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安徽省池州一中2014届高三上学期第三次月考数学(理)


池州一中 2014 届高三年级第三次月考
数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2、答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答

案标号;答在试卷上的无效。 3、答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。必 须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 ...........................

第Ⅰ卷

(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. ⒈ 已知集合 A ? ?1, a? , B ? ?1, 2,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

⒉ 设 [ x] 为表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? lg[ x] 的定义域为 ( ) A. (0, ??) B. [1, ??) C. (1, ??) D. (1, 2)
?1 ? ?? ? ⒊ 已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于点 P ? , y ? ,则 sin ? ? 2? ? ? ( 2 ? 2 ? ? ?



A. 1

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

⒋ 设 f0 ( x) ? cos x , f1 ( x) ? f0?( x) , f2 ( x) ? f1?( x) ,?, f n ?1 ( x) ? f n?( x) , n ? N * ,则 f 2014 ( x) ? ( A. cos x B. sin x C. ? cos x D. ? sin x ⒌ Direchlet 函数定义为: D(t ) ? ? A. D(t ) 的值域为 ?0,1? C. D(t ) 不是周期函数
?1 t ? Q ,关于函数 D(t ) 的性质叙述不正确的是( ... ?0 t ? ?RQ

)



B. D(t ) 为偶函数 D. D(t ) 不是单调函数

⒍ 对于原命题“单调函数不是周期函数” ,下列叙述正确的是( ) A.逆命题“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.命题的否定“存在单调函数是周期函数”
? ? ⒎ 把函数 y ? Asin(? x ? ? )? ? ? 0,| ? |? ? 的图象向左平移 个单位得到 y ? f ( x) 的图 ? ?
? 2?

3

象(如图) ,则 ? ? (
? A. ? 6 ? C. ? 3


? 6 ? D. 3

B.

⒏ 设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? (b ? c)cos C , 则 ?ABC 的形状是( A. 等腰三角形 ) B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

⒐ 已知函数 y ? f ( x) 定义域为 (?? ,? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,当 x ? (0,? ) 时,
?? ? (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 若 a ? f ? 30.3 ? ,b ? f ? log? 3? ,c ? f ? ? log3 9? 则 a, b, c , f ( x) ? ? f ? ? ? sin x ? ? ln x , ?2?

的大小关系是( A. a ? b ? c ⒑ 设函数 f (x)= ? A. ? ??,? 0

) B. b ? a ? c
x?0 x?0

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b ) D. ? ?2, 0?

?? x 2 ? 2 x ? ln( x ? 1)

,若 f (x) ? ax ,则实数 a 的取值范围是( C. ? ?2,1?

B.

1? ? ??,

第 II 卷(非选择题
二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,计 25 分. ?log x x ? 0 1 ⒒ 已知函数 f ( x) ? ? x 4 ,则 f [ f ( )] ? x?0 16 ?3 ⒓ 幂函数 y ? (m2 ? m ? 1) x m
2

共 100 分)

. .

? 2 m ?3

在区间 (0, ??) 上单调递减,则实数 m 的值为

⒔ 一物体以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位:秒, v 的单位:米/秒)做直线运动,则该物体从时刻 t ? 0 到 5 秒内运动的路程 s 为 米. ⒕ 已知集合 A ? x f (x ) ? lg ? x 2 ? 2 x ? 3 ? , B ? ? y y ? 2 x ? a, x ? 2? .若 A ? B ? A ,则 a 的取值范围是
? ? 3? ?

?

?

.

⒖ 已知定义在 R 上的连续函数 y ? f ( x) 对任意 x 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , ? x ? ? f ?( x) ? 0 ,则下列命题正确的 2 有 .
3? ? ①函数 y ? f ? x ? ? 为偶函数; 2? ? ②若 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 3 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

③f

? 2 ? ? f ?sin14? ? cos14?? ;
?3?

④若 f ? ? ? f ? 5? ? 0 ,则 y ? f ( x) 有两个零点. ?2?

三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) x ?1 已知命题 p :实数 x 满足 ?2 ? 1 ? 命题 q : 实数 x 满足 x2 ? 2 x ? (1 ? m2 ) ? 0 (m ? 0) , ?p 是 ?q 的 若 ? 2; 3 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

⒘(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 C ?

?
3

.

(Ⅰ)若 a ? 2 , b ? 3 ,求 ?ABC 的外接圆的面积; (Ⅱ)若 c ? 2 , sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

⒙(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 在 R 上有定义,对任意实数 a ? 0 和任意实数 x ,都有 f (ax) ? af ( x) . (Ⅰ)证明 f (0) ? 0 ; (Ⅱ)证明 f ( x) ? ?
? kx x ? 0 (其中 k 和 h 均为常数) ; ?hx x ? 0

(Ⅲ)当(Ⅱ)中 k ? 0 的时,设 g ( x) ?

1 内的单调性. ( ? ? f ( x) ( x ? 0) ,讨论 g ( x) 在 0, ?) f ( x)

⒚(本小题满分 12 分) 如图,某自来水公司要在公路两侧排水管, 公路为东西方向, 在路北侧沿直线 l1 排, 在路南侧沿直线 l 2 排, 现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l 2 接通.已知 AB ? 60m , BC ? 80m , 公路两侧排管费用为每米 1 万 元,穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成的小于 90? 的角为 ? . (Ⅰ)求矩形区域 ABCD 内的排管费用 W 关于 ? 的函数关系; (Ⅱ)求排管的最小费用及相应的角 ? .
l1 A E D

公路

公路

B

F

C

l2

⒛(本小题满分 12 分) 设函数 f n ( x) ? x n ? bx ? c

? n ? N , b, c ? R ?
*

?1 ? (Ⅰ)设 n ? 2 , b ? 1 , c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ? (Ⅱ)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,均有 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ? 4 ,求 b 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? ? 3ln x ,其中 a 为常数. (Ⅰ)当函数 f ( x) 的图象在点 ? , f ? ? ? 处的切线的斜率为 1 时,求函数 f ( x) 在 ? ,3? 上的最小值; ?2 ? ? 3 ? 3 ?? (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,过点 P ?1, ?4 ? 作函数 F ( x) ? x 2 ? f ( x) ? 3ln x ? 3? 图象的切线,试问这样的切线有 几条?并求这些切线的方程.
?2 ? 2 ??

2 x

?3

?

池州一中 2014 届高三年级第三次月考
数学(理科)答案
一、选择题: 题 号 答 案 二、填空题 题 号 答 案 三、解答题 ⒗(本小题满分 12 分) 1 1 2 1 3 1 14
a ? ?3 或

1 A

2 B

3 D

4 C

5 C

6 D

7 C

8 A

9 B

1 0 D

1 5
① ②④

1 9

10

2

a?5

【解析】令 A ? ? x ?2 ? 1 ?
?

?

x ?1 ? ? 2? ? ? x ?2 ? x ? 10? , 3 ?

????????2 分

B ? x x 2 ? 2 x ? (1 ? m 2 ) ? 0 ,m ? 0 ? ? x 1 ? m ? x ? 1 ? m ,m ? 0? ????????5 分

?

?

∵ “若 ?p 则 ?q ”的逆否命题为 “若 q 则 p ” , 而 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,∴ q 是 p 的必要不充分条件,????????7 分
?m ? 0 ? ∴A? B ,故 ?1 ? m ? ?2 (????????11 分) ,解得 m ? 9 ?10 ? 1 ? m ?

??????12 分


(本小题满分 12 分)

【解析】 (Ⅰ)由已知及余弦定理得 c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 设外接圆的半径为 R ,由正弦定理知 2 R ?
7 sin ? 7 3 2 ?

?
3

? 7 ,则 c ? 7 .

?
2

2 21 21 ,从而 R ? ,故外接圆的面积为 3 3

? R2 ? ?

7 3

??????????????????????????????????5 分 ,

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? ? ,及 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A

∴ 2sin 2 A ? sin ?? ? ? A ? B ?? ? sin( B ? A) ? sin ? A ? B ? ? sin( B ? A) ? 2sin B cos A ,即 ? ?
2sin A cos A ? sin B cos A ,亦即 ? 2sin A ? sin B ? ? cos A ? 0 ,∴ cos A ? 0 或 2sin A ? sin B ? 0 。???8 分

当 cos A ? 0 时, A ?

?
2

,又 c ? 2 且 C ?

?
3

,∴ tan

?
3

?

2 2 3 1 2 3 2 3 ,即 b ? ,此时 S?ABC ? ? 2 ? ; ? 3 2 3 3 b

当 2sin A ? sin B ? 0 时,由正弦定理得 b ? 2a ,又 c ? 2 且 C ?
B?

?
3

1 ,∴ 4 ? a 2 ? 4a 2 ? 2 ? a ? 2a ? (或得到 2

?
2

求解) ,解得 a 2 ?

4 1 ? 3 2 3 ,此时 S?ABC ? ab sin ? a 2 ? 。 ? 2 3 2 3 3

综上知 S?ABC ?

2 3 。????????12 分 3

⒙(本

小题满分 13 分)

【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识,考查运用数学知 识解决问题及推理的能力. (Ⅰ)证明:对于任意的 a ? 0 , x ? R ,均有 f (ax) ? af ( x) 在①中取 a ? 2, x ? 0 ,得 f (0) ? 2 f (0) , ∴ f ? 0? ? 0 ① ②??????????3 分

(Ⅱ)证法一:当 x ? 0 时,由①得 f ( x) ? f ( x ?1) ? xf (1) 取 k ? f (1) ,则有 f ( x) ? kx ③ ?????????????????5 分 当 x ? 0 时,由①得 f ( x) ? f ?(? x) ? (?1)? ? (? x) f (?1) 取 h ? ? f (?1) ,则有 f ( x) ? hx 综合②、③、④得 f ( x) ? ? ④

?kx x ? 0 ;?????????????????7 分 ?hx x ? 0

证法二:令 x ? a 时,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f ( x2 ) ? x ? f ( x) 而 x ? 0 时, f ( x) ? kx(k ? R) ,则 f ( x2 ) ? kx2 而 x ? f ( x) ? x ? kx ? kx2 ,∴ f ( x2 ) ? x ? f ( x) ,即 f ( x) ? kx 成立 令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f (? x2 ) ? ? x ? f ( x) 而 x ? 0 时, f ( x) ? hx(h ? R) ,则 f (? x2 ) ? ?hx2 ? ? x ? f ( x) 即 f ( x2 ) ? hx 成立。综上知 f ( x) ? ?
?kx x ? 0 ?hx x ? 0

(Ⅲ)解法 1:由(Ⅱ)中的③知,当 x ? 0 时, g ( x) ? 从而 g?( x) ? ?
1 k 2 x2 ? 1 , x?0 ?k ? kx2 kx2

1 ? kx , kx

?????????????9 分

又因为 x ? 0 ,由此可得

x
g?( x) g ( x)

? 1? ? 0, ? ? k?

1 k

?1 ? ? , ?? ? ?k ?

- ↘

0 极小值 2

+ ↗

1 1 所以 g ( x) 在区间 ? 0, ? 内单调递减,在区间 ? , ?? ? 内单调递增.?????13 分 ? ? ? ? k? ? ?k ? 1 解法 2:由(Ⅱ)中的③知,当 x ? 0 时, g ( x) ? ? kx , kx

设 x1, x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ,则
g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? 1 1 1 x ?x x ?x ? kx2 ? ( ? kx1 ) ? 1 2 ? k ( x2 ? x1 ) ? 2 1 ? k 2 x1x2 ? 1? kx2 kx1 k x1x2 kx1x2
1 k

又因为 k ? 0 ,所以 (i)当 0 ? x1 ? x2 ? 时, g ( x2 ) ? g ( x1) ; (ii)当 0 ? ? x1 ? x2 时, g(x2 ) ? g ? x1 ? 。
1 1 所以 g ( x) 在区间 ? 0, ? 内单调递减, 在区间 ? , ?? ? 内单调递增. ? ? ? ? ? k? ?k ?
1 k

⒚(本

小题满分 12 分)

4 【解析】 (Ⅰ) 如图, E 作 EM ? BC , 过 垂足为 M , 由题意得 ?MEF ? ? ? 0 ? tan ? ? ? .故有 MF ? 60tan ? , ? ? ? 3?
EF ? 60 , AE ? FC ? 80 ? 60tan? 。 cos? 60 ?2 cos?
l1 A E D

所以 W ? ?80 ? 60tan ? ? ?1 ?
? 80 ?

6 0 s ?n i 120 ? cos? cos ?
6 0 s ?n? ? i cos? 2 ? ? ? ? ? ??? ? 分 ? 6

? 80 ?

公路

公路

( Ⅱ )设(? ) ? f 则 f ?(? ) ?

si?? 2 n ? 4 ( 其 中 ? ? ? ? 0 ? ,t a n 0 ? ) , 0 ? cos? 2 3
cos2 ? ? 1 ? 2sin ? . cos2 ?

cos? ? cos? ? (? sin ? ) ? ? sin ? ? 2?

B

M

F

C

l2

1 ? 令 f ?(? )? 0 1 ? 2 s ?n? , 即s i ? ? , 得? ? . 得 i 0 n 2 6

列表:
?
f ?(? ) f (? )

? ?? ? 0, ? ? 6?

? 6
0

?? ? ? ,? 0 ? 6 ? ?
?

?



极大值



所以当 ? ?

?
6

时 有 f (? ) a x? ? m

, 3 此 时 有m i n 8 0? 6 0 . W ? 3
?

答 : 排 管 的 最 小 费 用 ? 6 0 万 元 , 相 应 的?角 .?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 ?? 1 8 0为 3 ?
6

⒛(本小题满分 12 分)

【解析】 (Ⅰ) n ? 2 , b ? 1 , c ? ?1时, f n ( x) ? x n ? x ? 1 .
?1? ? 1 1? ?1 ? ∵ f n ? ? ? f n (1) ? ? n ? ? ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在零点.?????????2 分 ?2? ? 2 2? ?2 ?

?1 ? f n? ( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在区间 ? ,1? 是单调递增函数,???????????3 分 ?2 ? ?1 ? 所以 f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点. ?2 ?

?????????????4 分

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f 2 ( x) ? x2 ? bx ? c ,∵对任意的 x1, x2 ? ??1,1? 都有 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ? 4 等价于 f 2 ( x) 在

? ?1,1? 上的最大值与最小值之差 M ? f ( x)max ? f ( x)min ? 4 ,据此分类讨论如下:?????6 分
⑴当
b ? 1 ,即 b ? 2 时, M ? f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2 b ? 4 与题设矛盾; 2
2

?????8 分 ?????10 分

b b b ⑵当 ?1 ? ? ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, M ? f 2 (?1) ? f 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? 4 恒成立; ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? b b b ⑶当 0 ? ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, M ? f 2 (?1) ? f 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? 4 恒成立. ? ? ? ?
2

2

? 2? ? 2

?

综上知 ?2 ? b ? 2 . 注意:⑵⑶也可合并证明如下:用 max ?a, b? 表示 a, b 中的较大者,

?????12 分

? b ? f (?1) ? f 2 ?1? f 2 (?1) ? f 2 ?1? b ? b? ? ? f2 ? ? ? 当 ?1 ? ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 时, M ? max ? f 2 (1), f 2 (?1) ? f 2 ? ? ?? ? 2 ? ? 2 2 2 ? 2 ?? ? 2? ?
b? ? b2 ? ? ? 1 ? c ? b ? ? ? ? c ? ? ?1 ? ? ? 4 恒成立. 2? ? 4 ? ?
2

21.(本小题满分 14 分)

2 3 【解析】 (Ⅰ) f ? ( x) ? a ? 2 ? ? 0 x x

由题可知 f ? ? ? ? 1 ,解得 a ? 1 ???1 分 ?3? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 故 f ( x) ? x ? ? 3ln x , f ?( x) ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 x2 x f ?( x) 、 f ( x ) 随 x 的变化关系如下表:
x
f ?( x)

?2?

???2 分

3 2

?3 ? ? , 2? ?2 ?
?

2
0

? 2,3?
?

3

于是可得: f ( x)min (Ⅱ) f ?( x) ? a ?

↘ ↗ 1 ? 3ln 2 ?????????????????????3 分 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 ????????????????????4 分
f ( x)

2 3 ax 2 ? 3x ? 2 ? ? ( x ? 0) ???5 分 x2 x x2 由 题 可 得 方 程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 有 两 个 不 等 的 正 实 根 , 不 妨 设 这 两 个 根 为 x1、x2 , 并 令

? ? ? ? 9 ? 8a ? 0 ?? ? 9 ? 8a ? 0 ? ? ?3 3 9 ? ? ,解得 0 ? a ? ???8 分 h( x) ? ax 2 ? 3x ? 2 ,则 ? x1 ? x2 ? ? 0 (也可以 ?? ?0?a ?0) a 8 ? ? 2a 2 ? ?h(0) ? 0 ? ? x1 x2 ? a ? 0 ? 2 (Ⅲ)由(Ⅰ) f ( x) ? x ? ? 3ln x ,故 F ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 x( x ? 0) , F ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 2( x ? 0) ??9 分 x 设切点为 T ( x0 , y0 ) ,由于点 P 在函数 F ( x) 的图像上,

(1)当切点 T 不与点 P(1, ?4) 重合,即当 x0 ? 1 时. 由于切线过点 P(1, ?4) ,则
y0 ? 4 2 ? 3x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 1

3 2 2 所以 x0 ? 3x0 ? 2 x0 ? 4 ? ( x0 ? 1)(3x0 ? 6 x0 ? 2) , 3 2 化简得 x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 1 ? 0 ,即 ( x0 ? 1)3 ? 0 ,解得 x0 ? 1 (舍去)??12 分

(2)当切点 T 与点 P(1, ?4) 重合,即 x0 ? 1 时. 则切线的斜率 k ? F ?(1) ? ?5 ,于是切线方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ?????13 分 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ?????14 分 (注:若没有分“点 T 是否与点 P 重合”讨论,只要过程合理结论正确,本小题只扣 1 分)


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