | ?2 ?| AF ? | ? | AF | ?2 ? 32 , 当且仅当点 P, F ?, A
共线时取得最小值,点 P 在线段 F ?A 上,线段 F ?A : y ? 2 6x ? 6 6 ( ?3 ? x ? 0 ) ,代 入x ?
2

y2 ? 1整理可得 x2 ? 9 x ? 14 ? 0 ,解得 x ? ?2, x ? ?7 (舍去) ,则 P(?2, 2 6) 到直线 8

FA : y ? ?2 6x ? 6 6 的距离为 d ?

8 6 1 1 8 6 , S ? ? d ? | AF |? ? ?15 ? 12 6 . 5 2 2 5

点评:本题考查双曲线的定义、性质及化曲为直求最值原则的理解(也可利用间接法计 算 S?APF ? S?AF1F ? S?PF1F ).本题很好的考查了学生对等价转化(化归与转化)思想、数形 结合思想的驾驭程度. 17.(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .
2

(Ⅰ)若 a ? b ,求 cos B ; (Ⅱ)设 B=90° ,且 a ?

2 ,求 ?ABC 的面积.

2 解: (Ⅰ)由题设及正弦定理可得 b ? 2ac ,又 a ? b ,可得 b ? 2c, a ? 2c ,由余弦定

理可得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 4
2 2 2 2 2 2

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 b ? 2ac , 又 B=90° 即b ? a ?c , 故 a ? c ? 2ac , 得a ? c ? 所以 ?ABC 的面积为 1 .

2,

点评:本题考查运用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用,属于常规的解三角 形问题.命题人按照“数列与三角轮流坐庄”的“规则”出牌,也让考生情绪稳定. 18.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点, BE ⊥平面 ABCD .

(I)证明:平面 AEC ⊥平面 BED ;
? (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC ,三棱锥

E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

解: (Ⅰ) 因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 AC ? BD . 因为 BE ⊥平面 ABCD ,所以 AC ? BE , AC ⊥平面 BED . 又 AC ? 平面 AEC ,所以平面 AEC ⊥平面 BED . (Ⅱ) 在 ABCD 中, 设 AB ? x , 由 ?ABC ? 120 得 AG ? GC ?
?

3 x x, GB ? GD ? . 2 2

因为 AE ? EC ,在 Rt?AEC 中,可得 EG ?

3 x. 2 2 x. 2

由 BE ⊥平面 ABCD ,知 ?EBG 为直角三角形,可得 BE ?

1 1 6 3 6 ,故 x ? 2 . VE ? ACD ? ? ? AC ? GD ? BE ? x ? 3 2 24 3
从而 AE ? EC ? ED ? 6 ,所以 S?EAC ? 3 , S?EAD ? S?ECD ? 5 . 故该三棱锥的侧面积为 3 ? 2 5 . 点评:本题在延续前两年考法,将背景从三棱柱改为了四棱锥,由证明线线垂直改为了 面面垂直,既能给学生以新的面孔,又能考查立体几何中的基础知识和基本技能,通过面面 垂直的证明考查空间想象能力和推理论证能力,借助侧面积和体积的计算考查运算求解能
? 力,条件 ?ABC ? 120 , AE ? EC 的给出增加了题目的灵活性, VE ? ACD ?

6 则突出了 3

方程思想的应用. 19.(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种 产品的宣传费, 需了解年宣传费 x(单 位:千元)对年销售量 y (单位: t ) 和年利润 z (单位:千元)的影响, 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i ? 1, 2,?,8 )数据作了初步处理,

得到下面的散点图及一些统计量的值.

x
46.6

y

w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

563

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ?

1 8 ? wi . 8 i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x , y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i)年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附: 对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),?,(un , vn ) , 其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的

?? 最小二乘估计分别为 ?

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u)
i ?1 i

n

? ?v?? ?u . ,?

2

解: (Ⅰ)根据散点图判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型;

?? (Ⅱ)令 w ? x ,由 d

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

? (w ? w)
i ?1 i

8

?

2

108.8 ? 68 , 1.6

? ? y ? dw ? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 ,所以 ? c y ? 100.6 ? 68w ,即 y 关于 x 的回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x ;
(III) (i)当 x =49 时,年销售量 y 的预报值 ? y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 ,年利润 z 的

? ? 0.2 ? 576.6 ? 49 ? 66.32 ; 预报值 z

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ?13.6 x ? 20.12 ,所以当 (ii)年利润 z 的预报值 z
x? 13.6 ? 6.8 即年宣传费 x =46.24 时,年利润的预报值最大. 2

点评:本题是继 2014 年高考理科以正态分布为重点后,又一次出乎意料而又推陈出新 的考法.其实,广东卷 2007 年就已经在解答题里出现过回归方程,但一直没能引起足够的重 视.这道题命题人为了解决高考不允许携带计算器进考场而导致数据计算复杂的问题,直接 通过表格给出了许多 “半成品” , 即便如此仍然因为涉及高考知识点的 “冷点” (模型不熟悉) 、 阅读量大、题干过长、只有猜测不加证明等导致试题得分非常低,更由于文理共用,导致文 科得分更是惨不忍睹(过往几年概率统计的解答题是文科生的主要拿分点). 需要特别强调的一点是,课标教材的理念是要引导学生学会统计思想,理解统计原理, 会“用统计”而不是“算统计” ,这些都与课标对这统计部分的课时比例明显增加,教材篇 幅扩大等的趋势是相吻合的.教学中,应该摒弃原来的那种“文科是统计加概率,理科概率 加期望方差”的训练模式,全面掌握统计思想、统计案例直至几何概型等“新增知识点”. 特别是要加强阅读理解能力的培养,并将应用意识贯穿始终.在这一点上,送考教师一定不 要教的支离破碎,仅仅是用一些具体例子代替系统讲解,使得学生偏离了统计思想的轨道. 20.(本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 | MN | . 解: (Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,因为直线 l 与圆 C 交于 M , N 两点,故圆心 (2,3) 到直线 l 的距离小于半径,即

???? ? ????

| 2k ? 3 ? 1| 1? k
2

? 1 ,即 2 | k ? 1|? 1 ? k 2 ,解得

4? 7 4? 7 4? 7 4? 7 ?k? ,即 k 的取值范围为 ( , ). 3 3 3 3
(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 l 与圆 C 的方程联立可得

(1 ? k 2 ) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0 ,则 x1 ? x2 ?

4(1 ? k ) 7 , x1 x2 ? . 2 1? k 1? k 2 ???? ? ???? 4k (1 ? k ) OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 8 =12, 解得 k ? 1 , 1? k 2

此时,直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,显然直线 l 经过圆心 (2,3) ,故 | MN | =2. 点评:解析几何试题“思路自然,运算繁难” ,这导致不少地方在备考中以椭圆为主线 加以训练.命题人有意识的避开了椭圆、离心率、标准方程传统命题模式,以经典的直线与 圆的位置关系作为考查的重点, 借助向量工具考查二次方程根与系数的关系, 显著降低了 “副 压轴题”的难度.这对于教学和备考都不失为一种正确的引导.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e2 x ? a ln x . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 零点的个数; (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

2 . a
2x

解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 2e

?

a . x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,则导函数 f ?( x ) 没有零点;

a 都是增函数,导函数 f ?( x ) 在 (0, ??) 上也是增函数. x a 1 又 f ?(a) ? 0 ,存在 0 ? b ? 且 b ? ,则 f ?(b) ? 0 ,故导函数 f ?( x ) 有唯一零点. 4 4
2x 当 a ? 0 时, y ? 2e , y ? ?

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) , 可设 f ?( x ) 在 (0, ??) 上的唯一零点为 x0 , 当 x ?( 0 , x )0 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ;所以 f ( x ) 在 (0, x0 ) 单调递减,在 ( x0 , ??) 单调递增,即

x ? x0 时, f ( x) 取得最小值 f ( x0 ) .
f ?( x0 ) ? 2e2 x0 ? a a 2 2 a ? 0 即 2e 2 x0 ? ,则 f ( x0 ) ? ? 2ax0 ? a ln ? 2a ? a ln , x0 2 x0 a a x0
2 . a

所以当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

点评:本题第一问比较简单,尽管涉及分类讨论和参数 b 的构造(存在性) ;第二问只 要用好 f ?( x0 ) ? 0 ,问题就能迎刃而解,体现了“不同的学生学习不同的数学”的理念. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 ? O 的直径,AC 是 ? O 的切线,BC 交 ? O 于 点 E. (I)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小. 解析: (I)连接 AE, OE ,由 AB 为直径可得 AE ? BE ; 在 Rt ?AEC 中 , D 为 AC 的 中 点 , 所 以 CD ? DE , 即 ?D E C ? ? C ; 在等腰三角形 OBE 中, ?OEB ? ?B . 由 AC 为切线可得 AC ? AB ,即 ?C ? ?B ? 90? ;所以有 ?OEB ? ?DEC ? 90? ,所以 ?OED ? 90? ,所以 DE 为 ? O 的

切线. (Ⅱ)不妨设 CE ? 1 , AE ? x ,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 ,由

AE 2 ? CE ? BE 得 x2 ? 12 ? x2 ,解得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60? .
点评:本题的主要考点有圆的切线判定与性质、圆周角定理、直角三角形射影定理等, 考点比较多,考生可能上手比较慢. 来源于 2009 年某市期末考试题: 如图所示,△ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为 直径的 ? O 交 AC 于 E 点,点 D 是 BC 边的中点,连结 DE. (I)请判断 DE 与⊙O 是怎样的位置关系?请说明理由. (Ⅱ)若⊙O 的半径为 4,DE=3,求 AE 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求

?C2 MN 的面积.
解析: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,C2 的 极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .
2

(Ⅱ)将 ? =

2 ? 2 代入 ? ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 4

?1 = 2 2 , ?2 = 2 , |MN|= ?1 - ?2 = 2 ,因为 C2 的半径为 1 ,则 ?C2 MN 的面积
1 1 o ? 2 ?1 ? sin 45 = . 2 2
点评:本题的主要考点直角坐标方程与极坐标方程之间的转化、直线与圆的位置关系、 三角形的面积公式等,难度相对较低,符合选做题特点. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解析: ( I) (方法一)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 1 可化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ? 1,等价于

x ? ?1 x ?1 ? ? ?1 ? x ? 1 ? 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 . ? 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
(方法二)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 1 可化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ? 1,结合绝对值的几何 意义,不等式的含义为:数轴上一点 x 到点 ?1 的距离与它到 1 的距离的 2 倍之差大于 1. 设点 x 到 ?1 的距离为 d1 ,到 1 的距离为 d2 ,结合数轴可知:若 x 在 [?1,1] 内,则有

? d1 ? d 2 ? 2 1 2 解得 d 2 ? ;故 x ? ( ,1] . ? 3 3 ?d1 ? 2d 2 ? 1
若 x 在 (1, ??) 内,则有 ?

-1

x

1

? d1 ? d 2 ? 2 解得 d2 ? 1 ;故 x ? (1, 2) . ?d1 ? 2d 2 ? 1

2 综上可得 ? x ? 2 . 3

-1

1

x

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , 所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
成的三角形的三个顶点分别为 A( 为

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) ,C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积 3

2 2 ( a ? 1) 2 .由题设得 ( a ? 1) 2 >6,解得 a ? 2 .所以 a 的取值范围为(2,+∞). 3 3

点评:本题的主要考点含绝对值不等式解法、分段函数、一元二次不等式解法及分类讨 论思想.解题策略有:一是采用零点分段去掉绝对值;二是利用绝对值的几何意义求解.


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